{ математическое моделирование в инженерных системах - геометрическое истолкование систем дифференциальных уравнений - механическое истолкование систем ДУ - задача с начальными условиями - краевая задача - системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - системы однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами }

Математическое моделирование физических систем базируется на математическом описании физических процессов с введением внешнихвоздействий и внутренних связей. На основании анализа такой модели можно предсказать поведение конкретной системы.

В зависимости от типа определяющих систему условий, задачи подразделяются на задачи с начальными условиями и задачи с граничными (краевыми) условиями.

С последними задачами часто связаны задачи определения собственных частот системы - задачи на определение собственных чисел и векторов.

Для описания используются известные законы физики и химии, в результате их использования получается набор алгебраических и дифференциальных уравнений, решая которые можно предсказать реакцию сети на внешние возмущения.

демпфер

инертность

пружина

В механической системе, приведенной на схеме, возможно только горизонтальное перемещение

двух масс без учета внешнего трения. Приложенные к грузам силы являются

динамическими, однако могут интерпретироваться как статические в уравнениях состояния после

абстрагирования схемы к диаграмме, приведенной вверху рисунка.

При рассмотрении механических систем могут быть введены следующиекомпоненты: инверсное сопротивление (демпфер) – масса (инертность, при вращении - момент инерции) – , упругость (пружина) – . В уравнениях соответственно присутствуют перемещения, скорости, ускорения тел и физические параметры – масса m, жесткость s, коэффициент сопротивления k .

xcFd

xmFi kxFs

Для масс 1 и 2 справедлив следующий баланс сил:

Силы инерции, сопротивления движению (демпфирования) и упругости определяются по формулам:

)1 1 1 2 2s d i 1 s d1 F F F P F F 0 02 2222

PFFF ) ids

2211

12211

12211

21

21

21

xmF xmF)xx(cF xcF)xx(kF xkF

ii

dd

ss

PXMXCXK

2

1

2

1

2

1

2

1

22

221

2

1

22

221

00

pp

xx

mm

xx

ccccc

xx

kkkkk

После подстановки всех сил в уравнения баланса, последние могут быть записаны как система дифференциальных уравнений в матричной форме

матрицы перемещения, скорости и ускорения элементов

матрица масс,

матрица коэффициентов механического поступательного сопротивления

матрица параметров жесткости системы,

матрица внешних сил, Начальные

условияPKXXCXM

0

0

00

XXXX

)t()t(

Пример из строительной механики Одной из основных задач является определение напряжений в элементах строительных конструкций, в частности в балках и вертикальных стойках, при различных способах их нагружения и разной форме их поперечных сечений.

02

22

4

4

dx

ydKdx

yd

Уравнение, описывающее форму нагруженной стойки с жестко зафиксированными концами может быть представлено в виде

E - модуль упругости материала (модуль Юнга)

I - момент инерции поперечного сечения

P - сила нагружения стойки

Граничные условия

EIPK

00

0 yy

x

00

yy

Lx

Критическая величина нагружения стойки P может быть определена после интегрирования линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

02

22

4

4

dx

ydKdx

yd 0222224 )Kr(rrKr ,Kir,Kir,rr

43

21 0

DL/CxKxcosBKxsinAy

L/CAK

DByy

x0

000

0

L/C)KLsin(BK)Klcos(AK

DC)KLcos(B)Klsin(Ayy

Lx0

000

0000

01010111010

DCBA

GsinGGcosGG

GcosGsin

Однородная система

G A 0

=Тривиальное решение

0000

DCBA

A

@@

Определение ненулевых одновременно элементов матрицы относится к проблеме определения множества собственных значений матрицы G, то есть подходящих значений = KL, при которых будут удовлетворяться граничные условия, а решение дифференциального уравнения будет не тривиальным.

Пусть дана нормальная система двух уравнений и начальные условия:

Пусть известно частное решение системы:

Эти уравнения в области D пространства Oxyz определяют интегральную кривую L (пересечение двух цилиндров), проходящую через точку P (x0,y0,z0). Система данных дифференциальных уравнений устанавливает связь между координатами точек интегральных кривых и направлением касательной к ним в этих точках. P (x0,y0,z0)

LD

)z,y,x(F)x(z)z,y,x(F)x(y

2

10000 z)xx(z ,y)xx(y

)x(z ),x(fy

)x(zZ

)x(fyYxX

111

Система уравнений сводится к одному ОДУ n - го порядка – такой метод называется методом исключения. Рассмотрим этот метод на примере нормальной системы ОДУ:

)y,y,x(F)x(y)y,y,x(F)x(y

2122

2111 )y,y,x()x(y)y,y,x(Fy 1122111

( , , ) ( ( , , ) ( ( , , )

( ( , , ) ( ( , , ( , , ))

( ( , , ( , , )) ( , , ( , , )) ( ( , , ( , , )) ( , , ( ,

11 1 1 2 1 1 2 1 1 2

1

2 11 1 2 1 1 1

2

1 1 11 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1

1 2

dydy F x y y F x y y F x y ydx x y dx

dy dyF x y y F x y x yy dx x dx

dy dy dyF x y x y F x y x y F x y x y F x y x yy dx dx y dx

, ))1dydx

Получили одно дифференциальное уравнение 2 - го порядка для y1.Интегрируем это уравнение. Затем находим решение для y2.

1

1

12

21

ydxdy

ydxdy

@@ 11 122

1 dxdy)x(yy

dxdy

11 12

221

2

ydxdy)y(

dxd

dxyd

Решение

1121

2

ydx

yd

Получили одно дифференциальное

уравнение 2 - го порядка для y1.

xx eCeCYk,kkyy 211212

11 11011

1100 111 AAy,yAy121111 xx eCeCyYy

1111 21211

2 xxxx eCeC)eCeC(dxdyy

11

21

21

2

1xx

xx

eCeCeCeC

yy

@@ Решениеyxdtdy

dtdx ,y

dtdx

30

dtdxx

dtdx

dtxd

dtxd

dtdy

32

2

2

2

0322

2

xdtdx

dtxd 032 kk 2

21311 1,2k 31 2 k ;k1tt eCeCX 3

21

tt eCeCdtdXY 3

21 3 tt eCeCY 321 3

tt

tt

eCeCeCeC

YX

321

321

3

2

13

3

3 CC

eeee

YX

tt

tt

2221212

2121111

yayadxdy

yayadxdy

xx ey ,ey 2211

2221212

2121111

yCyCyyCyCy

00

2

1

2221

1211

aaaa

2

1

2221

1211

2

1

aaaa

x

x

x

x

ee

aaaa

ee

2

1

2221

1211

2

1

0BEA 02221

1211

aa

aa

Характеристическое уравнение, его корни , - характеристические числа.

021122211 aaaa

00

2

1

12221

12111

aaaa

00

2

1

22221

12211

aaaa

2

1

@@ Решение

212

211

44 yyyy y y

04411

0441 052 01 52

00

4411

2

1

11

2

1

00

1414

2

1

04 21

41

2

1

xx eeyy

yy55

2221

1211

411

Фундаментальная система

Общее решение

xeCC

CCyy

521

21

2

1 14

eCC eCC

yy

x

x

522

521

2

1

4