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《数学物理方法》课程教材

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序言序言 将数学思想方法应用于现代高新技术专业领将数学思想方法应用于现代高新技术专业领

域，并构建成典型的数学物理模型和解决问题域，并构建成典型的数学物理模型和解决问题的方法，从而形成了科学研究中实用性很强的的方法，从而形成了科学研究中实用性很强的数学物理方法数学物理方法。数学物理方法既利用了精妙的。数学物理方法既利用了精妙的数学思想，又联系了具体的研究任务和目标。数学思想，又联系了具体的研究任务和目标。脱离了数学思维，具体研究任务就失去了理论脱离了数学思维，具体研究任务就失去了理论指导方法；脱离了所研究的对象（物理模型），指导方法；脱离了所研究的对象（物理模型），数学思维就难以发挥其解决实际问题的巨大潜数学思维就难以发挥其解决实际问题的巨大潜能。既非数学思想也非物理模型本身能达到尽能。既非数学思想也非物理模型本身能达到尽善尽美，只有两者的有机结合才能形成推动人善尽美，只有两者的有机结合才能形成推动人类科学技术赖以发展的动力之源。类科学技术赖以发展的动力之源。

柯朗曾经描述：柯朗曾经描述：“从“从 1717 世纪以来，物理世纪以来，物理的直观，对于数学问题和方法是富有生命的直观，对于数学问题和方法是富有生命力的根源，然而近年来的趋向和时尚，已力的根源，然而近年来的趋向和时尚，已将数学与物理间的联系减弱了，数学家离将数学与物理间的联系减弱了，数学家离开了数学的直观根源，而集中推理精致和开了数学的直观根源，而集中推理精致和着重于数学的公设方面，甚至有时忽视数着重于数学的公设方面，甚至有时忽视数学与物理学以及其他科学领域的整体性。学与物理学以及其他科学领域的整体性。而且在许多情况下，物理学家也不再体会而且在许多情况下，物理学家也不再体会数学家的观点，这种分裂无疑地对于整个数学家的观点，这种分裂无疑地对于整个科学界是一个严重的威胁科学界是一个严重的威胁。 。 科学发展的科学发展的

洪流洪流可能逐渐分裂成为细小而又细小可能逐渐分裂成为细小而又细小的溪渠，以至于干涸，因此有必要引的溪渠，以至于干涸，因此有必要引导我们的努力转向于将许多有特点的导我们的努力转向于将许多有特点的和各式各样的科学事实的共同点及其和各式各样的科学事实的共同点及其相互关联加以阐明，以重新统一这种相互关联加以阐明，以重新统一这种分离的趋向” 分离的趋向” 或许我们今天所应做的或许我们今天所应做的正是柯朗所指出的。数学物理方法也正是柯朗所指出的。数学物理方法也正是将这种分裂进行重新统一并实现正是将这种分裂进行重新统一并实现有机结合的具体体现。有机结合的具体体现。

数学物理方法数学物理方法

数学物理基础篇

数学物理基础篇

复变函数篇

复变函数篇

数学物理方程篇

数学物理方程篇

特殊函数篇

特殊函数篇

计算机仿真篇

计算机仿真篇

复变函数论

微分 积分

柯西积分定理 柯西积分公式

解析函数的

无限次可微

性

柯 西

不 等

式

圆域内泰勒

级数

环域内的

罗朗级数

留数定理

留数和定理

辐角原理

莫勒纳定理

刘维尔定理

最大模原理

保角变换

平 均

值 公

式

三 类

典 型

实 积

分 的

计算

傅里叶积分变换

拉普拉斯积分变换

第一篇 复变函数论第一篇 复变函数论

《复变函数论》 主要内容《复变函数论》 主要内容 第一章、复数与复变函数第一章、复数与复变函数 第二章、解析函数第二章、解析函数 第三章、复变函数的 积分 第三章、复变函数的 积分 第四章、级数第四章、级数 第五章、留数第五章、留数 第六章、保角变换第六章、保角变换 第七章、傅里叶变换第七章、傅里叶变换 第八章、拉普拉斯变换第八章、拉普拉斯变换

一一 . . 复数复数二二 . . 复数的 表示复数的 表示三三 . . 复数的 乘幂与方根复数的 乘幂与方根四四 . . 区域区域五五 . . 复变函数 复变函数六六 . . 复变函数的 极限复变函数的 极限七七 . . 复变函数的 连续复变函数的 连续

第一章 复数与复变函数第一章 复数与复变函数

复数的发展复数的发展 复数概念的进化是数学史中最奇特的一个篇章，那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性。人们没有等待实数的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程。在数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚未得到完全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地。

复数的引 入复数的引 入早在16世纪，对一元二次、一元三次代数方程求解时就引

入了虚数的基本思想.1545年, 卡丹诺（Girolamo Cardano，1501

~ 1576，意大利数学家）在他的Ars Magna《大术》书中，给出了虚数的符号和运算法则，但同时也对这种运算的合法性表示怀疑.卡丹诺对虚数引入的基本思想：

一元三次方程 3 0x px q (其中 ,p q为实数)的求根公式，通常也叫做卡丹诺 （Cardano）公式：

2 3 2 33 3( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 2 2 3

q q p q q px

需特别指出：可以证明当有三个不同的实根需特别指出：可以证明当有三个不同的实根时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数开方开方 (( 参考：范德瓦尔登着参考：范德瓦尔登着《《代数学代数学》》 ,,丁石孙丁石孙译译 , , 科学出版社，科学出版社， 19631963年年 ). ). 至此，我们明白了至此，我们明白了这样的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念这样的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念 ..

卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识 ..““ 虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛卡儿（卡儿（ DescartesDescartes ）正式取定的）正式取定的 ..““ 虚数”代表虚数”代表的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”，的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”，后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界之外之外 ..由此给虚数披上了一层神秘的外衣由此给虚数披上了一层神秘的外衣 ..

十八世纪，瑞士数学家欧拉十八世纪，瑞士数学家欧拉 ((Leonhard· EulerLeonhard· Euler ，， 1707-17831707-1783) ) 试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之为“幻想中的数”或“不可能的数”为“幻想中的数”或“不可能的数” .. 他在他在《《对代对代数的完整性介绍数的完整性介绍》》 (1768(1768－－ 17691769 年在俄国出年在俄国出版，版， 17701770 年在德国出版年在德国出版 )) 一书中说：因为所有可一书中说：因为所有可以想象的数或者比零大，或者比零小，或者等于零，以想象的数或者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数即为有序数 . . 所以很清楚，负数的平方根不能包所以很清楚，负数的平方根不能包括在可能的有序数中，就其概念而言它应该是一种括在可能的有序数中，就其概念而言它应该是一种新的数，而就其本性来说它是不可能的数新的数，而就其本性来说它是不可能的数 . . 因为因为它们只存在于想象之中它们只存在于想象之中 .. 因而通常叫做虚数或幻想因而通常叫做虚数或幻想中的数，于是中的数，于是 EulerEuler 首先引入符号作为虚数单位首先引入符号作为虚数单位 ..

十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学家Wessel( 威塞尔 )、瑞士的工程师阿尔甘（ Argand ）以及德国的数学家高斯（ Gauss ）等都对“虚数” ( 也称为“复数” )给出了几何解释，并使复数 得到了实际应用 . 特别地 , 在十九世纪，有三位代表性人物，即柯西（ Cauchy ， 1789－ 1857 ）、维尔斯特拉斯（ Weierstrass ， 1815－ 1897 ）、黎曼（ Rieman ， 1826－ 1866 ） .柯西和维尔斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数， 黎曼研究复变函数的 映像性质，经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复变函数论 .

自从有了复变函数论，实数领域中的 禁自从有了复变函数论，实数领域中的 禁区或不能解释的问题，比如：区或不能解释的问题，比如：

负数不能开偶数次方；负数不能开偶数次方；负数没有对数；负数没有对数； 指数函数无 周期性；指数函数无 周期性； 正弦、余弦函数的 绝对值不能超过正弦、余弦函数的 绝对值不能超过 11 ；； …… …… 等已经不复存在等已经不复存在 ..

数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱，数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱，便会产生无可估量的创造力便会产生无可估量的创造力 ..哈密顿的四元哈密顿的四元数的发明，使数学家们认识到如果可以抛数的发明，使数学家们认识到如果可以抛弃实数和复数的 交换性弃实数和复数的 交换性 (( 即抛弃复数的基本即抛弃复数的基本性质性质 )) 去构造一个有意义、有作用的新“数去构造一个有意义、有作用的新“数系”，那么就可以较为自由地考虑甚至偏系”，那么就可以较为自由地考虑甚至偏离实数和复数的 通常性质的代数构造，从离实数和复数的 通常性质的代数构造，从而使得另一通向抽象代数的大门被打开而使得另一通向抽象代数的大门被打开 .. 我我们相信随着科学技术的不断发展，数学系们相信随着科学技术的不断发展，数学系统理论将不断地完善和自洽统理论将不断地完善和自洽 ..

1.1 1.1 复数的 概念及四则运算复数的 概念及四则运算 1.1.1.1.1 1 复数 概念复数 概念

定义 复数 把形如 ix y 的数称为复数，记为

iz x y （1.1.1） 或 ( , )z x y . 其中 x称为复数 z的实部（Real Part），

y称为复数 z的虚部(Imaginary Part)，分别记为

Re( ), Im( )x z y z （1.1.2） 或

Re , Imx z y z .

复数的无序性

实数可以比较大小，是有序的，但复数实数可以比较大小，是有序的，但复数不能比较大小，即复数是无序的不能比较大小，即复数是无序的 . . 尽管复尽管复数的实部和虚部均为实数，但是由于复数数的实部和虚部均为实数，但是由于复数是实部和虚部通过虚单位联系起来，从而是实部和虚部通过虚单位联系起来，从而是不能比较大小的是不能比较大小的 ..

问：问：复数为 什么不能比较大小复数为 什么不能比较大小？？ 解释：解释： 复数是实数的推广，若复数能比较大小，则 复数是实数的推广，若复数能比较大小，则

它的大小顺序关系必须遵循实数顺序关系的有关性它的大小顺序关系必须遵循实数顺序关系的有关性质质 . .

在实数中，若 , 0a b c 则 ac bc ;

若 , 0a b c , 则 ac bc . 我们用复数 i和 0来说

明. 对于非零复数即 i 0 , 若 i 0 ，根据实数不等

式的性质，两边同乘以“大于零”的 i，得 i i i 0 ，

即 1 0 ,矛盾. 若 i 0 , “ ”同样两边同乘以 小于零

的 i可推得 1 0 ，也矛盾.

由此可见,在复数域中无法定义大小关系，即两个

复数不能比较大小.

1.1.2 复数的基本代数运算

1.1.四则运算四则运算

加（减）法：1 2 1 2 1 2( ) i( )z z x x y y

乘法： 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1( ) i( )z z z z x x y y x y x y

除法： 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 222 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

ii ( 0)

i

z x y x x y y y x x yz

z x y x y x y

复数的 四则运算也 满足交换律、结合律和分配律。

实数的二项式定理对复数同样有效,我们有下述定理 定理 1.1.1 复数的二项式定理.根据复数的四则运 算，如果 z1和 z2为任意复数，那么二项式展开满足

1 2 1 20

nn k n k k

nk

z z C z z

(1.1.5)

(n=1,2,….)

即为二项式定理. 其中： !

! !k

n

nC

k n k

(k=0,1,2,…,n)

1.复数的 二项式定理

1.2 1.2 复数的 表示复数的 表示 1.2.1 1.2.1 复数的 几何表示复数的 几何表示

P

r

o x

y

x

y

图 1.1

定义 复数的 几何表示 直角坐标表示定义 复数的 几何表示 直角坐标表示

在复平面内，复数 z除了用点 ( , )x y 表示外，还可以用从原点指向点 ( , )z x y 的矢量(或向量)OP

��������������

来表示复数, 称为复数的几何表示，如图 1.1 所示，矢量 r或 OP

�������������� 代表复数 iz x y . 从这种几何意义上，我们把 iz x y 称为复数的直角坐标表示（或复数的代数表示）.

1.2.2 复数的三角表示 1.复数的辐角【2】

定义 1.2.4 辐角 辐角的主值 复数 iz x y 对应的点 ( , )x y 的极坐标为 r和，当 0z

时，复数 z的向量与实轴正向间的夹角称为复数 z的辐角，记为

Arg z （1.2.7）

显然我们有 cosrx ， sinry ， 22 yxr ，所以

tan Arg tany

zx

(1.2.8)

0 x

y

图 1.2 02 πk

需要指出，任何一个非零复数 ( 0)z 有无穷多个辐角. 如图 1.2所示，若 0 是辐角中的一个，则有

0Arg 2 πz k

,...2,1,0 k (1.2.9) 式(1.2.9)表示 z的全部辐角. 我们规定其中满足

0π< π (1.2.10)

的辐角 0 为辐角 Argz的主值，记为 zarg0 .

定义 1.2.5 复数的三角表示 利用直角坐标关系，

sin,cos ryrx ，可以把非零复数 z表示成

(cos i sin )z r (1.2.11)

称为复数的三角表示式. 即为

cos i sin (cos i sin )

cos Arg isin Arg

z r r r

z z z

（1.2.12）

1.2.3复数的指数表示 定义 1.2.6复数的指数表示 利用欧拉(Euler)公式

i cos isine (1.2.13)

可以把任意非零复数 i cos i sinz x y r 表示为指数形式

iz re (1.2.14)

1.2.4 1.2.4 共轭复数共轭复数定义 1.2.7 共轭复数（复数的共轭）复数 iz x y 的共轭复

数定义为 iz x y （1.2.15）

所谓共轭复数是指其实部不变，虚部反号. 共轭复数在复平面内的几何意义表明：

点 ( , )z x y 是点 ( , )z x y 关于实轴的对称点. 性质：

2 2| | | |z x y z

z z 2 2 2 2( i )( i ) | | | |z z x y x y x y z z

1.3 1.3 复数的 乘幂与方根复数的 乘幂与方根1. 3. 1复数的乘幂

定理 1.3.1两个复数相乘，其模等于它们模的乘积，其辐角等于它们辐角的和.

定义 1.3.1 乘幂 利用数学归纳法可以将上式推广到 n个复数相

乘的三角形式与指数形式

21

1 2 1 2 1 2 1 2

)i(

1 2

[cos( ) isin( )]

n

n n n n

n

z z z rr r

rr r e

z的 n次乘幂（简称为n次幂）:

i

(cos i sin )(cos i sin ) (cos i sin )

(cos i sin ) (cos i sin )

n

n n n

n n

z rr r

r r n n

r e

当 1r 时，即 cos i sinz ，由上式得到 i(cos isin ) (cos isin )n n nz n n e 这就是著名的棣模弗(De Moi vre)公式. 又特别当 1n 时，即为前面提到的欧拉(Eul er)公式：i cos i sine .

当 1r 时，即 cos i sinz ，由上式得到

i(cos i sin ) (cos i sin )n n nz n n e

(1.3.6) 这就是著名的棣模弗(De Moivre)公式. 又特别当 1n 时，即为前面提到的欧拉

(Euler)公式： i cos isine .

例 1.3.1 已知 012 xx .

求 6711 xxx 的值.

【解】 由 3 21 ( 1)( 1)x x x x 知，

x是方程 3 1 0x 除 1 外的两个虚数根，

即 3 1x ，因此， 22911 xxxx ，

xxxx 67 ， 16 x

故

原式 2 21 ( 1) 2 2x x x x

1.3.2 复数的方根 定义 1.3.2 复数的方根 定义了复数的乘幂 ( 1,2, )nz n 后，我们可

以求其逆运算来得出方根的计算方法. 即求满足 n zw 的根w，其中 z为已知复数. 我们把满足 n zw 的复数w称为 z 的 n次方根，记为n z ，即 n zw .

2 πi 2 π 2 π

[cos( ) i sin( )]

( 1, 2, , )

kn nn

k

k kre r

n nk n

w

2 πi 2 π 2 π

[cos( ) i sin( )],

( 0,1,2, , 1)

kn nn

k

k kre r

n nk n

w

例 例 求求 11 的的 nn 次方根，并讨论根在复次方根，并讨论根在复平面单位圆周上的位置平面单位圆周上的位置 ..

【解】 设方根为 kw ，根据上面公式有

2 π

i

1k

n nk e w 0,1,2, , 1k n …

当 n=2时，其根为 1 . 对应于单位圆与实轴的两交点.

当 3n 时，各根分别位于单位圆 1z 的内接正多边

形的顶点处，其中一个顶点对应着主根： 0 1 , ( 0 )k w .

图(1.4)表示当 n=3,4和 6时根的位置分布情况.

1w y y 1w y 1w

2w 1 3w x

2w 3w 4w 5w

n=3 n=4 n=6

图 1.4

0

3

1w

w

方根的几何意义表明：这 n个方根是以原

点为中心， n r 为半径的圆的内接正 n边形的n个顶点.

补充：正十七边形补充：正十七边形几何作图问题几何作图问题

作为本章的综合运用，介绍一个数学中非常有趣的问题：即为正十七边形的几何作图问题。已知：正十七变形的边长为a,内接于单位

园，用几何作图法得出该正多边形。

例 1.4.1 正十七边形的几何作图讨论。

1.4 1.4 复数典型 综合实例复数典型 综合实例

为了简化，设边长为a的正十七边形内接于单位圆，如上图所示，则边长

2sin(π /17)a .如果用复数的方法求出 a的代数表达式，因而也就解决了该正多边形的作图问题.这种方法是否可以进一步推广，留给有兴趣的读者去思考.读者还可尝试使用计算 机语言 （ C++）或数学 软件Matlab,Mathematic,Mathcad 等进行编程实践练习.

[解] 考虑方程 17 1 0t 解的情况： 设 i2π /17t e ，则易见 0 1 2 16, , , ,t t t t 均为方程的根 另一方面，由

17 0 1 2 16

i2 π/17 0 1 2 16

1 ( 1)( ) 0,

0, 0

t t t t t t

t e t t t t

1 2 16 1t t t 令

.

,6127141151033333

2481615139199999

15531

73210

ttttttttttttq

tttttttttttttp

显然：16

1

1k

k

p q t

，将 p和 q直接相乘，即可验证

4pq 在复平面上标出 0 ,t 1 2 16, , ,t t t 的位置，可以看出，这些点

均匀地分布在单位圆周上，而且， 1t 与 16t ， 2t 与 15t ， 4t 与 13t ，8t 与 9t 均互为共轭，根据 p的表达式可推知 p一定为实数，并且从 1 2 4 8, , ,t t t t 各点的具体位置可以进一步断定 p为正值.因此

1 1( 17 1), ( 17 1)

2 2p q

再进一步将 p和 q拆开成两组数之和： 1 13 16 4 9 15 8 2, r t t t t r t t t t 3 5 14 12 10 11 7 6, s t t t t s t t t t

容易证明 , 1

, 1

r r p rr

s s q ss

所以 2 21 1

( 4), ( 4)2 2

r p p s q q

再令 1 16 13 4, x t t x t t

显然，有 , x x r xx s

所以 1 16 22π 1

2cos ( 4 ).17 2

x t t r r s

由三角公式： 2cos 2 1 2sin ，且考虑到 π

2sin17

a

因此

2 22π2cos 2[1 2 ( ) ] 2

17 2

ax a

故得到

2a x 采用复数的方法求出了边长 a的代数表达式，而且, , , ,p q r s x均可用几何作图法绘出，从而可绘出正十七边形.

例 1.4.2 若 ( 1,2, , )kz k n 对应为 1 0nz 的根，

其中 2n 且取整数. 试证明下列数学恒等式成立

1

1( )

10

( )

n

nk

k mmm k

z z

【 证明】 为考虑问题的方便，方程 1 0nz 的根可写为

2 π

i

1 ( 1,2, , )k

n nkz e k n

令 2π

int e ，则 , ( 1, 2, , )k

kz t k n .再考虑到级数

1

1( )

1

( )

n

nk

k mmm k

z z

，令

1

1

( )k n

k mmm k

az z

，这样证明数学恒等式，即需

证明1

0n

kk

a

.

我们先考察级数1

n

kk

a 的各项：

当 1k 时,故有第一项

11 2 1 3 1

11

2 3 4

1 2 3 1

1 1

( )( ) ( )( )

1

( )( )( ) ( )

1

(1 )(1 )(1 ) (1 )

nn

mmm k

n

n n

az z z z z z

z z

t t t t t t t t

t t t t t

第二项为

22 1 2 3 2

2 2 3 2 4 2

2( 1) 1 2 2

2( 1) 2 2 1

2( 1) 2 2 1

1

( )( ) ( )

1

( )( )( ) ( )

1

(1 )(1 )(1 ) (1 )

1

(1 )(1 ) (1 )(1 )

1

(1 )(1 ) (1 )(1 )

n

n

n n

n n

n n n

az z z z z z

t t t t t t t t

t t t t t

t t t t t

t t t t t

推导中已使用：2π

i i2π 1 1 1, 1, n n nnt e t e t t t t

同理，通项即第 k项为

1 2 1 1

( 1) 2 2 1

1

( )( ) ( )( ) ( )

1

(1 )(1 ) (1 )(1 )

kk k k k k k k n

k n n n

az z z z z z z z z z

t t t t t

显然级数1

n

kk

a 为一等比级数，其公比为：

2 2

11

1 1 n n

i inkn n

k

a tq t e t q t e

a t t

因 1n ，故 1q .

故 2π

i

1 11 12π 2π

i i1

(1 ) (1 ) (1 ) 1 10

1 1 1 1

nn nn n

kk n n

a q a t ea a a

q t e e

数学恒等式成立得证.

特别说明（1）我们应该注意到对于

上述例题， kz 不是任意的，它满足2 πi k

n

kz e .

事实上，我们在学习后面的解析函数、复变函数的积分、级数和留数定理时，可以根据不同章节的理论对该数学恒等式进行证明.

（2）猜想(进一步推广)：若对复平面任意两个以上的不重合的有限远点 ,k mZ Z ，（即确保分母不为零），恒等式

1

1

10

( )

N

Nk

k mmm k

Z Z

是否还成立呢？ （式中自然数 2N ，而m, k 为介于1至 N的整数）.

科学是允许猜想的，关键是我们能否对猜想

进行证明.

（3）附：对上述猜想的数学恒等式(1.8.2)的一些说明和思考

(i) 若复平面上有任意的两个不重合的点 1Z 和 2Z

（即 2N ,N代表点的个数），，则显然有

1 2 2 1 1 2 1 2

1 1 1 10

Z Z Z Z Z Z Z Z

(ii) 当 3N ，如图 1.9所示，复平面上有任意的三个不重合的点，则必然也有：

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

2 3 1 3 1 2

1 2 1 3 2 3

1 1 1

(Z )(Z ) (Z )(Z ) (Z )(Z )

) ( ) ( )0

( )( )( )

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z

1z

2z 3z

x

图 1.9

y

(iii) 当 4N , 复平面上有任意的 4个不重合的点，则必然也有：

1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4

3 1 3 2 3 4 4 1 4 2 4 3

1 1

( )( )( ) ( )( )( )

1 10

( )( )( ) ( )( )( )

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

(iv） 依此是否能类推呢？ 探索对上述恒等式的证明方法：除使用复变函数理论

证明外，能否有其它证明方法？ 数学归纳法能否证明？计算机仿真能否验证？

对恒等式的证明，有兴趣的读者可参考文献【5】：“ 复变函数论典型环路积分的理论分析” 四川大学学报 2001.

例 1.4.3 试确定不等式i π

0 argi 4

z

z

所确定的

点集是什么图形？

[解法 1] 由此等式 i π

argi 4

z

z

表示到两定点 i, i 的张角之差等于定数π

4的点 z的集合.由

平面几何的定理知，这是缺了点 i和 i 的两个圆弧.见图 1.10所

示，图中两个圆弧实际上只有实线圆弧才是i π

argi 4

z

z

所确定

的点集；虚线圆弧是i π

argi 4

z

z

所确定的点集.

再考虑等式 i

arg 0i

z

z

确定的点集.实际上，此点集是虚

轴上点 i以上，点 i 以下的点的全体。 从图中看出可见，该点集和图 1.10中实线圆弧将整个平面

分为两半. 容易验证，左边的部分除去圆域（即图中淡灰色）

为不等式i π

0 argi 4

z

z

所确定的点集.

－1

－i

x

y

【解法 2】 根据辐角定义得出，由 iz x y 2 2

2 2 2 2

2 2

i i i 1 2i

i i i ( 1) ( 1)

i 2arg( ) arctan

i 1

z x y x y x

z x y x y x y

z x

z x y

由题意得到 2 2

2 π0 arctan( )

1 4

x

x y

注意到，在 (0, π / 4)的角度区域，正切函数是单增的，对上述不等式两边均取正切得到

2 2

20 1

1

x

x y

由此得到

2 2

0

( 1) 2

x

x y

或 2 2

0

( 1) 2

x

x y

注意到 2 2( 1) 2x y 是以（－1，0）为圆心，以 2为半径的圆周，所以满足题给条件的是图 1.10 中灰色的部分. 根据题给辐角不等式，对于 0x ，其辐角不满足要求.

1.4 区域

（1）邻域：以复数 0z 为圆心，以任意小的正实数为半径作一圆，则满足 0| |z z 的所有点的集合称为 0z 的邻域.

1. 4. 1 基本概念

（2）去心邻域：以复数 0z 为圆心，以任意小的正实数 为半径作一圆，则满足 00 z z

的点的集合称为 0z 的一个去心 邻域.

（3）聚点：给定无穷序列{ }nz ，若存在复数 z，对于任意给定的 0 ，恒有无穷多个 nz 满足 | |nz z ，则称 z为{ }nz 的一个聚点（或极限点）.

例如：序列 i 2 1, i,..., i,

2 3

n

n

的聚点是 i.

一个序列可以不止一个聚点，例如序列：

1 2 3 4 5 6

, , , , , ,...2 3 4 5 6 7

就有两个聚点： 1.

（4）孤立点：若 0z属于集合 I，但非 I 的聚点，则称 0z 为 I的孤立点.

例如：集合 i 2 1{ , i,..., i,...}

2 3

n

n

中除点 i 是聚点外，其余各点都是孤立点.

为了叙述下列概念方便,我们统一设G为平面点集. （5）内点：对于平面点集G， 设 0z G，若 0z 及其邻域均属

于G，则称 0z 为G的内点. （6）外点：若 0z 及其邻域均不属于点集G，则称 0z 为该点集的

外点.

（7）开集：若G内的每个点都是内点，则称G为开集. （8）连通集：若连接G内任意两点的折线也属于G，则称G为

连通集.

（9）区域：区域严格的定义是指同时满足下列两个条件的点集：

( i ) 全由内点组成； ( i i ) 具有连通性: 即点集中的任意两点都可以

用一条折线连接起来，且折线的点全都属于该点集； 区域可用符号 D表示。

注：通常所谓某区域 D是连通的，即指 D中任何两点都可以用完全属于 D的一条折线连接起来.

（10）边界：若 0z 点的任意一个邻域内既有区域 D的点，又有不属于 D 的点，则称 0z 为区域 D 的一个边界点. 由 D 的全体边界点组成的集合称为 D 的边界或边界线. （11）闭区域：区域 D 及其边界所组成的点集称为

闭区域，以D表示闭区域. 注：与闭区域相比较，把不含边界的区域 D称

为开区域. 而且若无特殊声明所谓的区域均指开区域.

闭区域需明确指出. 例如：由 | | 10z 所构成的区域为闭区域，而由

| | 10z 所构成的区域为开区域.

（（ 1212 ）有界区域：）有界区域：如果一个区域如果一个区域 DD 可以被可以被包含在一个以原点为中心的圆内部，即存包含在一个以原点为中心的圆内部，即存在正数在正数 M,M, 使得区域使得区域 DD 的每一点的每一点 zz 都满足 ，都满足 ，那么那么 DD 称为有界区域称为有界区域 ..

（（ 1313 ）无界区域：）无界区域：根据上面的定义，非有根据上面的定义，非有界区域即为无界区域界区域即为无界区域 ..

（17）简单曲线（或若尔当 Jordan 曲线）：设曲线: ( ) ( ) i ( ),C z t x t y t a t b ，对介于 ,a b之间的 1 2,t t ，当

1 2t t 时，有 1 2( ) ( )z t z t ，则点 1( )z t 称为曲线C的重点. 对于

没有重点的连续曲线C , 称为简单曲线.

（18）简单闭曲线：如果简单曲线C的两个端点重合，则C称为简单闭曲线. （19）单连通域: 复平面上的一个区域D，如果在其中任作一

条简单闭曲线，而曲线的内部总属于D，就称为单连通区域，简称为单连通域，或单通区域. （20）复连通域: 若一个区域不是单连通域，就称为复连通域

（或复连通区域, 简称复通域） 具体是多少阶连通域可根据下列连通阶数的定义来具体确定.

注意：单连通区域和复连通区域有一个重要的区别:在单连通区域中，一条任意闭合曲线总是可以通过连续变形收缩成一点，换句话说，在单连通区域的任意两点 A和 B之间的任意两根曲线 ',l l可以通过连续变形从一根变到另一根，如图 1.6 (a)所示；而复通区域却不具有这样的性质，如图 1.6（b）,(c)所示.

l

l

l

A

B

A

B

A

B

l

l l

l

图 1.6 (a)

（b）

(c)

（21）连通阶数：若有界区域D的边界被分成若干不相连接的部分，则这些部分的数目叫做区域的连通阶数. 如图 1.7(a)为单连通区域（即为一阶连通区域），图 1.7(b) 为二阶连通区域，图1.7(c) 为三阶连通区域；

l 图 1.7

(a) (b)

(c)

（22）复连通区域单连通化：作一些适当的割线能将复通区域的不相连接的边界线连接起来从而降低区域的连通阶数，直至可以降为单连通区域.（注意：连接边界的分开方式不唯一） 如图 1.8所示.

（23）边界线的正方向：为了以后学习环路积分方便，我们按照通常的规定：（当人）沿边界线环行时，所包围的区域始终在人的左手边，则前进方向为边界线的正方向. 对于有界的单连通区域，如图 1.8 (a) 的逆时针方向所示即为正方向. 而多连通区域单连通化后，外围逆时针为正方向，内部顺时针为正方向，如图 1.8(b),(c)所示.

l 图 1.8

（a） (b)

(c)

1.4.2 区域的判断方法及实例分析 说明：当判断区域是什么样的区域时，通常按照下列顺序判断：

（1）有、无界，(2)单、复连通，（3）开、闭区域.

例 1.4.1 判断 1 2 5z z 代表什么样的区域？

【解】 此不等式所代表的区域是焦点在 1z 和 2z 上，长半

轴为5

2的椭圆内部，为有界单连通闭区域.

【解】 代入 iz x y ，则

2 2

2 1 [(2 1) 2i ][( 1) i ]

1 ( 1)

z x y x y

z x y

故 2 2

2 1 3Im( ) 1

1 ( 1)

z y

z x y

，即为：

2 2 23 3( 1) ( ) ( )

2 2x y

代表圆外部分，（由于无穷远点的特殊性）该区域是复连通区域. 故为无界复连通开区域.

例 1.4.2 判断代表什么样的区域？

1.51.5 复变函数 复变函数

复变函数的基本概念是实变函数基本概念的推广，因此我们所叙述的复变函数的概念、极限概念、函数连续与可微等概念与高等数学中的概念叙述相似.

1.5.1复变函数概念 定义 1.5.1 复变函数 设 D是一个复数 iz x y 的集合，若对每一个 z D ，按

照一定的法则，总有一个或几个复数 iu w v与之对应，则称复变量w为复数 z的复变函数，记为： ( )f zw .

其中 D称为函数 ( )f z 的定义域，函数值w的全体所构成的集 合 称 为 函 数 ( )f z 的 值 域 ， 记 为

( ) { | ( ), }f D f z z D w w ，把 z称为函数的自变量，w称为因变量.

定义 1.5.2 单值函数 多值函数 单值函数 每个自变量复数 z，对应着一确定的复

数w 称 ( )f zw 为单值函数.

多值函数 每一个自变量复数 z，对应着几个或无穷多 无穷多个复数w的值，则称 ( )f zw 为多值函数.

注意：单值函数并不排斥不同的两点 1z 与 2z 可以对应着同一复

数w . 例如函数 2( )f z zw= 是一个单值函数，因为与每个自变量复数 z对应的w只有一个；但是 1 2z z 的两个自变量，所对应的w可以是同一个值. 如

i 2 2 i2

1 1 1

i( π) 2 2 i(2 2π) 2 i2

2 2 2

z e z e

z e z e e

w

w

则 1 2 w w w，由此可见两个不同的 1 2,z z 对应着同一复数值w .

幂函数 2zw 的反函数 z w称为根式函数. 在根式函数中，w为自变量，z为因变量，由于w平面上每个点对应于 z平面上两个不同的点，因此 z w是一多值函数.

【 证 明 】 令 iz x y ，则 沿 正 实轴 趋 于 零时 ，

0 0lim lim 1

| |z x

z x

z x ； 而 沿 负 实 轴 趋 于 零 时 ，

0 0lim lim 1

| | ( )z x

z x

z x

；不同的趋向得到不同的极限值，故原极

限0

lim| |z

z

z不存在.

例 1.6.1 证明极限不存在 .

1.6.2 复变函数极限的基本定理 定理 1.6.1

若 0 0 0 0 0( , ) i ( , ), i , if z u x y x y S u z x y v v ，

则

0

lim ( )z z

f z S

成立的充分必要条件为

0 00

( , ) ( , )lim ( , ) ,

x y x yu x y u

0 00( , ) ( , )

lim ( , )x y x y

x y

v v

定理 1.6.2 若 0 0

lim ( ) , lim ( )z z z z

f z A g z B

, 那么

（1）0 0 0

lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )z z z z z z

f z g z A B f z g z

（2）0 0 0

lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )z z z z z z

f z g z A B f z g z

（3） 0

0

0

lim ( )( )lim[ ] ( 0)

( ) lim ( )z z

z z

z z

f zf z AB

g z B g z

1.7 复变函数的连续

1.7.1 复变函数连续的概念 定义 1.7.1 复变函数连续概念 如果 0z 属于 ( )f zw 的定义域 D， 若

00lim ( ) ( )

z zf z f z

，则称函数 ( )f z 在 0z 处连续.

如果 ( )f z 在区域 D内各点均连续，则称( )f z 在区域 D上连续.

本章作业本章作业1.1:(3); (6)1.1:(3); (6)

1.3;1.4;1.6;1.8;1.10;1.121.3;1.4;1.6;1.8;1.10;1.12

1.13 1.13 ；； 1.14;1.14;

1.151.15 （（ 11 ）；（）；（ 33 ）；（）；（ 55 ）；（）；（ 66 ））1.161.16

计算机仿 真实践练习计算机仿 真实践练习1.19;1.20;1.221.19;1.20;1.22