一阶微分方程的

机动 目录 上页 下页 返回 结束

习题课 ( 一 )

一、一阶微分方程求解

二、解微分方程应用问题

解法及应用

第十二章

一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解

关键 : 辨别方程类型 , 掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解

(1) 变量代换法 —— 代换自变量代换因变量代换某组合式

(2) 积分因子法 —— 选积分因子 , 解全微分方程

四个标准类型 : 可分离变量方程 , 齐次方程 ,

线性方程 , 全微分方程

机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 1. 求下列方程的通解

;01

)1(3

2 xye

yy

提示 : (1) ,33 xyxy eee 因 故为分离变量方程 :

通解

;)2( 22 yyxyx

;2

1)3(

2yxy

.

23

36)4(

32

23

yyx

yxxy

xeyey xy dd32

Cee xy 3

31

机动 目录 上页 下页 返回 结束

方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,

yyxyx 22)2(

时，0x

21 uux

21 uux

xy

xy

y 21

xy

xy

y 21

令 y = u x , 化为分离变量方程 .

调换自变量与因变量的地位 ,

22

1)3(

yxy

,2dd 2yx

yx

用线性方程通解公式求解 .

化为

机动 目录 上页 下页 返回 结束

32

23

23

36)4(

yyx

yxxy

方法 1 这是一个齐次方程 .方法 2 化为微分形式

0d)23(d)36( 3223 yyyxxyxx

故这是一个全微分方程 .

xy

u 令

机动 目录 上页 下页 返回 结束

xQ

yxyP

6

例 2. 求下列方程的通解 :)lnln()1( yxyyyx

提示 : (1)

令 u = x y , 得(2) 将方程改写为

0d)1ln(dln2)2( 2 xxyyyxx

yyxxyx

y22

363)3(

22

0d)31(d)3()4( 22 yyxxyxy

uxu

xu

lndd

xy

yxxx

y2ln2

1dd 3

( 贝努里方程 ) 2yz令

( 分离变量方程 )

原方程化为

机动 目录 上页 下页 返回 结束

令 y = u t

yyxxyx

y22

363)3(

22

)1(2)1(3

dd 22

xyyx

xy

( 齐次方程 )ytyt

ty

23

dd 22

令 t = x – 1 , 则ty

xt

ty

xy

dd

dd

dd

dd

可分离变量方程求解

化方程为

机动 目录 上页 下页 返回 结束

0d)31(d)3()4( 22 yyxxyxy

变方程为 yxxy dd2

两边乘积分因子 2y

0)dd(3dd 2 yxxyyyxx

用凑微分法得通解 :

Cyxyx 321 12

0)dd(3 2 yxxyy

机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 3.

机动 目录 上页 下页 返回 结束

设 F(x) ＝ f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在 ( －∞ ,+∞)

内满足以下条件 : ,0)0(),()(),()( fxfxgxgxf 且

(1) 求 F(x) 所满足的一阶微分方程 ;

(03 考研 ) (2) 求出 F(x) 的表达式 .

解 : (1) )()()()()( xgxfxgxfxF

)()( 22 xfxg

)()(2)]()([ 2 xgxfxfxg

)(2)2( 2 xFex

所以 F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程 :

.2)()( xexgxf

机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2) 由一阶线性微分方程解的公式得

CxeeexFxxx

d4)(

d22d2

Cxee xx d4 42

代入上式，将 0)0()0()0( gfF 1C得

于是 xx eexF 22)(

xexFxF 24)(2)(

xx Cee 22

练习题 :( 题 3 只考虑方法及步骤 )P326 题 2 求

以为通解的微分方程 .

提示 : 1)( 22 yCx

02)(2 yyCx消去 C 得

P327 题 3 求下列微分方程的通解 :

提示 : 令 u = x y , 化成可分离变量方程 :

提示 : 这是一阶线性方程 , 其中

P326 题 1 ， 2 ， 3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10)

机动 目录 上页 下页 返回 结束

)ln(2dd

)3(xy

yxy

提示 : 可化为关于 x 的一阶线性方程

0dd

)4( 33 yxyxxy

提示 : 为贝努里方程 , 令 2yz

0dd

dd)5(22

yx

yxyyyyxx

提示 : 为全微分方程 , 通解 0dd)3()9( 24 xyxyxy

提示 : 可化为贝努里方程令 2xz

微分倒推公式

机动 目录 上页 下页 返回 结束

原方程化为

yxxy 2)10(

xyxu 2 , 即 ,2 2uuxy 则

xy

dd

故原方程通解

uuex

d2

Cue

uu

d2d

2

Cuuu

d21 22

u2xu

xdd

2xu

udd

2

提示 : 令

机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 一鸭子从点 A 游向

点

二、解微分方程应用问题

利用共性建立微分方程 ,利用个性确定定解条件 .

为平行直线 ,

且鸭子游动方向始终朝着点 O ,h

提示 : 如图所示建立坐标系 .

设时刻 t 鸭子位于点 P (x, y) ,

设鸭子 ( 在静水中 ) 的游速大小为b

P求鸭子游动的轨迹方程 .

O ,

水流速度大小为 a ,

两岸

),( ab

)0,(aa

ab

y

x

A

o则

关键问题是正确建立数学模型 , 要点 :

则鸭子游速 b 为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定解条件

a

由此得微分方程y

x

v

v

yx

dd

yx

ybyxa

22

即

v

鸭子的实际运动速度为

( 求解过程参考 P273 例 3 )

.0hyx

yx

dd

yx

yx

ba 12 ( 齐次方程 )

b0PObb

,dd

,dd

ty

tx

v

bav

h P ab

y

x

A

o2222

,yx

yb

yx

xb

2222,

yx

y

yx

x

机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考 : 能否根据草图列方程 ?

),( yxMy

xo

练习题 : P327 题 5 , 6

P327 题 5 . 已知某曲线经过点 ( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程

. 提示 : 设曲线上的动点为 M (x,y),

令 X = 0, 得截距 由题意知微分方程为xxyy

即 11 yx

y

定解条件为 .11 xy

yxx tan

x

此点处切线方程为

它的切线在纵

机动 目录 上页 下页 返回 结束

P327 题 6. 已知某车间的容积为

的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空的含量不超过 0.06 % ?

提示 : 设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含则在 ],[ ttt 内车间内

x两端除以 ,t

并令 0 t

与原有空气很快混合均匀后 , 以相同的流量排出 )

得微分方程

tk 100

04.0t

xk

5400

5400

( 假定输入的新鲜空气 输入 ,

的改变量为

机动 目录 上页 下页 返回 结束

t = 30 时 5406.05400100

06.0 x

2504ln180 k

25005400dd k

xk

tx

5412.00 tx解定解问题

因此每分钟应至少输入 250 3m 新鲜空气 .

初始条件

得

机动 目录 上页 下页 返回 结束

k = ?

作业 P269 3 , 7;

P276 *4 (2) ;

P282 9 (2) , (4)

机动 目录 上页 下页 返回 结束