第四章 正弦交流电路第四章 正弦交流电路第一节 正弦交流电的基本概念第二节 正弦交流电的相量表示法第三节 单一理想元件的交流电路第四节 RLC串联的交流电路第五节 阻抗的串联与并联第六节 正弦交流电路的分析方法第七节 功率因数的提高第八节 正弦交流电路的谐振第九节 非正弦交流电路 目录 习 题

第一节 正弦交流电的基本概念第一节 正弦交流电的基本概念

正弦量正弦量

正弦量的三要素正弦量的三要素

返回

一、正弦量 : 大小和方向随时间按正弦规律变化 的电压、电流和电动势统称为正弦量。

正弦信号的和、差、微积分等运算结果仍是同频率的正弦信号。

当正弦信号作为电路的信号源时，电路中产生的响应仍是同频率的正弦信号。

返回

i=I ｍ sin(ωt+ )

其波形如图

t

i mI

T

从表达式可以看出 ,当 Im 、 ω 、确定后 ,正弦量就被唯一地确定了 , 所以这三个量统称为正弦量的三要素。

正弦电流 i 用三角函数表示为 　

返回

O

二、正弦量的三要素

1. 周期 T 、频率 f 和角频率 ω

2. 最大值和有效值3. 相位、初相、相位差

返回

周期 T : 正弦量变化一次所需要的时 间称为周期。单位是秒 (s) 。频率 f : 1s 正弦量变化的次数称为频率。 单位是赫兹 (Hz) 。 显然 f =1/T 或 T =1/f

1. 周期Ｔ、频率 f 和角频率 ω

角频率 ω : 单位时间里正弦量变化的角度称为 角频率。单位是弧度 / 秒（ rad/s ）。 ω=2π/T=2πf 返回

周期，频率，角频率从不同角度描述了正弦量变化的快慢。三者只要知道其中之一便可以求出另外两个。

2 ．最大值和有效值 正弦量某一瞬间的值称为瞬时值，瞬 时值中最大的称为最大值。 Im 、 Um 、 Em 分别表示电流、电压和电动势的 最大值。 表示交流电的大小常用有效值的概念。

返回

把两个等值电阻分别通一交流电流 i 和直流电流Ｉ。如果在相同的时间Ｔ内所产生的热量相等，那么我们把这个直流电流Ｉ定义为交流电流的有效值。

所以交流电的有效值是瞬时值的方均根。

2 2

0d

Ti R t I RT 即 2

0

1d

TI i t

T

将电流的三角式带入上式中有 :

m 2I I返回

同理 :

m 2U U m 2E E

3. 相位、初相、相位差

m sin( )Ai I t Ψ 相位：我们把 ωt+ 称为相位。初相： t ＝ 0 时的相位称为初相。相位差：任意两个同频率的正弦 量的相位之差。用 φ 表示。 返回

例 1 、 m sin( )Vuu U t

m sin( )Aii I t Ψ

两者的相位差为 :u iΨ Ψ

>0 电压超前电流 φ 角 ( 或电流滞后电压 φ 角 ) =0 电压与电流同相位 <0 电流超前电压 φ 角 = ±π 电流与电压反相

若 :φ

返回

返回

i

u 、i

ωt

φ <0

φ

φ =π φ=0

O

解： ω=314rad/s ， ω=2πf

f = ω/2π=50Hz ， T=1/f = 0.02s

i= 30° ， u= － 45°

φ = u － i= － 75°

Im = 10A

例 2 、已知： i =10sin(314t+30°) A ， ，试指出它们的角频率、周期、幅值、有效值和初相，相位差，并画出波形图。

返回

m =220 2VUm m= =5 2A = =220V2 2

I UI U，

=220 2 sin(314 45 Vu t － ）

ωt

30°

u 、 i

10A

如图所示：如图所示：

45°

u 滞后 i 75°, i 超前 u 75° 。返回

220 2V

O

第二节 正弦交流电的相量表示第二节 正弦交流电的相量表示

相量图表示法相量图表示法

相量表示法（复数表示）相量表示法（复数表示）

基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式

返回

一、相量图表示法 正弦信号可用一旋转矢量来表示， 令 矢量长度＝ Im

矢量初始角＝ Ψ 矢量旋转速度＝ ω如图：

ωωt

iY

X

返回

O O

该矢量某一时刻在纵轴上的投影刚好等于正弦量的瞬时值。

一般我们研究的是同频率的正弦量， 用相量表示时，它们同以 ω 速度旋 转相对位置保持不变。因此 ，在同 一相量图中，以 t ＝ 0 时刻的相量表示正弦量。相量的写法为大写字母的上方加一个“ .” 。

返回

例、用相量图来表示下列正弦量。

解：120°

120°

u1 =Um sinωt V

120°

u2 =Um sin （ ωt － 120° ）V u3 =Um sin （ ωt － 240° ）V

返回

1U

2U

3U

注 意

• 只有正弦量才能用相量表示；

• 几个同频率正弦量可以画在同一相量图上；

• 任意两个同频率正弦量的和或差可用平行四边形法则求。

返回

二、相量表示法（复数表示） 我们知道一个相量可以用复数表示， 而正弦量又可以用相量表示，因此正 弦量可以用复数表示。

1. 复数表示法：

a

j

b r

φ

A

+1

A=a+jb 代数式A=r(cosφ +jsinφ) 三角式 A=r e jφ 指数式

A=r∠φ 极坐标式

返回

O

其中

φ =arctan(b/a)

22 bar

a=r cosφ

b=r sinφ

2. 有关复数的计算 加减运算用代数式 , 实部与实部 , 虚部与虚部分别相加减。 乘除运算用指数式或极坐标式， 模相乘或相除，辐角相加或相减。

返回

3 、 正弦量的相量表示

一个复数的辐角等于正弦量的初相角， 复数的模等于正弦量的最大值或有效值，该复数称为正弦量的相量。R = a+jb 是 t = 0 固定相量的复数形式。

返回

m u U

例、写出下列正弦量的相量， 并求 出： i = i1+i2 , 画出相量图。

解：

o1 20 2 sin( 60 )Ai t

o2 10 2 sin( 30 )Ai t

İ1= 20 60°A∠ İ2=10∠-30°A

İ = İ1+ İ2 =(20 60∠ °+10 ∠－ 30°)A

=[20(cos60 ° +jsin60 °)+

10[cos( － 30°)+jsin ( －30°)]A 返回

=22.36 33.4°A∠o22.36 2 sin( 33.4 )Ai t

= （ 18.66+j12.39 ）A

= （ 10+j17.39+8.66 － j5 ）A

相量图为 :1I I

返回2I

三、基尔霍夫定律的相量形式KCL ∑i = 0

KVL ∑u = 0

∑İ= 0

∑U= 0

ii1 i2

○

○

i=i1+i2

1 2I I I

返回

1 2U U U

U=U1+U2

u ＝ u1＋ u2

陷井挖好了，跳吧

m (cos sin )i I

返回

下列表达式书写正确的是：

来了？

来了？

哈哈，没掉下去！！

第三节第三节 单一理想元件的交流电路 单一理想元件的交流电路

电阻电路电阻电路

电感电路电感电路

电容电路电容电路

返回

设

一、电阻电路

u

1. 电压与电流关系 i

m sinu U t

为了比较各个正弦量之间的相位关系，先规定一个初相角为零的参考正弦量。

u 、 i 满足欧姆定律

返回

0U U

RI I

o0U U

UI

R

Im 、 Um （ U 、 I ）同样满足欧姆定律：

复数形式

复数形式欧姆定律

mm

UI

R

o1 0I I

返回

可见：电压与电流同相位

U IR

I

U

i

uui

φ ＝０

相量图

返回

ωtO

可见 :P≥0 电阻是一个耗能元件。

2 ．功率关系 ⑴瞬时功率p= ui =UmImsin2ωt =UI(1-cos2ωt)

(2) 平均功率

= UI = I2R = U2/R

0

1d

TP p t

T

i

u

ωt

ui

ωt

p

UI

返回

O

O

二、电感电路

u

i

1. 电压与电流关系 设 i =Imsinωt

u = L di/dt = ωLImcosωt

=Umsin(ωt+90°)

Um= ωLIm

感抗 U=XLIXL= ωL

返回单位：欧姆（Ω）

因此 :

相量表达式为 : IjXU L . .

U.

I.

电感中的电流滞后电压 90°

（电压超前电流 90° ）。

相量图

返回

o90U U

o0I I

90 j L

U UX

I I

2 ．功率关系

(1) 瞬时功率

在正弦交流电路中，电感功率以 2ω 按正弦规律变化。 波形如图所示

p ＝ u i =ImUmsinωt cosωt

＝ IUsin2ωt

返回

显然 ,第一个1/4 周期 p>0 ，电感吸收能量。

第二个 1/4 周期 p<0 ，放出能量。它与电源间进行能量的互相交换。

ωt

u 、i

ωt

p

iu

返回

O

O

⑵平均功率 (有功功率 )

电感是储能元件 , 不消耗电能。0

1d 0

TP p t

T

⑶无功功率 无功功率反映的是电感与电源间能量互相交换的规模。

QL= U I = I 2 XL = U 2／ XL

单位 : 乏（ var ） 返回

解：

XL= ωL=520Ω

IL=UL/ XL=0.336A

电感中电流落后电压 90º

QL=ULIL=69.54var

例、设电感Ｌ＝ 1.65H, ω= 314 rad/s ，求 XL 、 iL 、 QL 。

返回

=190 2sin( +20 )VLu t

=0.336 2sin( +20 90 )ALi t －

=0.336 2sin( 70 )At －

三、电容电路

u

i

C

1. 电压与电流关系

m sinu U t

m

d

dcos

ui C

tCU t

设：

m sin( 90 )I t

返回

1CX

C 容抗

m mCU X ICU X I

电容中的电流超前电压 90

0U U 90I I

I

U

相量图

m mU C I m m

1U I

C

返回

单位：欧姆（Ω）

∴相量表达式为： j CU X I

2. 功率关系（ 1 ）瞬时功率

m m cos sinp ui U I t t

tUI 2sin

90 j C

U UX

I I

返回

ωt

u 、i

ωt

p

显然 ,第一个 1/4周期 p>0 ，电容储存能量。

第二个1/4 周期 p<0 ，放出能量。

u i

返回

O

O

（ 2 ）平均功率（有功功率）

0

1d 0

TP p t

T

电容是储能元件，不消耗电能。（ 3 ）无功功率 无功功率反映的是电容与电源间能量 互相交换的规模。

22

C CC

UQ UI I X

X

单位是乏（ var ）返回

例 1 、设电容 C ＝ 0.1μF, ω= 6280 rad/s

uC=10sin(ωt+30°)V ，求 XC 、 İC 、 QC 。解： XC= 1／ ωC=1.59kΩ

电容中电流超前电压 90º

İC =4.45 ∠ 30º+90º = 4.45 ∠ 120ºmA

QC=UCIC=31.6×10 － 3 var

返回

10 1.59 2 mA 4.45mAC C CI U X＝ ／ ＝ ／ ＝

例 2 、已知 XL=10Ω ， R= 2Ω ， A2 表读数 2A ，设个表均为理想电表 ,求其余各表读数。

AA1 A2

V

R L

解： U=I2XL=2×10V=20V

I1=U/R=20/2A=10A

İ = İ 1+ İ 2

=(10 － j2)A =10.2 ∠－ 11.3°A

设 İ1= 10 0 °∠ A =10A

İ2= 2∠－ 90 °A

=－ j2 A∴A1: 10A 、 A: 10.2A 、 V:20V 返回

例 3 、已知各电流表读数为 A1=5A, A2=20A ， A3=25A ，求 (1)A 表读数 (2) 若维持 A1

读数不变 , 而把电路频率提高一倍，再求其它表读数。

A1A2

R L C

A3

A

○○

解：

设 İ1=5 0°A= 5A∠ ∴ İ2= 20∠－ 90°A= － j20A

İ3= 25 90°A=j25A∠İ = İ 1+ İ 2+ İ 3

=(5+j5)A

·

·A:7.07A 返回

=5 2 45 A

(2) 若维持 A1读数不变 , R 两端电压不变，U = RI1 = XLI2 = XCI3

XL = ωL , XC = 1/ωC

f 提高一倍， ω'=2ω U =ω′L I2' = 2ωL I2' = 2ωL I2'

I2' = 0.5I2 =10A

XCI3 =0.5XCI3 '

I3 ' = 2I3=50A

İ = İ1+ İ2+ İ3 =40.31 82.9°A∠A2: 10A 、 A3:50A 、 A:40.31A 返回

第四节 RLC串联的交流电路

电压与电流关系电压与电流关系

功率关系功率关系

返回

一、电压与电流关系i

R

LC

Ru

Lu

Cu

u

R L CU U U U

以电流为参考正弦量， i = Im sinωt 即 İ =I 0∠ °

1. 相量图法相量图为：

返回

Iφ

2 2( )R L CU U U U 可见：

φ

UR

UL － U

C

U

电压三角形

返回

L CU U

CU

LU

RU

U

arctan =arctanL C L C

R

U U X X

U R

总电压有效值 U=UR+UL+UC

U 2= UR2+ （ UL

—UC ） 2

2 2( - )R L CU U U U 电抗与阻抗

2 2

2 2

2 2

( ) ( - )

( - )

L C

L C

IR IX IX

I R X X

I R X

Iz

U 2= UR2+UL

2 +UC

2

返回

式中 X=XL － XC 称为电抗2 2z R X 称为阻抗，单位 Ω

∴U=Iz相位关系

1arctan

L CR

可见 φ 是由 R 、 L 、 C及 ω决定的。 返回

arctan =arctanL C L C

R

U U X X

U R

90°>φ > 0 电压超前电流电路呈感性。－ 90°<φ < 0 电流超前电压电路呈容性。 φ = 0 电压与电流同相 ,电路呈纯阻 性。

2. 复数形式分析法

R L CU U U U

j - jL CIR X I X I

[ j( )]L CI R X X

( j )I R X

返回

Z 为复阻抗Z=R+j(XL － XC) = z∠φ

φ = arctan(XL-XC)/R

U IZ

2 2( )L Cz R X X

复数形式欧姆定律阻抗三角形

φ 角为阻抗角 ,它等于电压与电流之间的相位差角。

R

XL-XCz

φR= z cosφX= z sinφ

返回

在 RLC串联交流电路中， R=15Ω ， L=12mH, 电源电压 ， C=5μF, 求 :⑴电路中的电流 i 和各部分电压 uR ,uL ,uC (2) 画相量图。

100 2 sin(5000 )Vu t例 1 、

解： =60Ω=5000×12×10 － 3ΩXL=ωL

=40Ω=1／ 5000×5×10 － 6ΩXC=1/ωC

返回

j )L CZ R X X （ － 15 j20 Ω Ω

2 2 2015 +20 arctan 25 53.13

15 ＝Ω Ω

返回

100 0 V4 53.13 A

25 53.13

UI

Z

＝

60 53.13 VRU IR ＝

j 60 4 90 V 53.13 VL LU X I ＝

240 36.8 V

j 40 4 90 V 53.13 VC CU X I ＝-

160 143.13 V

o4 2 sin(5000 53.13 )Ai t o60 2 sin(5000 53.13 )VRu t o240 2 sin(5000 36.8 )VLu t

o160 2 sin(5000 143.13 )VCu t

相量图如图：

RUI

o13.53o13.143

o8.36 U

返回

LU

CU

例 2 、已知 R1=1kΩ ， R2=300Ω ， L=0.4H ，ω=103rad/s ，电压表 V1 的读数为 2V ，试求其余电压表的读数。

R2

L

uV

i

R1

V2

V1

解：设 u1 为参考正弦量

1 1 0 2VU U

则 I=U1/R1=2mA

İ = 2 0∠ °mA

=(300+j400) ×2×10 － 3V=500 53.2°×2×10∠ － 3 =1 53.2°V∠

2 2 2( j )U Z I R L I

返回

相量图：

UUU21

I

1U

2U

U

=2V+1 53.2 °V∠= 2.72 17.1°V∠

∴ V2 表读数 1V ， V 表读数 2.72V 。

返回

例 3 、 RC串联电路中 ,总阻抗 z = 2000Ω, f =1000Hz , u 与 uC夹角为 30°, 试求 R 、 C 。解：设 i 为参考正弦量 İ=I 0∠ °

作相量图：I

30°

o60U I 可得φ z 、 R 、 XC满足阻抗三角

形有 R= zcosφ =1000Ω

XC= zsinφ =1732Ω C = 1/ωXC=0.1μF 返回

RU

UCU

1. 平均功率 ( 有功功率）在 RLC 电路中，只有电阻消耗功率

所以电路的有功功率为：P = ∑URIR

P =UIcosφ 式中 cosφ 为功率因数。

在正弦交流电路中，不管阻抗如何联接，电路的功率等于各元件功率之和。

Z = R + jX

二、功率关系

返回

2. 无功功率 电路中无功功率包括电感和电容两个 元件的无功功率。

QL=ULI QC=UCI

Q = QL － QC

Z = R + j(XL-XC)

Q ＝ UIsinφ

返回

φ ＞ 0 ， Q＞ 0 电路呈感性

φ ＜ 0 ， Q＜ 0 　电路呈容性

P = UIcosφ = ScosφQ = UIsinφ = Ssinφ

3.视在功率 S=UI

单位是伏安（ VA ）一般它表示发电设备的容量。

返回

2 2S UI P Q

得出功率三角形：

P

Q

S

φ

返回

阻抗三角形 , 电压三角形和功率三角形 是三个相似的三角形。

φ

U

UR

UL－

UC

S

P

Q

φR

XL-X

Czφ

总结：

返回

例 4 、某感性负载端电压 P=7.5kW,Q=5.5kvar, 试求感性负载的 功率因数及其串联参数。

220 2 sin 314 Vu t

解：2 2 2 2

7.5cos

7.5 5.5

P

P Q

= 0.81 ∴φ =35.9°

电路为串联

cos

PI

U

= 42.1A

R = P／ I 2 = 4.2ΩXL=Rtanφ =3.04Ω

L=XL／ ω = 9.7mH返回

2 2( )Lu u IR

U=IZ

i ＝ İ1＋ İ2

陷井挖好了，跳吧

mm

UI

Z

R= Zcosφ

返回

下列表达式书写正确的是：

来了？

来了？

哈哈，没掉下去！！

第五节 阻抗的串联与并联

阻抗串联的交流电路

阻抗并联的交流电路

返回

一、阻抗串联的交流电路i

1U

2U

Z1

Z2

U

1 2U U U

串联等效复阻抗为：分压公式为：

返回

1 2 1 2= = ( + )IZ IZ I Z Z

= ZI

1 2=Z Z Z

1 2=Z Z Z

11 1

1 2

=( )

ZU IZ U

Z Z

2

2 21 2

=( )

ZU IZ U

Z Z

二、阻抗并联的交流电路

21

111

ZZZ1I 2I

Z1Z2

U

I

分流公式：

I

ZZ

ZI

Z

Z

Z

UI

2 1

2

111

I

ZZ

ZI

Z

Z

Z

UI

2 1

1

2 22

1 2

1 2

Z ZZ

Z Z

当电路由几个阻抗并联时，等效复阻抗为：

nZZZZ

1111

21

返回

已知 R1=100Ω ， R2=1000Ω ， L=2H ， C =10μF ， ,求 u 、 i 。

例、sin(314 60 )ACi t

R2

L

u

i

R1 解：

C

iCiL

İCm= 1 60°A∠

按分流公式：2

m m2

j

( ) jL

CL C

R XI I

R jX X

2m m

2

( j ) j

jL C

CL

R X XI I

R X

XC=318ΩXL=628Ω

返回

3

m 3

10 j3101 60 A

10 j628I

= 0.89 45.1∠ °A

21

2

j j

j jC L

L C

X R XZ R

R X X

= 100Ω＋ 357∠－ 75.1°Ω

=395∠－ 61°Ω

m m 351 15.9 VU I Z

0.89sin(314 45.1 )Ai t 351sin(314 15.9 )Vu t

返回

第六节 正弦交流电路的分析方法第六节 正弦交流电路的分析方法

例 题

返回

X2u

R1

X3

X1

1I 2I 3I

解：

ab 100 0 VU

a

b

Z1=jX1+R1=(j10+2)Ω

Z2=jX2=j10Ω

Z3= － jX3= － j5Ω

Zab=Z2∥Z3= － 10jΩ

=10∠－ 90°ΩUab=I1 zab=10×10V=100V

例 1 、已知 R1=2Ω ， X1=X2=10Ω ， X3=5Ω

I1=10A ，求 İ2 、 İ3 、 U 、 cosφ 、 P 、 Q 、S 。

·

返回

ab2

2

100 0 V10 90 A

j10

UI

Z

ab3

3

100 0 V20 90 A

j5

UI

Z

1 1 2 3 1 ababU I Z U I I Z U

=( － j10+j20)(2+j10)V+100V

=j20V=20 90°V∠İ1 = j10 A=10 90°A∠∴φ = 0, cosφ =1

返回

P ＝ UIcosφ ＝ 10×20×1W＝ 200W

Q ＝ UIsinφ ＝ 10×20×0＝ 0var

S＝ UI＝ 200VA

返回

例 2 、已知 U=100V, ω=314rad/s,I=IC=IL, 电 路消耗功率 P ＝ 866W ，试求 iL 、 i

C 、 i 。R

L

u

i

C

iCiL解：设 u 为参考正弦量

∵ iL+iC = i 且 I= IC=I

L 所以 İC 、 İL 和 İ 组成等边三角形

866A

cos 10cos 30

PI

U

I

U

CI

LI

30°

= 10A

10 2 sin(314 90 )ACi t 10 2 sin(314 30 )ALi t 10 2 sin(314 30 )Ai t

作相量图：

返回

有些情况借助于相量图求解方便。画相量图时 ,参考相量的选择很关键。一般 ,串联电路选电流为参考相量 ,并联电路选两端电压为参考相量 ,在串、并混联电路选最基本的并联电路的端电压为参考相量。

返回

例 3 、 图示正弦交流电路中 , P = 200 W, U=40V ， R=XC=8Ω ， 求 İ 、 İ1 、 İ2 、 XL 、 UL 。

R

XL

XC

İ

İ1 İ2

U CU LU

45°

作相量图：

1I

2I IU

LU 2 2ab 40 2VLU U U

/ 8L LX U I

2 1 / 5AI I P R

İ1=5 0°A∠ İ2=5 90°A∠İ=7.07 45°A∠

Uab=I1×R ＝ 40V

abU40 2 135 VLU

a

b

返回

abU设 为参考正弦量

例 4 、已知 R1=1kΩ ， f =50Hz ， I1=0.035A ，I2=0.01 A ， I=0.04A ，求 R 、 L 。

R

L

ui

R1

i2 i11 0.035 0 AI 解：

İ=I∠φ = 0.04∠φA

İ2=I2∠φ2= 0.01∠φ2A

有 İ= İ1+İ2

0.04∠φ= 0.035+0.01∠φ2

4∠φ= 3.5+1∠φ2

4cosφ +j4sin φ = 3.5+cosφ2 +jsin φ2返回

设

∴ 4cosφ = 3.5+ cosφ2

4sinφ = sinφ2

两式取平方相加 42=3.52+7cosφ2 +1

cosφ2=0.4， sinφ2 =0.916

U=I1R=35V

∴ z2=U／ I2=3500Ω

R= z2 cosφ2 =1400Ω

XL= z2 sinφ2 =3210Ω

L=3210／ 2πf = 10.2H 返回

第七节 功率因数的提高第七节 功率因数的提高

负载的功率因数负载的功率因数 coscosφφ 低带来的问题低带来的问题

提高功率因数的方法提高功率因数的方法

返回

一、负载的功率因数 cosφ低带来的问题

1. 电源设备的容量不能充分利用 交流电源的额定容量为 SN=UNIN ， 因为 P ＝ SNcosφ ,发电机能够输出的有功 功率和负载的功率因数 cosφ 成正比。

2 2 2 2cos

R P

R X P Q

所以，负载的功率因数低，电源发出的有功功率就小，电源的容量得不到充分利用。

例 1 、一个 SN=50kVA 的电源，向功率因数 cosφ1=0.5 的日光灯供电，它能供应 40W的日光灯 _____ 只 , 如果用来供应 cosφ2=1的 40W日光灯，则可供应 _______ 只？ P=n×40=SNcosφ

n1=50×103×0.5/40=625 n2=50×103×1/40=1250

6251250

返回

2. 供电效率低（输电耗能大） P=UIcosφ I=P/Ucosφ 当输电线路的电压和负载的功率一定时，输电线上的电流与 cosφ 成反比。cosφ 越小， I越大。设输电线的电阻为 r,则它引起的功率耗损为： ΔP = I2r =(P/Ucosφ)2rcosφ 低，功率损耗大。降低了供电效率。

返回

纯电阻电路 )0( cos 1

0 cos 1 R-L-C串联电路 ( 90 90 )

纯电感电路或纯电容电路

cos 0 ( 90 )

电动机 空载

满载

cos 0.2 ~ 0.3 cos 0.7 ~ 0.9

日光灯 （ R-L-C串联电路）

cos 0.5 ~ 0.6

常用电路的功率因数

返回

二、提高功率因数的方法 工业负载多数是感性负载，因此提高负载功率因数可在其两端并联电容。

2 2cos

P

P Q

提高功率因数的基本思想是减少无功功率。

C 2 2cos

L

P

P Q

返回

R

Lu

i

I U

CI

I

φ

作相量图：

φ′

显然：

cosφ ＜ cosφ′

I′＜ I

电容的选择：

UI sinφ － UI′sinφ′= QC

=U2／ XC=U2ωC I=P／ Ucosφ I′=P／ Ucosφ′ ∴ C= （ P／ ωU2 ） (tanφ － tanφ′ )

返回

例 2 、 某发电厂以 22万伏的高压向某地输送 24 万千瓦电力 , 若输电线路的总电阻 r =10Ω ， 试计算当电路的功率因数由 0.6提高到0.9 时 ,输电线上一年少损耗多少电能 ?

解 : 当 cosφ1=0.6 时 , 线路中的电流 I1=P/Ucosφ1=1818.2A 当 cosφ=0.9 时 ,线路中的电流 I=P/Ucosφ =1212A 一年输电线上少损耗的电能为 : W = (I1

2-I2) r t =1.609×1011W·h =1.609×108kW·h

返回

例 3 、感性负载功率 P=100W ， cosφ =0.2

接于 U=750V ， f =1000Hz 的电源上 ,

求（ 1 ）电源输出电流及无功功率； （ 2 ）若使功率因数提高到 cosφ′ =1

C=？并计算此时电源输出电流 及无功功率。解： (1) I=P/Ucosφ =667A

Q=U I sinφ=490.2kvar

(2) φ = 78.5° φ′= 0°

C= （ P／ ωU2 ） (tanφ － tanφ′ ) = 138.7μF cosφ′=1, I=P/U =133.3A

Q ＝ 0返回

呈电容性cos 1

IU

RLI

CI

呈电感性cos 1

0

U

I

CI

RLI

0 CI

UI

RLI

功率因数补偿到什么程度？ 理论上可以补偿成以下三种情况 :

cos 1 呈电阻性

0

返回

结论：在 φ 角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容容量更大，经济上不合算，所以一般工作在欠补偿状态。

功率因数补偿成感性好，还是容性好？ 一般情况下很难做到完全补偿（即： ）

cos 1

过补偿

欠补偿

RLI

U

I

CI

U

I

'CI

RLI

返回

第八节 电路的谐振第八节 电路的谐振

串联谐振串联谐振 并联谐振并联谐振

返回

在含有电感和电容元件的电路中 ,若出现电源电压与电流同相位 ,整个电路呈纯电阻性 , 此时电路的状态称为谐振。

一、串联谐振

谐振按电路接法分为串联谐振和并联谐振。

Z=R+j(XL － XC)

U IZ

返回

i

u

1.谐振条件 谐振时 ,φ =0

则有 XL=XC

2.谐振频率 根据谐振条件有 ωL=1／ ωC

1

LC

1

2πf

LC 0

f0仅与 L 、 C 有关，改变 ω、 L、C 可使电路发生或消除谐振

谐振角频率

谐振频率

返回

3.谐振特征 z0=R －－最小 ,

I0=U／ z0=U／ R －－最大。 谐振时 XL=XC ， UL=UC

U=UR cosφ=1

UL=I0XL= （ U／ R ） XL

= （ XL／ R ） U

UC=I0XC= （ U／ R ） XC

= （ XC／ R ） U 一般 XL=XC>>R ， UL=UC>>U返回

品质因数 Q

0

0

1

1

CL U LUQ

U U R CR

LLLC

R R C

Q 是一个无量纲的参数UL=QU=QUR

UC=QU=QUR

功率 P0=UI0=I02R

Q0=0返回

电感与电容的能量可以彼此交换而电源与电路之间无能量交换，电源供给的能量被电阻消耗。

QL=I02XL=P0Q

QC= － I02XC= － P0Q

I .相量图为： UL

. .UR

U .

UC .

返回

0.707I0

I0

ff0f1 f2

电流谐振曲线

4. 电流频率特性

2 2 22 1

U U UI

R X R L Cz

返回

I

O

Δf = f2 － f1

可见 , 通频带△ f 越小，表明谐振曲线越尖锐，选择性越好。一般 Q 值越大曲线越尖。

0.707I0

I0

ff0f1 f2

Q1

Q2

Q2 > Q1

返回

I

O

在 RLC串联交流电路中， C=8μF,电压 , 要使电路吸收功率 P=Pmax=100W 。求 L 、R及电路的 Q 值。

10 2 sin(2500 15 )Vu t 例、

解：电路发生谐振时，电流 I 最大，则 P=RI2=100W 最大 ω0=2500 rad/s

L=1/ ω02C=(1/25002×8×10 － 6)H= 0.02H

R＝ U2/P＝ 102/100Ω=1Ω

Q＝ ω0L/R=2500×0.02/1=50返回

收音机接收电路

1 :L 接收天线

2L 与 C ：组成谐振电路

3 :L 将选择的信号送接收电路

1L

2L

C

3L

返回

L2 － C组成谐振电路 ，选出所需的电台。

e1 、 e2 、 e3 为来自 3 个不同电台（不同频

率）的电动势信号；

1L

2L

C

3L

C2L2LR

1e2e

3e

返回

已知：22 250μH 20LL R 、 Ω

1 820 kHzf

解： 12

1

2πf

L C

22

1

2πC

f L

23 6

1150pF

2π 820 10 250 10C

如果要收听 节目， C 应配多大？1e问题：

结论：当 C 调到 150 pF 时，可收听到 e1 的节目。

C2L2LR

1e2e

3e

返回

二、并联谐振图示为一线圈与电容并联的电路。

1.谐振条件当 XL/(R2+XL

2) ＝ 1/XC 或2πf L/[R2+(2πf L)2] ＝ 2πf C 时，电压与电流同相位，发生谐振。

CILI

I

U

返回

3. 并联谐振的特征 电路的阻抗最大，电流最小。

z0 ＝ (R2＋ XL2) ／ R

＝ [R2＋ (2πf0L)2] ／ R ＝ L／ RC

2.谐振频率由谐振条件可推出谐振频率为

一般 R2/L2<<1/LC那么有： 1

2πf

LC0

2

2

1 1

2π

Rf

LC L＝ －0

返回

谐振时 IL≈IC ＝ QI0

其中 Q ＝ ω0L／ R ＝ 1／ ω0R

C

相量图为：

谐振时 φ ＝ 0 电路呈纯电阻性。I0 ＝ U／ z0 ＝ URC／ L

CI

LI

IU

返回

4. 并联谐振特性曲线

Z

I

0容性感性

阻性

返回

|Z| 、 I

O

例、电路如图，若无论电源频率为何值，电压 u 与电流 i 都同相，则电路参数用满足什么条件。

R1

Lu

i

C

R2

解：电压与电流同相 位，发生谐振。

Z ＝R

1 2

1 2

j 1 j

j 1 j

R L R CZ R

R L R C

返回

1

1 2 2

1 2

j

1j

RLR R RC C

R R R R L C

虚部、实部分别相等有R(R1+R2) ＝ R1R2+L／ C (1)

R2ωL－ R1 ／ ωC＝ RωL－ R ／ ωC (2)

要使 (2) 对任意 ω都成立则 R ＝ R1 ＝ R2 代入 (1)

2R2 ＝ R2+ L/C R L C当满足 R ＝ R1 ＝ R2 时，电路对任意频率的信号都发生谐振。

L C

返回

第九节 非正弦交流电第九节 非正弦交流电

非正弦周期信号的分解非正弦周期信号的分解

非正弦周期量的有效值、非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率平均值和平均功率

非正弦周期电路的计算非正弦周期电路的计算

返回

几种常见的非正弦波几种常见的非正弦波

返回

整流波形 矩形波电压 锯齿波电压

tT

u

Tt

u

tT

u

O O O

01

( sin cos )k kk

a a k t b k t

一、非正弦周期交流信号的分解

0 1 2

1 2

( ) sin sin 2

cos cos 2

f t a a t a t

b t b t

…

…

返回

周期为 T 的 f(t) 的傅里叶展开式为

ω ＝ 2π／ T ， k 为 1～∞的正整数

返回

0 0

0

0

1( )d

2( )sin d 1,2,3

2( )cos d 1,2,3

T

T

k

T

k

a f t tT

a f t k t kT

b f t k t t kT

其中

由此，可得到另一种形式

返回

基波（和原函数同频）

二次谐波（ 2倍频）

直流分量

高次谐波

22

t

)1

t

)

1

0

Am

sin(

2

φ

m

sin(

)(

A

atf

…..

0 m1

sin( )k kk

a A k t

返回

2 2

mk k kA a b

arctan kk

k

a

b

其中

二、非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率1. 有效值假设一非正弦周期电流 i(t) ，分解后得：

0 m1

( ) sin( )k kk

i t I I k t

若

则有效值 :

2π 2

0

22π

0 m01

1d( )

2π

1sin d( )

2π k kk

I i t t

I I k t t

返回

22 m0

1

2 2 20 1 2

2

k

k

II I

I I I

结论：周期函数的有效值为直流分量及 各次谐波分量有效值平方和的方根。

利用三角函数的正交性得：

返回

返回

0

1( )d

TU u t t

T

非正弦周期变量平均值为：

2. 平均值

非正弦周期变量平均值等于它的直流分量

返回

3. 平均功率

0

1d

TP ui t

T

0 m1

( ) sin( )k kk

u t U U k t

0 m1

( ) sin( )k k kk

i t I I k t

返回

结论：

平均功率＝直流分量的功率

＋各次谐波的平均功率

0 01

0 1 2

cos ( )k k k k ku kik

P U I U I

P P P

…

利用三角函数的正交性，整理后得：

返回

三、非正弦周期电路的计算

2. 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波

信号分别计算。

（注意 : 对交流各谐波的 XL 、 XC 不同，对直

流 C 相当于开路、 L 相于短路。）

1. 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开

成若干种频率的谐波信号。

3. 将以上计算结果，用瞬时值叠加。

例、 交、直流共存的电路。

求： 1

4

i

u

？？

已知：

40 2 sin1000 mV

e tE=12 V

E

+

_

R4

4kΩ

i1

R1

R3

R2

C2

C1

u4

e

4kΩ

4kΩ

2kΩ

10µF

10µF

_

+

返回

e_

+

11

1 2 3

'

12mA 1.2(mA)

10

EI

R R R

4' 0VU

(1) 直流电源作用 (E 作用， e 短路 )

直流通道返回

E

+

_

R4

4kΩ

I1

R1

R3

R2

4kΩ

4kΩ

2kΩ

C1

10µF

C2

10µF

E

+

_

(2) 交流电源作用 （ e 作用， E1 短路）

1 2

6

1

1000 10 10100

C CX X

Ω

Ω

R3>>XC2

（ C2 称旁路电容）3 2 2//( j ) jC CR X X

以下介绍近似计算法

e_

+

R4

4kΩ

R3

R2

4kΩ

4kΩ

2kΩ

C1

10µF

C2

10µF

返回

（ C1 称耦合电容）

C2也可视为短路

R2>>XC2

1 4 4j CX R R

R4>>XC1

同理

返回

u4"i1"

R4

4k

R1

R2

e

4k2k

_

+

简化后的交流通道

"4

1

2

20 2 sin1000 mV

u e

t

对交流通道进行简化后的计算

"" 41

1

5 2 sin1000 A

ui

R

t

返回

最后结果：交、直流叠加

4 4 4' "

20 2 sin1000 mV

u u u

t

直流分量交流分量

i1

t

1 1 1' "

1200 A 5 2 sin1000 A

i i i

t

返回O

计算非正弦周期交流电路应注意的问题

1. 最后结果只能是瞬时值叠加。

不同频率正弦量不能用相量相加。

2. 不同频率对应的 XC 、 XL 不同。

0 1 3 5U U U U U …

返回