Специально для тех кто не любит Специально для тех кто не любит геометриюгеометрию

ПредставляетПредставляет

Художественный фильмХудожественный фильм

““Правильные многогранникиПравильные многогранники””

Правильные многогранникиПравильные многогранники 1) Симметрия в пространстве.1) Симметрия в пространстве. 2) Понятие правильного многогранника.2) Понятие правильного многогранника. 3) Элементы симметрии правильных 3) Элементы симметрии правильных

многогранников.многогранников. Скандалы, интриги, расследования.Скандалы, интриги, расследования.

1) Симметрия в пространстве.1) Симметрия в пространстве.

Точки А и АТочки А и А11 называются называются симметричными симметричными относительно относительно точки О (центр точки О (центр симметрии), если симметрии), если О- середина О- середина отрезка ААотрезка АА11 (рис. (рис. 1). Точка О 1). Точка О считается считается симметричной симметричной самой себе.самой себе.

Точки А и АТочки А и А11 называются называются симметричными симметричными относительно прямой а относительно прямой а (ось симметрии), если (ось симметрии), если прямая а проходит прямая а проходит через середину отрезка через середину отрезка АААА11 и перпендикулярна и перпендикулярна к этому отрезку(рис. 2). к этому отрезку(рис. 2). Каждая точка прямой а Каждая точка прямой а считается считается симметричной самой симметричной самой себе.себе.

  

Точки А и АТочки А и А11 называются называются симметричными симметричными относительно плоскости относительно плоскости αα (плоскость (плоскость симметрии), если симметрии), если плоскость плоскость αα проходит проходит через середину отрезка через середину отрезка АААА11 и перпендикулярна и перпендикулярна к этому отрезку (рис. 3). к этому отрезку (рис. 3). Каждая точка плоскости Каждая точка плоскости αα считается считается симметричной самой симметричной самой себе.себе.

  

Точка (прямая, плоскость) Точка (прямая, плоскость) называется центром называется центром (осью, плоскостью) (осью, плоскостью) симметрию фигуры, если симметрию фигуры, если каждая точка фигуры каждая точка фигуры симметрична симметрична относительно нее относительно нее некоторой точке той же некоторой точке той же фигуры. Фигура может фигуры. Фигура может иметь один или несколько иметь один или несколько центров симметрии. С центров симметрии. С симметрией мы часто симметрией мы часто встречаемся в природе, встречаемся в природе, архитектуре, технике, архитектуре, технике, быту.быту.

Многие здания симметричны относительно плоскости, Многие здания симметричны относительно плоскости, например главное здание Московского государственного например главное здание Московского государственного университета. Почти все кристаллы, встречающиеся в университета. Почти все кристаллы, встречающиеся в природе, имеют центр, ось или плоскость симметрии. В природе, имеют центр, ось или плоскость симметрии. В геометрии центр, ось и плоскость симметрии геометрии центр, ось и плоскость симметрии многогранника называются элементами симметрии этого многогранника называются элементами симметрии этого многогранника.многогранника.

Симметрия в архитектуреСимметрия в архитектуре

2) Понятие правильного 2) Понятие правильного многогранника.многогранника.

Выпуклый многогранник называется Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани- равные правильным, если все его грани- равные правильные многоугольники и в каждой правильные многоугольники и в каждой его вершине сходиться одно и то же его вершине сходиться одно и то же число ребер. Примером правильного число ребер. Примером правильного многогранника является куб. Все его многогранника является куб. Все его грани- равные квадраты, и в каждой грани- равные квадраты, и в каждой вершине сходятся три ребра. Всего вершине сходятся три ребра. Всего существует 5 правильных существует 5 правильных многогранников, других видов многогранников, других видов правильных многогранников нет.правильных многогранников нет.

Правильный тетраэдрПравильный тетраэдр Составлен из Составлен из

четырех четырех равносторонних равносторонних треугольников. треугольников. Каждая его Каждая его вершина является вершина является вершиной трех вершиной трех треугольников. треугольников. Следовательно Следовательно сумма плоских сумма плоских углов при каждой углов при каждой вершине равна вершине равна 180°.180°.

Правильный октаэдрПравильный октаэдр

Составлен из Составлен из восьми восьми равносторонних равносторонних треугольников. треугольников. Каждая вершина Каждая вершина октаэдра является октаэдра является вершиной четырех вершиной четырех треугольников. треугольников. Следовательно Следовательно сумма плоских сумма плоских углов при каждой углов при каждой вершине равна вершине равна 240°.240°.

Правильный икосаэдрПравильный икосаэдр

Составлен из Составлен из двадцати двадцати равносторонних равносторонних треугольников. треугольников. Каждая вершина Каждая вершина икосаэдра является икосаэдра является вершиной пяти вершиной пяти треугольников. треугольников. Следовательно Следовательно сумма плоских сумма плоских углов при каждой углов при каждой вершине равна 300 вершине равна 300 °°..

КубКуб

Составлен из Составлен из шести квадратов. шести квадратов. Каждая вершина Каждая вершина куба является куба является вершиной трех вершиной трех квадратов. квадратов. Следовательно, Следовательно, сумма плоских сумма плоских углов при каждой углов при каждой вершине равна вершине равна 270 °.270 °.

Правильный додекаэдрПравильный додекаэдр Составлен из Составлен из

двенадцати двенадцати правильных правильных пятиугольников. пятиугольников. Каждая вершина Каждая вершина додекаэдра додекаэдра является вершиной является вершиной трех правильных трех правильных пятиугольников. пятиугольников. Следовательно, Следовательно, сумма плоских сумма плоских углов при каждой углов при каждой вершине равна вершине равна 324°. 324°.

3) Элементы симметрии 3) Элементы симметрии правильных многогранников.правильных многогранников.

Правильный тетраэдр не Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. имеет центра симметрии. Прямая, проходящая Прямая, проходящая через середины двух через середины двух противоположных ребер, противоположных ребер, является его осью является его осью симметрии. Плоскость а симметрии. Плоскость а проходящая через ребро проходящая через ребро АВ перпендикулярно к АВ перпендикулярно к противоположному ребру противоположному ребру ССDD правильного правильного тетраэдра тетраэдра ABCDABCD,, является является плоскостью симметрии. плоскостью симметрии. Правильный тетраэдр Правильный тетраэдр имеет три оси симметрии имеет три оси симметрии и шесть плоскостей и шесть плоскостей симметрии. симметрии.

Куб имеет один центр симметрии- Куб имеет один центр симметрии- точку пересечения его диагоналей. точку пересечения его диагоналей. Куб имеет девять осей симметрии и Куб имеет девять осей симметрии и девять плоскостей симметрии. девять плоскостей симметрии. Правильный октаэдр, правильный Правильный октаэдр, правильный икосаэдр, правильный додекаэдр икосаэдр, правильный додекаэдр имеют центр симметрии и несколько имеют центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии. осей и плоскостей симметрии.