Подготовили: Алексей Арлашёв,Подготовили: Алексей Арлашёв,

Павел Лебеденко,Павел Лебеденко,учащиеся 8 класса МОУ учащиеся 8 класса МОУ

«Старопестерёвская средняя «Старопестерёвская средняя общеобразовательная школа»общеобразовательная школа»

СодержаниеСодержание

1.1. Кто такой Пифагор Самосский?Кто такой Пифагор Самосский?

2.2. Теорема Пифагора, её Теорема Пифагора, её доказательство.доказательство.

3.3. Решение задачи.Решение задачи.

4.4. Практическое применение Практическое применение теоремытеоремы.

«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них —

это теорема Пифагора...»

Иоганн Кеплер.

Пифагор Самосский

(ок. 580 – ок. 500 г. (ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.)до н.э.)

О ПифагореО Пифагоре• ПифагорПифагор Самосский Самосский родился на острове Самосс в

Ионическом море. • Пифагор – едва ли не самый популярный учёный за

всю историю человечества.

• Пифагор был не только учёным, но и основателем первой научной школы. Он был и воспитателем душ, проповедником собственной «пифагорейской» этики, философом.

• Он принимал в свою школу только тех юношей, которые промолчали в течение пяти лет. Значит, при занятиях математикой нужна абсолютная тишина для того, чтобы можно было сосредоточить все внимание на решении того или другого утверждения.

• Сегодня известно около 500 Сегодня известно около 500 различных доказательств теоремы различных доказательств теоремы

Пифагора геометрических, Пифагора геометрических, алгебраических, механических и алгебраических, механических и

прочих.прочих.Трудно найти человека, который не знал бы

её шуточную формулировку: «Пифагоровы штаны во все стороны равны».

Рассмотрим один из примеров Рассмотрим один из примеров доказательства теоремы Пифагора.доказательства теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Итак,Итак,Если дан нам треугольникЕсли дан нам треугольник

И притом с прямым углом,И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузыТо квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдём:Мы всегда легко найдём:

Катеты в квадрат возводим,Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим – Сумму степеней находим –

И таким простым путёмИ таким простым путём

К результату мы придём.К результату мы придём.

Ч.т.д.Ч.т.д.

Теорема в стихах

Это Это прямоугольныпрямоугольный треугольникй треугольник

аа cc

bb

КатетКатет

Кате

тК

ате

т

Гипотенуза

Гипотенуза

Выполним Выполним дополнительные дополнительные

построенияпостроения

аа cc

bb

аа

cc

bb

аа

аа

аа

bb

bb

bb

cc

cccc

аа

cc

bb

аа

аа

аа

bb

bb

bb

cc

cccc

Это квадратЭто квадрат

Его площадь равна Его площадь равна (а+(а+bb))22

аа

cc

bb

аа

аа

аа

bb

bb

bb

cc

cccc

Это тоже Это тоже квадрат квадрат

Его площадь равна Его площадь равна cc22

аа

cc

bb

аа

аа

аа

bb

bb

bb

cc

ccccПлощадь этого Площадь этого треугольника треугольника

1/2а1/2аbb

аа

cc

bb

аа

аа

аа

bb

bb

bb

cc

cccc

Площадь большого квадрата равна сумме площадей маленького квадрата и Площадь большого квадрата равна сумме площадей маленького квадрата и площадей 4-х треугольниковплощадей 4-х треугольников

((a+ba+b))22=c=c22+4*1+4*1/2/2abab

Отсюда Отсюда aa22+2ab+b+2ab+b22=c=c22+2+2abab

aa22+b+b22=c=c22

Решение старинных задачРешение старинных задач

По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Решение старинных задачРешение старинных задач

Теорема Пифагора всегда имела широкое применение при решении самых разнообразных геометрических задач.

1. (Задача индийского ученого Бхаскара Акариа, 1114 г.) На берегу ручья, ширина которого 4 фута, рос тополь. Порыв ветра сломил его на высоте в 3 фута от земли так, что верхний конец его коснулся другого берега ручья (ствол направлен перпендикулярно течению). Определить высоту тополя.

Решение. 1) AB2 = AC2 + BC2, AB = 5,2) 5 + 3 = 8 (футов) – высота тополя.

Задача из учебника Задача из учебника «Арифметика» «Арифметика» Леонтия Леонтия

МагницкогоМагницкого

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати,

стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу

долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея

лестницы нижний конец от стены отстояти имать».

ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ

• Архитектура и строительство

• Мобильная связь

• Астрономия

АрхитектураАрхитектура

Теорема Пифагора нашла своё Теорема Пифагора нашла своё практическое применение в архитектуре практическое применение в архитектуре и строительстве:и строительстве:

• четырехугольную пирамиду четырехугольную пирамиду рассматривают как рассматривают как крышу башникрышу башни• В зданиях В зданиях готического и романского готического и романского стилястиля верхние части окон расчленяются верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. прочности окон.

АрхитектураАрхитектура• В романской архитектуре часто встречается мотив,

представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем:

• (b/4+p)=( b/4)+( b/4-p)• или • b/16+ bp/2+p=b/16+b/4-bp+p,• откуда • bp/2=b/4-bp.• Разделив на b и приводя подобные члены, получим: • (3/2)p=b/4, p=b/6.

СтроительствоСтроительство

• Окна

• Крыши

• Молниеотводы

ОкнаОкна• В зданиях готического и романского стиля верхние части

окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны

• ширине окна (b) для наружных дуг • половине ширины, (b/2) для внутренних дуг • Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг.

Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между

• этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно,• радиус равен b/4. А тогда становится ясным и• положение ее центра.

Строительство крышиСтроительство крыши        При строительстве домов и коттеджей часто встает

вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.

     Решение:     Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4

м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда:     А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м.,           Б) Из треугольника ABF:     

СтроительствоСтроительство"Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют

равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь."

СтроительствоСтроительство

При строительстве любого сооружения, рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т.д.

МолниеотводМолниеотвод• Известно, что молниеотвод защищает от

молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

• Решение: •       По теореме Пифагора h2≥ a2+b2, значит

h≥(a2+b2)1/2.

Мобильная связьМобильная связь• Какую наибольшую высоту должна иметь антенна

мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

• Решение: •       Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.• OB=OA+AB

OB=r + x. • Используя теорему Пифагора, получим Ответ:

2,3 км.

АстрономияАстрономия• На этом рисунке показаны точки A и B и путь

светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой.

• Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равно расстояние между точками?

АстрономияАстрономия• В конце девятнадцатого века высказывались

разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Пифагор- это не только великий математик,

но и великий мыслитель своего времени.

1. Мысль — превыше всего между людьми на земле.2. Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно).3. Уходя, не оглядывайся (т. е. перед смертью не цепляйся за жизнь).4. По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих).5. Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык).6. Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду).7. В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах).

Значение теоремы ПифагораЗначение теоремы Пифагора

• Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Из-за этого многие ученые называют эту теорему самой главной в геометрии.

Значение теоремы ПифагораЗначение теоремы Пифагора

• Кроме этого, практическое значение теоремы Пифагора и обратной ему теоремы заключается в том, что с их помощью можно найти длины отрезков, не измеряя самих отрезков.

Теорема Пифагора важна для человечества, которое стремится открывать все больше измерений и создавать технологии в этих измерениях.

Например, …

В Германии недавно открылся кинотеатр, где показывают кино в шести измерениях: первые три всем известны, а три других - время, запах и вкус. Еще три года назад никто и не думало более чем о трех измерениях в кино. Вы спросите: а как связаны между собой теорема Пифагора и запахи, вкусы? А все просто: при показе кино надо рассчитать куда и какие запахи направлять. Представьте: на экране показывают джунгли, и вы чувствуете запах листьев, показывают обедающего человека - а вы чувствуете вкус еды...

Значение теоремыЗначение теоремыВ целом, значение теоремы, кроме вышесказанного, заключается в том, что она применяется практически во

всех современных технологиях, а также открывает простор для создания и

придумывания новых.

Пребудет вечной истина, как скороЕе познает слабый человек!

И ныне терема ПифагораВерна, как и в его далекий век.