算 法 案 例

( 第一课时 )

1 、求两个正整数的最大公约数

（ 1 ）求 25 和 35 的最大公约数（ 2 ）求 49 和 63 的最大公约数

2 、求 8251 和 6105 的最大公约数

25（ 1 ） 5

5

35

7

49（ 2 ） 7

7

63

9

所以， 25 和 35 的最大公约数为 5 所以， 49 和 63 的最大公约数为 7

辗转相除法（欧几里得算法）

观察用辗转相除法求 8251 和 6105 的最大公约数的过程

第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146

结论： 8251 和 6105 的公约数就是 6105 和 2146 的公约数，求 8251和 6105 的最大公约数，只要求出 6105 和 2146 的公约数就可以了。

第二步 对 6105 和 2146 重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理 6105 和 2146 的最大公约数也是 2146 和 1813 的最大公约数。

完整的过程

8251=6105×1+2146

6105=2146×2+1813

2146=1813×1+333

1813=333×5+148

333=148×2+37

148=37×4+0

例 2 用辗转相除法求 225 和 135 的最大公约数

225=135×1+90

135=90×1+45

90=45×2

显然 37 是 148 和 37 的最大公约数，也就是 8251 和 6105 的最大公约数

显然 45 是 90 和 45 的最大公约数，也就是 225 和 135 的最大公约数

思考 1 ：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？

S1 ：用大数除以小数

S2 ：除数变成被除数，余数变成除数

S3 ：重复 S1 ，直到余数为 0

辗转相除法是一个反复执行直到余数等于 0 停止的步骤，这实际上是一个循环结构。

8251=6105×1+2146

6105=2146×2+1813

2146=1813×1+333

1813=333×5+148

333=148×2+37

148=37×4+0

m = n × q ＋ r

用程序框图表示出右边的过程

r=m MOD n

m = n

n = r

r=0?

是否

《九章算术》——更相减损术

算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

第一步：任意给顶两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用 2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。

例 3 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数

解：由于 63 不是偶数，把 98 和 63 以大数减小数，并辗转相减 98 － 63 ＝ 3563 － 35 ＝ 2835 － 28 ＝ 728 － 7 ＝ 2121 － 7 ＝ 1414 － 7 ＝ 7

所以， 98 和 63 的最大公约数等于 7

练习：

课本 P36 练习第 1 题

算法案例

（第二课时）

计算多项式ｆ（ｘ） = ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当 x = 5 的值算法 1 ：因为ｆ（ｘ） = ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１

所以ｆ（ 5 ） =5 ５＋ 5 ４＋ 5 ３＋ 5 ２＋ 5 ＋１

=3125 ＋ 625 ＋ 125 ＋ 25 ＋ 5 ＋１

= 3906算法 2 ：

ｆ（ 5 ） =5 ５＋ 5 ４＋ 5 ３＋ 5 ２＋ 5 ＋１=5× （ 5 ４＋ 5 ３＋ 5 ２＋ 5 ＋１） ＋１=5× （ 5× （ 5 ３＋ 5 ２＋ 5 ＋１ ）＋１ ） ＋１=5× （ 5× （ 5× （ 5 ２＋ 5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１=5× （ 5× （ 5× （ 5 × （ 5 ＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１

《数书九章》——秦九韶算法

011

1)( axaxaxaxf nn

nn

设 )(xf 是一个 n 次的多项式

对该多项式按下面的方式进行改写：

011

1)( axaxaxaxf nn

nn

012

11 )( axaxaxa n

nn

n

0123

12 ))(( axaxaxaxa n

nn

n

0121 )))(( axaxaxaxa nnn

这是怎样的一种改写方式？最后的结果是

什么？

0121 )))(()( axaxaxaxaxf nnn

要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即

11 nn axav

然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即

212 naxvv

323 naxvv

01 axvv nn

最后的一项是什么？

这种将求一个 n 次多项式 f （ x ）的值转化成求 n 个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。

例 2 已知一个五次多项式为8.07.16.25.325)( 2345 xxxxxxf

用秦九韶算法求这个多项式当 x = 5 的值。解：将多项式变形：

8.0)7.1)6.2)5.3)25(((()( xxxxxxf

按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当 x = 5 时的值：

272551 v

50 v

5.1385.35272 v

9.6896.255.1383 v

2.34517.159.6894 v

2.172558.052.34515 v

所以，当 x = 5 时，多项式的值等于 17255.2

你从中看到了怎样的规律？怎么用程序框图来描

述呢？

开始

输入 f (x) 的系数：a0 、 a1 、 a2 、 a3 、 a4 、 a5

输入 x0

n=0

v=a5

v= v·x0+a5-n

n=n+1

n < 5?

输出 v

结束

否是

秦九韶算法检验

注意：要想使用检验功能，请使用前，先要减低宏的安全限制

排序的算法将下面数字按由小到大的顺序排列

8 ， 3 ， 2 ， 5 ， 9 ， 6

方法 1 ：S1 ：比较第 2 个数与第 1 个数的大小，并排序得 3 ， 8

S2 ：将第 3 个数与 S1 中的数比较，插入适当的位置，得到2 ， 3 ， 8

S3 ：将第 4 个数与 S2 中的数比较，并插入适当的位置，如此继续下去，直到把最后一个数插入到上一步已排好的数列的合适位置为止，得到：

2 ， 3 ， 5 ， 8

2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 9

2 ， 3 ， 5 ， 6 ， 8 ， 9

S4 ：S5 ：

排序的算法

将下面数字按由小到大的顺序排列

8 ， 3 ， 2 ， 5 ， 9， 6

方法 1 ：

过程演示

8 3 2 5 9 6

开始

排第 1次排第 2次排第 3次排第 4次

8 3 2 5 9 6

3 8 2 5 9 6

2 3 8 5 9 6

2 3 5 8 9 6

2 3 5 8 9 6

排第 5次

2 3 5 6 8 9

排序的算法

将下面数字按由小到大的顺序排列

8 ， 3 ， 2 ， 5 ， 9 ， 6

方法 2 ： S1 ：用第 1 个数与第 2 个数比较，若前者小则两数不变，否则，交换这两个数的位置。

S2 ：按这样的原则，比较第 2 个数和第 3 个数，前者小则两数不变，否则，交换这两个数的位置……直到比完最后两个数。（称为“一趟”）

S3 ：如果前一趟的比较中交换的次数为 0 ，说明排序已完成，否则回到 S2 。

根据题意，一趟后的结果是什么？

为什么说前一趟的比较中交换为 0次时，排序完成？

3 ， 2 ， 5 ， 8 ， 6 ， 9

排序的算法

将下面数字按由小到大的顺序排列

8 ， 3 ， 2 ， 5 ， 9 ， 6

请将每一趟的结果写出来

第 1 趟 8

3

2

5

9

6

3

8

2

5

9

6

3

2

8

5

9

6

3

2

5

8

9

6

3

2

5

8

9

6

3

2

5

8

6

9

该趟中交换的次数为 ________ 次4

排序的算法

将下面数字按由小到大的顺序排列

8 ， 3 ， 2 ， 5 ， 9 ， 6

请将每一趟的结果写出来

第 2 趟 3

2

5

8

6

9

2

3

5

8

6

9

2

3

5

8

6

9

2

3

5

8

6

9

2

3

5

6

8

9

2

3

5

6

8

9

该趟中交换的次数为 ________ 次2

排序的算法

将下面数字按由小到大的顺序排列

8 ， 3 ， 2 ， 5 ， 9 ， 6

请将每一趟的结果写出来

第 3 趟 2

3

5

6

8

9

2

3

5

6

8

9

2

3

5

6

8

9

2

3

5

6

8

9

2

3

5

6

8

9

2

3

5

6

8

9

该趟中交换的次数为 ________ 次，0

所以排序的结果为：

2 ， 3 ， 5 ， 6 ， 8 ， 9

练习：

1 、根据前面的介绍阅读课本 P32 的例 3 ，并完成图 1.3-6 的填空

课后作业

课本 P38 的习题 1.3 第 2 、 3 题

算法案例（第三课时）

一、进位制一、进位制

1 、什么是进位制？

2 、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明．

进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。

1 、我们了解十进制吗？所谓的十进制，它是如何构成的？

十进制由两个部分构成

例如： 3721

0123 1011021071037213

其它进位制的数又是如何的呢？

第一、它有 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、7 、 8 、 9 十个数字；

第二、它有“权位”，即从右往左为个位、十位、百位、千位等等。

( 用 10 个数字来记数，称基数为 10)

表示有： 1 个 1 ， 2 个十， 7 个百即 7 个 10 的平方， 3 个千即 3 个 10 的立方

2 、 二进制

二进制是用 0 、 1 两个数字来描述的。如 11001等

（１）二进制的表示方法

区分的写法： 11001 （ 2 ）或者（ 11001 ） 2

01234(2) 212020212111001

8 进制呢？如 7342(8)

k 进制呢？ anan-1an-2…a2a1(k) ？

二、二进制与十进制的转换

1 、二进制数转化为十进制数

例 1 将二进制数 110011(2) 化成十进制数

解： 根据进位制的定义可知012345

)2( 212120202121110011

121161321 51

所以， 110011 （ 2 ） =51 。

练习

将下面的二进制数化为十进制数？

（ 1 ） 11 （ 2 ） 111 （ 3 ） 1111 （ 4 ） 11111

2 、十进制转换为二进制( 除 2 取余法：用 2 连续去除 89 或所得的商，然后取余数 )

例 2 把 89 化为二进制数解：根据“逢二进一”的原则，有

89 ＝ 2×44 ＋1 ＝ 2× (2×22 ＋ 0)+1

＝ 2×( 2×( 2×11 ＋ 0)+0)+1＝ 2× (2× (2× (2× 5 ＋ 1)+0)+0)+1

5 ＝ 2× 2 ＋ 1

＝ 2× （ 2× （ 2× （ 2× （ 22 ＋ 1 ）＋ 1 ）＋ 0 ）＋ 0 ）＋ 1

89 ＝ 1×26 ＋ 0×25 ＋ 1×24 ＋ 1×23 ＋ 0×22 ＋ 0×21 ＋ 1×20

所以： 89=1011001 （ 2 ）

＝ 2× （ 2× （ 2× （ 23 ＋ 2 ＋ 1 ）＋ 0 ）＋ 0 ）＋ 1

＝ 2× （ 2× （ 24 ＋ 22 ＋ 2 ＋ 0 ）＋ 0 ）＋ 1

＝ 2× （ 25 ＋ 23+22 ＋ 0 ＋ 0 ）＋ 1

＝ 26 ＋ 24+23 ＋ 0 ＋ 0 ＋ 21

89 ＝ 2×44 ＋144 ＝ 2×22 ＋ 0

22 ＝ 2×11 ＋011 ＝ 2× 5 ＋1 ＝ 2× (2× (2× (2× (2× 2 ＋ 1)+1)+0)+0)+1

所以 89 ＝ 2× （ 2× （ 2× （ 2× （ 2 × 2 ＋ 1 ）＋ 1 ）＋ 0 ）＋ 0 ）＋ 1

2 、十进制转换为二进制例 2 把 89 化为二进制数

5

2

2

2

1

2

0

1

0

余数

11

22

48

89

2

2

2

2

0

1

1

0

1注意：1. 最后一步商为 0 ，2. 将上式各步所得的余数从下到上排列，得到： 89=1011001 （ 2 ）

练习

将下面的十进制数化为二进制数？

（ 1 ） 10 （ 2 ） 20 （ 3 ） 128 （ 4 ） 256

例 3 把 89 化为五进制数

3 、十进制转换为其它进制

解： 根据除 k 取余法

以 5 作为除数，相应的除法算式为：

所以， 89=324 （ 5 ）。

895

175

350

4

2

3

余数

将 k 进制数 a 转换为十进制数 ( 共有 n 位 ) 的程序a=anan-1… a3a2a1(k)

=ank(n-1)+an-1k(n-2)+ … + a3k2 +a2k1+a1k0

b=a1k0

b=a2k1

+bb=a3k2 +

b…b=ankn-1

+b

ai=GET a[i]

GET 函数用于取出 a 的右数第 i 位数

INPUT a,k,ni=1b=0

WHILE i<=nt=GET a[i]b=t*k^(i-1)+b

i=i+1WENDPRINT b

END

i=i+1

i=1

b=aiki-1+b

小结与作业

22 、掌握二进制与十进制之间的转换、掌握二进制与十进制之间的转换

11 、进位制的概念、进位制的概念

作业：课本 P38 ，习题 1.3第 4 题

算法案例

（第四课时）

排序的算法将下面数字按由小到大的顺序排列

8 ， 3 ， 2 ， 5 ， 9 ， 6

方法 1 ：S1 ：比较第 2 个数与第 1 个数的大小，并排序得 3 ， 8

S2 ：将第 3 个数与 S1 中的数比较，插入适当的位置，得到2 ， 3 ， 8

S3 ：将第 4 个数与 S2 中的数比较，并插入适当的位置，如此继续下去，直到把最后一个数插入到上一步已排好的数列的合适位置为止，得到：

2 ， 3 ， 5 ， 8

2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 9

2 ， 3 ， 5 ， 6 ， 8 ， 9

S4 ：S5 ：

排序的算法

将下面数字按由小到大的顺序排列

8 ， 3 ， 2 ， 5 ， 9， 6

方法 1 ：

过程演示

8 3 2 5 9 6

开始

排第 1次排第 2次排第 3次排第 4次

8 3 2 5 9 6

3 8 2 5 9 6

2 3 8 5 9 6

2 3 5 8 9 6

2 3 5 8 9 6

排第 5次

2 3 5 6 8 9

排序的算法

将下面数字按由小到大的顺序排列

8 ， 3 ， 2 ， 5 ， 9 ， 6

方法 2 ： S1 ：用第 1 个数与第 2 个数比较，若前者小则两数不变，否则，交换这两个数的位置。

S2 ：按这样的原则，比较第 2 个数和第 3 个数，前者小则两数不变，否则，交换这两个数的位置……直到比完最后两个数。（称为“一趟”）

S3 ：如果前一趟的比较中交换的次数为 0 ，说明排序已完成，否则回到 S2 。

根据题意，一趟后的结果是什么？

为什么说前一趟的比较中交换为 0次时，排序完成？

3 ， 2 ， 5 ， 8 ， 6 ， 9

排序的算法

将下面数字按由小到大的顺序排列

8 ， 3 ， 2 ， 5 ， 9 ， 6

请将每一趟的结果写出来

第 1 趟 8

3

2

5

9

6

3

8

2

5

9

6

3

2

8

5

9

6

3

2

5

8

9

6

3

2

5

8

9

6

3

2

5

8

6

9

该趟中交换的次数为 ________ 次4

排序的算法

将下面数字按由小到大的顺序排列

8 ， 3 ， 2 ， 5 ， 9 ， 6

请将每一趟的结果写出来

第 2 趟 3

2

5

8

6

9

2

3

5

8

6

9

2

3

5

8

6

9

2

3

5

8

6

9

2

3

5

6

8

9

2

3

5

6

8

9

该趟中交换的次数为 ________ 次2

排序的算法

将下面数字按由小到大的顺序排列

8 ， 3 ， 2 ， 5 ， 9 ， 6

请将每一趟的结果写出来

第 3 趟 2

3

5

6

8

9

2

3

5

6

8

9

2

3

5

6

8

9

2

3

5

6

8

9

2

3

5

6

8

9

2

3

5

6

8

9

该趟中交换的次数为 ________ 次，0

所以排序的结果为：

2 ， 3 ， 5 ， 6 ， 8 ， 9

练习：

1 、根据前面的介绍阅读课本 P32 的例 3 ，并完成图 1.3-6 的填空

课后作业

课本 P38 的习题 1.3 第 2 、 3 题