1

Моделирование систем

Лямин Андрей Владимирович

2

Система

Системой называется совокупность объектов, функционирующих и взаимодействующих между собой для достижения определенной цели.

3

Математическое описание

Система задается парой множеств U, Y и отношением SUY, где U – множество входов, Y – множество выходов.

Syu

4

Пример 1:

Функция y=u2 может быть представлена как отношения между множествами

U=(-,+) и Y=[0,+), включающее все пары (u, y), для которых y=u2, т.е.

UY={(u, y): y=u2}.

5

Свойства системы

• Целостность:

• Структурированность:

• Целенаправленность:

Syu

S1

S2

yu

J(y)= y2 min

y2+a1y+a2 = 0

6

Способы исследования систем

• Эксперимент с реальной системой

• Эксперимент с моделью системы– Физическая модель– Математическая модель

• Аналитическое решение

• Имитационное моделирование

7

Моделирование систем

Моделированием называется изучение системы по ее модели.

Моделью называется представление системы в форме удобной для ее изучения.

Математической (концептуальной) называется абстрактная модель, записанная на языке математики.

8

Аналитические модели

Аналитическими называются модели, использующие алгебраические, дифференциальные и другие уравнения, а также предусматривающие осуществление однозначной вычислительной процедуры, приводящей к их решению.

9

Имитационные модели

Имитационными называются математические модели, воспроизводящие алгоритм функционирования исследуемой системы путем последовательного выполнения большого количества элементарных операций.

10

Имитационное моделирование

• Определение системы• Построение концептуальной модели• Алгоритмизация модели• Программирование модели• Оценка адекватности модели• Планирование экспериментов • Экспериментирование• Интерпретация результатов • Документирование

11

Формальная модель системы

0( ) [ ( ), ( ), ( ), ( ), ],

( ) [ ( ), ( ), ( ), ( ), ],

: , : ,

: , : ,

: , .

m k

p n

l

x t x t q t u t w t t

y t x t q t u t w t t

u T U R w T W R

q T Q R x T X R

y T Y R t T

12

Классификация моделей

• Статические и динамические модели

• Дискретные и непрерывные модели

• Детерминированные и стохастические модели

13

Статические и динамические

• Модель называется статической, если значение ее выхода y(t) в момент времени t определяется только значением входа u(t) в тот же момент времени, т.е. y(t)=S [u(t)].

• Модель называется динамической, если значение ее выхода y(t) в момент времени t зависит от всего прошлого входного процесса u(t), т.е. y(t)=S [u(s), s t ].

14

Дискретные и непрерывные

Модель системы называется дискретной или непрерывной по входам, выходам и времени, если дискретным или непрерывным являются множества входов, выходов и моментов времени соответственно.

Пример 3: T={0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, T={x: x>0}

Пример 4: y(k+2)+a1y(k+1)+a0y(k)=u(k)

15

Детерминированные и стохастические системы

Детерминированной называется модель, значение выхода которой однозначно определяется значением входного сигнала.

Причины возникновения неопределенностей:

• погрешности и помехи измерений;

• неточность математической модели;

• неполнота информации о параметрах.

16

Математические схемы

• D-схемы – непрерывно-детерминированные модели

• F-схемы – дискретно-детерминированные модели

• P-схемы – дискретно-стохастические модели• Q-схемы – непрерывно-стохастические

модели• N-схемы – сетевые модели• A-схемы – комбинированные модели

17

Непрерывно-детерминированные модели

0 0 0

( ) [ ( ), ( ), ( ), ],

( ) [ ( ), ( ), ( ), ],

: , : ,

: , : ,

( ) , [ , ).

m k

n l

x t f x t u t w t t

y t g x t u t w t t

u T U R w T W R

x T X R y T Y R

x t x t t T

18

Примеры систем

L

R

C

m

s

1 0 0y a y a y

19

Дискретно-детерминированные модели

Конечным автоматом называется система S=<U, X, Y, f, g>, где U – входной алфавит, X – внутренний алфавит, Y – выходной алфавит, f – функция переходов, g – функция выходов.

Автомат Мили. f: UX X, g: UX Y.

Автомат Мура. f: UX X, g: X Y.

20

Пример системы

Таблица переходов Таблица выходов

u 0 u 1 u 0 u 1

x 0 x 1 x 0 x 0 y 0 y 1

x 1 x 1 x 0 x 1 y 0 y 0

x0 x1

u0,y0

u1,y1u1,y0

u0,y0

21

Дискретно-стохастические модели

Вероятностным автоматом называется система S=<U, X, Y, Р>, где U – входной алфавит, X – внутренний алфавит, Y – выходной алфавит, Р – множество вероятностей:

P(Xk=xj, Yk=yd / Xk-1=xi, Uk-1=us);i, j {1,2,…,|X|}; d{1,2,…,|Y|};s {1,2,…,|U|}.

22

Пример системы

11 12

21 22 23 1

32 33

0

, ( / )

0ij k j k i

p p

P p p p p P X x X x

p p

x1 x2p12

p11 p21x3

p23

p32

p33

p22

23

Непрерывно-стохастические модели

Заявки на обслуживание

Очередь Устройства

Потери

Обработанные заявки

ОтказыУходы

24

Пример системы

25

Сетевые модели

Сетевые модели описываются системой S=<B, D, I, O, M>, где B – множество позиций, D – множество переходов, I: BD {0,1} – входная функция, O: BD {0,1} – выходная функция, M – функция разметки сети.

26

Пример системыПоступление задания

Задание ждет

Начало выполнения задания

Задание выполняется

Выполнение задание закончено

Задание ожидает вывода

Выдача задания

·

b1

b2

b3

b4

d1

d2

d3

d4

27

Основная литература

• Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. 4-е изд. – М.: Высшая школа, 2005. – 343 с.

• Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Практикум. 4-е изд. – М.: Высшая школа, 2003. – 295 с.

• Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. Классика CS. 3-е изд. – СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2004. – 847 с.

28

Дополнительная литература

• Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab. – СПб.: Наука, 2001. – 286 с.

• Вероятностные разделы математики / Под ред. Максимова Ю.Д. – СПб.: «Иван Федоров», 2001. – 592 с.

• Соболь И.М. Метод Монте-Карло. – М.: Наука, 1968. – 64с.