第三章 静定结构受力分析第三章 静定结构受力分析

容易产生的错误认识：容易产生的错误认识：

““ 静定结构内力分析无非就是静定结构内力分析无非就是 选取隔离体，建立平衡方程，选取隔离体，建立平衡方程，

以前早就学过了，没有新东西”以前早就学过了，没有新东西”

本章的要求：本章的要求： 运用基本原理熟练、准确地解决 运用基本原理熟练、准确地解决

各种静定结构的内力计算问题。各种静定结构的内力计算问题。

切忌：浅尝辄止切忌：浅尝辄止

1.  静定结构的概念 从几何构造分析的角度看，结构必须是

几何不变体系。根据多余约束 n ，几何不变体系又分为：

有多余约束 ( n > 0) 的几何不变体系——超静定结构；

无多余约束 ( n = 0) 的几何不变体系——静定结构。

从求解内力和反力的方法也可以认为：         

静定结构：凡只需要利用静力平衡条件就能计算出静定结构：凡只需要利用静力平衡条件就能计算出结构的全部支座反力和杆件内力的结构。结构的全部支座反力和杆件内力的结构。

超静定结构：若结构的全部支座反力和杆件超静定结构：若结构的全部支座反力和杆件内力，不能只有静力平衡条件来确定的结构。内力，不能只有静力平衡条件来确定的结构。

2.  学习指导本章所学内容的基础是以前所学的“隔

离体和平衡方程”，但是不能认为已经学过了，就有所放松。其实，在静定结构的静力分析中，虽然基本原理不多，平衡方程只有几种形式，但是其变化是无穷的，因此重要的是知识的应用能力。为了能够熟中生巧，在学习时应多做练习。

§3-1 梁的内力计算回顾

1 、截面的内力分量及其正负号规定在平面杆件的任意截面上，将内力一般分

为三个分量：轴力 FN 、剪力 FQ 和弯矩 M( 图 3-1) 。

轴力 ---- 截面上应力沿轴线方向的合力 , 轴力以拉力为正。

剪力 ---- 截面上应力沿杆轴法线方向的合力 ,剪力以截开部分顺时针转向为正。

弯矩 ---- 截面上应力对截面形心的力矩，在水平杆件中，当弯矩使杆件下部受拉时弯矩为正。

图 3-1 作图时，轴力图、剪力图要注明正负号，弯矩图规定画在杆件受拉的一侧，不用注明正负号。

图 3-1

2 、截面法

梁的内力的计算方法主要采用截面法。截面法可用以下六个字描述：

1.  截开 ---- 在所求内力的截面处截开，任取一部分作为隔离体。

2.  代替 ---- 用相应内力代替该截面的应力之和。

3.  平衡 ---- 利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内力。

利用截面法可得出以下结论：1.  轴力等于该截面一侧所有的外力沿杆

轴切线方向的投影代数和；2.  剪力等于该截面一侧所有外力沿杆轴

法线方向的投影代数和；3.  弯矩等于该截面一侧所有外力对截面

形心的力矩的代数和。以上结论是解决静定结构内力的关键和

规律，应熟练掌握和应用。

画隔离体受力图时，要注意一下几点：（ 1 ）隔离体与其周围的约束要全部截断，

而以相应的约束力代替。（ 2 ）约束力要符合约束的性质。截断链杆（两端为铰的杆，杆上无荷载作

用 ) 时，在街面上加轴力。截断受弯杆件时，在截面上加轴力、剪力和弯矩。去掉滚轴支座、铰支座、固定支座时分别加一个、两个、三个支座反力和反力偶。

xAF

yAFAM

AA

AC

NCF

QCF

xAF

yAFACB

PFPF

（ 3 ）隔离体是应用平衡条件进行分析的对象。在受力图中只画隔离体本身所受到的力，不画隔离体施加给周围的力。

（ 4 ）不要遗漏力。受力图上的力有荷载、支座反力、截断处的约束力。

（ 5 ）未知力一般假定为正号方向，数值是代数值。已知力按实际方向画，数值是绝对值。

3 、荷载和内力之间的微分关系

FP

FN+d FNFN

FQ+dFQ

FQ

MM+dM

dx

dx

q

0yF 0 QyQQ FdxqdFF yQ q

dx

dF

- ( ) ( ) 02 2Q Q Q

dx dxM M dM F F dF

2

2Q y

dM d MF q

dx dx

O 0M

xN

Nx qdx

dFdFdxq 00xF

1 ）剪力图上某点切线的斜率等于该点横向分布荷载的集度，但正负号相反。2 ）弯距图上某点切线的斜率等于该点的剪力。

3 ）弯距图上某点的曲率等于该点的横向分布荷载的集度，但正负号相反。

4 ）轴力图上某点的斜率等于该点轴向分布荷载的集度 ，但正负号相反。xq

小结：

一般一般为斜为斜直线直线

水平线水平线

抛物线 (下凸 )

有有极极值值

为为零零处处

有尖有尖角角 (( 向向下）下）

有突有突变变 (( 突突变值变值 == FFPP))

有有极极值值

如如变变号号

无变化无变化

有突变有突变（突变（突变 值值 ==MM ））

剪力图剪力图

弯矩图

梁上情况

无外力无外力 均布力作用均布力作用 ((qq 向下向下 ))

集中力作用集中力作用处处 ((FFPP 向下向下 ))

集中力偶 M 作用处

铰处

无无影影响响

为零为零

斜直斜直线线 (( ))

1.1. 无荷载分布段无荷载分布段 (q=0),Q(q=0),Q 图图为水平线为水平线 ,M,M 图为斜直线图为斜直线 ..

MM 图图

QQ 图图

Pl

自由端无外力偶自由端无外力偶则无弯矩则无弯矩 ..

2.2. 均布荷载段均布荷载段 (q=(q= 常数常数 ),Q),Q 图为斜直线图为斜直线 ,M,M 图为抛物线图为抛物线 ,, 且凸向与荷载指向相同且凸向与荷载指向相同 ..

Q=0Q=0 的截面为抛的截面为抛物线的顶点物线的顶点 ..

MM 图图

QQ 图图ql

2/2ql

2/2ql

3.3. 集中力作用处集中力作用处 ,Q,Q 图有突变图有突变 ,, 且突变量等于力值且突变量等于力值 ; M; M 图有尖点图有尖点 ,, 且指向与荷载相同且指向与荷载相同 ..

MM 图图

QQ 图图

4.4. 集中力偶作用处集中力偶作用处 , M, M 图有突变图有突变 ,, 且突变量等于力偶且突变量等于力偶 值值 ; Q; Q 图无变化图无变化 ..

MM 图图

QQ 图图

FP a

FP

la bA B

A Bl

q

ql2

2

应熟记常用单跨梁的弯矩图应熟记常用单跨梁的弯矩图

BA

F

la b

Fab l

BA

q

l

ql2

8

m

BA

a b

lm l

a l

m

b l

m

m l

三、分段叠加法作弯矩图 分段叠加法是依据叠加原理得到的作 M 图的简便作图法。 叠加原理：结构中由全部荷载所产生的内力或变形等于每一种荷载单独作用所产生的效果的总和。只有线性变形体才适用叠加原理。

qA B

BA=

Aq

B

+MA MB

MA MB

MAMB

注意注意 ::是竖标相加 , 不是图形的简单拼合 .

练习 :

q

l

2ql

2ql

2

16

1ql

2

16

1ql

q

l

直杆段受力直杆段受力

简支梁受力简支梁受力

两者两者任一截面任一截面内力相同内力相同

吗？吗？

现在讨论分段叠加法的做法，见下图。

做任意直杆段弯矩图的问题，就归结为作相应简支梁弯矩图的问题。

A BDC

FPq m

BA C

FP

DC

q

Dm

MC MDMC MD

BA CFP

C Dq m

D

MC MC MDMD

在求出各控制截面 A 、 C 、 D 、 B 在全部荷载作用下的弯矩后，任意直杆段的 M 图就转化为作相应简支梁在杆端力偶及杆间荷载作用下的 M 图的问题。

A BDC

FPq

m

C DA B

MC

MD

基线 基线 基线

步骤： 1 ）选定控制截面，求控制截面在全部荷载作用下的 M 值，将各控制面的 M 值按比例画在图上，在各控制截面间连以直线——基线。

控制截面：集中力或者集中力偶作用截面，分布荷载的起点和终点以及梁的左、右端支座截面等。

2 ）对于各控制截面之间的直杆段，在基线上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M图。

6. 分段叠加法作弯矩图q

A B

l/2 l/2C

ql8

1

2

16

1ql

q

2

16

1ql

q

l/2

2

16

1ql

q

l/2

2

16

1ql

q

2

16

1ql

练习 : 分段叠加法作弯矩图q

A

Bl

C

2

4

1ql

q

lql

l l

ql2

1

例 3-1-1 作图示单跨梁的 M 、 FQ 图。

1）求支座反力 1 1

(8 7 4 4 4 16) 136 17 ( )8 8yAF kN

(8 4 4 17) 7 ( )yFF kN

AF

DC

8kN 4kN/m 16kN.m

B E

FyA=17kN FyF=7kN1m 1m 1m 1m4m

解：

0FM

0yF

2 ）选控制截面 A 、 C 、 D 、 F并求弯矩值。已知 MA＝ 0 ， MF＝ 0。

1m 1mA C

8kN

17kN

MC

FQCA

2mD F

16kN.mMD

7kNFQDF

取右图 AC 段为隔离体：

取右图 DF 段为隔离体：

0CM 8 1 17 2 0

34 8 26 . ( )C

C

M

M kN m

下拉

0DM 16 7 2 0

16 14 30 . (D

D

M

M kN m

下拉)

3) 作 M 图 将 MA 、 MC 、 MD 、 MF 的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对 AC 、 CD 、 DF 段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的 M 图即可。

4) 作 FQ 图 M 图（ kN·m ）

C DA F

1726 30

237

B E

CD

AF

179

7FQ 图（ kN ）

BE

7

例 3-1-2 作图示单跨梁的 M 、 FQ 图。

解：1 ）求支座反力

1(160 6 40 4 2 80 40 2

8

40 2 1) 1040 / 8 130 ( )

yAF

kN

0EM

(160 40 6 40) 130

440 130 310 ( )

yEF

kN

0yF

130kN

40kN

A FD

160kN 40kN/m80kN·m

B E

310kN

1m 1m 2m 2m4m

C

2 ）选控制截面 A 、 C 、 D 、 E 、 F ，并求弯矩值 。 已知 MA＝ 0 ， MF＝ 0

。

1m 1m

A C

80kN·m

130kN

Mc

FQCA

AC

160kN80kN·m

1m 1m 2m

DMD

130kN FQDC

取右图 AC段为隔离体：

取右图 AD段为隔离体：

0CM 130 2 80

340 . ( )CM

kN m

下拉

0DM 130 4 80 160 2

600 320

280 . ( )

DM

kN m

下拉

对悬臂段 EF：

0EM 21

40 2 40 2 80 80 160 . (2EM kN m 上拉)

3) 作 M 、 FQ

图 将 MA 、 MC 、 MD 、 ME 、 MF 的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对 AC 、 DE、 EF 段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的 M 图即可。

190

A FD

C E

130

30

120 40

FQ 图（ kN ）

B

M 图（ kN·m）340

FA DCB

E130210

280

140

160

小结：1 ）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加，而非图形的简单拼合；

2 ）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图；

3 ）先画 M 图后画 FQ 图，注意荷载与内力之间的微分关系。

练习 :

q

l

2ql

2ql

2

16

1ql

2

16

1ql

q

l

6. 分段叠加法作弯矩图q

A B

l/2 l/2C

ql8

1

2

16

1ql

q

2

16

1ql

q

l/2

2

16

1ql

q

l/2

2

16

1ql

q

2

16

1ql

练习 : 分段叠加法作弯矩图q

A

Bl

C

2

4

1ql

q

lql

l l

ql2

1

§2-1 静定梁受力分析一一 . 单跨梁

1. 单跨梁支反力2. 截面法求指定截面内力3. 作内力图的基本方法

4. 弯矩 , 剪力 , 荷载集度之间的微分关系5. 叠加法作弯矩图6. 分段叠加法作弯矩图

二二 . 多跨静定梁

二二 . 多跨静定梁1. 多跨静定梁的组

成 附属部分附属部分 ---- 不能独不能独立承载的部分立承载的部分。。

基本部分基本部分 ---- 能独立能独立承载的部分。承载的部分。

基、附关系层叠图基、附关系层叠图

练习 : 区分基本部分和附属部分并画出关系图

二二 . 多跨静定梁1. 多跨静定梁的组

成2.多跨静定梁的内力计算拆成单个杆计算拆成单个杆计算 ,, 先算附属部分先算附属部分 ,, 后算基本部分后算基本部分 ..

例例 : : 作内力图作内力图 qql

l ll l 2l 4l 2l

ql

ql

ql

q ql2

1

ql

ql

ql2

1

q22ql 2ql

ABQ BAQA B

4/50

4/110

qlQF

qlQM

ABY

BAA

例例 : : 作内力图作内力图 qql

l ll l 2l 4l 2l

ql

ql

ql

q ql2

1

ql

ql

ql2

1

2ql2ql

ql

ql

4/5ql 4/11ql

2/ql

2/ql

内力计算的关键在于内力计算的关键在于 :: 正确区分基本部分和附正确区分基本部分和附 属部分属部分 .. 熟练掌握单跨梁的计算熟练掌握单跨梁的计算 ..

二二 . 多跨静定梁1. 多跨静定梁的组

成2.多跨静定梁的内力计算3.多跨静定梁的受力特点

简支梁 ( 两个并列 )

多跨静定梁

连续梁

为何采用多跨静定梁这种结构型式 ?

例例 . 对图示静定梁 , 欲使 AB 跨的最大正弯矩与支座B 截面的负弯矩的绝对值相等 , 确定铰 D 的位置 .

q

CB

l

AD

lx

DR8/)( 2xlq

qDR

B

解 : )(2/)( xlqRD

2/)(2/2 xxlqqxM B

2/)(2/8/)( 22 xxlqqxxlq

lx 172.02086.0 qlM B

q

l lx

lx 172.02086.0 ql 2086.0 ql

2086.0 ql

2

8

1ql

q

22 125.08

1qlql

与简支梁相比 : 弯矩较小而且均匀 .

从分析过程看 : 附属部分上若无外力 , 其上也无内力 .

练习练习 : : 利用微分关系等作弯矩图利用微分关系等作弯矩图

l l/2 l/2

P

l lMM

练习练习 : : 利用微分关系等作弯矩图利用微分关系等作弯矩图

ll/2 l/2

P

l lMM

M2M

2

4

1ql2

2

1ql

l lM

l lM

M

MM

M

M

练习练习 : : 利用微分关系等作弯矩图利用微分关系等作弯矩图

ll/2 l/2

P

MM

M2M

2

4

1ql2

2

1ql

M

M

M

MM

M

M

l l

q

2

2

1ql

l lM

M

M

练习练习 : : 利用微分关系利用微分关系 ,, 叠加法等作弯矩图叠加法等作弯矩图

l/2 l/2

P

l/2l/2l/2

P lP4

1

lP4

1

l/2 l/2l/2l/2l/2

q ql

lP4

1

2q4

1l 2q

4

1l

作业作业3-5

3-63-6