三 . 插值模型与样条插值法当数据量不够，需要补充，且认定已有数据可信时 , 通常利用函数插值方法建立插值模型 .

目标：根据一组观测数据

寻找函数关系

( , ) 0,1, , .i ix y i n

( )y x 满足 ( ) 0,1, , .i iy x i n

1. 线性插值 : 如果 函数在每个小区间 1[ , ]i ix x 上是线性函数，是这组数据的分段线性插值函数。则称 ( )x

插值模型与样条插值法

例 3.6 地形模型：平面区域上的海拔高程 h(x, y)

• x\y 0 400 800 1200 1600 2000• 0 370 470 550 600 670 690• 400 510 620 730 800 850 870• 800 650 760 880 970 1020 1050• 1200 740 880 1080 1130 1250 1280• 1600 830 980 1180 1320 1450 1420

• 2000 880 1060 1230 1390 1500 1500

• 给出这个平面区域内地形的模型。

插值模型与样条插值法• 假设：• 1. 观测点的高程数值是准确的。• 2. 地形的各观测点之间没有剧烈的变化。• 3. 相邻观测点之间的高程的变化是线性的。• 模型：• 拟合坐标轴方向相邻观测点间的高程 . 给出

地形变化的等高线图 .•

插值模型与样条插值法

• 令 hij = h (xi, yj), 考虑点 (xi, yj), (xi+1, yj) 间高程的变化。记 hi = hij, hi+1 = hi+1j. 则由直线方程的两点式

• 可得

• 椐此就可在坐标系中画出平面区域的地形图

ii

i

ii

i

hh

hxh

xx

xx

11

)(

ii

i

ii

i

hh

hxh

xx

xx

11

)(

iiii

ii hxxxx

hhxh

)()(1

1 ],[ 1 ii xxx

插值模型与样条插值法

• 2. 样条插值：实质上是指光滑连接起来的分段的多项式曲线。给定区间 [a ， b] 的一个分划

• ： a = x0< x1<< xn-1< xn = b

• 称函数 Sk(x) 是 [a, b] 上关于的 k 次多项式样条函数 ,如果它满足条件 :

• 1. 在结点 xi 处等于给定的数值 yi = Sk(xi )

• 2. 在每个子区间 [xi-1, xi] 上是 k 次多项式• 3. Sk(x) 及其直到 k-1 阶导数在区间 [a, b] 上连续 .

插值模型与样条插值法

• k 次样条多项式的构造• 1. k 次半截幂函数

• 2. 0 次样条函数 : 称阶梯函数 • S0(x) = a0 + bj(x - xj)+

0

• 为 0 次样条函数 .

• 3. k 次样条函数 : 将 S0(x) 积分 k 次 , 得 k次样条函数

0,0

0,

x

xxx

kk

1

10 !

)(

!)(

n

j

kjj

k

j

jj

k k

xxb

j

xaxS

插值模型与样条插值法

• • 通常人们多使用三次样条函数 :

• 式中 n+3 个任意常数 {aj}, {bj} 可由 n-1 个内结点的数值和根据实际问题的要求附加于区间的端点四个条件来确定 .

1

1

333

22

103 !3

)(

!3!2)(

n

j

jj xxbxaxaxaaxS

插值模型与样条插值法• 3. 插值技术• x=0:4:20;% 给出 X 轴的坐标• y=0:4:20; % 给出 Y 轴的坐标• z=[37 51 65 74 83 88; 47 62 76 88 98 106; … ; 69 87 105 128 142 150];

• % 给出（ x ， y ）点的高程• [X ， Y]=meshgrid(0:1:20,0:1:20);% 给出新的插值坐标• Z=interp2(x,y,z,X,Y’,’spline’);% 在新的坐标上进行样条插值• clf;% 清空图形坐标系中的内容• axis xy;% 设置坐标的单位一致• mesh(X,Y,Z)% 用网格画出插值的结果• hold on% 打开在同一坐标系中画图的功能• contour(X,Y,Z)% 画平面等高线• contour3(X,Y,Z)% 画三维等高线

插值模型与样条插值法

插值模型与样条插值法

例 3.7 一水库上游河段降暴雨 . ，根据预报测算上游流入水库的流量为 Q(t) (102 立方米 / 秒 ) ：

t ( 时 ) 8 12 16 24 30 44 48 56 60

Q （ t ） 36 54 78 92 101 35 25 16 13

利用这个预报值估计 14 ： 30 和 20 ： 30 时上游流入水库的流量。

假设 : 1 已知数据准确。 2 相邻两个时刻之间的流量没有突然的变化。

插值模型与样条插值法

• t=[8,12,16,24,30,44,48,56,60];• q=[36,54,78,92,101,35,25,16,13];• t1=8:0.5:60;• q1=interp1(t,q,t1,'linear');• plot(t,q,'b',t1,q1);• hold on;• q2=interp1(t,q,t1,'spline');• plot(t,q,'b',t1,q1,t1,q2,'r')• q1• q2

插值模型与样条插值法

• 问题• 例 3.7

• P87 11 ， 10 ，• P327-328 根据“逢山开路”一题中表一

的数据绘制这个山区的地形图。