第四章 影响线第四章 影响线

建筑工程系 建筑工程系

§4.1 移动荷载和影响线的概念§4.2 静力法作简支梁的影响线§4.3 结点荷载作用下梁的影响线§4.4 静力法作桁架的影响线§4.5 机动法作影响线§4.6 影响线的应用§4.7 简支梁的包络图和绝对最大弯矩

§4.1 移动荷载和影响线的概念1 、移动荷载（ 1）定义： 荷载大小、方向不变，荷载作用点随时间改变，结构所产生加速度的反应与静荷载反应相比可以忽略，这种特殊的作用荷载称移动荷载。

（ 2）特点（与固定荷载和动力荷载比较） 结构的反应（反力、内力等）随荷载作用位置而改变。

（ 3）主要需要解决的问题 移动荷载下的最大响应问题。

线弹性条件下解决方案是利用影响线。

2 、影响线（ 1）定义：单位移动荷载下某物理量随荷载位置变化规律的图形。

（ 2）注意的问题 a 、物理量是固定的（ P=1 ） 单位移动荷载位置是变动的 b 、影响线图形： 横标—单位移动荷载作用位置。 竖标—荷载作用于此处时物理量的值， （ 3）影响线作法： a 、静力法； b、机动法（虚功法）。

固定荷载 移动荷载 动荷载大小 不变 不变 变化方向 不变 不变 变化

作用点 不变 变化 变化举例 自重 汽车 地震

加速度 无 无 有支座反力 不变 变化 变化

§4.2 静力法作简支梁的影响线静力法—按影响线定义，用静力平衡方程建立影 响量方程，由函数作图的方法。一、简支梁的影响线1 、支座反力的影响线，支座反力是基本的。

A Bl

RAF RBF

FRB 影响线 1

FRA 影响线1

0 AM

lxFRB /

0 BM

lxFRA /1

FRB 影响线方程

2 、 C 截面的剪力和弯矩影响线P=1x

l

A B

RBFRAF

C

a b

1

1

FRA 影响线

FRB 影响线

P=1 在 AC 段，取 CB 段

l

xFF RBQC

P=1 在 CB 段，取 AC 段

l

xlFF RAQC

分段考虑 QC1 F

P=1 P=1

QCFb

B

RBF

C

a

A

RAF

P=1 P=1

1

la

lb

1

b

B

RBF

CM

分段考虑

P=1 在 AC 段，取 CB 段

bl

xbFM RBC

P=1 在 CB 段，取 AC 段

al

xlaFM RAC

C

a

A

RAF

bal

ab

MC 影响线

FQC 影响线

P=1x

l

A B

RAF

C

a b

C2 M

3 、内力影响线与内力图的比较P=1

l

A B

P

a bl

荷载大小影响线 内力图

P=1 实际荷载性质 移动 固定

横坐标 表示荷载位置 表示截面位置纵坐标 表示某一截面内力变化规律 表示截面内力值

l

Pab

1la

lb1

ba l

ab l

Pal

PbFQC 影响线

MC 影响线

FQ 图

M 图

总结总结：：11 、影响线的概念、影响线的概念22 、静力法作简支梁的影响线的步骤、静力法作简支梁的影响线的步骤33 、支座反力和内力影响线的形状、支座反力和内力影响线的形状44 、支座反力影响线和内力影响线的关系、支座反力影响线和内力影响线的关系思考题：思考题：11 、外伸梁与简支梁的影响线有什么异同？、外伸梁与简支梁的影响线有什么异同？提示提示：从简支部分和外伸部分分别比较。：从简支部分和外伸部分分别比较。22 、多跨静定梁与简支梁的影响线有什么异、多跨静定梁与简支梁的影响线有什么异同？同？提示提示：从基本部分和附属部分分别比较？：从基本部分和附属部分分别比较？

§4.3 结点荷载作用下梁的影响线

1 、结点荷载作用下梁的影响线 特点 : ① 结点处，结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同 ② 相邻结点之间影响线为一直线。2 、结点荷载作用下影响线作法： ① 以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线。 ② 将结点投影到上述影响线上，得到结点处的影响

线竖标。 ③ 以实线连接相邻结点处的竖标，即得结点荷载作

用下该量值的影响线。

1F 2F

x

l

xF 11

l

xF 2

la b

ba1

+

+

.. Q LIF

.. LIM

1a 1b

1aac 1bbd k

C DA B例：求主梁上 k 点的剪力和弯矩影响线

axbaFFF

cxaFFF

baxFF

cxFF

Ay

By

Ay

By

111Q

12Q

11Q

1Q

)(

1x 为 1 的坐标

§4.4 §4.4 静力法作桁架的影响线静力法作桁架的影响线1 、静力法作静定桁架影响线 : 按定义实质为求移动荷载下某杆轴力。因

此关键是熟练掌握桁架在单位力位于任何 x 位置时指定杆内力如何求。

2 、内力可用结点投影方程、截面力矩方程或联合用投影和力矩方程求，与其对应可投影、力矩和联合法列影响量方程并作图。

A B C D E F G

a b c d e f g

h

l = 6d

2

Ⅱ

Ⅱ例：求桁架下弦 2杆件的轴力影响线（下承式）

FN2 影响线

h

d

3

4

解： FN2 影响线

取截面Ⅱ－Ⅱ

h

MFM c

Nc

20

§4.5 §4.5 机动法作影响线机动法作影响线1 、机动法绘制影响线：理论基础是刚体系虚功原理2 、步骤如下：1 ）去除与所求量值相应的约束，并代以正向的约束

力。2 ）使所得体系沿约束力的正方向发生相应的单位位

移，由此得到的 P =1 作用点的位移图即为该量值的影响线。

3 ）基线以上的竖标取正号，以下取负号。注意： 1 ）所作虚位移图要满足支承连接条件2 ）静定结构的虚位移图是直线形或折线形；而超静

定结构的位移图一般是曲线图形。

例 1 ：用机动法作图示结构 FB 、 FD 的影响线。

解（ 1 ）解除 B 点约束，用约束力 FB 代替，此时结构沿 D 竖向有一位移 δB ，令 δB=1 ，得影响线如右图：

（ 2 ）解除 D 点约束，用约束力 FD 代替，此时结构沿 D 竖向有一位移 δD ，令 δD=1 得影响线如右图：

例 2 ：用机动法作图示结构 QK 、 MK 的影响线。

§4.6 §4.6 影响线的应用影响线的应用1 、利用影响线计算影响量值 用某量值 Z 的影响线求固定荷载作用下该量值 Z 的值： 1 ） yi 为集中荷载 Pi 作用点处 Z 影响线的竖标，在基

线以上 yi 取正。 Pi 向下为正；2 ） ωi 为均布荷载 qi 分布范围内 Z 影响线的面积，

正的影响线计正面积。 qi 向下为正；3 ） θi 为集中力偶 Mi 所在段的影响线的倾角，上升

段影响线倾角取正。 Mi 顺时针为正

6m 3m 6m 6m3m 3m 3m

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

P1 Pi qiK

mq1

I.L.Z

y1 yl θω i

ω 1

6m 3m 6m 6m3m 3m 3m

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

P1 Pi qiK

mq1

I.L.Z

y1 yl θω i

ω 1

I.L.ZI.L.Z

y1 yly1 yl θθω iω i

ω 1ω 1

应用 MK 影响线求在荷载作用下， K 点的弯矩值。

1 1 1 1K i i i iM PY PY q q m

2 、临界荷载和临界位置及其判定

1 ）定义：取荷载组中的某一荷载 Pcr 位于 Z 影响线的某一顶点，当荷载左、右偏移时都会使量值 Z 的增量减小（或增大），则 Pcr 位于影响线顶点时， Z 取得极大值（或极小值），称 Pcr 为临界荷载。相应的荷载位置为临界位置。2 ）量值 Z 发生极大值的临界条件：有一集中力位于影响线的某一定点。将 Pcr放在影响线的哪一边，哪一边荷载的平均集度就大 3 ）临界荷载的估计原则：① 使较多的荷载居于影响线范围之内，且居于影响线的较大竖标处。② 使较大的荷载位于竖标较大的影响线的顶点。

3 、活荷载的最不利布置 对一些可任意分段布置的活荷载，利用某量的影响线可确定活载如何布置使其达最大或最小。4 、包络图的概念 给定移动荷载下各截面某量最大（或最小）值的连线称该量的包络图。 可分段布置的活荷载和恒载共同作用下，使各截面某量最大（或最小）值的连线也称该量的包络图。5、简支梁的绝对最大弯矩 在荷载移动过程中，简支梁中所产生的最大弯矩，称为简支梁的绝对最大弯矩。即弯矩包络图中的最大竖标所表示的弯矩值。

6.00 1.2 2.4 12m

215

366

465

559

574

578

212

179

153

127

94.3

65.0

41.7

25.3

16.4

8.2

0.0

弯矩包络图（ kN·m ）

剪力包络图（ kN ）

例：绘制简支梁在两台吊车作用下的弯矩包络图和剪力包络图。

12m

A B

RBFRAF

3.5m 3.5m1.5

kN82PPPP 4321

4P3P2P1P

§4.7§4.7 简支梁的包络图和绝对最大弯矩简支梁的包络图和绝对最大弯矩