复杂网络上的传播动力学——阈值与全局稳定性分析

傅新楚上海大学数学系， xcfu@shu.edu.cn

Based on collaborative works with:Guanrong Chen and Meng Yang

随机图与复杂网络研讨会2012年 5月 25-28日，华东师范大学

目 录

一． 引言

二． 标准 SIS 模型及免疫策略

三． 复杂网络上带媒介的 SIS 模型及其地方病平衡点和无病平衡点的全局稳定性

四． 复杂网络上一类修正的带媒介的 SIS 模型及其地方病平衡点和无病平衡点的全局稳定性

五． 注记

摘要摘要：复杂网络是由具有一定特征和功能的、相互关联及相互影响的基本单元所构成的复杂集合体。在现实生活中，许多复杂问题都可用复杂网络来刻画和建模。例如，流行病的传播与控制、计算机病毒在网络中的扩散、谣言的流传、交通疏导等，都可以看作复杂网络上服从某种规律的传播行为。

目前，关于复杂网络上流行病的传播与控制已有很多研究成果。在具有齐次性质的复杂网络上，传染病的流行与否取决于流行病阈值。当传染率大于流行病阈值时，随着时间的推移传染病会在总人口中占有一定的比例，反之，传染病最终会消失。而对于具有非齐次性质的网络系统，人们一度认为，只要在初始时刻存在感染者，传染病会始终存在；但随后的研究表明，在一定更贴近现实的条件限制下，对于非齐次网络也存在正的流行病阈值（一般较小）。

本报告首先简单介绍研究的背景、进展及我们的主要工作；接着介绍标准SIS模型的动力学行为及免疫策略；然后讨论非齐次复杂网络上带传播媒介的 SIS模型及其地方病平衡点和无病平衡点的全局稳定性；最后谈谈非齐次复杂网络上一类修正的带传播媒介的 SIS模型，求出该模型的流行病阈值，并证明当感染率大于该阈值时，只要模型存在初始感染节点，模型就总存在唯一的正不动点，从而证明了该模型的传染过程的地方病平衡点和无病平衡点的全局稳定性。

近年来，复杂网络上的传染病动力学研究，已取得了丰硕成果

当传染率大于流行病阈值时，随着时间的推移传染病会在总人口中占有一定的比例；反之，传染病最终会消失

阈值与全局稳定性……

一、引言

本报告拟在我们近期研究结果的基础上，汇报：

1. 复杂网络上带传播媒介的 SIS 模型的地方病和无病平衡点的全局稳定性分析；

2. 一类修正后的带传播媒介的 SIS 模型的地方病和无病平衡点的全局稳定性问题。

主要工作

二、标准 SIS 模型及免疫策略

那么可知：

根据平均场理论，可得模型如下：

其中：

1kkS I (t)+ (t)

[ ]( )

1 ( ) ( ) ( )kk k

d tI k t t tI Idt

1( ) ( ) ( )kt kp k tI

k

易感者（ S ） 感染者（ I ）

传染概率

恢复概率

根据动力学稳定性理论，考虑如下平衡：

那么可得：

于是可得自洽方程：

那么当且仅当：

计算可得阈值为：

( )0kd tI

dt

( )1kk

tIk

2 ( )( )

1

p kk fk k

( )1| 0

df

d

2c

k

k

几类免疫策略

随机免疫：随机免疫就是完全随机地选取网络中的一部分节点机型免疫，那么可建立下列模型：

其中 : 表示免疫率，

易知：

0 1

( )(1 )[1 ( )] ( ) ( )k

k k

d tI k t t tI Idt

2(1 )

k

c k

1c

c

目标免疫：选取少量度大的节点进行免疫，也就是对那些与

周围联系较为紧密的节点进行免疫。那么可以建立下列模型：

其中：

那么可得：

易证得：

( )(1 )[1 ( )] ( ) ( )k

k kk

d tI k t t tI Idt

1, ,

, ,

0, ,k

k

c k

k

2 2c k

k

k k

c c

熟人免疫：从网络中选取一定比例的节点，再从每个被选中的节点中随机选择一个邻居节点进行免疫，可以建立下列模型：

其中，令：

易得：

( )(1 )[1 ( )] ( ) ( )k

k kk

d tI k t t tI Idt

( )( )k

kp k ppN kp k

N k k

2 3 ( )c

kp

p kk kk

c c

主动免疫：选择一定比例的感染节点，再对这些节点的度大于指定值的邻居节点进行免疫，可建立下列模型：

其中，令：

易得：

( )[1 ( )] ( ) (1 ) ( )k

k kk

d tI k t t tI Idt

( ) kk

k

kkp k

k k

2

k

c

k k

k

2

kc

c

k

k

三、复杂网络上带传播媒介的 SIS 模型的全局稳定性分析

非齐次网络上带媒介的 SIS 模型包括三种状态：易感者、感染者、传播媒介。

根据平均场理论可得模型如下：

1

2

( )( ) [1 ( )] ( ) [1 ( )] ( )

( )( ) [1 ( )] ( )

kk k k

d tI t k t t t tI I Idt

d tt t t

dt

类似可知其自洽方程为：

易知其阈值为：

21 2 2

22 1 2 2

1( ) ( )

1

k kt k f

k k k

1 2

2

(1 )c

k

k

地方病平衡点的稳定性

k

0 (0) 1 ( ) (0) 0

0 (0) 1 (t)

0 ( ) 1 0 ( ) 1 0 ( ) 1.

k k

k

k

kp kI I

V I

t t V tI

引理一：假设初始时刻，度为 的感染者所占的密度满足且 ，传播媒介在全体媒介中所

占比例满足 ，那么对于任意的t>0,模型的解满足 ， ，

31 2

0 (0) 1 ( ) (0) 0

( ) , , , ,lim ,

,

k k

kp kI Ik k c

tI I I I I I nt

。

定理：设 满足 那么当 时，有 其中 是模型的非零不动点

liminf ( ) limsup ( )k kk kt tl uI It t

inf ( ) 0, inf ( ) 0 inf ( ) 0.0 00

0 (0) 1 ( ) (0) 0,k k c

k t t V tIt tt

kp kI I

，

命题二：若 满足 那么当 时，有

limsup liminf ,t ,k kk kk l uI Itt

I

则命题一：设模型的解（）满足

11 2 2

limsup ( )11 1( ) 1 2 2

11 2 2

liminf ( )11 1( ) 1 2 2

k k kukktI k

t k k k ku uk kk k

k k klkktI k

tk k k kl lk kk k

无病平衡点的稳定性0 (0) 1 ( ) (0) 0,kp kI Ik k c 定理：设若 满足 那么当 时，

无病平衡点全局渐进稳定。

( )

( )

(1) 0

(2) lim ( ) / 0,

(3) 0 , ( ) ,

(4) ( ) 0,

(5) 0 = | ( ) =0

0

dyAy H y

dtnA n n H y D R

C D C

H y yy

T y C y yA

H y

y G H y

y

引理：对于系统

其中， 是 矩阵，且 在 上是连续可微的。假设紧的凸集 关于系统是正不变的，且 ，

存在 和 的特征向量 ，使得对于任意的 有

对于任意的y C,有( )

是系统在 y C 上最大的正不变集，

那么可知 是全局渐

0 ,0

( , ) liminf ( , ) , 00 0 0

, 0 .

Cy

t t m my y yt

y Cy y

进稳定的，或者对于任意的 系统的解

满足 此处 且与 无关。

此外系统存在一个常数解

四、一类修正的带媒介的 SIS 模型及其免疫策略及其地方病平衡点和无病平衡点的全局稳定性 根据平均场理论，可得到模型：

可以计算知其阈值为：

1

2

( )( ) [1 ( )] ( ) [1 ( )] ( )

( )( ) [1 ( )] ( )

kk k k

d tI t k t t t tI I Idt

d tt t t

dt

1 2

2 2 2

1 2

(1 )

( )

kc k k k

地方病平衡点的稳定性

k

0 (0) 1 ( ) (0) 0

0 (0) 1 (t)

0 ( ) 1 0 ( ) 1 0 ( ) 1 0 ( ) 1.

k k

k

k

kp kI I

V I

t t t V tI

引理一：假设初始时刻，度为 的感染者所占的密度满足且 ，传播媒介在全体媒介中所

占比例满足 ，那么对于任意的t 0,模型的解满足 ， ， ，

31 2

0 (0) 1 ( ) (0) 0

0 (0) 1

( ) , , ,lim , ,

,k k

c

k k n

kp kI I

V

tI I I I I It

。

定理：假设在初始时刻，度为k的感染者所占比例满足且 传播媒介在全体媒介中

所占的比例满足 ,那么当 时，系统的解有 其中 是模型的非零不动点

inf ( ) 0, inf ( ) 0 inf ( ) 0, inf ( ) 0.0 0 00

0 (0) 1 ( ) (0) 0,k k c

k t t V t tIt t tt

kp kI I

，

命题二：若 满足 那么当 时，有

limsup liminf ,

0, 0

t ,k kk kk

k k

l uI Itt

l u

I

且

，那么

命题一：设模型的解（）满足

1 11 2 2

limsup ( )1 1

1 2 1 2 2

1 11 2 2

liminf ( )1 1

1 2 1 2 2

k k k ku u uk k kk ktI k

t k k k ku u u uk k k kk k

k k k kl l lk k kk ktI k

t k k k kl l l lk k k kk k

无病平衡点的稳定性

0 (0) 1 ( ) (0) 0,k k ckp kI I 定理：设若 满足 那么当 时，无病平衡点全局渐进稳定。

五、注记

1. 本报告在模型建立时，没考虑到人口变化的情形，当考虑人口变化时，网络结构将随之改变，模型将更复杂，但更贴近现实。

2. 本报告考虑的带媒介的流行病模型，主要是 SIS 模型，亦可推广到 SIR 模型等其它流行病模型中。

3. ……

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