第十二章数项级数

南京农业大学理学院应用数学系

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第十二章数项级数

§12.1 §12.1 级数的收敛性

§12.2 §12.2 正项级数

§12.3 §12.3 一般项级数一般项级数

§12.1§12.1 级数的收敛性级数的收敛性

一、问题的提出二、级数的概念

三、基本性质三、基本性质四、收敛的必要条件四、收敛的必要条件

1. 计算圆的面积 R

正六边形的面积

正十二边形的面积

1a

21 aa

正形的面积 n23 naaa 21

naaaA 21即

n10

31000

3100

3103

31

.2

二、级数的概念

1. 级数的定义 :

n

nn uuuuu 321

1( 常数项 ) 无穷级数

一般项

部分和数列

n

iinn uuuus

121

级数的部分和

,11 us ,212 uus ,,3213 uuus

,21 nn uuus

2. 级数的收敛与发散 :

当n无限增大时,如果级数

1nnu 的部分和数

列 ns 有极限 s, 即 ssnn

lim 则称无穷级数

1nnu 收敛,这时极限s叫做级数

1nnu 的和.并写

成 321 uuus

如果ns没有极限,则称无穷级数

1nnu发散.

定理（柯西收敛准则）级数 nu 收敛的充分必要条件

是 0 ， N ，当 Nm ，及 p N 时，有

1 2 .m m m pu u u

据柯西收敛准则级数 nu 发散的充分必要条件

是， 0 0 00, , ( ) ,N N m N p N 对和有

0 0 01 2 0.m m m pu u u

即常数项级数收敛(发散)nns

lim存在(不存在)

余项 nn ssr 21 nn uu

1iinu

即 ssn 误差为nr )0lim( n

nr

无穷级数收敛性举例： Koch 雪花 .

做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的 1/3 的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“ Koch 雪花”．

观察雪花分形过程

第一次分叉：

;91

3

,34

112

12

AAA

PP

面积为

周长为

依次类推

;43

,3

1

1

A

P

面积为

周长为设三角形

播放播放

,2,1)34

( 11 nPP n

n

]})91

[(4{3 112

1 AAA nnnn

112

12

11 )91

(43)91

(4391

3 AAAA nn

,3,2n

周长为

面积为

]})94

(31

)94

(31

)94

(31

31

[1{ 221

nA

第次分叉：n

于是有

nnPlim

)

94

1

31

1(lim 1

AAn

n.

532

)53

1(1 A

结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．

雪花的面积存在极限（收敛）．

例1 讨论等比级数(几何级数)

n

n

n aqaqaqaaq 2

0

)0( a

的收敛性.

解时如果 1q12 n

n aqaqaqas

qaqa n

1

,11 qaq

qa n

,1时当 q 0lim

n

nq

qa

snn

1

lim

,1时当 q

n

nqlim

nn

slim

收敛

发散

时如果 1q,1时当 q

,1时当 q

nasn 发散 aaaa级数变为

不存在nn

s

lim 发散

综上

发散时当

收敛时当

,1

,1

0 q

qaq

n

n

例2 判别无穷级数

1

1232n

nn的收敛性.

解 nnnu

12 32 ,34

41

n

已知级数为等比级数， ,34

q公比

,1|| q .原级数发散

例 3 判别无穷级数

)12()12(

153

131

1nn

的收敛性.

解 )12)(12(

1

nn

un ),12

112

1(

21

nn

)12()12(1

531

311

nnsn

)12

112

1(

21

)51

31

(21

)31

1(21

nn

)12

11(

21

limlim

n

sn

nn

),12

11(

21

n

,21

.21

, 和为级数收敛

例 4 试把循环小数 3171717.2173.2 表示成

分数的形式 .

解 173.2 753 1017

1017

1017

3.2

03 100

11017

3.2n

n 等比级数

1001

q公比

1001

1

11017

3.2 3

.

4951147

三、基本性质三、基本性质性质1 如果级数

1nnu收敛,则

1nnku亦收敛.

性质2 设两收敛级数

1n

nus ,

1nnv ,

则级数

1

)(n

nn vu 收敛,其和为 s .

结论 : 级数的每一项同乘一个不为零的常数 ,

敛散性不变 .

结论 : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减 .

例5 求级数

1 2

1)1(

5

nnnn的和.

解

1 21

)1(5

nnnn

1 )1(5

n nn

1 2

1

nn

11 111

5)1(

5

nn nnnn

n

kn kkg

1 111

5令 ),1

11(5

n

,5)1

11(lim5lim

ng

nn

n

,21

1

是等比级数

nn ，首项是公比

21

,121q

nn

nn h

lim21

1

.61521

)1(5

1

nnnn

故

,1

21

1

21

性质3 若级数

1nnu收敛,则

1knnu也收敛

)1( k .且其逆亦真.

证明 nkkk uuu 21

nkkkn uuu 21

,kkn ss

kn

knn

nn

ss

limlimlim则 .kss

类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性 .

性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.

证明 )()( 54321 uuuuu

,21 s

.limlim ssnnmm

则

,52 s

,93 s

,, nm s

注意

收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 .

)11()11(例如

1111

推论如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.

收敛

发散

四、收敛的必要条件四、收敛的必要条件

级数收敛 .0lim n

nu

证明

1n

nus ,1 nnn ssu则

1limlimlim nn

nn

nn

ssu ss .0

即趋于零它的一般项无限增大时当 ,, nun

级数收敛的必要条件 :

注意 1. 如果级数的一般项不趋于零 , 则级数发散 ;

1)1(

43

32

21 1

nnn例如发散

2. 必要条件不充分 .

?,0lim 但级数是否收敛有 n

nu

n1

31

21

1例如调和级数

讨论

nnnss nn 2

12

11

12

,

21

2

nn

., s其和为假设调和级数收敛

)lim( 2 nnn

ss

于是 ss ,0

.级数发散

)(21

0 n便有 .这是不可能的

)2

1

22

1

12

1(

)161

101

91

()81

71

61

51

()41

31

()21

1(

1mmm

8 项4 项2 项 2 项

项m2

21每项均大于

21

)1(1 mm 项大于即前 .级数发散

由性质 4 推论 , 调和级数发散 .

五、小结五、小结

1.由定义,若 ssn,则级数收敛;

2.当 0lim nnu ,则级数发散;

3.按基本性质.

常数项级数的基本概念

基本审敛法

思考题

设

1nnb与

1nnc都收敛，且 nnn cab

),2,1( n ，能否推出

1nna收敛？

思考题解答

能．由柯西审敛原理即知．

作业 P5． 1-7.



12.2 正项级数


DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS

一正项级数及其审敛法1. 定义 : ，中各项均有如果级数 0

1

n

nn uu

这种级数称为正项级数 .

nsss 212. 正项级数收敛的充要条件 :

定理

.有界部分和所成的数列正项级数收敛 ns

部分和数列为单调增加数列 .}{ ns



且 ),2,1( nvunn ,若

1nnv收敛,则

1nnu收敛；

反之，若

1nnu发散，则

1nnv发散.

证明

nn uuus 21且

1

)1(n

nv设 ,nn vu

,

即部分和数列有界 .1

收敛

n

nu

均为正项级数，和设

11 nn

nn vu3. 比较审敛法

nvvv 21



nn s则

)()2( nsn设 ,nn vu 且

不是有界数列

.1

发散

n

nv

推论 : 若

1nnu 收敛 ( 发散 )

且 ))(( nnnn vkuNnkuv ,则

1nnv收敛(发散).

定理证毕 .

比较审敛法的不便 : 须有参考级数 .



例1 讨论P-级数

pppp n

1

4

1

3

1

2

11 的收敛性. )0( p

解 ,1p设 ,11nn p

.级数发散则 P

,1p设

o

y

x

)1(1

px

y p

1 2 3 4

由图可知 n

n pp xdx

n 1

1

pppn ns

131

21

1

n

n pp xdx

xdx

1

2

11



n

pxdx

11 )

11(

11

1 1

pnp 11

1

p

,有界即 ns .级数收敛则 P

发散时当收敛时当

级数,1

,1

p

pP

重要参考级数 : 几何级数 , P- 级数 , 调和级数 .



例2 证明级数

1 )1(1

n nn是发散的.

证明 ,1

1)1(

1

nnn

,1

1

1

n n发散而级数

.)1(

1

1

n nn发散级数



4. 比较审敛法的极限形式 :

设

1nnu 与

1nnv 都是正项级数,如果

则 (1) 当时,二级数有相同的敛散性;

(2) 当时，若收敛,则收敛;

(3) 当时 , 若

1nnv 发散,则

1nnu 发散;

,lim lvu

n

n

n

l0

0l

l

1nnv

1nnu



证明 lvu

n

n

n

lim)1( 由 ,0

2l对于

,N ,时当 Nn 22l

lvul

ln

n

)(23

2Nnv

luv

lnnn 即

由比较审敛法的推论 , 得证 .



设

1nnu为正项级数,

如果 0limlnun

n (或 nnnulim),

则级数

1nnu发散;

如果有1p, 使得 np

nun

lim存在,

则级数

1nnu收敛.

5.极限审敛法：



例3 判定下列级数的敛散性:

(1)

1

1sinn n

; (2)

13

1

nn n

;

解 )1(

n

n

n

n

3

13

1

lim

n

nn 1

1sin

lim

,1 原级数发散 .

)2(

nn

n

1sinlim

n

n n

31

1lim

,1

,31

1

收敛

nn 故原级数收敛 .



6.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)：

设

1nnu是正项级数,如果 )(lim 1

数或

n

n

n u

u

则1时级数收敛;1时级数发散; 1时失效.

证明 ,为有限数时当 ,0对

,N ,时当 Nn ,1

n

n

uu有

)(1 Nnuu

n

n 即



,1时当

,1时当

,1 取 ,1r使

,11

Nm

mN uru

,12 NN ruu ,12

23 NNN urruu ,

,1

11

mN

m ur 收敛而级数

,11

收敛

Nnu

mmN uu 收敛

,1 取 ,1 r使

,时当 Nn ,1 nnn uruu .0lim n

nu 发散



比值审敛法的优点 : 不必找参考级数 .

两点注意 :

1.当1时比值审敛法失效;

,1

1

发散级数例

n n

,1

12 收敛级数

n n

)1(



,23

2)1(2

nnn

n

n vu

例

,2

)1(2

11

收敛级数

n

n

n

nnu

,))1(2(2

)1(2 11

nn

n

n

n auu

但 ,61

lim 2 nna

,23

lim 12 nna .limlim 1 不存在n

nn

n

na

uu

2.条件是充分的,而非必要.



例4 判别下列级数的收敛性:

(1)

1 !

1

n n; (2)

110

!

nn

n; (3)

1 2)12(

1

n nn.

解 )1(

!1

)!1(1

1

n

nu

u

n

n 1

1

n

),(0 n

.!

1

1

收敛故级数

n n



),( n)2(!

10

10

)!1(1

1

nn

u

u n

nn

n

101

n

.10

!

1

发散故级数

nn

n

)3()22()12(

2)12(limlim 1

nnnn

u

un

n

n

n ,1

比值审敛法失效 , 改用比较审敛法

,1

2)12(1

2nnn

,

1

12 收敛级数

n n

.)12(2

1

1

收敛故级数

n nn



7.根值审敛法 (柯西判别法)：

,1

,1

nnn

设级数例如

nn

nn nu

1 级数收敛 .

0(1) > ,

< 1,nn

n

n N

u l

u

若对一切成立不等式

则级数收敛；

0(2) > ,

1,nn

n

n N

u

u

若对一切成立不等式

则级数发散.

1< 1

2 （n 2)



柯西判别法的极限形式：

设

1nnu 是正项级数 ,如果

n

nn

ulim

)( 为数或 ,则1时级数收敛;

,1

,1

nnn

设级数例如

nn

nn nu

1

n1

)(0 n 级数收敛 .

1时级数发散; 1时失效.



8.柯西积分判别法

1

1 ,

npn

设级数例如

发散收敛， 111

2

ppdx

x p

A

n

dxxf

nfxf

.

1

有相同的敛散性与反常积分

正项级数连续、非负、不增，则若

1

1

npn

级数 .11 发散收敛， pp







二、小结

正项级数

审

敛

法

1.

2.

4. 充要条件5. 比较法

6. 比值法

3. 按基本性质 ;

;,则级数收敛若 SSn

;,0, 则级数发散当 nun



思考题

设正项级数

1nnu收敛, 能否推得

1

2

nnu收敛?

反之是否成立?



思考题解答

由正项级数

1nnu收敛，可以推得

1

2

nnu收敛,

n

n

n uu 2

lim

nnu

lim 0

由比较审敛法知收敛 .

1

2

nnu

反之不成立 . 例如：

12

1

n n 收敛 ,

1

1

n n发散 .

作业： P16， 1-9



12.3 一般项级数一、交错级数及其审敛法二、绝对收敛与条件收敛

三、阿贝尔判别法和狄里克雷判别法



一、交错级数及其审敛法

定义 : 正、负项相间的级数称为交错级数 .

nn

nn

n

n uu

11

1 )1()1( 或

莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:

(ⅰ ) ),3,2,1(1 nuu nn ;(ⅱ ) 0lim n

nu ,

则级数收敛,且其和 1us ,其余项 nr 的绝对值

1 nn ur .

)0( nu其中



证明

nnnn uuuuuus 212223212 )()( 又

)()()( 21243212 nnn uuuuuus

1u

,01 nn uu

.lim 12 uss nn

,0lim 12 nnu

,2 是单调增加的数列 ns

,2 是有界的数列 ns



)(limlim 12212 nn

nn

nuss ,s

., 1uss 且级数收敛于和

),( 21 nnn uur余项

,21 nnn uur

满足收敛的两个条件 , .1 nn ur

定理证毕 .



解），， 21(1

111

nunn

u nn

0lim n

nu又

故级数收敛 .

.4

1

3

1

2

111

的敛散性

判别交错级数例



）（非绝对收敛从而 *1

11

2

1

n

nn

解

例 2 判定下列级数是否条件收敛？是否绝对收敛？

12 n

nun

发散而

1 1

1

n n发散，所以

1nnu

01

limlim 2

n

nu

nn

n又

)1(1

)( 2

xx

xxf设 22

2'

1

1)(

x

xxf

则 )1(0 x

）上单调递减，在 1[)(xf

12

1

1 11

n n

n

（）

1 nn uu

* **故：由（）、（）原级数条件收敛。

1

12

nnn

n

）（收敛。由莱布尼兹判别准则， **1

11

2

1

n

nn



非绝对收敛从而

1

1 11 nnn

解 nnun 1

发散而

1 2

1

n n发散，所以

1nnu

nnun

nn

1limlim又

1

1

2 1 1n n n

（）

nn

1

1

n2

1

nnn

1

1lim 0

nnnnun

1

11

121

1

nu

nn

故：原级数条件收敛。



注意

1. 莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非必要条件；

思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立，结果如何？

2. 判定的方法nn uu 1

；0)1 1 nn uu ；） 12 1

n

n

u

u

.3）相应函数的单调性



1

1

1

3. 0( 1,2, ), ( 1) ,

1

1

nn n n

n

n

n n

a n a a

a

例设单调递减，发散

判别的敛散性。

解 ,0单调递减且有下界由题设知 na

有极限。所以 na ).0(lim

llann

不妨设，若 0l

1

1)1(n

nn a 收敛，交错级数则由莱布尼兹判别准则

0lim

lann

与题设矛盾，故

laa nn

n n

nn

1

1

1

1lim

1

1lim由根值判别法，有故

1

收敛。故：

1 1

1

n

n

na



例 4 判别级数

2 1)1(

n

n

nn的收敛性.

解2)1(2

)1()

1(

xx

xxx

)2(0 x

,1单调递减故函数

xx ,1 nn uu

1limlim

nn

un

nn

又 .0 原级数收敛 .



二、绝对收敛与条件收敛

任意项级数正项级数

任意项级数的各项取绝对值

定义 : 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数 .

问题 : 如何研究任意项级数的敛散性问题？

1. 绝对收敛和条件收敛 :



绝对收敛：

1

.1n

nu 收敛；

1nnu

条件收敛：

1

.2n

nu 收敛；发散，

11 nn

nn uu

..31

发散

nnu

任意项级数的敛散性



定理2 若

1nnu收敛,则

1nnu收敛.

证明 ),,2,1()(21

nuuv nnn令

,0nv显然 ,nn uv 且

,1

收敛

n

nv

),2(11

n

nnn

n uvu又

1nnu收敛.



上定理的作用：

任意项级数正项级数

定义:若

1nnu收敛, 则称

1nnu为绝对收敛;

若

1nnu发散,而

1nnu收敛, 则称

1nnu为条件收敛.



例 5 判别级数

12

sin

n n

n的收敛性.

解 ,1sin

22 nn

n ,

1

12收敛而

n n

,sin

12

n n

n 收敛

故由定理知原级数收敛 .



定理如果任意项级数

121

nnn uuuu

满足条件 n

n

n uu 1lim （其中可以为）

则当 1 时，级数

1nnu 收敛，且绝对收敛；

当 1 时，级数

1nnu 发散



例 6 判别下列级数的收敛性:

(1)

0 !n

n

nx

; (2)

1

2

)!2()1(

n

nn

nx

;

(3) n

n

xn

n

1 !

)1()1(

解 01||

lim||

!)!1(

||limlim)1(

11

nx

x

nnx

uu

nn

n

nn

n

n

则此级数对一切 )( xx 绝对收敛



0||)12)(22(

1lim

||)!22(

)!2(limlim)2(

2

21

xnn

xnn

uu

n

nn

n

n

||1

limlim)3( 1 xxnn

uu

nn

n

n

则此级数对一切 )( xx 绝对收敛

则当1||x时，级数收敛；当1||x时，级数发散，

而1x时，级数是否收敛取决于为何值.



敛？是条件收敛还是绝对收

敛？如果收敛，是否收判断级数

1 ln)1(

n

n

nn例 7

解 ,1

ln1

nnn

,

1

1

发散而

n n

,ln1

ln)1(

11

发散

nn

n

nnnn

即原级数非绝对收敛．



,ln)1(

1

级数是交错

n

n

nn由莱布尼茨定理：

xx

nn

xn

lnlim

lnlim

,0

1lim

xx

,0ln

1

1

limln1

lim

nn

nnn nn

),0(ln)( xxxxf

),1(01

1)( xx

xf



,),1( 上单增在 ,ln1 单减即xx

,1ln1 时单减当故

nnn

),1()1ln()1(

1ln1

1

nunnnn

u nn

所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．



2 2

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

8. , , 1,2, ,n n n na a a a

n n

n n nn n n

n n nn n n

n n nn n n

n n nn n n

p q n

A a p q

B a p q

C a p q

D a p q

例设则下列命题正确的是：

（）若条件收敛，则与都收敛；

（）若绝对收敛，则与都收敛；

（）若条件收敛，则与敛散性都不定；

（）若绝对收敛，则与敛散性都不定；

解

1 11 n nnn

nn aaa 收敛收敛，此时亦有绝对收敛，即若

，，又22

nnn

nnn

aap

aap

都收敛。与由级数的运算性质知

11 nn

nn qp



定理

2. 绝对收敛级数可重排性 :



绝对收敛级数可重排性

对级数，令

则有 i ) 和均为正项级数 ,

且有和 ;

i i ) , .















例 9



三阿贝尔判别法和狄里克雷判别法



推论 ( 阿贝尔引理 )

若 ,

且存在 M>0, ,

则 .



证明



定理(狄里克雷判别法) 若数列

单调递减收敛于 0, 且级数的部分

和数列有界, 则级数收敛.

利用阿贝尔变换

因单调递减收敛于 0，存在 N ，时



定理(阿贝尔判别法) 若数列单调有界,

且级数收敛, 则级数收敛.

证明：不妨设单调递减有下界

单调递减收敛于 0，

收敛（狄里克雷判别法），从而级数

收敛 .



例 10







例设数列单调减少趋于 0，讨论级

数的敛散性.

解：时，显然部分和等零，

时



由狄里可雷判别法，级数收敛.



例设 ↘ 0. 证明级数和

对收敛.

时，



可见时, 级数的部分和

有界 . 由 Di ri chl et 判别法推得级

数收敛 .

同理可得级数数收敛 .



四、小结

正项级数任意项级数

审

敛

法

1.

2.

4. 充要条件5. 比较法6. 比值法7. 根值法

4. 绝对收敛5. 交错级数

( 莱布尼茨定理 )

3. 按基本性质 ;

;,则级数收敛若 SSn

;,0, 则级数发散当 nun



思考题 1

设级数

1||

nnu收敛, 能否推得

1nnu收敛?反之

是否成立?



思考题 1 解答由级数||

1

nnu收敛，可以推得

1nnu收敛,

反之不成立 .

例如：

1

1)1(

n

n

n收敛 ,

1

1

n n发散 .



思考题 2

绝对收敛？若收敛是条件收敛还是

是否收敛？）（

）（判断级数

2 1

1

nn

n

n



思考题解答

发散；

发散，而）（

1

1 2

1

2

1

1

1

nn

nnn

u

nnnu

.1 无效，所以莱布尼兹判定法但因不满足，，首先认定是交错级数下面判断是否条件收敛

nn uu

.此处可用定义证明



)2

1

12

1()

4

1

5

1()

2

1

3

1(2

nns n

12

1)

2

1

12

1()

4

1

3

1(

2

12

nnn

s n 或

，为单调减少有下界数列ns2

；从而 ss nn

2lim

.原级数收敛

,0lim 12 nnu

所以 ssnn

lim

.1

1

2

条件收敛）（

）（级数

nn

n

n

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第十二章 数项级数

第十二章数项级数