数学九年级下： 6.4 《二次函数的应用》

(1)求 y与 x 的函数关系式及自变量的取值范围；

(2) 怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？

学海试帆 题 1 ： 如图，用长 20 米的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的菜园，设菜园的宽为 x 米，面积为 y 平方米。

A

B C

D

y

0x

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 7 8 9 1o-1 6

(1) 请用长 20 米的篱笆设计一个矩形的菜园。

(2) 怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？

A

B C

D

x y

2x

(0<x<10)

题 2：如图，在一面靠墙的空地上用长为 24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB为 x米，面积为 S

平米。(1)求 S与 x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当 x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为 8米，则求围成花圃的最大面积。 A

B C

D解： (1) AB∵ 为 x 米、篱笆长为 24

米 ∴ 花圃宽为（ 24－ 4x ）米

(3) ∵墙的可用长度为 8 米

(2)当 x ＝ 时， S 最大值＝ ＝ 36 （平方米）32

a

ba

bac

4

4 2

∴ S＝ x（ 24－ 4x ） ＝－ 4x2＋ 24 x （ 0<x<6 ）

∴ 0<24－ 4x ≤6 4≤x<6

∴当 x＝ 4cm 时， S 最大值＝ 32 平方米

学海探航

何时面积最大 题 3： 如何在一块三角形木板上裁出一个

面积最大的矩形？你有什么方案？

A B

CD

┐A

B

C

D

┐

M

NP

学海探航

(1).设矩形的一边 AB=xm,那么 AD边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为 ym2,当 x取何值时 ,y的最大值是多少 ?

何时面积最大

方案一：如图 , 在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB和 AD 分别在两直角边上 .

M

N40m

30m

A B

CD

┐

学海探航

(1).设矩形的一边 BC=xm,那么AB边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为 ym2,当 x取何值时 ,y的最大值是多少 ?

何时面积最大 方案二：如图 , 在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD ，其顶点 A 和点 D 分别在两直角边上 ,BC在斜边上 .

A

B

C

D

┐

M

NP40m

30m

xm

bm

: 1 . 50 , 24 .MN m PH m 解 由勾股定理得

xxxxxby 2425

1224

25

12.2 2

.30025

25

12 2 x

.3004

4,25

2:

2

a

bacy

a

bx 最大值时当或用公式

12, 24.

25AB bm b x 设 易得

H

G

┛

┛

学海探航

何时窗户通过的光线最多题 4 ：某建筑物的窗户如图所示 , 它的上半部是半圆 , 下半部是矩形 , 制造窗框的材料总长 ( 图中所有的黑线的长度和 ) 为 15m.当 x等于多少时 , 窗户通过的光线最多 ( 结果精确到 0.01m)? 此时 ,窗户的面积是多少 ? x x

y

.1574.1: xxy 由解 .4

715,

xxy

得

xx2

15

2

7 2

24

7152

22.2

22 xxxx

xxyS

窗户面积

.02.456

225

4

4,07.1

14

15

2:

2

a

bacy

a

bx 最大值时当或用公式

.56

225

14

15

2

72

x

学海探航 何时面积最大

7. 某建筑物的窗户如图所示 , 它的上半部是半圆 , 下半部是矩形 , 制造窗框的材料总长 ( 图中所有的黑线的长度和 )为 15m.当 x 等于多少时 , 窗户通过的光线最多 ? 此时 , 窗户的面积是多少 ? x x

y

1. 某工厂为了存放材料，需要围一个周长 160 米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大。

2. 窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的周长等于 6cm ，要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应该如何设计？

B C

DA O

学海弄潮

3. 用一块宽为 1.2m 的长方形铁板弯起两边做一个水槽，请比较下列方案中，水槽的横断面面积。

A D

120º

B C方案一

A

B C

D

方案二

学海弄潮

5.在矩形 ABCD中， AB＝ 6cm， BC＝ 12cm，点 P 从点 A出发，沿 AB边向点 B 以 1cm/秒的速度移动，同时，点 Q从点 B 出发沿 BC边向点 C 以 2cm/秒的速度移动。如果 P 、Q 两点在分别到达 B 、 C 两点后就停止移动，回答下列问题：（ 1 ）运动开始后第几秒时，△ PBQ的面积等于 8cm2

（ 2 ）设运动开始后第 t 秒时，五边形 APQCD的面积为 Scm2，写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量 t 的取值范围；t 为何值时 S 最小？求出 S 的最小值。

Q

P

C

BA

D

例 2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，点 C 的坐标为 (4,0) ，∠ AOC=60° ，垂直于 x 轴的直线 l从y 轴出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 l 与菱形 OABC 的两边分别交于点 M、 N(点M 在点N 的上方 ). 　(1)求 A、 B 两点的坐标；（ 2) 设△ OMN 的面积为 S ，直线 l 运动时间为 t秒(0≤t≤6) ，试求 S 与 t 的函数表达式；(3) 在题 (2) 的条件下， t 为何值时， S 的面积最大？最大面积是多少？

学海远征

. 二次函数 y=ax +bx+c 的图象的一部分如图所示，已知它的顶点 M 在第二象限，且经过点 A（ 1，0 ）和点 B（ 0， 1 ）。（ 04 杭州）

（ 1 ）请判断实数 a 的取值范围，并说明理由；

2

x

y

1B

1A

O54

（ 2 ）设此二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 C ， 当△ AMC 的面积为△ ABC的 倍时，求 a 的值。

-1＜ a＜ 0

学海远征

1.理解问题 ;

“ 二次函数应用” 的思路

回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流 .

2.分析问题中的变量和常量 ,以及它们之间的关系 ;

3.用数学的方式表示出它们之间的关系 ;

4.做数学求解 ;

5.检验结果的合理性 ,拓展等 .

学海归舟