П.Р.Зенкевич, А.В.Бархударян

Влияние критерия Нехорошева на динамическую апертуру кольцевых

накопителей с системой октупольных линз

Введение.• Октупольные линзы часто включаютс в структуру кольцевых накопителей для создания

зависимости частот поперечных колебаний частиц от амплитуды колебаний. Это необходимо для стабилизации поперечных когерентных неустойчивостей ;;однако, как показали последние исследования динамической апертуры (ДА) в синхротроне СИС100 (Дармштадт, Германия), динамическая апертура ДА магнитного кольца при этом уменьшается.

• Советский математик Н.Н.Нехорошев показал, что при выполнении определенных условий (критерий Нехорошева) динамическая система, описывающая одиночный нелинейный резонанс, устойчива (устойчивость по Нехорошеву).

Ю.Сеничев показал, что ДА кольца, в котором включена система коррекции хроматичности, может быть улучшена при установке двух семейств октупольных линз, удовлетворяющих критерия Нехорошева[4]. При этом остается открытым вопрос об учете влиянии ошибок магнитного поля на ДА.

Исследование этого вопроса и является целью настоящей работы.

Были спроектированы две структуры: одна с сильной модуляцией бета-функции, что позволяет выполнить критерий Нехорошева, и вторая структура, в которой этот критерий не выполнен. Для обеих структур рассчитана зависимость ДА от силы тока в октупольных обмотках при наличии систематических и случайных ошибок магнитного поля. Ряд параметров колец ( длина, энергия , бетатронная частота ) совпадали; основное отличие составлял разный набег фазы на период структуры.

Критерий Нехорошева 1.

• Советский математик Н.Н.Нехорошев показал, что при выполнении определенных условий (критерий Нехорошева) динамическая система, описывающая одиночный нелинейный резонанс, устойчива (устойчивость по Нехорошеву). Н.Нехорошев исследовал устойчивость динамической системы с гамильтонианом в переменных действие-фаза

где - малое возмущение.Эта динамическая система описывает одиночный нелинейный резонанс в канонических переменных.

• Нехорошев сформулировал критерий устойчивости динамической системы следующим образом. Система уравнений:

не должна иметь корней в области действительных чисел (за исключением тривиального решения . Мы видим, что устойчивость такой системы зависит только от свойств невозмущенного Гамильтониана

Каковы же должны быть эти свойства?

1

Критерий Нехорошева 2.

• Рассмотрим квадратичный двумерный гамильтониан:

Тогда второе уравнение системы (2) принимает вид:

Эта квадратичная форма не имеет действительных корней при условии:

• В стандартных обозначениях MADX , где

бетатронные частоты поперечных колебаний. В этих обозначениях критерий Нехорошева для поперечных колебаний в магнитном кольце можно записать в следующем виде:

Семейства октупольных линз.

• В сглаженном приближении такой Гамильтониан можно создать с помощью октупольных линз. Рассмотрим два симметричных семейства октуполей (одно в горизонтальной плоскости, другой в вертикальной). Число октуполей , сила октуполей , значения β функций на месте расположения октуполей : . В этом случае получим:

• Подставляя эти формулы в критерий Нехорошева, получим следующее условие:

• Решением неравенства (9) является условие

• Задачей настоящей работы является проверка влияния критерия Нехорошева на динамическую апертуру (ДА) кольца, включающего два семейства октупольных линз , с учетом влияния систематических и случайных ошибок магнитного поля.

(

732.3)/()( 11 yx

Параметры колец 1.Наимен. 1 кольцо 2 кольцо

E (ГэВ) 10 10

B (Тл) 1.8 1.8

L (м) 534 534

(ГэВ) 4.88 5.25

Q 11.41 11.41

Схема яч. ФОДО ФОДО

36 72

114.1 57.0

0.5 0.5

( ) 0.4342 0.5125

-0.4605 -0.5298

perN

trE

cell

quadL

FK 2m

DK

Параметры колец 2.1 кольцо 2 кольцо

1.618 0.808

(βx )max (м) 27.023 12.560

(βx )min (м) 2.699 4.723

10.0 2.66

(βy )max (м) 28.709 12.695

(βy )min (м) 2.715 4.740

10.6 2.68

minmax )/()( xx

minmax )/()( yy

dipL

Рис.1. Структура ячейки, октуполи и β функции в периоде структуры 1-го кольца

0 5 10 15

расстояние, метры

-2

8

18

28

бе

та

фун

кци

и, м

ет

ры

Рис.2. Структура ячейки, октуполи и β функции в периоде структуры 2-го кольца.

1 3 5 7

расстояние, метры

-1

3

7

11

бет

а ф

ункц

ии,

мет

ры

Вычисления ангармонических коэффициентов с помощью программы MADX показывают выполнение критерия Нехорошева в 1-м кольце (сильная модуляция β функций). Во втором кольце критерий Нехорошева не выполнен.

Динамическая апертура колец 1.

0 50 100 150 200Ех мм*мрад

0

50

100

150

200

Еу

мм

*мр

ад

Рис.3. Динамическая апертура 1-го кольца.● − N∙K3 = 0, ∆ − N∙K3 = 600м-4, □ − N∙K3

= 1200м-4 , N = N1 = N2 = 36

0 100 200 300

Ех мм*мрад

0

100

200

300

400

Еу

м

м*м

рад

Рис.4. Динамическая апертура 2-го кольца. ● − N∙K3 = 0, ∆ − N∙K3 = 600м-4 ,

□ − N∙K3 = 1200м-4 , N = N1 = N2 = 72.

Расчеты ДА проведены при наличии регулярной нелинейности в магнитной структуре кольца с помощью программы MADX. Коэффициенты нелинейности заданы такие же, как в проекте SIS100. Мы видим, что в обоих кольцах динамическая апертура падает с ростом тока в октупольных обмотках; однако, в случае удовлетворения КН это падение более медленное (25 % в первом кольце и 60% во втором).

Динамическая апертура колец 2.

0 20 40 60 80 100Ех мм*мрад

0

20

40

60

80

100

Еу

мм

*мрад

Динамическая апертура 1-го кольца при наличии флуктуаций полей в дипольных

магнитах и квадрупольных линзах. ● − N∙K3

= 0, ∆ − N∙K3 = 600м-4, □ − N∙K3 = 1200м-4 , N = N1 = N2 = 36.

0 50 100 150 200 250Ех мм*мрад

0

100

200

300

Еу

мм

*мрад

Динамическая апертура 2-го кольца при наличии флуктуаций полей в дипольных магнитах и квадрупольных линзах. ● − N∙K3 = 0, ∆ − N∙K3 = 1200м-4, □ − N∙K3 =

2400м-4 , N = N1 = N2 = 72.

Дискуссия.

• Ускоритель отличается от рассмотренной Н.Н.Нехорошевым простейшей динамической системы рядом особенностей:

1. Гамильтониан для семейств октупольных линз не является точным: он получен с помощью метода усреднения в первом порядке по теории возмущений. Наряду с членами, включенными в квадратичный двумерный гамильтониан , он содержит также октупольные гармоники., которые уменьшают динамическую апертуру даже в отсутствие возмущений магнитного поля

2 Возмущение содержит широкий спектр гармоник и не сводится к члену ; в общем случае при пересечении резонансов возмущенный гамильтониан зависит также от продольной переменной s, а в этом случае теорема Нехрошева не действует.

• Вероятно, именно в силу этих особенностей октупольные семейства ухудшают ДА даже при выполнении критерия Нехорошева. Эти результаты, строго говоря, относятся только к рассмотренному примеру. Следует, однако, ожидать, что этот вывод справедлив и для колец с другой магнитной структур ой.

• Заметим, что первое возражение (неточность Гамильтониана) может быть снято при специальном выборе магнитной структуры (идея С.Нагайцева и Co). Второе возражение, однако, остается в силе.

• Призываем молодое поколение продолжить исследование этой увлекательной темы!