ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΑΣΑΦΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΑΣΑΦΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ

ΚΑΚΑΛΟΥ ΔΙΟΝΥΣΙΑΚΑΚΑΛΟΥ ΔΙΟΝΥΣΙΑ

ΑΕΜ: 4403ΑΕΜ: 4403

ΕΙΣΑΓΩΓΗΕΙΣΑΓΩΓΗ

Τα πραγματικά συστήματα πολύ δύσκολα Τα πραγματικά συστήματα πολύ δύσκολα μοντελοποιούνται μαθηματικά. μοντελοποιούνται μαθηματικά.

Ο ασαφής έλεγχος αντιτίθεται ριζικά στην Ο ασαφής έλεγχος αντιτίθεται ριζικά στην παραπάνω φιλοσοφία και αντιπροτείνει παραπάνω φιλοσοφία και αντιπροτείνει

μια νέα προσέγγιση, χρησιμοποιώντας ένα μια νέα προσέγγιση, χρησιμοποιώντας ένα γλωσσικό μοντέλο του υπό εξέταση γλωσσικό μοντέλο του υπό εξέταση

συστήματος για την κατασκευή του οποίου συστήματος για την κατασκευή του οποίου έχει ως εργαλείο τη θεωρία των έχει ως εργαλείο τη θεωρία των

ασαφών συνόλων ασαφών συνόλων

ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ (ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ (ΠΡΙΝΠΡΙΝ))

1ο πρωτοποριακό άρθρο 1ο πρωτοποριακό άρθρο Η νέα θεωρία των ασαφών συνόλων, Η νέα θεωρία των ασαφών συνόλων,

έρχεται σε αντίθεση με τα κλασσικά έρχεται σε αντίθεση με τα κλασσικά μαθηματικά. Αποτέλεσμα:μαθηματικά. Αποτέλεσμα:

Δεν πάρθηκε σοβαρά υπόψη από κανέναν Δεν πάρθηκε σοβαρά υπόψη από κανέναν επιστημονικό κύκλοεπιστημονικό κύκλο

Επιμονή Επιμονή Zadeh Zadeh με 3 επόμενες με 3 επόμενες δημοσιεύσεις το 1971, ‘72, ’74δημοσιεύσεις το 1971, ‘72, ’74

L. Zadeh το 1965

ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ (ΠΡΙΝ) ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ (ΠΡΙΝ) συνέχειασυνέχεια

1η πρακτική εφαρμογή το 1974, σε ένα 1η πρακτική εφαρμογή το 1974, σε ένα άσημο κολέγιο του Λονδίνου (άσημο κολέγιο του Λονδίνου (Queen Mary Queen Mary College)College) και αφορούσε: και αφορούσε:

Τον έλεγχο μιας μηχανής ατμού (Τον έλεγχο μιας μηχανής ατμού (pilot scale pilot scale steam engine)steam engine)

Έπειτα εκρηκτική ανάπτυξη του ασαφούς Έπειτα εκρηκτική ανάπτυξη του ασαφούς ελέγχου. ελέγχου.

ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ (ΣΗΜΕΡΑ)ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ (ΣΗΜΕΡΑ)

4 περιοχές συγκέντρωσης της παγκόσμιας 4 περιοχές συγκέντρωσης της παγκόσμιας ερευνητικής προσπάθειας : ερευνητικής προσπάθειας :

α) Σχεδίαση ελεγκτών βασισμένους σε α) Σχεδίαση ελεγκτών βασισμένους σε κανόνεςκανόνες

β) Ανάλυση σημειακών συστημάτωνβ) Ανάλυση σημειακών συστημάτων

γ) Θεωρία ασαφών δυναμικών συστημάτωνγ) Θεωρία ασαφών δυναμικών συστημάτων

δ) Ασαφής βελτιστοποίησηδ) Ασαφής βελτιστοποίηση

ΚΛΑΣΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑΚΛΑΣΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ Για την κλασική περίπτωση συνόλων ο βαθμός

συμμετοχής των στοιχείων του συνόλου παίρνει τιμές μόνο “0” ή “1”, δηλαδή:

Έτσι έχουμε την έννοια των καθαρών συνόλων (crisp sets) που είναι τα σύνολα των οποίων τα στοιχεία τους έχουν αντίστοιχες τιμές μόνο 0 ή 1 στην αριθμητική σχέση συμμετοχής τους. Δηλαδή η αριθμητική σχέση συμμετοχής τους εκφράζει όλες ή καμία από τις ιδιότητες των στοιχείων.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Α = {μήλο, αχλάδι, αβοκάντο} (1 0 1). Υπάρχει μήλο και αβοκάντο στην φρουτιέρα.Η συμμετοχή τους είναι 1.

Επίσης δεν υπάρχει αχλάδι στην φρουτιέρα. Η συμμετοχή του είναι 0.

ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ

Για την περίπτωση των ασαφών συνόλων ο βαθμός συμμετοχής των στοιχείων του συνόλου παίρνει πραγματικές τιμές στο διάστημα [0, 1], δηλαδή:

Παράδειγμα :Α = {μήλο, αχλάδι, αβοκάντο} (1.0 0.1 0.7). Το μήλο είναι τέλειο, το αχλάδι έχει σημάδια και το αβοκάντο έχει κοψίματα στην φλούδα του.

Έτσι στη θεωρία της ασαφούς λογικής η αριθμητική σχέση παίρνει πολλαπλές τιμές στο πραγματικό διάστημα [0, 1], ενώ στην κλασική περίπτωση των καθαρών τιμών είναι μόνο δυο οι τιμές “0” ή “1”. Επίσης με την έννοια των ασαφών συνόλων έχουμε:

που εξηγεί ότι αβεβαιότητα ή ασάφεια δεν είναι το ίδιο με την τυχαιότητα ή πιθανότητα.

Επίσης γνωρίζουμε ότι από πλευράς μεγέθους ο χώρος των δειγμάτων (sample space) δεν μπορεί να είναι πολύ μεγάλος. Αλλιώς ένα θετικό μέτρο, όπως οι πιθανότητες, δεν μπορεί να είναι συγχρόνως αριθμητικά προσθετέο και περιορισμένο (additive & finite) που επίσης αποδεικνύει ότι δεν μπορεί να είναι μέτρο πιθανοτήτων.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΑΣΑΦΟΥΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΑΣΑΦΟΥΣ ΣΥΝΟΛΟΥΣΥΝΟΛΟΥ

Έστω Χ υπερσύνολο αναφοράς και Α υποσύνολο του Χ τότε:

Το Α καλείται ασαφές υποσύνολο του Χ

όταν και μόνο όταν

Α = { (χ,μΑ (χ) | χεΧ, μΑ (χ): Χ [0,1] }

ΠΡΑΞΕΙΣ ΕΠΙ ΤΩΝ ΑΣΑΦΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝΠΡΑΞΕΙΣ ΕΠΙ ΤΩΝ ΑΣΑΦΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝΈστω Χ υπερσύνολο αναφοράς και Α,Β ασαφή υποσύνολα Έστω Χ υπερσύνολο αναφοράς και Α,Β ασαφή υποσύνολα

του Χ , τότε ορίζουμε τα ακόλουθα :του Χ , τότε ορίζουμε τα ακόλουθα :

1. Αλγεβρικό άθροισμα:1. Αλγεβρικό άθροισμα:

Α+Β = { (χ,μΑ+Β = { (χ,μΑ+Β Α+Β (χ) (χ) || χεΧ, μ χεΧ, μΑ+Β Α+Β (χ) =μ(χ) =μΑΑ(χ)+μ(χ)+μΒΒ(χ)-μ(χ)-μΑΑ(χ)*μ(χ)*μΒΒ(χ)}(χ)}

2. Αλγεβρικό γινόμενο : 2. Αλγεβρικό γινόμενο :

ΑΒ = { (χ,μΑΒ = { (χ,μΑΒΑΒ (χ) (χ) || χεΧ, μ χεΧ, μΑΒ ΑΒ (χ)(χ) =μ=μΑΑ(χ) * μ(χ) * μΒΒ(χ) }(χ) }

3.Τομή : 3.Τομή : C=C=Α∩Β = { (χ,μΑ∩Β = { (χ,μCC(χ) (χ) || χεΧ, μ χεΧ, μCC(χ) =(χ) =min(min(μμΑΑ(χ),μ(χ),μΒΒ(χ)) }(χ)) }

4.Ένωση:4.Ένωση:D=AỦB= { (x,D=AỦB= { (x,μμDD(χ) (χ) || χεΧ, μ χεΧ, μDD(χ) =(χ) =max(max(μμΑΑ(χ),μ(χ),μΒΒ(χ) }(χ) }

5.Συμπλήρωμα: Α5.Συμπλήρωμα: Αcc= { (χ,μ= { (χ,μAAcc(χ) (χ) || χεΧ, μ χεΧ, μΑΑ

cc(χ) = 1-μ(χ) = 1-μΑΑ (χ) } (χ) }

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Έστω Χ = { σπίτια με 1 ή 2 ή 3…ή 10 δωμάτια }Έστω Χ = { σπίτια με 1 ή 2 ή 3…ή 10 δωμάτια } Α = { σπίτια ``κατάλληλα΄΄ για 4-μελή οικογένεια }Α = { σπίτια ``κατάλληλα΄΄ για 4-μελή οικογένεια } Β = { σπίτια ``μεγάλα΄΄ σε επιφάνεια }Β = { σπίτια ``μεγάλα΄΄ σε επιφάνεια }Τα Α, Β αποτελούν ασαφή υποσύνολα του Χ.Τα Α, Β αποτελούν ασαφή υποσύνολα του Χ.Αν Α = 0,2/1 + 0,5/2 + 0,8/3 + 1/4 + 0,7/5 + 0,3/6 Αν Α = 0,2/1 + 0,5/2 + 0,8/3 + 1/4 + 0,7/5 + 0,3/6 Β = 0,2/3 + 0,4/4 + 0,6/5 + 0,8/6 + 1/7 + 1/8 Β = 0,2/3 + 0,4/4 + 0,6/5 + 0,8/6 + 1/7 + 1/8

Τότε Τότε CC= Α= Α∩Β = { σπίτια `κατάλληλα΄ για 4-μελή οικογένεια και ∩Β = { σπίτια `κατάλληλα΄ για 4-μελή οικογένεια και `μεγάλα΄ σε επιφάνεια } = 0.2/3 + 0.4/4 + 0.6/5 + 0.3/6`μεγάλα΄ σε επιφάνεια } = 0.2/3 + 0.4/4 + 0.6/5 + 0.3/6

D = D = ΑυΒ = {σπίτια `κατάλληλα΄ για 4-μελή οικογένεια ή μεγάλα σε ΑυΒ = {σπίτια `κατάλληλα΄ για 4-μελή οικογένεια ή μεγάλα σε επιφάνεια } =0.2/1 + 0.5/2 + 0.8/3 + 1/4 + 0.7/5 + 0.8/6 + 1/7 + επιφάνεια } =0.2/1 + 0.5/2 + 0.8/3 + 1/4 + 0.7/5 + 0.8/6 + 1/7 + 1/81/8

ΑΑcc= {= {σπίτια ακατάλληλα για 4-μελή οικ.}=0.8/1 + 0.5/2 + 0.2/3 + σπίτια ακατάλληλα για 4-μελή οικ.}=0.8/1 + 0.5/2 + 0.2/3 + Ο.3/5 + 0.7/6Ο.3/5 + 0.7/6

ΒΒcc= {σπίτια μικρά σε επιφάνεια}=1/1 + ½ + 0,8/3 + 0.6/4 + 0.4/5= {σπίτια μικρά σε επιφάνεια}=1/1 + ½ + 0,8/3 + 0.6/4 + 0.4/5 + + 0.2/6 0.2/6

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΑΦΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΣΤΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΑΦΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΣΤΗ ΒΙΟΛΟΓΙΑΒΙΟΛΟΓΙΑ

Τα ασαφή σύνολα μπορεί να αποτελέσουν ένα Τα ασαφή σύνολα μπορεί να αποτελέσουν ένα σημαντικό εργαλείο για την εξαγωγή συμπερασμάτων σημαντικό εργαλείο για την εξαγωγή συμπερασμάτων στη βιολογία όπως :στη βιολογία όπως :

Ανάλυση σχέσεων μεταξύ βλάστησης και Ανάλυση σχέσεων μεταξύ βλάστησης και περιβάλλοντοςπεριβάλλοντος

Εντοπισμός προβλημάτων πληθυσμών Εντοπισμός προβλημάτων πληθυσμών όπως:προτιμήσεις στο φαγητό, επιλογή κατάλληλου όπως:προτιμήσεις στο φαγητό, επιλογή κατάλληλου ενδιαιτήματος, περιβαλλοντικούς περιορισμούς κλπενδιαιτήματος, περιβαλλοντικούς περιορισμούς κλπ

Μετατροπή τιμών έκφρασης βιολογικών γονιδίων σε Μετατροπή τιμών έκφρασης βιολογικών γονιδίων σε ποιοτικές περιγραφές, που μπορούν να αξιολογηθούν.ποιοτικές περιγραφές, που μπορούν να αξιολογηθούν.

Κατηγοριοποίηση των ειδών σε σχέση με το φυσικό Κατηγοριοποίηση των ειδών σε σχέση με το φυσικό περιβάλλον.περιβάλλον.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩΕΥΧΑΡΙΣΤΩ