单 臂 电 桥 测 电 阻 （一）

今天，我们学习单臂电桥测电阻这个实验。电阻在工农业生产、家庭生活、科学实验研究等许多领域都具有着广泛的应用，因此，电阻阻值的准确测量具有重要的理论价值和实用意义。我们在前面的实验课上，已经学习了多种测量电阻的方法，比如伏安法测电阻，双臂电桥测电阻等等。每一种测量电阻的方法都具有不同的特点和适用条件。今天，我们学习另外一种测量电阻的方法，即用单臂电桥来测量电阻。通过本次实验的学习，要达到两个目的，第一，学习单臂电桥测电阻的基本原理和具体的操作方法；第二，掌握电桥灵敏度的概念以及电桥灵敏度对测量的影响。

单臂电桥测量电阻电路原理图

（二） 我们首先讨论 1. 单臂电桥测电阻的原理。上图（图

略）为单臂电桥测量电阻的电路原理图，图中包含有四个电阻， RX 为待测电阻，是测量的对象； R1 、 R2 均为已知电阻；电阻 R3 的阻值不但已知，而且具有较大的调节范围。开关 K1 闭合后，电流从电源的正极出发，在 a 点分流为两个部分，由左朝右，分别经过 b 点和 c点，在 d 点重新汇合，回到电源负极。整个电路的关键部分在于在 b 点和 c 点之间架了一个“桥”，检流计用来指示“桥”上有没有电流。在实验中，根据检流计指针的偏转情况，相应地调节电阻 R3 的值，直到检流计指针指零，“桥”上的电流等于零，整个电路达到了一个特殊的状态，称为电桥的平衡状态。本次实验正是利用电桥的平衡状态测量电阻的。

其中 E 表示电源电压。化简上式，可以得到一个简明而重要的关系式，标记为（ 1 ）

电桥平衡时，检流计指针指零，“桥”上的电流等于零，b 点和 c 点电位相等，因而 a 、 b 两点的电压 U a b 和a 、 c 两点的电压 U a c 相等。 U a b 就是电阻 R1 上的电压，可以表示为 R1 的阻值和通过 R1 的电流的乘积，即

U a c 就是电阻 R2 上的电压，可以表示为 R2 的阻值和相应的通过 R2 的电流的乘积

322

11 RR

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RR

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x

32

1 RR

RRx

公式（ 1 ）表示，当电桥处于平衡状态时， RX 等于R1 除以 R2 乘以 R3 。因为 R1 、 R2 、 R3 均为已知电阻，从而达到我们测量电阻 RX 的目的。

其中 R1 、 R2 是以比值的形式出现的，因而在电路中称 R1 和 R2 为比例臂； R3 是用来调节电桥以达到平衡状态的，称为比较臂； RX 是待测电阻，称为测量臂。这样，整个电桥就是由四个桥臂和一个“桥”共同构成。

由以上讨论可以知道，单臂单桥是否处于平衡状态，决定于四个桥臂电阻的值，与电源电压没有关系。我们的测量避免了电源电压波动的影响，因此误差更小，精度更高，测量更可靠，这是用单臂单桥测量电阻的一个主要特点，精度比较高。

（三） 2. 测量不确定度 我们都知道，任何测量过程都不可避免地存在

着误差。因此，误差分析是一个完整的实验过程中不可缺少的重要环节。在原来的物理实验课上，对于每一个实验，都包括相应的误差分析部分，比如系统误差的分析和计算、偶然误差的分析和计算、误差的合成与表达等等。而现在，情况有所变化，我们大家所熟悉的误差理论已经为国际计量界所淘汰，取而代之的是一种更科学，更合理，实际操作性更强的新的理论体系，叫做不确定度理论。在该理论中，对于任何测量过程，根据一定的程序，计算一个参数，叫做测量不确定度，用测量不确定度这个参数定量的评价测量的质量。测量不确定度越小，测量质量越高。适应这一转变，在现在的物理实验课上，我们也要求同学们应用不确定度理论来评价测量质量，而不再使用误差分析理论。

那么，对于单臂电桥测量电阻这一测量过程，如何计算测量不确定度呢？具体计算步骤如下：

（ 1 ）计算仪器误差限 Δins 。一定程度上，可以说，测量的好坏，决定于所使用的测量仪器的好坏。测量仪器的好坏用仪器的精度等级来表示，仪器的精度等级对测量的影响称为仪器误差，而仪器误差限对应仪器误差的上限。对于单臂电桥测量电阻这一测量过程，相应的仪器误差限等于

其中 K 就是单臂电桥的精度等级，标示在单臂电桥的铭牌上； RX 是待测电阻值，见（ 1 ）； RN 是 RX 的数量级，比如，经过测量， RX 等于 432.1Ω ，因为 RX 是几百欧姆的电阻，因此，取 RN 为 102 ；又比如，经过测量， RX 等于 5678Ω ，因为 RX 是几千欧姆的电阻，因此，取 RN 为 103 。总之， RN 是 RX 的数量级。

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%

x

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（ 2 ）计算灵敏度误差限 Δs 要搞清楚什么是灵敏度误差限，如何计算灵敏度误差限，必须首先搞清楚另外一个问题：什么是单臂电桥的灵敏度？

单臂电桥的灵敏度 S=Δn/ΔRX ，单位：格 /欧姆。定义为：当电桥处于平衡状态时，待测电阻的变化引起的检流计指针的偏转程度。灵敏度越大，检流计对于待测电阻的变化越敏感，我们对于电桥的平衡状态的判断越准确，测量质量越高。

电桥的灵敏度也是影响测量质量的一个主要因素。电桥的灵敏度对测量的影响称为灵敏度误差，而灵敏度误差限对应灵敏度误差的上限。灵敏度误差限 Δs 与电桥的灵敏度的关系是

Δs=0.2格 /S 单位：欧姆 （ 3 ） 灵敏度 S越大，灵敏度误差限 Δs越小，测量质量越高。其

中的 0.2格是计量上的一个约定。当检流计偏转量比较大时，人的眼睛容易分辨；当检流计偏转量很小很小时，人的眼睛无法分辨。能够分辨和无法分辨的界限，计量上约定为 0.2格，即检流计最小刻度的 1/5 。

公式（ 4 ）的推导要用到公式（ 1 ）。其中 R1 、 R2 、R3 对应电桥的平衡状态。在平衡状态时改变比较臂电阻R3 到 R3' ，相应地检流计偏转了 Δn格，从而求得电桥的灵敏度 S 。应用（ 3 ）就可以求得灵敏度误差限 Δs 。

只有知道了电桥的灵敏度 S ，才能计算灵敏度误差限Δs 。在我们今天的实验中，待测电阻 RX 是给定的，无法改变。因此，不能直接用灵敏度的定义式来测量电桥的灵敏度 S 。当电桥处于平衡状态时，待测电阻 RX 的变化可以引起检流计的偏转，比较臂电阻 R3 的变化也可以引起检流计同样的的偏转。因此，在今天的实验中，我们用比较臂电阻 R3 的变化等效待测电阻 RX 的变化，从而测量电桥的灵敏度 S ，具体计算公式是 ( 单位：格 /欧姆 )

)4('33

2

1 RRRR

nS

测量不确定度是仪器误差限和灵敏度误差限的合成，因为仪器

误差和灵敏度误差是两个独立的变量，因此合成时采用了矢量合成的形式。其中的系数是因为仪器误差限和灵敏度误差限对应的都是误差上限，而测量不确定度对应的不是误差上限，而是一倍标准差。要把仪器误差限和灵敏度误差限化为一倍标准差就需要乘一个系数。误差分布不同，系数也不同，因为仪器误差和灵敏度误差均服从均匀分布，数学上可以证明，这个系数就是。

（ 3 ）计算测量不确定度下标表示待测电阻 RX 的不确定度。 （ 1 ）中我们讨论了电桥的精度等级是影响测量的一个重要因素；（ 2 ）中我们讨论了电桥的灵敏度也是影响测量的一个重要因素。在单臂电桥测 量电阻的过程中，影响测量质量的因素很多，但主要因素就这两个。我们忽略其他次要因素，从而求得测量不确定度为 ( 单位：欧姆 )

)5(33

22

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xR

在原理的第一部分，我们讨论了如何得到待测电阻的值，在原理的第二部分，我们讨论了如何得到测量不确定度的值。公式（ 6 ）就是将这两部分综合在一起的完整的测量结果表达式，它表示：我们的测量结果 RX 等于测量值——见（ 1 ），加减测量不确定度——见（ 6 ），单位欧姆，括弧 P=0683 是置信概率；等于不确定度除以测量值并把商化为百分数，表示相对不确定度，相应的，也叫做绝对不确定度。这种形式是国家有关计量标准所要求的，也是国际社会通用的。我们再次强调测量结果表述的规范性，因为只有这样才有利于国内或者国外，同行之间或者不同行之间互相引用，互相比对，互相参考，互相验证等等。

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x

RR

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x

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（ 4 ）测量结果表达式

（四）[ 实验仪器 ]本次实验用到的仪器主要有单臂电桥，直流稳压电源，

待测电阻以及若干导线等。关于稳压电源，前面实验多次用过，不再介绍。下面重点介绍单臂电桥的使用。下面我们对照电桥的原理图来了解 QJ23型直流箱式电阻电桥的面板上每个旋钮的功能和使用方法。

1. 原理图上的待测电阻 RX 由面板右下角的 RX接入端接入

2. 原理图上的比例臂 R1,R2 在面板上是一个旋钮 R1/R2 ，有七种选择： 0.001 ， 0.01 ， 0.1 ， 1 ， 10 ， 100 ， 1000 ；

3. R3旋钮由四个盘共同构成，分别代表个位，十位，百位，千位；

4. 检流计和检流计机械调零； 5. 外接电源接入端 B ；6. 两个按键开关，电源开关 B ，检流计开关 G 。

[实验内容 ]1. 测量两个给定电阻的电阻值和相应电桥灵敏度，

计算测量不确定度，写出测量结果的完整表达式；2. 研究电桥的灵敏度与电源电压的关系。取电源电

压依次为 1.0 伏、 2.0 伏、 3.0 伏和 4.0 伏，测量相应的电桥灵敏度。根据实验结果分析电桥灵敏度与电

源电压的关系，加深对于电桥灵敏度概念的理解。

[实验步骤 ]用单臂电桥测电阻的实验步骤是：1. 调零，检流计零点调节；2.连线，用导线连接电桥和直流电源、待测电阻；3.预置，依据（ 1 ）待测电阻 RX 的估计值，（ 2 ） R3 的最

高位（千位）不能为零，设置 R1/R2旋钮和 R3旋钮的初始值；4. 调平衡，打开电源开关，选取适当电压（取 4.5 伏），按下

B 、 G 开关，观察检流计指针偏转情况，相应调节电阻 R3 ，直到检流计指针指零，这时，电桥达到平衡状态。记录 R1/R2 = ， R3= ；

5. 测灵敏度，调节 R3 ，使检流计指针左偏（或右偏） 3 到 5个刻度范围，记录 R3= ， Δn = ；

6. 检查数据，整理仪器。 关于另外一个电阻的测量以及研究电桥的灵敏度与电源电压

的关系部分的实验步骤略。同学们可以参照以上操作步骤，自行拟定实验步骤，认真操作实验。

[注意事项 ]1. 不能长时间按下按钮 B ，持续通电易使桥臂电阻升温，影响实验精度；

2. 不能长时间按下按钮 G ，否则可能烧坏检流计。 总之，要间断通电，不能连续通电。

以上我们讨论了单臂电桥测量电阻这个实验的六个方面的问题，实验目的、实验原理、实验仪器、实验内容、实验步骤和注意事项，重点介绍了实验基本原理和测量不确定度的计算。要注意搞清楚四个问题，什么是单臂电桥，什么是电桥的平衡状态，什么是测量不确定度，什么是电桥的灵敏度。我们的讨论就进行到这里，下面同学们自己独立完成实验操作，有什么问题随时和我联系。