Частинні похідні, градієнт і похідна у напрямку

Підготували студенти 7 групи

Загородній НазарійОлійник Ігор

Зміст1. Частинні похідні.Приклади вокористання частинних похідних.

2. Градієнт.Приклад використання градієнта.

3. Похідна за напрямом.Приклад використання похідної.

Частинні похідніЧастинною (частковою) похідною від функції f(x,y) за

аргументом x називається границя

Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом y визначають аналогічно.

Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі позначення :

fx(x,y); zx; ;

fy(x,y); zy; .

Частинні похідні та задають напрями дотичних до поверхні z = f(x,y).

Варто пригадати, що звичайна похідна f(x) = задає напрям

дотичної до кривої y = f(x).

dx

yxfyxxf

xxyxf

),(),(

0

lim,

x

f

x

z

;

y

f

y

z

;

x

z

y

z

dx

df

Приклади1. Нехай

Тоді

2. Нехай Q=K0.6L0.4. Знайдемо відповідні частинні похідні

(Випуск продукції зростає зі збільшенням затрат як капіталу, так і праці).

22 324 yxyxz yx

y

zyx

x

z6228

06.06.06.04.0

4.04.04.0

K

Q

K

LLK

K

Q

04.04.04.06.0

6.06.06.0

L

Q

L

KLK

L

Q

ГрадієнтГрадієнт — векторна величина, яка визначає в

кожній точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок найшвидшої зміни функції, що залежить від координат.

Для скалярного поля градієнт визначається формулою:

де i, j, k - орти системи відліку.Це означення узагальнюється на простори будь-

якої розмірності

ПрикладГрадієнт скалярного поляГрадієнт скалярного поля (рос. градиент

скалярного поля, англ. gradient of scalar field, нім. Skalarfeld-Gradient m) – вектор, проекціями якого на координатні осі є частинні похідні функції, яка описує дане поле. Практичне тлумачення полягає в тому, що він визначає напрям, у якому задане скалярне поле змінюється найшвидше.

Похідна за напрямомДля характеристики зміни скалярного поля в

заданому напрямі вводять поняття похідної за напрямом.

Виведемо формулу для обчислення похідної за напрямом . припустимо , що функція u(x;y;z) диференційована в точці M. Тоді її повний приріст в цій точці можна записати так:

де нескінченно малі функції при .

то

zyxzz

uy

y

ux

x

uul

32

321 ,, 0l

coscoscoscoscoscos 321

z

u

y

u

x

u

l

ul

Перейшовши до границі при ,дістанемо формулу для обчислення похідної за напрямом

З формули випливає, що частинні похідні є окремими випадками похідної за напрямом.

0l

coscoscosz

u

y

u

x

u

l

u

ПрикладЗнайти похідну функції в точці A(1;2;-

1) за напрямом від точки А до точки B(2;4;-3). З'ясувати характер зміни поля в даному напрямі.

Знаходимо вектор і його напрямні косинуси:

Тепер обчислимо значення частинних похідних в точці А:

Оскільки , то задана функція в даному напрямі зростає.

22 2 yxzxu

ABl

3

2cos,

3

2cos,

3

1cos,22 kjil

3

16)3

2(2

3

24

3

14;22;2;422

AA

AA

AA

A l

ux

z

uy

y

uzx

x

u

0l

u