第三章 电阻电路的一般分析

3-1 电路的图3-2 KCL 和 KVL 的独立方程数3-3 支路电流法3-4 网孔电流法3-5 回路电流法3-6 结点电压法

重 点 1 、电路的图、“树” 的概念

2 、结点法 3 、网孔法 难 点

1 、树的概念2 、一般分析中处理受控源问题

3 、结点法的纯压源处理、回路法的纯流源处理

支路法、回路法 ( 网孔法 ) 、结点法

本章一般分析方法的基本思想：(KVL 、 KCL)+VAR = 电路方程

网络图论与矩阵分析、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。

3-1 电路的图

一、 电路的图 0.01 + 19V - 2 4 I1 + 4A 30V 1 _ 1.5I1

电路的节点和支路的集合，称为电路的图，用 G 表示。在图上，每一条支路的两端都连接到相应的节点上。

1 、定义：

意义：电路的图表明了其联接特性 ( 但不表明支路特性 ) ，适用于同结构的电路。

G

有向图是指各个支路规定了 i 、 u 关联参考方向的图，反之，称为无向图。

2 、 有向图

当图 G 中的任意两个节点之间至少存在一条路径时，称为连通图。3 、连通图

1 a c 2 b 3 d e 4 f

1 a c 2 b 3 d e 4

1 a c 2 b 3 d e 4 f

1 a c 2 b 3 d e 4 f

1 a c 2 b 3 d e 4 f

1 a c 2 b 3 d e 4

1 a c 2 b 3 d e 4 f

1 a c 2 b 3 d e 4 f

4 、子图 如 Gi 的每个结点、支路，也是 G 的结点和支路，则称 Gi 是 G 的一个子图 .

二、 树的概念 :

一个连通图 G 的树 T 是指 G 的一个连通子图，它包含 G 的全部节点，但不含任何回路。 1 a c 2 b 3 d e 4 f

1 a c 2 b 3 d e 4 f

1 a c 2 b 3 d e 4 f

1 a c 2 b 3 d e 4 f

树支数 )( 1n 连支数 )( 1nb

1 定义：

树数 2nn

树中的支路称为“树支” ；不属于 T 的其他支路称为“连支” 。( 其中 : n 是节点数， b 是支路数 )

2 基本回路 :

只含一条连支的回路称为单连支回路，它们的总和为一组独立回路，称为“基本回路”。树一经选定，基本回路唯一地确定下来。)( 1nb 基本回路数 ( 组 )

1 a c 2 b 3 d e 4 f

1 a c 2 b 3 d e 4 f

1 a c 2 b 3 d e 4 f

1 a c 2 b 3 d e 4 f

3-2 KCL 和 KVL 的独立方程数

1 1 3 2 2 3 4 5 4 6

KCL:

KVL:

0321 iii

0542 iii

0641 iii0653 iii

0421 uuu0532 uuu

0654 uuu

0631 uuu

1 1 3 2 2 3 4 5 4 6

1 2

34

只有三个是独立的

只有三个是独立的

1 、问题的提出： 4 个节点， 6 条支路

1 1 3 2 2 3 4 5 4 6

4 个节点， 6 条支路

KCL 方程 3 个独立；KVL 方程 3 个独立 .

2 、结论：KCL 的独立方程数： )( 1n KVL 的独立方程数： )( 1nb

树支数 )( 1n 连支数 )( 1nb 3 、说明：(1) KVL:

(2) KCL:

独立方程数

平面图上的全部网孔是一组独立回路独立回路：每个回路至少有一条新支路

b-(n-1) 个单连支回路组独立回路数

单树支割集组n -1

独立方程数

3-3 支路电流法

一、 2B 法1 ．方法 (n 个节点、 b 条支路 )

以支路电压和支路电流作为变量，对节点列写独立电流（ KCL ）方程，对回路列写独立电压（ KVL ）方程，再对各个支路写出其电压电流关系方程，简称支路方程。从而得到含 2b 个变量的 2b 个独立方程。又称为“ 2B 法”。

2 ．变量 b 个支路电流和 b 个支路电压，共 2

b 个变量 。3 ．方程结构 方程结构为 b 个支路 VAR 方程， n-

1 个电流（ KCL ）方程， b-(n-1) 个电压（ KVL ）方程，共 2b 个方程

00

0

534

231

14

IIIIII

III S

00

0

22513

21

1314

UUUUUUUU

UUUU

SS

S

555

444

333

222

111

URIURIURIURIURI

2B 法例题 I4 R4 I1 R1 1 R3 I3 - + R5 I5

A B C + US1 + R2 US2IS _ U 2 3 _ _ I2

二、支路电流法

( 一 ) 、问题的提出

00

0

534

231

14

IIIIII

III S

00

0

22513

21

1314

UUUUUUUU

UUUU

SS

S

555

444

333

222

111

URIURIURIURIURI

I4 R4 I1 R1 1 R3 I3 - + R5 I5

A B C + US1 + R2 US2IS _ U 2 3 _ _ I2

如果我们把支路关系带入电压方程，便有：

00

0

22255133

2211

1133144

RIURIURIURIRI

RIRIURI

SS

S

21225533

2211

1113344

SS

S

UURIRIRIURIRI

URIRIRI

对前面 2b 法例题：

I4 R4 I1 R1 1 R3 I3 - + R5 I5

A B C + US1 + R2 US2IS _ U 2 3 _ _ I2

00

0

534

231

14

IIIIII

III S

因此有以下关系：对应 6 个支路电流的 6 个方程，方程是完备而充分的。

应该说，这就比 2b 法少了 b 个方程。下面，我们就要以此总结出直接列写电路 b 个支路电流方程的方法。

21225533

2211

1113344

SS

S

UUIRIRIRUIRIR

UIRIRIR

skkk uiR ( 代数和 )* 特别注意 KVL 关系特点

该回路全部 R

上电压降代数和

该回路全部 Us上电压升代数和

1 ．方法 (n 个节点、 b 条支路 )

以支路电流作为变量，对独立节点列写电流（ KCL ）方程，对独立回路列写电压（ KVL ）方程，且由各个支路的支路方程将支路电压用支路电流表示出来。从而得到含 b 个变量的 b 个独立方程。又称为“ 1B法”。

（二）支路电流法

2 ．变量 b 个支路电流，共 1b 个变量 。3 ．方程结构 方程结构为 n-1 个电流（ KCL ）方程， b-(n-1) 个电压（ KVL ）方程，共 b 个方程。

4 ．列出支路电流法的电路方程的步骤如下：(1) 选定各个支路电流的参考方向(2) 按 KCL 对 (n - 1) 个独立节点列写电流方程(3) 选取 (b –n + 1) 个独立回路，指定回路的绕行方向，应用 KVL ，以支路电流为变量列写电压方程

(4) 联立上述方程式，求解和式应含回路中的全部支路。

其中： kk iR 顺正逆负 sku 顺负逆正 skkk uiR ( 代数和 )

(n 个节点、 b 条支路 )

5 ．说明当电路存在纯电流源支路时，可设电流源的端电压为变量，同时补充相应方程。适用于支路数少的电路的分析支路电压法与之类似

例题 I4 R4 I1 R1 1 R3 I3 - + R5 I5

A B C + US1 + R2 US2IS _ U 2 3 _ _ I2

00

0

534

231

14

IIIIII

III S

21225533

2211

1113344

SS

S

UUIRIRIRUIRIR

UIRIRIR

支路电流法（ 1B 法）

支路电压法（ 1B 法）

00

0

22513

21

1314

UUUUUUUU

UUUU

SS

S

0

0

0

5

5

3

3

4

4

2

2

3

3

1

1

1

1

4

4

RU

RU

RU

RU

RU

RU

RU

RUIS

3-4 回路电流法 ( 网孔电流法 )

一种以回路电流 ( 网孔电流 ) 为独立变量，对各个独立回路 ( 网孔 ) 列写 KVL 方程，从而求解电路的系统方法。

回路电流法 ( 网孔电流法 ):

要点：

(3) 何谓网孔分析法？(2) 回路方程中各项的含义？决定其正负号的规律？(1) 回路电流的概念

在前面，我们学习了支路法。得到了这样一些重要结论：对于一个有 n 个节点、 b 条支路的电路，可列写 (n-1) 个独立的 KCL 方程、 l =b-n+1 个独立的 KVL 方程，总的方程数是 b 个，解出 b 个 ik 是完备而充分的。

一、引子：

我们可分析这样一个电路： i1 i3 R1 R2 + US1 1 + 2 R3

- - US2 i2

3 条支路、 3 个方程是完备而充分的。能不能简化？ ( 这是科学家创新的原动力 )

0321 iii (1)

212211 SS uuiRiR (2)

23322 SuiRiR (3)

0321 iii (1)212211 SS uuiRiR (2)

23322 SuiRiR (3)首先由 (1) 得：

不！找到了新的电路理论概念！找到了直接列写的新的系统方法。纯数学问题，没有新东西？

因此，从需要解 3 个方程变成了解 2 个方程的问题，可以说问题得到了简化。

代入 (2) 、 (3) 得：312 iii

(5)233312 )( SuiRiiR 2131211 )( SS uuiiRiR (4)

整理得： (6)2132121 )( SS uuiRiRR

233212 )( SuiRRiR (7)

二、回路电流概念的建立： 分析知，方程 2 、 3 与 4 、 5完全是同样的 KVL 关系， 如 2 与4均为回路 1 的 KVL 方程：

仅为表达式变了，在 4 中，

即流过 R2 的电流同时有两支： i1 和 i3 ；对 3 、 5 的讨论亦然。

2121 SSRR uuuu

(5)233312 )( SuiRiiR 2131211 )( SS uuiiRiR (4)0321 iii (1)

212211 SS uuiRiR (2)23322 SuiRiR (3)

32123122 )( iRiRiiRuR

这就说明了，对方程 4 、 5 来说， i1 不但流过了 R1 ，而且还单独流过了 R2 ； i3 也是不但流过了 R3 ，还单独流过了 R2 。它们之间好象是独往独来，互不干扰，形成了各自回路的环流。 电学家们敏捷的抓住了这个数学结论，赋予了恰当的物理意义，提出了回路电流这一崭新的概念，把这种由数学分析得来的，沿着回路流动的该环流，称为回路电流，以 il 表示。 在上例中，有 11 iil 32 iil

i1 i3 R1 R2 + US1 1 + 2 R3

- - US2 i2

(8)2122121 )( SSll uuiRiRR

223212 )( Sll uiRRiR (9)

得：

i1 i3 R1 R2 + US1 il1 + il2 R3

- - US2 i2

显然易见，这种回路电流是人为规定的，是假想的电流，不可能用什么方法能单独在 R2 支路上测出 和 ，但它却具有明确的物理意义。 用回路电流据 KVL 可列写方程数少于支路数的电路方程因为独立回路数总是少于支路数，使电路分析简化。 下面就要推出回路法的系统方法：

1li 2li

三、回路法的系统方法 R1 R2 + US1 il1 + il2 R3

- - US2

(8)2122121 )( SSll uuiRiRR

223212 )( Sll uiRRiR (9)

11212111 uiRiR ll

即回路 1 电阻电压的代数和等于回路 1 电压源电位升的代数和

)( 2111 SS uuu

22121212111 )( llll iRiRRiRiR

2111 RRR

212 RR

令：其中：

以 (8) 为例 ----- 回路 1

11u 电压源电位升的代数和11R 自阻12R 互阻

111 liR 自压降212 liR 互压降

在如图参考方向下，由于 il1 与回路1 的绕行方向一致，故它按关联参向所产生的电压顺绕行方向来看应为正；而 il2流过 R2 时其方向与回路 1 的绕行方向相反，它按关联参向所引起的电压顺着回路1 的绕向来看应为负，因此： 11212111 uiRiR ll

R1 R2 + US1 il1 + il2 R3

- - US2

把这种关系归结到电阻上，有：0)( 121111 ll iRRiR 022212 ll iRiR

011 R 012 R

注意：因为一般按绕向取方向（为一致），且电压、电流为关联参向，故自阻总是正的；但互阻的正负却要视具体情况而定，因其为公共电阻，当列某一回路方程时，如其它回路与该回路在电阻上的方向相反，则互阻为负，反之为正（当选网孔为独立回路，并全部按顺时针绕向，则互阻总是负的）

(8)2122121 )( SSll uuiRiRR

223212 )( Sll uiRRiR (9)

R1 R2 + US1 il1 + il2 R3

- - US2

同理，可以对方程 9 作以上分析，得到双回路电路的标准回路方程：

22222121

11212111

uiRiRuiRiR

ll

ll

其中： 11u 电压源电位升的代数和11R 自阻12R 互阻

22u22R

21Rusk 与回路绕向一致为负，反之为正

现在，我们完全可以利用标准方程及相关概念，直接写出方程 8 、 9 了。

下面，通过双回路电路的标准回路方程的分析，将其方法推广到具有 n 个结点、 b 条支路的一般性电路，其有 l =b-n+1 个独立的回路电流方程：

llllllllll

lllll

lllll

uiRiRiR

uiRiRiRuiRiRiR

2211

222222121

111212111

其中： 11u 电压源电位升的代数和11R 自阻12R 互阻 (没有公共电阻则互阻为零 )

lluu 22

llRR 22

21R

usk 与回路绕向一致为负，反之为正

1) 选定 l 个独立回路电流，回路电流的参向任定，一般取顺时针，且回路选作网孔；2) 按 il 绕向列 l 个回路电流方程，自阻总是正的，互阻的正负由相关回路通过公共电阻时与本回路方向是否一致而定，一致取正，反之取负 当选网孔、均取顺时针绕向时，互阻总是负的； 对于 ull ，当 usk 与绕向一致为负，反之为正；3) 联解得 il4) 指定支路电流参向，其为有关回路电流的代数和。

回路电流法的一般步骤：

当在回路电流法中选独立回路为网孔，即回路电流为网孔电流，均取绕向为顺时针，相应的回路电流法又称为网孔电流法。

网孔电流法：

优点：其互阻总是为负，且全部网孔就是 一组独立回路。缺点：只适于平面电路。

I1 I4 I2 2 1 2 I6 1 + UX -

XU91

I3 1

15A 1 I5

非平面电路

选树如图所示，则只需要对连支 I1所决定的基本回路列写方程即可。

5 + 19V - 2 4 I1 + + 4A 30V 25V _ _ 1.5I1

1925305.144)42()425( 11 II

例题 1: 如图，求 I1 I1 I3 I2

12 3

1925304)42()425( 321 IIIAI 42

13 5.1 II AI 121

+U1

-

+U2

-132

12

23

212

11

5.14

254192305

IIIII

UIUUI

UI

A

I1 I4

I2 1 I2 2 I6 1 15A + UX -

XU91

I3 1

I1 I3 1 I5

I4 I2 I6

I1 15A XU91

I5 I3

AI

IIUI

III

X

15

)(391

91

03)321(2

1

233

321

该电路既含独立流源，又含受控流源。可将之分别划归回路 1 和回路 3 ，使得两回路电流分别等于已知量。只需对回路 2建立回路方程再利用受控关系，即可。

例题 2

I1 I2 2.25k + 12V - 1k 2k I3 3k I1 I2 I5 I3 2mA I4

方法一

I2

I3 I5 I4 I1

电路对应的图及一组基本回路

I1 I2 2.25k

+12V I5 I4 I3 2mA - 1k 2k I1 I2 I3

3k

方法二

01021025.5101

12101104

33

23

13

23

13

III

II

33 102I

mAI 35.31 mAI 4.12

mAIII 6.0324 mAIII 95.1215

例题 3:

回路电流法 .网孔电流法综 述

1 . 方法 选择电路的网孔电流作为独立变量，对各个网孔列写电压（ KVL ）方程，由于平面电路的全部网孔为一组独立回路，因此可以得到一组完备的独立电流方程，从而求解电路中的待求量。

网孔法

2. 变量 网孔电流3. 方程结构 网孔数个 KVL 电压方程 4. 矩阵形式 其中， Rm 为网孔电阻矩阵， Im 为网孔电流向量， Um 为节点电压源向量

mmm UIR

5. 说明当电路存在纯电流源支路时，可设电流源的端电压为变量，同时补充相应方程当电路中存在受控源时，可将受控源按独立源一样处理，其后将受控源的控制量用网孔电流表示出来，然后移项 适用于支路多、网孔少的电路分析只能运用于平面电路。

1 . 方法 以连支电流为变量，对用连支确定的基本回路列写 KVL 方程，从而求解电路中的待求量。2. 变量： 连支电流3. 方程结构： 连支数目个 KVL 方程

回路法

4. 矩阵形式 其中， Rl 为回路电阻矩阵， Il 为连支电流向量， Ul 为回路电压源向量 5. 说明选树应尽量将电流源或受控流源所在的支路选为连支，这样可减少方程的数量。可以运用于非平面电路。

lll UIR

3-5 结点电压法

要点：1) 结点方程中自导恒为正、互导恒为负，为什么？2) 在结点法中，怎样处理纯电压源支路和受控源问题？

思路：2b 法方程

还有简化方法？回路 ( 网孔 ) 法方程支路法方程

KCL 、 KVL 、 VAR(2b)

KCL 、 KVL(b)

KVL(b-n+1)

KCL ?(n-1)

结点法

1 、结点法的概念和定义：

独立 3) 结点电压为一组独立的电路变量

2) 对 n 个结点的电路，结点电压有 n-1 个1) 其参向均指向参考结点

结点电压的性质： 电路中，任选某结点为参考结点—零电位点，其它结点与参考结点之间的电压为结点电压。

如图结点电压：

自动满足 KVL完备

1

0

32

i6 G6 ① i2 G2 ② i4 G4 ③ + i1 i3 i5 iS1 1nu G1 2nu G3 3nu G5 _ iS5

un1 , un2 , un3

结论： 电路有 n-1 个独立的结点电压，又有 n-1 个独立的 KCL 方程，假如我们对 n -1 个结点列 KCL ，同时代入以结点电压表示的 VAR ，在 n -1 个方程中刚好是 n -1 个未知的结点电压，显然，这组方程是完备的、充分的、独立的，能唯一确定出n -1 个结点电压。结点法： 一种以结点电压为变量，应用 KCL ，列写与结点电压数相等的独立方程，解得结点电压，以此求解电路支路变量的系统方法。

2 、结点方程的建立与系统方法如图 ,

而支路关系为：

先列独立结点的 KCL ：1621 Siiii

0432 iii

5654 Siiii

111 nuGi )( 2122 nn uuGi

233 nuGi

355 nuGi

)( 3244 nn uuGi

)( 3166 nn uuGi

代入 KCL ： 131621211 )()( Snnnnn iuuGuuGuG

0)()( 32423212 nnnnn uuGuGuuG

531635324 )()( Snnnnn iuuGuGuuG

i6 G6 ① i2 G2 ② i4 G4 ③ + i1 i3 i5 iS1 1nu G1 2nu G3 3nu G5 _ iS5

136221621 )( Snnn iuGuGuGGG

0)( 34243212 nnn uGuGGGuG

536542416 )( Snnn iuGGGuGuG

i6 G6 ① i2 G2 ② i4 G4 ③ + i1 i3 i5 iS1 1nu G1 2nu G3 3nu G5 _ iS5

136221621 )( Snnn iuGuGuGGG

11313212111 Snnn iuGuGuG 62111 GGGG 212 GG 613 GG 111 SS ii

整理得：

令：

找系统化方法流出的电流 = 流入的电流以结点电压表示的 KCL 方程

有：11G

12G

13G

11Si 为流入结点 1 的电流源电流（之和）为结点 2 与结点 1 关联支路的公共电导之和，称为互导为结点 1 关联的各支路电导之和，称为自导其中：

为结点 3 与结点 1 关联支路的公共电导之和，称为互导

以此方程为例讨论：

0111 nuG

0212 nuG 0313 nuG

011 G

012 G 013 G

136221621 )( Snnn iuGuGuGGG

11313212111 Snnn iuGuGuG

代表本结点电压所产生的电流，称为自流由设定条件知：其总是流出本结点。故在方程中，总有：

代表它结点电压对本结点 1 的电流贡献，称为互流由设定条件知：其总是流入结点 1 。故在方程中，总有：

不难看出：111 nuG

212 nuG

313 nuG

i6 G6 ① i2 G2 ② i4 G4 ③ + i1 i3 i5 iS1 1nu G1 2nu G3 3nu G5 _ iS5

自导总是反映了本结点电压引起电流流出；互导总是反映了它结点电压引起电流流入的作用故在方程中恒有： 自导 >0 、互导 <0

11313212111 Snnn iuGuGuG

22323222121 Snnn iuGuGuG

33333232131 Snnn iuGuGuG

136221621 )( Snnn iuGuGuGGG

0)( 34243212 nnn uGuGGGuG

536542416 )( Snnn iuGGGuGuG

推广到具有 n 个结点的电路 ( 其有 n-1 个独立结点电压 ) 结点电压标准方程为：

类推可得：

亦可用该方程由电路直接得到相应的结点电压方程

)1)(1()1()1)(1(22)1(11)1(

22)1()1(2222121

11)1()1(1212111

nnSnnnnnnnn

Snnnnn

Snnnnn

iuGuGuG

iuGuGuG

iuGuGuG

)1)(1()1()1)(1(22)1(11)1(

22)1()1(2222121

11)1()1(1212111

nnSnnnnnnnn

Snnnnn

Snnnnn

iuGuGuG

iuGuGuG

iuGuGuG

11Si 为流入结点的电流源电流（之和）( 入正出负 )

其中： 11G 为各结点自导， >022G )1)(1( nnG

12G 为各结点间互导， <0 如结点间无公共电导， =021G 13G

22Si 33Si

结点法的一般步骤：1 、指定参考结点，标出结点电压，其参向均指向参考结点2 、列结点方程 (n-1 个 ) ，注意自导总为正；互导总为负 . 对本结点的 is 写 is11 等时，其“入正出负” .3 、联解得 un ，然后据欧姆定律得各支路电流 .

例题 1 —— 存在纯压源的情况3 、例题

6

① 2 ② 3 ③

+ 5V 3 2 _ 0.5A

方法一：将纯电压源的电流作为变量添加在方程中

I

5.0)61

31(

31

61

031)

31

21

21(

21

61

21)

61

21

31(

121

321

321

UUU

UUU

IUUU

VU 51

添加方程：即可

方法二： 因为 U1=5V已知，故只列方程 2 、 3即可 .

6 ① 2 ② 3 ③ + 5V 3 2 _ 0.5A

5.0)31

61(

315

61

031)

31

21

21(5

21

32

32

UU

UU

例题 2—— 存在受控源的情况 在建立节点节点方程时，受控源可以按独立源对待，但需补充受控源与其所涉及到的节点电压变量之间的关系。

iUUU 2321 211

25.0

1)15.0

1(1 321 UUU

)(22 3223 UUU

41434 UUU 添加方程 :

1 2 + U23 - 0.5 2A 2U23 + 1V - 1 3 + _ 4U43 0.5 1 U43 _ + 4 i

如图选定参考节点， U3= -1V已知，补充支路电流 i ，则节点方程为：

iUU 43 )15.0

1(1

)(44 3443 UUU

,建立节点节点方程

VUVUVUVU31 1

917

317

4321 ，，，

1 . 方法 任选电路中某一节点为参考节点，其他节点与此参考节点间的电压称为“节点电压”。节点法是以节点电压作为独立变量，对各个独立节点列写 KCL 电流方程，得到含 (n-1) 个变量的 (n-1) 个独立电流方程，从而求解电路中待求量。

节点法

2. 变量 (n-1) 个节点电压3. 方程结构 (n-1) 个 KCL 电流方程 4. 矩阵形式 其中， Gn 为节点电导矩阵， Un 为节点电压向量，Jn 为节点电流源向量

nnn JUG

5. 解题步骤选定参考节点；直接写出节点电压方程（实质上是电流方程），注意自导总为正值，互导总为负值；联立上述方程式，求解。

6. 说明存在纯电压源支路时，可设电压源的电流为变量，同时补充相应的方程。存在受控源时，可将受控源按独立源处理，其后将受控源的控制量用节点电压表示出来，然后移项。适用于支路多、节点少的电路分析。可以运用于非平面电路。