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2-4 纯电阻元件的交流电路. i. i. u. u. R. i. u. =. R. u. i. ¹. 常数. 1. 电阻 R （常用单位： 、 k 、 M ）. 线性电阻. u. =. R. i. =. 常数. 非线性电阻. 伏 - 安 特性. 2. 纯电阻电路. i. R. u. 根据 欧姆定律. 设. 则. 3. 有效值关系 ：. 4. 相量关系 ： 设. 则. 或. 电阻电路 中电流、电压的关系. 1. 频率相同. 2. 相位相同. 电阻电路中的功率. i. R. u. - PowerPoint PPT Presentation
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伏 - 安 特性
i
u 常数i
uR
R
i
u
u
i
线性电
阻
非线性电阻
1. 电阻 R （常用单位：、 k 、 M ）
2-4 纯电阻元件的交流电路
常数i
uR
ui R
根据 欧姆定律
iRu
tItR
U
R
ui
tUu
sin2sin2
sin2
设
则
2. 纯电阻电路
tItR
U
R
ui
tUu
sin2sin2
sin2
1. 频率相同 2. 相位相同
3. 有效值关系： IRU
电阻电路中电流、电压的关系
4. 相量关系：设 0UU UI
0 R
UI 则 RIU 或
电阻电路中的功率
)(sin2
)(sin2
tUu
tIi
RuiRiup /22
u
i
R
1. 瞬时功率 p ：瞬时电压与瞬时电流的乘积
小写
1. （耗能元件）
0p
结论：
2. 随时间变化p22 iu 、3. 与 成比例p
RuiRiup /22
ωtu
i
p
ωt
TT
dtiuT
dtpT
P00
11
tUu
tIi
sin2
sin2
2. 平均功率（有功功率） P ：一个周期内的平均值
UIdttUIT
dttUIT
T
T
0
0
2
)2cos1(1
sin21
大写
IUP
u
i
R
一 . 电感 L ：
u
i
（单位： H, mH, H）
单位电流产生的磁链
2-5 电感和纯电感交流电路
电感中电流、电压的关系
ue
i
dt
diLeu
当 Ii ( 直流 ) 时 , 0dt
di0u
所以 , 在直流电路中 电感相当于短路 .
电感是一种储能元件 , 储存的磁场能量为：
电感的储能
2
00 2
1iLLidiuidtW
it
L
）（dt
diLu
dt
diLu 基本关系式： i
u LtIi sin2设
)90sin(2
)90sin(2
cos2
tU
tLI
tLIdt
diLu
则
二 . 纯电感交流电路
电感电路中电流、电压的关系
1. 频率相同 2. 相位相差 90° （ u 领先 i 90 ° ）
)90sin(2
)90sin(2
tU
tLIu
tIi sin2
i
u
t90
U
ILI
I
设：
3. 有效值
LIU
感抗（ Ω）
LX L 定义：
)90sin(2
)90sin(2
tU
tLIu
LXIU 则：
感抗（ XL =ωL ）是频率的函数， 表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效 。
ω
XL
LL XIU
ω = 0 时
XL = 0
关于感抗的讨论
e+
_ LR
直流
E+
_
R
电感电路中的功率
)90sin(2
sin2
tUu
tIi
tUI
ttUIuip
2sin
cossin2
1. 瞬时功率 p ：i
u L
储存能量
P <0
释放能量
+P >0
P <0
可逆的能量转换
过程
tUIuip 2sini
u L
+p
P >0t
ui
ui
ui
ui
u i
t
2. 平均功率 P （有功功率）
0)2(sin1
1
0
0
dttIU
T
dtpT
P
T
T
结论：纯电感不消耗能量 ，只和电源进行 能量
交换（能量的吞吐）。
tUIuip 2sin
3. 无功功率 Q
LL X
UXIIUQ22
Q 的单位：乏、千乏 (var 、 kvar)
Q 的定义：电感 瞬时功率所能达到的最大值。用
以衡量电感电路中能量交换的规模。
tUIuip 2sin
dt
duC
dt
dqi
2.6 电容上电流、电压的关系
uqC
当 Uu ( 直流 ) 时 , 0dt
du0i
所以 , 在直流电路中 电容相当于断路 .
u
i
C
2
00 2
1uccuduuidtWc
ut
电容的储能电容是一种储能元件 , 储存的电场能量为：
）（dt
duC
dt
dqi
电容器的串联和并联i
u
C3
C1
C2
u1
u2
u3
u
i
C1 C2 C3
q3q2q1
基本关系式 :
dt
duCi
设： tUu sin2
u
i
C
)90sin(2
cos2
tCU
tUCdt
duCi
则：
二 . 电容元件的交流电路
1. 频率相同2. 相位相差 90° （ u 落后 i 90° ）
)90sin(2 tCUi tUu sin2
电容电路中电流、电压的关系
iu
t90
I
CU
UU
3. 有效值 或CUI IC
U1
容抗（ Ω）C
X C 1
定义：
)90sin(2 tCUi tUu sin2
CXIU 则：
I
E
+
-ω
CX c
1 e
+
-
关于容抗的讨论
直流
是频率的函数， 表示电容电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效 。
容抗 ）（C
X C 1
ω ＝ 0 时 cX
C 断路
电容电路中的功率
ui
)90sin(2
sin2
tUu
tIi
tIUuip 2sin
1. 瞬时功率 p
)90sin(2 tCUi tUu sin2
I
tIUuip 2sin
充电
p放电放电
P < 0
释放能量
充电
P > 0
储存能量
ui
ui
ui
ui
i uωt
t
T
T
tIUT
dtPT
P
0
0
02sin1
1
2. 平均功率 P
tIUuip 2sin
瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）
3. 无功功率 Q
（电容性无功取负值）
UIQ
tUIp 2sin
已知： C ＝ 1μF )
6314sin(27.70
tu
求： I 、i
例u
iC
解：
318010314
116C
X C
电流有效值 mA2.223180
7.70
CX
UI
求电容电路中的电流
mA)3
314sin(2.222
)26
314sin(2.222
t
ti
瞬时值 i 领先于 u 90°
电流有效值 mA2.223180
7.70
CX
UI
U
I
6
3相量图
1. 单一参数电路中的基本关系
电路参数
LjjX L dt
diLu 基本关系
复阻抗
L U
I
CjjX C
1复阻抗
电路参数dt
duCi 基本关系C
UI
电路参数 R 基本关系 iRu 复阻抗 R U
I
小 结
在正弦交流电路中，若正弦量用相量 表示，
电路参数用复数阻抗（ ) 表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方法都能用。
IU 、CL jXCjXLRR 、、
电阻电路
RIU )( LXjIU
电感电路
)( CXjIU
电容电路
复数形式的欧姆定律
2. 单一参数电路中复数形式的欧姆定律
在电阻电路中：正误判断
R
ui
？R
Ui
R
UI ？
？
瞬时值 有效值
在电感电路中：正误判断
？？
？LX
ui
L
ui
L
UI
LXI
U
Lj
I
U ？？
单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数
电路图（正方向）
复数
阻抗
电压、电流关系瞬时值 有效值 相量图 相量式
功率有功功率 无功功率
R
i
u
iRu R
设
则
tUu sin2
tIi sin2
IRU RIU UI
u 、 i 同相
UI 0
L
i
udt
diLu
C
i
u dt
duCi
Lj
jX L
cj
Cj
jX C
1
1
设
则
tIi sin2
)90sin(
2
t
LIu
设
则tUu sin2
)90sin(
12
tC
Ui
LX
IXU
L
L
CX
IXU
C
C
1
U
I
u 领先 i 90°
U
I
u 落后 i 90°
LjXIU
CjXIU
0
0
LXI
UI2
CXI
UI2
基本
关系
基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫结点电流定律的相量形式
根据正弦量的和差与它们相量和差的对应关系， 可以推出： 正弦电路中任一结点， 与它相连接的各支路电流的相量代数和为零， 即
0.
I
基尔霍夫结点电流定律的相量形式，简称 KCL 的相量形式 .
n
kk
n
kk II
11m 0 0
特别注意
回路电压定律的相量形式
同理可以推出正弦电路中，任一闭合回路，各段电压的相量代数和为零， 即
0.
U
基尔霍夫回路电压定律的相量形式， 简称 KVL 的相量形式。
n
kk
n
kk UU
11m 0 0
值得特别注意
沿任一回路全部支路电压振幅 (或有效值 )的代数和并不一定等于零，即一般来说
电路定律的相量形式和电路的相量模型电路定律的相量形式和电路的相量模型
一 . 基尔霍夫定律的相量形式
0 0)(
0 0)(
Utu
Iti
0 0)(
0 0)(
Utu
Iti
二 . 电路元件的相量关系
IC
UtiC
u
ILjUt
iLu
IRURiu
j
1d
1d
d
IC
UtiC
u
ILjUt
iLu
IRURiu
j
1d
1d
d
三 . 电路的相量模型 (phasor model )
时域列写微分方程 相量形式代数方程
L
C RuS
iL iC
iR
+
-
jL
1/jCSULI CI
RI
R+
-
时域电路 相量模型
RCL iii RCL III
Sdd
duti
Ct
iL C
L 1
tiC
iR CR d1
Sj
1UI
CILj CL
CR IC
IR j1
相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。
四 . 相量图1. 同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中；
2. 选定一个参考相量 ( 设初相位为零。 )
例 选 ÙR 为参考相量
U
RICUU R
jL
1/jCU
LI CI
RI
R
+
-
RU
+
-
LICI
LU
正弦电路的电流、 电压的瞬时值关系， 相量关系都满足 KCL 和 KVL ， 而有效值的关系一般不满足， 要由相量的关系决定。
结论结论
因此正弦电路的某些结论不能从直流电路的角度去考虑。
例
正弦电路中，与某一个结点相连的三个支路电流为 i 1、 i 2、 i 3。已知 i 1、 i 2流入， i 3流出
解 先写出 i1和 i2的相量 (注意， i1的初相应为 60°+90°=150°)
i 3 的相量为 ， 由 KCL 得
).tsin()t(i
./.j.j.III
III...
...
03
0213
321
2126226
212626566355668
0
02
.0
1
.
150/5,)566.8(150/10 IjI
3
.
I
ttitti sin25)(,)60cos(210)( 20
1
求 i 3
小结小结① 正弦量 相量
时域 频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
N线性
N线性
1
2非
线性
不适用
正弦波形图 相量图
作业
课外：练习与思考
