عددي گيري مشتق

عددي : گيري مشتق از استفاده داليل

. نباشد– مشخص تابع

. باشد– پيچيده بسيار تابع

خدا نام به

مرتبه تعریف: دقت داراي را گیري مشتق روش می pیک امهرگاه : نامیم

از cبطوریکه مستقل ثابت است.hیک

: مشتق تعريف از استفاده با عددي گيري مشتق

: داريم– مشتق رياضي تعريف طبق

: باشد– زير صورت به تواند مي مشتق تقريب يك بنابراين

خطی تابع براي رابطه هرمقدار f(x)=ax+b این ازاي بهصفر را . hمخالف واقعی مقدار یعنی است نتیجه دقیق

ا . میدهد

: داشت خواهیم تیلور بسط از استفاده با

نقاطه در را بسط این :x-hوx+hاگر ،داریم بنویسیم را

: تيلور بسط از استفاده با گيري مشتق دستورهاي

بنابراین

رابطه دو تفریق بافوق

شامل خطا جمله زیرا است بهتري نتیجه است.h2این: داریم نیز دوم مرتبه مشتق برای مشابه بطور

می را عددي گیري مشتق روشهاي کلی بطور: آورد بدست زیر طریق سه به توان

هستند- .1 درونیابی بر مبتنی که روشهاییعملگرهاي- 2 بر مبتنی که روشهایی

هستند . متناهی تفاضالتضرائب- 3 تعیین بر مبتنی که روشهایی

هستند . نامعین

درونیابی -1 بر مبتنی روشهاي

کنیم متمایزباشد n+1،{ x0 ,x1,...,xn}فرض نقطهتابع که باشد fمقادیر شده داده نقاط درآن

کنیم می درونیاب فرض اي ازآن p (x) چندجمله باشدبرای تقریبی عنوان به را آن و گیریم می در fمشتق

. میگیریم نظرالفاصله : نامتساوي اي گره نقاط

را زیر درونیاب اي چندجمله الگرانژ روش از استفاده با: داشت خواهیم

هستند، l (x)که الگرانژ اساسی ایهاي چندجمله عبارتند ها کهاز :

:و از عبارتست هرنقطه در تقریب خطاي

: بنابرین داریم فوق روابط از گیري مشتق با

یافت فوق مشابه توان می باالتررا مراتب تقریب خطاي جمله

.

خطی فرمول فوق، بهترمفاهیم درک برای

برای :بکار n=1,2الگرانژرا بریم می

از : عبارتست رابطه این خطاي

می الگرانژ دوم درجه فرمول از فوق مشابه چنین همنظیر : کرد، استفاده توان

داریم : فوق روابط از استفاده با

: بود خواهد چنین چندجمله دوم مرتبه مشتق

: نمود محاسبه زیر بصورت توان می را آن خطاي

: الفاصله متساوي اي گره نقاط

:x0 ,x1 ,...,xn }چنانچه داریم { باشند الفاصله متساوی

داریم : درونیاب خطی فرمول از استفاده با

خطاي با

اول حالت در تیلور بسط در خطا با خطا جمله این. است برابر

دوم درجه درونیابی فرمول از e مجددا چنانچهداریم : شود استفاده

: با است برابر آن خطای تیلور سري بسط از استفاده با

دوم مرتبه :fمشتق بود خواهد زیر بصورت

خطای با

تابع: ) مقادیر زیر f(x)=Ln (x مثال جدولی بصورتتابع. دوم و اول مشتق براي تقریبی 2درنقطه fاست

کران . یک بیابید سهمی و خطی درونیابی از استفاده با؟ آورید بدست را کردن قطع خطاي براي باال

فرمول : : از استفاده با حل

داریم :

همچنین

آمده بدست فرمول از استفاده با دوم مرتبه مشتق حالبصورت:

است.

مشتق دقیق مقدار که میدانیم امااست.

از : عبارتند فوق روشهاي به مربوط خطاي

بنابراینM1=0/5,M2=0/25,M3=0/25,M4=0/375و

تفاضالت- 2 بر مبتنی گیري مشتق روشهايمتناهی

میدهیم : قرار مدنظر را زیر رابطه

است .Dبطوریکه گیري مشتق اپراتورکه گرفت نتیجه رابطه از توان می سمبلیک بطور

یا :

بنابراین:

نوشت توان می بنابراین

که آنجا از

نوشت : توان می

: داریم لذا

دهد می را باالتر مراتب مشتق که اي زیر, رابطه بصورت: بود خواهد

برای :r=1,2پس داشت خواهیم

و

را زیر روشهاي نمائیم استفاده اول جمالت از تنها چنانچهداریم :

دوم مشتق :fبرای داریم

اند . دوم ومرتبه اول مرتبه دقت داراي که

شده ذکر روش دو مقایسه

بر مبتنی که روشی در کردید مالحظه که همانگونه

نقطه در مشتق آوردن بدسب برای است x0درونیاب

روش در اما شد می استفاده آن از بعد ازنقاط تنهانقاط از میتواند تنها که براین عالوه متناهی تفاضالت

از قبل ازنقاط میتواند همزمان کند استفاده آن از بعد , میتوان تنها انتهایی نقاط در پس کند استفاده نیز آنازهردو ابتدایی درنقاط و کرد استفاده دوم روش از

روش .همند، مشابه روش دو خطاهای که است واضح همچنین

. یکسانند ،خطاها نیوتن پیشرو تفاضالت روش در یعنیتابع مشتق توان می اول درروش غیر fاما نقاط در را

. نمیشود روشها دیگر در ،که آورد بدست گرهی

نامعین- 3 ضرائب بر مبتنی روشهايبا الفاصله متساوي جدولی نقاط که کنیم فرض

شده . hگام مرتب جدولی نقاط براي لذا باشندداریم : متقارن بصورت

داریم : نامتقارن جدولی نقاط براي یا

قطع خطايکردن موضعی

بر ضرائبشوند . می تعیین روشها، معین دقت به نیاز اساس

مراتب تیلورضرائب ازبسط استفاده باقرار ،متحدهم طرفین در را مشتقات مختلفتعیین جهت نیاز مورد معادالت وتعداد میدهیم

در . غیرصفر جمالت اولین یابیم می را ضرائبمیدهند . بدست را تقریب خطاي

فوق رابطه در چنانچه ویژه انتخاب r=1,p=2بطورداریم : شوند

: داریم معادله طرفین مقایسه با

داریم : فوق سیستم حل با

داشت : خواهیم زیر بصورت روش بنابراین

بدست را فوق تقریب برشی خطاي ناصفر جمله اولینمیدهد .

است . چهارم مرتبه دقت داراي روش بنابراین

از تعداد هر دادن شرکت به میتوان روش این مزایای از

fi درتقریبfk. کرد اشاره

روش سه مقایسه

مشتق کردید مالحظه که تابع rهمانگونه نقطه fام در

xk ، تابع مقادیر از خطی نقاط fترکیب دیگر ها xiدرآن و آوردیم می بدست آنها برای ضرایبی ،که استدر امر این دادیم، ارائه تابع از تقریبی عنوان به را

در میشد، دیده بوضوح معین نا ضرایب روشروش دیگر و شده ارائه مبنا این بر روش این حقیقت

روشند . این از خاص هایی حالت ها

بهینه- :4 گام طول انتخابكنيد – کام x=1وf(x)=exp(x)فرض طول با

h=0/1 مقادیر Dkباشد

مقادیر برای :h=1,2,…,9را بود خواهد زیر بصورت

به جایی از کردید مشاهده قبل درصفحه که همانطورمقدار از بلکه شود نمی دقیقتر مشتق مقدار تنها نه بعدزیر بصورت میتوان را آن ،علت میگیرد فاصله واقعی

: کرد استدالل

کنیم کردن که فرض روند .fخطای باشد عددي روشهاي در روندکردن خطاي تأثیر بررسی

گیري مشتقگیریم : می درنظر را زیر روش

بنابراین

وبرشی TE , REبطوریکه روندکردن خطاي ترتیب بههستند .

کنیم فرض آنگاه واگر باشد

داریم :

بهینه hگامتعریف: گام هرگاه Optimalرا نامند می: نماید صدق زیر روابط از درهرکدام

بنابراین:

مقابل رابطه از اگر همچنین

: داشت خواهیم بگیریم مشتق

از : عبارتست خطا کل مینیمم حال

عددي نتیجه روش یک موضعی یا برشی خطاي که آنجا از

از توانهایی با متناسب گیري روندکردن h مشتق خطاي اما استاز توانهایی معکوس با .hمتناسب است

ذیل : مثال گیري مشتق روش براي را بهینه گام طولبیابید :

مشتق جدولی مقادیر از استفاده با در fسپس بدست 2رااورید.

محاسبات کردن روند خطاي .0/000005درصورتیکه باشد حل:

: داریم پس

|RE|=|TE|

: داریم پس

شرط از اگر :RE|+|TE|=min|و داریم کنیم استفاده

عبارتست کل خطاي حداقلاز :

مثال : دوم قسمت حلاز استفاده :M=1/4و RE|=|TE||با داریم

انتخاب داریم :h=0/06با شده داده جدول از

که میدانیم اما

انتخاب وجود با که گیریم می نتیجه جا این نتایج ازبدست

شود . می هم تر خراب بلکه یابد می بهبود تنها نه آمده

در روشی عددی انتگرال در رامبرگ قاعده شبیهعددی مشتقگیری

ارایه اینجا در سون،که ریچارد روش نام به دارد وجود: کنیم می

(Extrapolation Methods - )5 یابی برون روشهاي

کنیم می تابع g(h)فرض مقدار براي باشد gتقریبیمرتبه دقت داراي روش یک از استفاده با pوبا ام

گام می . hطول فرض چنین وهم است شده حاصلتابع g(qh)کنیم براي استفاده gتقریبی با که باشد

مرتبه روش گام pاز طول وبا شده qhام حاصلداریم . : لذا باشد

خذف داریم : cبا فوق رابطه دو از

: داریم بنابراین

دقت داراي روش با( . p+1)این که مهارت این استروش یک توسط شده محاسبه مقادیر آمیختن درهم

با معینکسب براي و میشود حاصل متفاوت گام طول دوبرون روش را گیرد می صورت باالتر مراتب دقت

روش یا یابی ریچاردسون میشود .درونیابی نامیده عموما کار آسانی می p=1/2براي انتخاب

درنظر . را زیر روش نمودن تر واضح براي کنیممیگیریم :

بصورت فوق روش با مرتبط برشی یا موضعی خطاي. آید می بدست زیر

کنیم می بایستی فرض که باشد مقداريبیاوریم بدست

داریم : لذا

داریم فوق روابط : از

حذف : C2با داریم فوق روابط از

از توان می را باالتر مراتب دقت داراي نتایج لذا

نمود : کسب زیر فرمول

نامند نیزمی گیري مشتق براي پیاپی برونیابی را روند این.

متفاوت مقادیر محاسبه mبراي زیر جدول مانند توان میکرد .

جدولی مقادیر که یابیم درمی فوق جدول به توجه بااز قبل جدولی داده از بهتر تقریبی مشخص ستون یک

آن . ستون هر متوالی ستونهاي در چنین هم باشد می

میدهد . بدست بهتري تقریب آن قبلی ستون به نسبتبهترین

روند این است جدول قطر پائینی قسمت در نتایجباشیم : داشته که گردد می متوقف زمانی

. باشد می مسئله حل دقت معیار

داده فرمول از ، اند مفروض زیر جدولی هاي دادهاستفاده شده

مشتق ریچاردسون برونیابی روند از استفاده وبا در fکنید راx=3. بیابید

داریم : تیلور سري بسط از استفاده با

داشت : خواهیم برونیابی روند از استفاده با را زیر جدول لذا

. بیانگر ها داده که ازآنجا است دقیق لذا که هستند

خطاي با جمله نتایج زیرا باشد دقیق جواب بایستی دوم ستون

هستند .