מימדי-משטחים במרחב התלת

פיקארד-דנא פרופ' נחבית ספר גבוה לטכנולוגיה בירושלים

אדר תשס"ט

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

מישורים במרחב

:משוואה כלליתax+by+cz+d=0 אםa=0-המישור מקביל לציר ה ,x אםb=0-המישור מקביל לציר ה ,y אםc=0-המישור מקביל לציר ה ,z אםd=0המישור עובר דרך הראשית ,

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

חיתוך של שני מישורים

Intersection-2Planes.dpg

1 0x y z 2 3 0x y z

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

כדור

כדור יחידה:

2 2 2 1x y z

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

כדור היחידה

פרמטרית הצגה: x=cos u cos v y=cos u sin v z=sin v 0u2, 0v2

קרטזית משוואה

2 2 2 1x y z

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

כדור היחידה

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

חיתוך כדור ומישור

כדור יחידה עם מישור

1

2z x y

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

פרבולואידים

2 2

22

2 2

4 0

2

2

x y z

xz y

z x y

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

:חיתוך פרבולואיד עם מישור

2 21( )4

3 0

z x y

x y z

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

חרוט

2 2 2

2 2

0x y z

z x y

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

חרוט בטבע

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

: היפרבולה1חתכי חרוט 2 2 2 0

2 3 2 0

x y z

x y z

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

:2חתכי חרוט שני ישירים נחתכים

2 2 2 0

0

x y z

x y z

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

:3חתכי חרוט פרבולה

2 2 2 0

2

x y z

z x

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

מעגל - אליפסה :4חתכי חרוט

2 2 2 0

3

x y z

z

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

חיתוך חרוט עם פרבולואיד

2 2

2 2 2

2

0

z x y

x y z

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

)גליל )בסיס=מעגל

2 2 1x y

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

)גליל )בסיס=פרבולה

2 0x y

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

(גליל (בסיס=סינוס

sin x -y=0

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

עוד גליל

2 2( 1)z x x

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

היפרבולואיד חד יריעתי

22 22 1

2

yx z

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

היפרבולואיד דו-יריעתי

22 22 4 1

2

zx y

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

(1 )פרבולואיד היפרבולי

22

2

yx z

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

(2 )פרבולואיד היפרבולי

22

2

xz y

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

הישרים היוצרים(3 :)פרבולואיד היפרבולי

z=xy

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

(4 )פרבולואיד היפרבולי

המשטח = איחוד של קווים ישרים

Intersection-ParabHyperb-VerticalPlane.dpg

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

ההיפרבולות)5 :(פרבולואיד היפרבולי

z=xyz=2z=-2Intersection-

ParabHyperb-Plane.dpg

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

(4 )פרבולואיד היפרבולי

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

:”משטחים “קלאסיים משוואות קרטזיות

מישור כדוראליפסואידפרבולואיד חד-יריעתי היפרבולואידדו-יריעתי היפרבולואיד

0ax by cz d

2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c R 22 2

2 2 2

( ) ( ) ( )1

x y z

a b c

2 2z ax by 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

(1משטחים חדשים (

2 23z x y

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

(2משטחים אחרים (

2 3z x y

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

(3משטחים אחרים (

2 2ln( )z x y

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

221

1

yxz

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

(4משטחים אחרים (

4 4 2 2( )( )z x y x y

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

מוביוס: הצגה פרמטרית פס x(u,v) = 2 cos u + v cos(u/2) cos u y(u,v) = 2 sin u + v cos (u/2) sin (u) z(u,v) = v sin (u/2) 0u2, -1v1

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

בין שני משטחים במרחב איזור

גליל :פרבולואיד : האיזור מעל מישורxy

והכלוא בין המשטחים מוגדר ע"י:

2 2 25x y 2 2z x y

250

2522

z

yx

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

פרבולואידים בין שני

א :’ב:’ האיזור הלוא בין שני

הפרבולואידים מוגדר

ע"י

2 2z x y 2 24 ( )z x y

)(4 2222 yxzyx

(c) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר תשסט"

תם ולא נשלם