一、中考动态 纵观近年全国中考试题，操作型问题已逐渐成为中考热点之一。

1 、三年中考数据分析表（不完全统计）：

年 份 试卷数 有操作问题的试卷数

操作问题的试卷所占比例

2005 年 72 份 23 题 33 ％

2006 年 94 份 46 题 49 ％

2007 年 96 份 63 题 65 ％

2 、为什么实验操作题如此备受青睐？

随着新课程的实施，考试内容不仅仅关注“基础知识与基本技能”，还把“数学活动过程”、“数学思考”和“解决问题”作为考查的主要方面。

数学学业考查，非常关注以下四个方面： （ 1 ）能否通过不同的方式探索研究对象的有关性质——包括观察、折叠、变换、图形的分解与组合、逻辑推演等。

（ 2 ）能否在自己的头脑里进行数学实验——借助图形、想象和逻辑推演从事几何对象的各种“操作”。

（ 3 ）能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并证明猜想的正确性。

（ 4 ）能否积极有效地观察所探索的对象——通过对若干具体情况的观察而发现存在于探索对象背后的数学现象。

由此可见，数学试题在“知识立意”、“能力立意”基础上加入“过程立意”。

操作问题能让学生经历观察、操作、实验、猜想、验证的探究过程，可以有效地培养学生的动手能力，发展学生的空间观念，和理性精神，为考查学生观察、实验、归纳、探索、推理论证能力提供了平台。

操作问题“易入手，难深入”的特点为考查不同层次的学生的学习风格、学习状况和思维水平提供了平台。

二、问题分类解析 （一）基本作图和格点作图

尺规作图统领作图题的局面，近年有所改变。其他工具作图、格点作图问题，提供了一个问题情景，要求学生自主选择所学知识解决问题，具有很大的思考空间，能够有效地考查学生的实践能力和解决问题的能力。

例 1 作∠ AOB 的平分线。

（ 1 ）给你一把带有刻度的直尺，你能作出图 1 中∠ AOB的平分线吗？请写出三种方法。并以其中一种作法为例，说明理由。

（ 2 ）如果只有一把没有刻度的直尺，你又如何作图 2 中∠ AOB 的平分线呢？

（ 3 ）如图 3 ，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠ AOB画在方格纸上，请作出∠ AOB 的平分线。

A

BO

A

BO

图 1 图 2

图 3

思路点拨：

（ 1 ）中的有刻度直尺可以量、可以作直线的平行线。所以可以用全等三角形、等腰三角形的知识解决问题。（如图 4 、 5 、 6 ）

（ 2 ）中的直尺没有刻度，故只能作平行线，所以作OA、 OB 的平行线交于点 P ，作射线 OP即可。因为OMPN是菱形。（如图 7 ）

O A

B

O A

B

O A

B

M

P

N

M

N

R

S

P

O A

B

M

N

P

M P N

图 4 图 5 图 6 图 7

（ 3 ）在图 8中 OA＝ OB ，可以找到 P1、 P2、 P3到A、 B 的距离相等，由全等的知识可知作射线 OP ，则OP 平分∠ AOB。

图 8

例 2 正方形网格中，小格的顶点叫做格点。小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形 。小华在左边的 正 方 形网格 中 作 出 了Rt⊿ABC 。请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等。

例 3.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1 ，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：

（ 1 ）使三角形的三边长分别为 3 、 （在图（ 1 ）中画一个即可）；

（ 2 ）使三角形为钝角三角形且面积为 4 （在图（ 2 ）中画一个即可）。

2 2 5、

二、展开与折叠

折叠和展开是认识、研究立体图形的一个重要方法。折叠和展开是一个互逆的操作过程过程，解决这类问题可以直接操作，也可以通过头脑想象操作的过程（思维实验），从而解决问题。

例 4.如图，是一个正方体的展开图，每个面内都标注了字母，则展开前与面 E 相对的是（ ）．

（ A ）面 A （ B ）面 B

（ C ）面 C （ D ）面 D

例 5. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）．

（ A ）矩形 （ B ）三角形

（ C ）梯形 （ D ）菱形

例 6 图①是由五个边长都是 1 的正方形纸片拼接而成的，过点 A1 的直线分别与 BC1、 BE交于点M 、 N ， MN 与 CC2 交于点 G, 且图①被直线MN 分成面积相等的上、下两部分。（ 1 ）求 的值；（ 2 ）求 MB、 NB 的长；（ 3 ）将图①沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图②）后，求两点 M、 N间的距离。

②图

M

G

D1

A1 B1

C1

D

A B

C N

C D E

C2 D2 A1

D1 C1

A B

F

①图

B1

M

NBMB

11

C

C1 B1

BN

M

图②中 BN 等于图①中的 EN 的长，

所以 BN＝EN＝2

53 ＝ MB1 ，所以 MN＝1。

三、几何变换

翻折、平移和旋转是基本的全等变换，题目条件的给出简单，但隐含的信息较多，解决这类问题，要帮助学生理清基本关系，抓住问题的本质，归纳一般的规律。解题时需要我们把计算、推理与合情想象有机结合起来。

例 7. 如 图 ，矩形 A1BlC1D1 沿 EF 折 叠 ，使 B1 点落在A1D1 边上的 B 处；沿 BG 折叠，使 D1 点落在 D 处且 BD过 F点，

（ 1 ）求证：四边形 BEFG是平行四边形；

（ 2 ）连结 B1B；判断△ B1BG 的形状，并写出判断过程。

例 8. 如图 20 ，在正方形 ABCD 中， AB＝ 1 ，弧 AC是点 B 为圆心， AB长为半径的圆的一段弧。点 E是边 AD 上的任意一点（点 E 与点 A、 D 不重合），过E 作弧 AC 所在圆的切线，交边 DC 于点 F， G 为切点：

（ 1 ）当∠ DEF＝ 45º时，求证：点 G 为线段 EF 的中点；

（ 2 ）设 AE＝ x， FC＝ y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；

（ 3 ）将△ DEF沿直线 EF翻折后得△ D ／ EF ，如图，当 EF＝时，讨论△ AD ／ D 与△ ED ／ F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。

A

B C

D

DE

F/

M

A

B C

D

DE

F/

M

当 AE＝ 2

1x ∠时， ADD／ ∠＝ DFE ∠＝ D／FE。AE

＝ED＝ED／ ∠， AD／D ∠＝ ED／F＝90° 也可以通过证明

FE

FD

DA

DD //

。故△ AD／D∽ △ ED／F；当 AE＝ 3

1x 时，

类似地研究。

例 9. 已知矩形 ABCD 的长 AB=4,宽 AD=3,按如图放置在直线 AP 上 ,然后不滑动地转动 ,当它转动一周时 ( A到A/),顶点 A 所经过的路线长等于 。

例 10. 如图，正三角形 ABC 的中心 O恰好为扇形 ODE 的圆心，且点 B 在扇形内，要使扇形 ODE绕点 O无论怎样转动，△ ABC 与扇形重叠部分的面积总等于△ ABC 的面积的，扇形的圆心角应为多少度？说明你的理由．

3

1

四、图形割补

分割图形和图形的重新组合问题由于解题策略多样，方法多样，剪裁线的不定性，使得组合图形变得多姿多彩，分割和组合其实是思考的结果，理性的思考是解题的关键。解决问题的方法有实验法、分析法、类比法、联想法和验证法。

例 11.已知，如图，△ ABC中， AB=AC ∠， A=360 ，仿照图（ 1 ），请你再设计两种不同的分法，将△ ABC 分割成 3 个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形，（图（ 2 ）、图（ 3 ）供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明；要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）

图（1）

A

C

360

B

A

C

360

B

360

A

C

360

B 360

360 360

720

1080

1080 720

图（3） 图（2）

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

例 12.如图，把大小为 4×4 的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图 1 。请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把 4×4 的正方形方格图形分割成两个全等图形。

例 13.现有一块形如母子正方形的板材，木工师傅想先把它分割成几块，然后适当拼接，制成某种特殊形状的板面（要求板材不能有剩余，拼接时不重叠、无空隙），请你按下列要求，帮助木工师傅分别设计一种方案：

（ 1 ）板面形状为非正方形的中心对称图形；

（ 2 ）板面形状为等腰梯形；

（ 3 ）板面形状为正方形。

请在方格纸中的图形上画出分割线，在相应的下边的方格纸上面拼接后的图形。

（1） （3） （2）

五、图案设计

完成方案和图案设计问题的关键是看清要求，大胆思索，仔细验证。

例 14.请你在下面 3 个网格（两相邻格点的距离均为 1 个单位长度）内，分别设计 1 个图案，要求 :在⑴中所设计的图案是面积等于 的轴对称图形；在⑵中所设计的图案是面积等于 2 的中心对称图形；在⑶中所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，并且面积等于 3 ．将你设计的图案用铅笔涂黑．

3

3

3

⑴ ⑵ ⑶

例 15 在一次实践活动中，某课题学习小组用测角器、皮尺测量旗杆高度，他们设计了如下方案：（ 1 ）在测点 A 处安置了测角仪器，测得旗杆的顶部M的仰角∠ MCE＝ ；（ 2 ）量出测点 A 到旗杆底部N的水平距离 AN＝ ；（ 3 ）量出测角仪器的高度 AC＝ 。根据上述条件测量数据，即可求出旗杆的高度 MN 。

m

h

A

CE

M

N

例 15 在一次实践活动中，某课题学习小组用测角器、皮尺测量旗杆高度，他们设计了如下方案：（ 1 ）在测点 A 处安置了测角仪器，测得旗杆的顶部M的仰角∠ MCE＝ ；（ 2 ）量出测点 A 到旗杆底部N的水平距离 AN＝ ；（ 3 ）量出测角仪器的高度 AC＝ 。根据上述条件测量数据，即可求出旗杆的高度 MN 。

m

h

A

CE

M

N

如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度的方案：（ 1 ）在图 35 中画出测量小山高度 MN 的示意图（添上适当的字母）；（ 2 ）写出你设计的方案。

M

N

M

NA B

C DE

量出 AB＝m ∠， MCD＝ ∠， MDE＝ ，AC＝n，

可以求出 nm

MN

tantan

tantan。

M

N

ED

C

B

A

量出 AB＝BC＝m ∠， MBD＝ ∠， MCE＝ ，可求

出MN＝

tantan

tantan2

mm

。

六、操作探究

操作探究题通过提供实验操作的情境，让学生探索图形变化过程中，线段、角、三角形的位置或数量之间的关系。这类问题已成为几何综合的一个亮点和方向，它能考查学生综合应用代数、几何知识解决问题的能力，能考查学生对方程、函数、数形结合等数学思想的领悟情况。这里操作是理解题意的重要措施，正确作图是解题的关键，认真分析、大胆猜想、小心求证是解题的核心。

例 16 操作：在△ ABC 中， AC＝ BC＝2 ，∠ C ＝ 90° ，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边 AB 的中点 P处。将三角板绕P点旋转，三角板的两直角边分别交射线 AC， CB于D 、 E 两点。图 38、 39、 40是旋转三角板得到的图形中的 3 种。探究：（ 1 ）三角板绕P点旋转，观察线段 PD和 PE 之间有什么大小关系？它们的大小关系是 ，并以图 39 为例，加以证明。 A

BC

PM

D

E

A

BC

P

D

E

A

BC

P

DE

A

BC

（ 2 ）三角板绕P点旋转。△ PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即求出 CE的长）；若不能，请说明理由。（ 3 ）若将三角板放在斜边 AB 上的M 处，且AM：MB＝ 1 ： 3 ，和前面一样操作，试问线段MD和ME 之间又有什么关系？请直接写出结论，不必证明（图 4 供操作用）。结论为 。

A

BC

PM

D

E

A

BC

P

D

E

A

BC

P

DE

A

BC