Найдем отношение объемов

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

V = V = SSooHH1133

2

1

V

V 22

11

3131

hS

hS

ha

ha

260sin221

31

60sin21

31

02

02

3 х1 0 хВ 9 8

hh 24 2

2

a

a

8

1

aa

22aa

22hh

aaababSS sinsin

2211

==

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

3 х1 0 хВ 9 4

Н 33

44

V = V = SSooHH1133

H 123

116

1243 oS

H416

4H

12121616

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

3 х1 0 хВ 9 50 , 2

3

V = V = SSooHH1133

360sin112

1

3

1 0 V

11

3

11

aaababSS sinsin

2211

==

32

3

2

1

3

1V

4

1

11 11 606000

3 х1 0 хВ 9 3

.

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .3

22

3V

22

V = V = SSooHH1133

H 33

13

060sin222

1oS

H3

11

3H

??

aaababSS sinsin

2211

==

32

322

2

1

22 22 606000

33 33

3

3:

3 х1 0 хВ 9 4

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

AAFF

BB CC

DD

EE

Найдем отношение объемов

V = V = SSooHH1133

2

1

V

V 2

1

3131

hS

hS

о

о

h

h

4 4

1

hh 44hh

hSV о пир. 3

1

3 х1 0 хВ 9 7

060sin112

1

11

11

11

606000

2

3113

2

33

60S

??

.

Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

6V

AA

FF

BB CC

DD

EE

1111

??

11

SS

6622

3333

;2

33

3

16 h ;

3

26h .

3

12h

ОО

Из АОS по теореме Пифагора найди ребро AS.

aaababSS sinsin

2211

==

11 11 606000

Для правильного 6-уг. сторона равна радиусу описанной окружности.

Можно вычислить площадь правильного шестиугольника, разбив его на 6 треугольников.

3 х1 0 хВ 9 2 0 0

.

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

Н

66

1010

1010

V = V = SSooHH1133

6103

1 2V

aaSS ==кв.кв.22

3 х1 0 хВ 9 4 8

.

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

.

Н

S

DC

B

V = V = SSooHH1133

?? 66

Из SHG: ;6

600

HGtg

3

6HG

Из SHA: ;6

600

AHtg

3

6AH

3366

3

12AD

3

6

3

12ABCDS 24

6243

1V

== ababSSпр.пр.

331212G

660000

66

A

660000

3 х1 0 хВ 9 4 , 5

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

A

В

С

S A

S

B

C

V = V = SSooHH1133

33

33

33

33

33

33

Задача очень простая, если догадаться опрокинуть пирамиду на удобную грань, например, SCB. Основание – прямоугольный треугольник SCB, высота AS.333

2

1

3

1V

ababSS

2211

==

33 33

катеткатет

кате

тка

тет

высотавысота

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 450. Найдите объем пирамиды.

3 х1 0 хВ 9 4 8

.

.

AA

FF

BB CC

DD

EE

4444

SS

ООКК

V = V = SSooHH1133

454500

?? ??

060sin442

1

44

44

44

606000

2

3443 324

60S

aaababSS sinsin

2211

==

44 44 606000

Можно вычислить площадь правильного шестиугольника, разбив его на 6 треугольников.

223322

3322

3322

323243

1V

Найдем ОКОК по теореме Пифагора

КК

ОО

СС

;321224 22 ОК

32,/ OSОКбрSOK

Найдем отношение объемовНайдем отношение объемов

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды B1ABC.

VVпир.пир. = = SSooHH1133

пир.

приз.

V

V hS

hS

ABC

ABCD

31

ABC

ABC

S

S

312

1

6

A B

CD

B1

C1

D1

A1

VVприз.приз. = = SSooHH

hh

hh

пир.

.приз

V

V

1

6 1212

3 х1 0 хВ 9 2

22SSABCABC=

ABC

ABC

S

S

312

Пирамида AD1CB1 получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам — ABCB1, D1B1CC1, AA1D1B1 и ADCD1. А объем каждой из них легко посчитать — мы делали это в предыдущей задаче. Например, найдем объем пирамиды ABCB1.

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD1CB1.

C1

AA B

CCD

A1 BB11

DD11 Найдем отношение объемовНайдем отношение объемов

VVпир.пир. = = SSooHH1133

пир.

пар.

V

V hS

hS

ABC

ABCD

31 1

6

VVпар.пар. = = SSooHH

пир.

.пар

V

V;

1

6 4,5 4,5

3 х1 0 хВ 9 1 , 5

4

3 пир. V

34

344 пир. V

5,135,4 CBAD 11V

Четыре пирамиды по углам — ABCB1, D1B1CC1, AA1D1B1 и ADCD1

Объем пирамиды АD1CB1

hh

22SSABCABC=

Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

hSV o куб.

Найдем отношение объемовНайдем отношение объемов

VVпир.пир. = = SSooHH1133

пир.

куб.

V

V

hS

hS

ABCD

ABCD

21

31

611

1

6

пир.

.к

V

V уб

1

6

3 х1 0 хВ 9 2

hh

hh2211

A B

CD

A1 B1

C1

D1

1212

От треугольной призмы, объем которой равен 150, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

hh

Найдем отношение объемовНайдем отношение объемов

VVпир.пир. = = SSooHH1133

пир.

приз.

V

V hS

hS

о

о

31 1

3VVприз.приз. = = SSooHH

пир.

.приз

V

V

1

3 150150

3 х1 0 хВ 9 5 0

FF

EE

AA BB

CC

DD

AA

BB

CCDD

EE

FF

Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 8. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

SS

У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Убедимся в этом, изменим расположение букв…Одинаковая высота, но площадь оснований различна.

Найдем отношение объемовНайдем отношение объемов

VVпир.пир. = = SSooHH1133

2 пир.

1 пир.

V

V

hS

hS

АВС3131

6

1

6

пир.2

1.пир

V

V

1

6

88

3 х1 0 хВ 9 4 8

VV11

VV22

Поработаем с выносным чертежом. Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в 6 раз меньше, чем у шестиугольной.

Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

SS

BB

DD

AA

CC

O

hh2211

Точка E – середина ребра SB, значит, точка N – середина SO (по т. Фалеса). Высота пирамиды EABC равна половине высоты пирамиды SABCD.

EENN Найдем отношение объемовНайдем отношение объемов

VVпир.пир. = = SSooHH1133

2 пир.

1 пир.

V

V

hS

hS

АВС

ABCD

21

3131

1

4

пир.2

1.пир

V

V

1

4 1212

3 х1 0 хВ 9 3

21

2

АВС

ABC

S

S22SSABCABC=

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

BB

SS

CC

AA

ММ NN

SS

АА

ВВСС

ММ

NN

У треугольной пирамиды и отсеченной пирамиды, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Убедимся в этом, изменим расположение букв… Одинаковая высота, но площадь оснований различна. Работать можно с любым из этих чертежей.

Найдем отношение объемовНайдем отношение объемов

VVпир.пир. = = SSooHH1133

2 пир.

1 пир.

V

V

hS

hS

ABC

NCM

3131

4

1

пир.2

1.пир

V

V

4

1

1212

3 х1 0 хВ 9 3

Cba

Cab

sin2221

sin21

aa bb

VV22

VV11

aaababSS sinsin

2211

==

Найдем объем пирамиды NABC. Сравним его с объемом всей пирамиды SABC, составив отношение.Основания у них одинаковые – треугольник АВС.А высоты разные, сравним их.

По т. Фалеса FP:SP = 2:3. Тогда, если SP=h, то FP= h, NO= h2

323

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

SS

CC

AABB

NN

1 1 частьчасть

22 частичасти

PP

Надо сравнить объемы пирамид NABC и NSAC. Найдем объем пирамиды NABC. Затем из VSABC (это 15) вычтем VNABC,, найдем VNSAC.

OO

FF

hh3322

NABC

SABC

V

V

hS

hS

АВС

ABC

32

3131

2

3

NABC

SABC

V

V

2

3 1515

3 х1 0 хВ 9 1 0

;10 NABC V

.51015 NSAC V