Презентация Презентация попогеометрии.геометрии.

Подготовили ученики Подготовили ученики 99б классаб классаЛунин АлександрЛунин АлександрГоремыкин ОлегГоремыкин Олег

Бенефис одной задачи.Бенефис одной задачи.

(В одной задаче – почти вся (В одной задаче – почти вся планиметрия!)планиметрия!)

Задача.Задача. В трапеции диагонали В трапеции диагонали длиной 6 см и 8 см взаимно длиной 6 см и 8 см взаимно

перпендикулярны.перпендикулярны. Найдите длину средней линии Найдите длину средней линии

трапеции.трапеции.

Способ №1Способ №1 1. Продолжим 1. Продолжим BC BC

вправо. вправо. Проведем Проведем DKDK || || ACAC.. Так как Так как ACKDACKD – – параллелограмм, то параллелограмм, то DKDK=6 см.=6 см.

2. 2. BDBD┴┴DKDK,, так как так как BDBD ┴ ┴ ACAC.. Δ Δ BDKBDK – – прямоугольный.прямоугольный.

BKBK= ;= ; BKBK= =10(см).= =10(см). 3. 3. BK=BC+AD.BK=BC+AD.

Средняя линия равна Средняя линия равна половине половине BKBK, то есть 5 , то есть 5 см.см.

Ответ: 5 см.Ответ: 5 см.

В С

А D

K

О

DKBD22

6822

Способ №2Способ №2 ( (похож на похож на 1)1)• Проведем Проведем СЕ СЕ || || BDBD до до

пересечения с пересечения с продолжением продолжением ADAD. . DEDE = = BCBC, так как , так как DBCEDBCE – – параллелограмм. параллелограмм. AEAE вычислим по теореме вычислим по теореме Пифагора из ΔПифагора из ΔACEACE ((CECE || || BDBD, но , но BDBD ┴ ┴ ACAC, , следовательно,следовательно,CECE ┴┴ACAC):):

• AEAE = ; = ; AEAE = = 10(см). = = 10(см).

• AEAE = = aa++bb. Но средняя . Но средняя линия равна (линия равна (a+b)/2a+b)/2 , ,

• т.е. равна 5 см.т.е. равна 5 см.• Ответ: 5 см.Ответ: 5 см.

A

B C

D Ea

b

6

8

CEAC22

8622

Способ №3 MN – средняя линия

трапеции. Проведем MK || BD и соединим точки N и K.NK – средняя линия ΔACD, следовательно NK=0,5 AC; NK = 3(см).MK – средняя линия ΔABD, следовательно MK=0,5 BD; MK=4(см).Угол MKN равен углу AOD как углы с соответственно параллельными сторонами.ΔMKN – прямоугольный. MN = = =5(см).Ответ: 5 см.

432222 NKMK

A

B C

D

OM N

K

Способ №4Способ №4► 1.Продолжим 1.Продолжим CACA на на

расстояние расстояние AMAM = = CCО. О. Через точку Через точку М М проведем проведем MNMN || || ADAD. . BDBD ∩ ∩ MNMN = = NN..

► 2. 2. ΔΔOMNOMN – прямоугольный, – прямоугольный, OMOM = 6 см, = 6 см, ONON = 8 см. = 8 см. Следовательно, Следовательно, MNMN = 10 = 10 ccм м (теорема Пифагора).(теорема Пифагора).

► 3. Проведем 3. Проведем MKMK || || NDND. . Продолжим Продолжим ADAD до до пересечения с пересечения с MKMK. Δ. ΔMAKMAK = = ΔΔBOCBOC (по (по II признаку), признаку), следовательно следовательно AKAK = = = = BCBC. .

► 4. 4. MKDNMKDN – параллелограмм, – параллелограмм, DKDK== MNMN = 10 см. Но = 10 см. Но

► DKDK = = ADAD++BCBC. Значит, . Значит, средняя линия равна 5 см.средняя линия равна 5 см.

► Ответ: 5 см.Ответ: 5 см.

A

B C

D

M

K

O

N

Способ №5Способ №5 Соединим середины Соединим середины

сторон трапеции. Легко сторон трапеции. Легко доказать, что доказать, что MPNQMPNQ – –

параллелограмм с прямым параллелограмм с прямым углом, т.е. прямоугольник углом, т.е. прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. со сторонами 3 см и 4 см. Диагонали его Диагонали его MN MN == PQ PQ== 5 5

см (египетский см (египетский треугольниктреугольник).).

  Ответ: Ответ: MNMN = 5 c = 5 cм.м.

В С

А D

P

M

Q

N

34

Способ №6Способ №6Продолжим Продолжим ACAC за точку за точку AA так, так, что что АМАМ = = ОСОС. Продолжим . Продолжим BDBD за за точку точку DD так, что так, что DNDN = = BOBO. Итак, . Итак,

ΔΔOMNOMN – прямоугольный с – прямоугольный с катетами 6 см и 8 см. По катетами 6 см и 8 см. По

теореме Пифагора теореме Пифагора MNMN = 10 см. = 10 см. Проведем Проведем AEAE ┴ ┴ MNMN, , DFDF ┴ ┴ MNMN, ,

OKOK ┴ ┴ BCBC..  

ΔΔAMEAME = Δ = ΔKOCKOC и Δ и ΔDFNDFN = = ΔΔBKOBKO по по стороне и двум прилежащим к стороне и двум прилежащим к

ней углам.ней углам.  

Следовательно, Следовательно, MEME = = KCKC и и FHFH = = BKBK, т.е. , т.е. MNMN = = ADAD + + BCBC = 10 (см). = 10 (см).

  Средняя линия равнаСредняя линия равна

(AD+BC)/2(AD+BC)/2== =MN/2 =MN/2==10/2 10/2 = 5.= 5.  

Ответ: 5 см.Ответ: 5 см.

В С

А D

O

M E F N

Способ №7Способ №7 Пусть Пусть OCOC = = xx, , BOBO = = yy; тогда ; тогда АОАО = 6 – х, = 6 – х, DODO = 8 – = 8 – yy. . MNMN

– средняя линия.– средняя линия.

1.Из подобия Δ1.Из подобия ΔBOCBOC и и ΔΔAODAOD имеем: имеем: х/(6-х) = у/(8-у), х/(6-х) = у/(8-у),8х – ху = 6у – ху,8х – ху = 6у – ху,8х = 6у, у = 4/3х.8х = 6у, у = 4/3х.

2. Из прямоугольного треугольника Δ2. Из прямоугольного треугольника ΔBOCBOC имеем: имеем:ВСВС == √√ x x²+ (4/3²+ (4/3xx)² )² = √ x= √ x² + 16/9² + 16/9xx² ² = √= √ 25/9 25/9xx² = 5/3² = 5/3xx..

3.Из подобия Δ3.Из подобия ΔBOCBOC и Δ и ΔAODAOD имеем: имеем: BC BC//ADAD = = OCOC//AOAO, (5/3x)/, (5/3x)/ADAD = x/(6-x), = x/(6-x),

AD = 5/3(6-x) = 10-5/3x.AD = 5/3(6-x) = 10-5/3x.

4. 4. MNMN = ( = (ADAD + + BCBC) = (5/3x+10-5/3x)/2 = 5 () = (5/3x+10-5/3x)/2 = 5 (смсм). ). Ответ: 5 см.Ответ: 5 см.

Способ №8Способ №8 1.Из подобия Δ 1.Из подобия ΔBOCBOC и и ΔΔAODAOD::

xx/(6-/(6-xx) = ) = yy/(8-/(8-yy), ), yy=4/3=4/3xx.. 2.Продолжим диагонали на отрезки,  2.Продолжим диагонали на отрезки,

равные равные COCO и и BOBO..  3.3.Из ΔИз ΔMONMON: : MNMN = 10 = 10 см.см.    4. 4. AODAOD подобен подобен ΔΔMONMON;;

MN = 4/3 AD, AD = 3/4MN = =3/4*10 =MN = 4/3 AD, AD = 3/4MN = =3/4*10 == 7,5 (= 7,5 (смсм).).

 5.В Δ 5.В ΔBOCBOC: : BC BC = = xx²+(4/3²+(4/3xx)² = 5/√3)² = 5/√3xx..

 6.Δ 6.ΔBOCBOC подобен подобен ΔAOD.ΔAOD.BCBC//ADAD = = OCOC//AOAO, (5/3x²)/7,5 = x/(6-x);, (5/3x²)/7,5 = x/(6-x);10x-5/3x² = 7,5x; 2,5x = 5/3x²; 7,5 = 10x-5/3x² = 7,5x; 2,5x = 5/3x²; 7,5 =

5x; x = 1,5 (c5x; x = 1,5 (cмм).). 7.  7. BCBC = 5/3 = 5/3xx = 5/3*1,5 = 2,5 (см). = 5/3*1,5 = 2,5 (см).

8. Средняя линия равна8. Средняя линия равна((ADAD++BCBC)/2 = (7,5+2,5)/2 = 5.)/2 = (7,5+2,5)/2 = 5.

Ответ: 5 см.Ответ: 5 см.

  

M N

y x

6-x8-y

O

В С

А D

Способ №9 ТригонометрическийСпособ №9 Тригонометрический• 1. Из подобия ΔBOC и ΔAOD:X/(6-x) = y/(8-y) , y =4/3 х.• 2. Δ BOC – прямоугольный.tg α =y/x =4/3x : x = у =4/3 .• 3. Найдем cos α либо по формуле:1+tg²α = 1/cos a,либо методом треугольника: cos α = 3/5. 4. Из ΔBOC:OC/BC = cos α, BC = OC/cos α =4*5/3 = 5/3 x.• 5. Из ΔAOD: AO/OD = cos α, AD = AO/ cos α = (6-x)/3/5 = 5(6-x)/3 .• 6. Средняя линия равна (AD+BC)/2 = 5 (см).

cos²á

1

Способ №10 Способ №10 (тригонометрический)(тригонометрический)1. Из подобия треугольников 1. Из подобия треугольников BOCBOC и и AODAOD::x/(6-x) = y/(8-y), y =4/3x. x/(6-x) = b/a.x/(6-x) = y/(8-y), y =4/3x. x/(6-x) = b/a.  2. 2. ax = 6b – bx, (a+b)x = 6b, ax = 6b – bx, (a+b)x = 6b, (a+b)/2 = 3b/x, (a+b)/2 = 3/sin α.(a+b)/2 = 3b/x, (a+b)/2 = 3/sin α.tgtg αα = x/y = x/(4/3x) = 3/4, α = = x/y = x/(4/3x) = 3/4, α = arctgarctg 3/4. 3/4.

3.3. (a+b)/2 = 3/(a+b)/2 = 3/sinsin((arctgarctg 3/4) = 3 / 3/5 = 5. 3/4) = 3 / 3/5 = 5. 4. 4. tg αtg α = 3/4 = 3/4 sin α = sin α = ?? sin αsin α = 3/5 = 3/5

53

4

α