运筹学模型与软件实践

中国科学院研究生院

Models and Software Practice of the Operations Research

第三章　对偶规划、灵敏度分析与实验 对偶理论简介 对偶线性规划应用 单纯形方法的灵敏度分析 LINDO 软件求解与灵敏度分

析 投资的收益和风险组合问题 WinQSB 软件的应用

DUAL

引入对偶问题 (1) 说法： 一般 , 我们把下面的两个现象称为对偶现象 , 例如

“在周长一定的四边形中 , 以正方形的面积为最大” ,

或者

“在面积为一定的四边形中 , 以正方形的周长为最小” ,

这实际上是一个现象的两种提法。

引入对偶问题

(2) 实际的例子（汽车生产）：

某汽车工厂生产大轿车和载重汽车两种型号的汽车，已知生产每辆汽车所用的钢材都是 2 吨／辆，该工厂每年供应的钢材是 1600 吨；工厂的生产能力是每 2.5 小时可生产一辆载重汽车，每 5 小时可生产一辆大轿车，工厂全年的有效工时为 2500 小时；已知供应给该厂大轿车用的座椅每年可装配 400 辆。出售一辆大轿车可获利 4千元，出售一辆载重汽车可获利 3 千元。问工厂如何安排生产才能获利最大

引入对偶问题 设： 1x 为生产大轿车的数量(辆)

2x 为生产载重汽车的数量(辆)

全年的利润值 21 34 xxz (千元)

原材料限制： 160022 21 xx

工时的限制： 25005.25 21 xx

大轿车座椅限制： 4001 x

非负约束： 01 x ； 02 x

现在提一个新的问题： 如果工厂不再打算生产汽车，而是把钢材和座椅以比买价高的价格卖出，把工厂的生产能力以更高的工时费来接受外协加工，那么材料和工时的定价应该是多少才划算？

在考虑定价时，肯定要和生产汽车时的情况进行比较，起码应当使两种情况下的总利润相等。

设 y1 表示出售单位钢材的利润， y2 表示外协加工的工时利润， y3 表示出售每套大轿车座椅的利润，那么，用于生产一辆载重汽车的材料销售利润和工时利润之和不应该低于出售一辆载重汽车所得的利润，即

2y1+2.5y2 >=3

用于生产一辆大轿车的材料销售利润、工时利润和座椅利润之和不低于出售一辆大轿车所得的利润

W>=1600y1+2500y2+400y3

为了使材料的价格和工时费在市场上有竞争力，对工厂来说最佳的决策是，在满足上述的约束条件的基础上，售价越低越好，这就是总利润最小值。

显然工厂决策者认为当 minW=maxZ 时，这两种方案具有相同的结果，都是最优解

一、对偶的定义原始问题min z=CTX

s.t. AX≥b

X ≥0

对偶问题（旋转 90° ）max y=bTW

s.t. ATW≤C

W ≥0

≥

min

bA

CT

CAT

bT

≤

max

m

nm

n

对偶规划的要点 从min变成max 价值系数与右端向量互换 系数矩阵转置 按规则添上不等式

二、对偶问题的性质对偶的对偶就是原始问题

max z’=-CTX

s.t. -AX≤-b

X ≥0

min y=-bTW

s.t. -ATW≥-C

W ≥0

min z=CTX

s.t. AX≥b

X ≥0

对偶的定义

对偶的定义 max y=bTW

s.t. ATW≤C

W ≥0

三、原始对偶关系1 、可行解的目标函数值之间的关系 设 XF、WF 分别是原始问题和对偶问题的可行解

z=CTXF ≥WTAXF ≥WTb=y

2 、最优解的目标函数值之间的关系 设 Xo、Wo 分别是原始问题和对偶问题的最优解

z=CTXo=WoTAXo=WoTb=y

3 、原始问题和对偶问题最优解之间的互补松弛关系

min z=CTXs.t. AX≥b X ≥0 对偶

引进松弛变量 引进松弛变量

XTWS=0 WTXS=0

互补松弛关系

X， Xs

W，Ws

min z=CTXs.t. AX-XS=b X, XS≥0

max y=bTWs.t. ATW≤C W≥0

max y=bTWs.t. ATW+WS=C W, WS≥0

min z=CTX

s.t. AX-XS=b

X, XS ≥0

max y=bTW

s.t. ATW+WS=C

W, WS ≥0

XTWS=0WTXS=0

m n

=

W WS

AT I Cn

=A

XS

-I b

n m

m

X

原始问题和对偶问题变量、松弛变量的维数

w1 wi wm wm+1 wm+j wn+m

x1 xj xn xn+1 xn+i xn+m

对偶问题的变量 对偶问题的松弛变量

原始问题的变量 原始问题的松弛变量

xjwm+j=0 wixn+i=0 (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)

在一对变量中，其中一个大于 0 ，另一个一定等于 0

Kuhn-Tucher 条件

3 、原始问题和对偶问题最优解的充分必要条件 (1) 原始可行条件（ PFC）

AX-XS=b

X, XS ≥0

(2) 对偶可行条件（ DFC ）

ATW+WS=C

W, WS ≥0

(3) 互补松弛条件（ CSC ） XTWS=0

WTXS=0

任何线性规划问题都有其对偶问题 对偶问题有其明显的经济含义

假设有商人要向厂方购买资源 A 和 B ，问他们谈判原料价格的模型是怎样的？

设 A、 B 资源的出售价格分别为 y1 和 y2

显然商人希望总的收购价越小越好 工厂希望出售资源后所得不应比生产产品所得少

0,

4 423

3 332

2 22

1 12

..

21

21

21

21

21

yy

yy

yy

yy

yy

ts

的所得产品的所得产品的所得产品的所得产品

目标函数 min g(y)=25y1+15y2

四、对偶的经济解释1 、原始问题是利润最大化的生产计划问题

0xxxxxx

bxxaxaxa

bxxaxaxa

bxxaxaxa.t.s

xcxcxczmax

mn2n1nn21

mmnnmn22m11m

22nnn2222121

11nnn1212111

222211

单位产品的利润（元 /件）

产品产量（件）

总利润（元）

资源限量（吨）

单位产品消耗的资源（吨 /件）

剩余的资源（吨）

消耗的资源（吨）

2 、对偶问题

0wwwwww

cwwawawa

cwwawawa

cwwawawa.t.s

wbwbwbymin

nm2m1mm21

nnmmmn2n21n1

22mm2m222112

11mm1m221111

mm2211

资源限量（吨）

资源价格（元 /吨）

总利润（元）

对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解w1、 w2、 ...、 wm 称为 m 种资源的影子价格（ Shadow Price）

原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y

3 、资源影子价格的性质

■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子价格一定等于 0

种资源的边际利润第种资源的增量第

最大利润的增量i

ib

zw

i

ooi

mmii2211 wbwbwbwbyz

mmiii2211 wbw)bb(wbwbzz

ii wbz

w1

w2

wm

4 、产品的机会成本

机会成本

表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润

mmjiijjj wawawawa 2211

增加单位资源可以增加的利润

减少一件产品可以节省的资源

0xxxx

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxas.t.

xcxcxcxczmax

nj21

mnmnjmj2m21m1

2n2nj2j222121

1n1nj1j212111

nnjj2211

机会成本 利润差额成本

0wwwwww

cwwawawa

cwwawawa

cwwawawa.t.s

wbwbwbymin

nm2m1mm21

nnmmmn2n21n1

22mm2m222112

11mm1m221111

mm2211

5 、产品的差额成本（ Reduced Cost）

差额成本 =机会成本 - 利润jj

Tjmjmj22j11jm caWc)awawaw(w

0x0w

0w0x0wx

0w0x

0x0w0xw

jjm

jmjjmj

iin

iniini

在利润最大化的生产计划中

（ 1 ）边际利润大于 0 的资源没有剩余

（ 2 ）有剩余的资源边际利润等于 0

（ 3 ）安排生产的产品机会成本等于利润

（ 4 ）机会成本大于利润的产品不安排生产

5 、互补松弛关系的经济解释

理论部分介绍到这里

五、对偶线性规划的应用

研究互为对偶的线性规划问题，不仅在理论上有重要意义 ，而且具有深刻的经济意义；也进一步反映影子价格的意义及其在经济管理中的应用

五、对偶线性规划的应用

例 2.1 某企业利用 3 种原料 1B ， 2B ， 3B 生产 2 种产品 1A ， 2A 。3 种原料的月供应量

和生产 1吨产品 1A ， 2A 所消耗的各种原料数量及单位产品价格如下表所示。设生产的

产品 1A ， 2A 均可以在市场销售，企业应如何安排月生产计划，使总收益最大？

1A 2A 原料月供应量(t)

1B

2B

3B

1

2

3

1

3

2

150

240

300

单位产品价格(万元/t)

2.4 1.8

设计划生产产品 iA的数量为 ix (t/月)， 2,1i 则所讨论的原问

题的数学模型为：

0,0

30023

24032

150

8.14.2max

21

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

xxZ

如果另一个公司想从该企业购买这 3种原料，那么这 3种原料的价格应是多少才是双方都合理的呢？

建立对偶模型：设原料 1B ， 2B ， 3B 的价格为 1y ， 2y ， 3y (万元/t)，

显然，应有 0iy ， 3,2,1i 。由原问题的条件，生产 1t产品 1A 需

消耗 1t原料 1B ，2t原料 2B ，3t原料 3B ，可获得收益 2.4万元。因

此，若将生产 1t产品 1A 的这些原料卖出所得的收益为

321 32 yyy (万元)

它必须不少于生产 1t产品 1A 所得的收益，对于该企业才是合算的

4.232 321 yyy

对于产品 2A ，可以类似得到：

8.123 321 yyy

同 时 ， 若 买 方 欲 购 买 该 工 厂 的 全 部 资 料 ， 则 应 付 出

321 300240150 yyy 万元（这也是该工厂卖出全部原料的总收

益）。从买方角度应使总支出尽可能地少。因此：

0,0,0

8.123

4.232

)(

300240150min

321

321

321

321

yyy

yyy

yyy

D

yyyf

问题（P）与问题（D）互为对偶问题。问题（P）的第 i个约束对应

于对偶变量 iy ， 3,2,1i ，问题（D）的最优解 321 ,, yyy 称为原料

321 ,, BBB 的影子价格。

应注意：“ 影子价格” 并不是该原料的市场实际价格，而是在取得最大收益时，收益对应于原料的边际收益值。

Lindo 的求解过程及结果

Lingo 求解模型的例子－－灵敏度分析应用

一奶制品加工厂用牛奶生产 A1,A2 两种奶制品， 1桶牛奶可以在甲车间用 12 小时加工成 3公斤 A1 ，或者在乙车间用 8 小时加工成 4公斤 A2 。根据市场需求，生产的 A1,A2 全部能售出，且每公斤 A1 获利 24 元，每公斤 A2 获利 16 元。现在加工厂每天能得到 50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间 480 小时，并且甲车间每天至多能加工 100公斤 A1 ，乙车间的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大？假设： x1 为甲车间消耗的牛奶桶数， x2 为乙车间消耗的牛奶桶数

进一步讨论以下 3 个附加问题： 1 ） 若用 35 元可以买到 1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2 ） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ 3 ） 由于市场需求变化，每公斤 A1 的获利增加到 30 元，应否改变生产计划？

Lingo 求解模型的例子－－灵敏度分析应用

！目标描述； max=72*x1+64*x2;

！约束条件描述；x1+x2<=50; ！牛奶的能力限制，不能超过 50桶牛奶

12*x1+8*x2<=480; ！劳动时间的限制，不能超过 480小时3*x1<=100; ！甲车间的生产能力限制，每天最多加工100公斤

Slack or Surplus 给出这 3 种资源在最优解下是否有剩余Dual Price 给出这 3 种资源在最优解下“资源”增加 1个单位时“效益”的增量 . 经济学上称为影子价格，即 1桶牛奶的影子价格为 48 元， 1 小时劳动的影子价格为 2元，车间甲的影子价格为零。

“Reduced Cost”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时 , 目标函数的变化率。其中基变量的 reduced cost 值应为 0 ， 对于非基变量 Xj, 相应的 reduced cost 值表示当某个变量 Xj 增加一个单位时目标函数减少的量( max 型问题 ) 。

回答附加问题 1 ：用 35 元可以买到 1桶牛奶，低于1桶牛奶的影子价格 48 ，当然应该作这项投资。

回答附加问题 2 ：聘用临时工人以增加劳动时间，付给的工资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润，所以工资最多是每小时 2 元。

进行灵敏度分析：

进行灵敏度分析：目标函数的系数发生变化时（假定约束条件不变），可以给出最优基不变条件下目标函数系数的允许变化范围： x1 的系数为（ 72-8， 72+24） =（ 64， 96 ）； x2的系数为（ 64-16， 64+8） =（ 48， 72 ）。

（注意： x1 系数的允许范围需要 x2 系数 64 不变，反之亦然）

由于目标函数的费用系数变化并不影响约束条件，因此此时最优基不变可以保证最优解也不变，但最优值变化。

用这个结果很容易回答附加问题 3 ）：若每公斤 A1 的获利增加到 30 元，则 x1 系数变为 30×3=90 ，在允许范围内，所以不应改变生产计划，但最优值变为 90×20+64×30=3720 。

影子价格的作用（即在最优解下“资源”增加 1 个单位时“效益”的增量）是有限制的。

影子价格在有意义条件下约束右端的限制范围： milk ）原料最多增加 10 （桶牛奶）， time ）劳动时间最多增加 53 （小时）。现在可以回答附加问题 1 ）的第 2 问：虽然应该批准用 35 元买1桶牛奶的投资，但每天最多购买 10桶牛奶。此外，可以用低于每小时 2 元的工资聘用临时工人以增加劳动时间，但最多增加 53.3333 小时。

灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。所以要使影子价格有意义，利润的增加要大于牛奶的投资。

六、投资的收益和风险组合问题

本节介绍使用多目标规划来建立线性规划的数学模型并求解。（1998年全国大学生数学建模竞赛 A题） [目的] 展示实际问题是如何通过数学转化成为线性规划的模型

市场上有 n种资产(如股票、债券等) ),,1( niSi 供投资者选择，某公

司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务

分析人员对这 n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买 iS 的平均

收益率为 ir，并预测出购买 iS 的风险损失率为 iq ，考虑到投资越分散，

总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险

可用所投资的 iS 中最大的一个风险来度量。

购买 iS 要付交易费，费率 ip ，并且当购买额不超过给定值 iu 时，

交易费按购买 iu 计算(不买当然无需付费)。另外，假定同期银行存款利

率是 0r ，且既无交易费又无风险。（ %50 r ）

问题描述（ 1 ）

1） 当 4n 时的相关数据如下表

iS (%)ir (%)ip (%)iu

1S 28 1 103

2S 21 2 198

3S 23 4.5 52

4S 25 6.5 40

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M ，有选择地购买若干种资产或存款生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 2）试就一般情况对以上述问题进行讨论，并利用表格中的数据计算。

问题描述（ 2 ）

一、 建模及求解过程 模型的建立

设购买 iS 的金额为 ix ，所需的交易费 )( ixc 为

iiii

iiiii uxxp

niuxupxc

,

,,2,1,0,)(

设存银行的金额为 0x ，显然， 0)( 00 xc

对 iS 投资的净收益为

)()]([)1()( iiiiiiiiiii xcxrxcxxrxR

投资组合 ),,,( 10 nxxxx 的净收益为 （略）

n

iii xRxR

0

)()( ，所以投资的风险为 iini

xqxQ

1max)(

投资所需资金为

n

iiii xcxxF

0

))(()(

因此得到模型的目标函数：

0,)()(

)(min xMxF

xR

xQ

模型的简化和分析

上述两个目标优化模型可转化成为一个单目标问题：

模型 a固定风险水平 1L ，优化收益：

0,)(

)(

)(max

1

xMxF

LxQ

xR

模型 b固定盈利水平 2L ，极小化风险：

0,)(

)(

)(min

2

xMxF

LxR

xQ

模型 c确定投资者对风险－收益的相对偏好参数 0 ，求解：

0,)(..

)()1()(min

xMxFts

xRxQ

上述三个问题中，选择 1L ， 2L 的不同水平和 的不同值进行求解就可揭示

投资和风险之间的相互依存规律，再根据投资者对风险的承受能力，确定投资方案。

实际问题的转化、化简与求解：因为投资数额M 相当大， iS 若被选中，其

投资额 ix 一般都超过 iu ，投资费用可简化为： )()( iii xpxc 。

在进行计算时，可设 1M ，此时 ii xp )1( 可视作投资 iS 的比率。

对固定风险的情形a（模型b类似考虑），问题可化为如下线性规划问题：

n

iii

ii

n

iiii

Mxp

niLxq

xpr

0

1

0

)1(

,,2,1,

)(max

对于有相对偏好参数 的优化问题，引入变量 1nx ，可化为如下线性规划：

nixxq

Mxp

xprxxL

nii

n

iii

n

iiiin

,,2,1,

)1(

)()1()(min

1

0

01

使用偏好系数 来分析模型 c

权重数 1 和 分别表示投资者对净收益和总体投资风险两者

的重视程度。 的取值范围为[0,1]。 的数值越大，表示投资者越重视总体风险的大小，也即希望风险尽可能地小：

（1） 当 0 时，表示投资者极端冒险，只重收益，忽略风险。

（2） 当 1 时，表示投资者极端避免风险，此时如有无风险的所

供资产存在。

这种投资模型的解：运用参数规划技术得到有效证券组合，为投资决策提供定量的依据。数值的具体计算常使用 LINDO和 LINGO

软件来求解，对固定收益优化风险的问题也可作类似处理并可作相应的灵敏度分析。

WinQSB 软件的应用已知线性规划问题：

4,3,2,1,0

40385

2043430746

15593

42max

4321

432

4321

431

4321

jx

xxxx

xxxxxxx

xxx

xxxxZ

j

⑴： 写出对偶线性规划，变量用 y表示

⑵：求原问题及对偶问题的最优解

⑶：分别写出价值系数 jc 及右端常数的最大允许变化范围

⑷：目标函数系数改为 )1,6,2,4(C ，同时常数改为 )40,20,40,20(b ，求最优解

⑸：删除第 4个约束条件同时删除第 3个变量，求最优解

⑹：增加一个变量 5x ，系数为 )3,2,4,5,6(),,,,( 453525155 aaaac ，求最优解

例题求解－－第一步

点击 Format → Switch to Dual Form，得到对偶问题的数据表，点击 Format

→ Switch to Normal Model Form，得到对偶模型，点击 Edit → Variable Name “ ”，分别修改变量名， 回车 后得到以 y为变量的对偶模型。

例题求解－－第二步

返回到原问题，求解模型得到最优解 )0,1,25.4,2(X ，最优值 5.14Z 。察看

最优表中的影子价格(Shadow Price)对应列的数据就是对偶问题的最优解为

)0,475.0,025.0,2833.0(Y ，松弛变量检验数的相反数就是对偶问题的最优解。

由上步的表可知，最后两列价值系数 )4,3,2,1( jc j 最大允许变化范围分别是：

[0.8333,4.1667]，[1.333,5.7778]，[1.1667,4.5]，( ,3.4917]

右端常数 )4,3,2,1( ibi 的最大允许变化范围分别是

[5,27.4719]，[16.6667,50]，[0,33.3333]，(30.75, ]

例题求解－－第三步

例题求解－－第四步

直接修改模型，求解后得到最优解 )0,1,25.4,6667.3(X ，最优解 1667.29Z

例题求解－－第五步将数据改回原问题，点击 Edit→ Delete a Contraint，选择要删除的约束 C4，OK!

点击 Edit→ Delete a Variable，选择要删除的变量 X3，OK。得到如下的模型，求解得到最优解 X＝(1.6667，5，0)，最优解 Z＝11.6667。

例题求解－－第六步将数据改回原问题，点击 Edit→ Insert a Variable，选择变量名和变量插入的位置，在显示的电子表格中输入（6，5，4，2，3），

使用 Excel 电子表格进行灵敏度分析电子表格的一个很大的优点是方便展开各种灵敏度分析，当某一参

“ ”数发生变化时，只需改变表格中相应的数据，重新按 规划求解 按钮求出新的解。

“ ”仍然采用上一章的 资源分配模型 进行说明。当 1c 由 4变为 3.5时

最优解的变化：

最优解无变化

使用 Excel 电子表格进行灵敏度分析

在选项中务必选择采用线性模型