运筹学 —— 目录

1

1、绪论 2、线性规划 3、运输问题 4、动态规划 5、图与网络分析 6、排队论 7、教学日历

运筹学 ——目录

2

绪论运筹学（ Operational Research) 直译为“运作研究” 运筹学是运用科学的方法（如分析、试验、量化等）来决定如何最佳地运营和设计各种系统的一门学科。运筹学对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。 • 运筹学有广泛应用（可以自己找一些参考书看）• 运筹学的产生和发展（可以自己找一些参考书看）

3

运筹学解决问题的过程1 ）提出问题：认清问题2 ）寻求可行方案：建模、求解3 ）确定评估目标及方案的标准或方法、途径4 ）评估各个方案：解的检验、灵敏性分析等5 ）选择最优方案：决策6 ）方案实施：回到实践中7 ）后评估：考察问题是否得到完满解决1 ） 2 ） 3 ）：形成问题； 4 ） 5 ）分析问题：定性分析与定量分析。构成决策。

4

运筹学的分支• 线性规划• 非线性规划• 整数规划• 动态规划• 多目标规划• 随机规划• 模糊规划等

• 图与网络理论• 存储论• 排队论• 决策论• 对策论• 排序与统筹方法• 可靠性理论等

5

运筹学在工商管理中的应用• 生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下料、配料问题、物料管理等• 库存管理：多种物资库存量的管理，库存方式、库存量等• 运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、运输工具的调度以及建厂地址的选择等• 人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编制、人员合理分配，建立人才评价体系等• 市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与销售计划制定等• 财务和会计：预测、贷款、成本分析、定价、证券管理、现金管理等 *** 设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等

6

运筹学方法使用情况 (美 1983) （ %）

010203040506070

统计

计算机模拟

网络计划

线性规划

排队论

非线性规划

动态规划

对策论

从不使用有时使用经常使用

7

0102030405060708090

统计

计算机模拟

网络计划

线性规划

排队论

非线性规划

动态规划

对策论

从不使用有时使用经常使用

运筹学方法在中国使用情况 (随机抽样 )（ %）

8

运筹学的推广应用前景• 据美劳工局 1992 年统计预测 : 运筹学应用分析人员需求从 1990 年到 2005 年的增长百分比预测为 73%, 增长速度排到各项职业的前三位 .结论 :• 运筹学在国内或国外的推广前景是非常广阔的• 工商企业对运筹学应用和需求是很大的• 在工商企业推广运筹学方面有大量的工作要做

9

• 学习运筹学要把重点放在分析、理解有关的概念、思路上。在自学过程中，应该多向自己提问，如一个方法的实质是什么，为什么这样做，怎么做等。• 自学时要掌握三个重要环节： 1 、认真阅读教材和参考资料，以指定教材为主，同时参考其他有关书籍。一般每一本运筹学教材都有自己的特点，但是基本原理、概念都是一致的。注意主从，参考资料会帮助你开阔思路，使学习深入。但是，把时间过多放在参考资料上，会导致思路分散，不利于学好。 2 、要在理解了基本概念和理论的基础上研究例题，注意例题是为了帮助你理解概念、理论的。作业练习的主要作用也是这样，它同时还有让你自己检查自己学习的作用。因此，做题要有信心，要独立完成，不要怕出错。因为，整个课程是一个整体，各节内容有内在联系，只要学到一定程度，知识融会贯通起来，你做题的正确性自己就有判断。 3 、要学会做学习小结。每一节或一章学完后，必须学会用精炼的语言来该书所学内容。这样，你才能够从较高的角度来看问题，更深刻的理解有关知识和内容。这就称作“把书读薄”，若能够结合自己参考大量文献后的深入理解，把相关知识从更深入、广泛的角度进行论述，则称之为“把书读厚”• 在建数学模型时要结合实际应用，要学会用计算机软件解决问题。

如何学习运筹学课程

返回目录

10

各章节的重点、难点及注意事项

11

1 、线性规划

线性规划模型：目标函数： Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件： s.t. x1 + x2 ≤ 300

2 x1 + x2 ≤ 400

x2 ≤ 250

x1 , x2 ≥ 0

例 1. 某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及 A 、 B两种原材料的消耗以及资源的限制，如下表：

问题：工厂应分别生产多少单位甲、乙产品才能使工厂获利最多？

甲乙资源限制设备 1 1 300台时原料 A 2 1 400千克原料 B 0 1 250千克

单位产品获利 50元 100元

12

1 、线性规划（续 1.1 ）1. 1 线性规划的概念• 线性规划的组成：目标函数 Max f 或 Min f 约束条件 s.t. (subject to) 满足于决策变量用符号来表示可控制的因素• 一般形式 ( p10-- p 11)目标函数： Max （ Min ） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn 约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ） b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ） b2

…… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ） bm

x1 ， x2 ，… ， xn ≥ 0• 标准形式 ( p11-- p 15 ，例 1-3)目标函数： Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn 约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

…… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm

x1 ， x2 ，… ， xn ≥ 0**练习： p 68--70 习题 1 1-1 ， 1-2

13

1 、线性规划（续 1.2 ）1. 2 线性规划问题解的概念及性质• 熟悉下列一些解的概念（ p15--16 ）可行解、可行解集（可行域），最优解、最优值，基、基变量、非基变量，基本解、基本可行解，可行基、最优基。

•图解方法及各有关概念的意义（p16--20）看：图解法步骤，例 1-4 ， 1-5 ， 1-6 ， 1-7 ， 1-8 ， 1-9 下一页是一个图解法解题的一个例子，右图中的阴影部分为可行域。• 单纯形法的理论基础（ p20--30 ） 1.2.3段要求看懂，了解如何直接通过对约束矩阵的分析求出基本可行解 1.2.4, 1.2.5两段应注重结论的了解，如单纯形法思想和关于线性规划解的四个定理，而对证明过程则可根据自己的数学基础来掌握：基础很好，可要求掌握；否则，也可略去不看。** 习题： p70 习题 1 1-3 ， 1-4

14

1 、线性规划（续 1.2 ）例 1.

目标函数： Max z = 50 x1 + 100 x2

约束条件： s.t. x1 + x2 ≤ 300 (A) 2 x1 + x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E)

得到最优解： x1 = 50 ， x2 = 250

最优目标值 z = 27500

15

1 、线性规划（续 1.3 ）1. 3 单纯形法利用单纯形表的方法求解线性规划——重点此项内容是本章的重点，学习中应注意掌握表格单纯形法求解线性规划问题的基本过程。要通过读懂教材内容以及大量练习来掌握。

16

1 、线性规划（续 1.3 ）• 表格单纯形法• 考虑： bi > 0 i = 1 , … , m

Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn

s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ b2

…… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ bm

x1 ， x2 ，… ， xn ≥ 0

• 加入松弛变量： Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn

s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn + xn+1 = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn + xn+2 = b2

…… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn+ xn+m = bm

x1 ， x2 ，… ， xn ， xn+1 ，… ， xn+m ≥ 0

17

显然， xj = 0 j = 1, … , n ; xn+i = bi i = 1 , … , m 是基本可行解对应的基是单位矩阵。以下是初始单纯形表：

m m其中： f = -∑ cn+i bi j = cj -∑ cn+i aij 为检验数 cn+i = 0 i= 1,…,m i = 1 i = 1 an+i,i = 1 , an+i,j = 0 ( j≠i ) i , j = 1, … , m

1 、线性规划（续 1.3 ）

c1 … cn cn+1 … cn+mCB XB x1 … xn xn+1 … xn+m θ i

cn+1 xn+1 b1 a11 … a1n a1n+1 … a1n+m θ 1

cn+2 xn+2 b2 a21 … a2n a2n+1 … a2n+m θ 2

┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇cn+m xn+m bm am1 … amn amn+1 … amn+m θ m

-z f σ 1 … σ n 0 … 0

18

1 、线性规划（续 1.3 单纯形法解题例）

50 100 0 0 0CB XB x1 x2 x3 x4 x5 θ i

0 x3 300 1 1 1 0 0 3000 x4 400 2 1 0 1 0 4000 x5 250 0 (1) 0 0 1 250

-z 0 50 100* 0 0 00 x3 50 (1) 0 1 0 -1 500 x4 150 2 0 0 1 -1 75

100 x2 250 0 1 0 0 1-z -25000 50* 0 0 0 -100

50 x1 50 1 0 1 0 -10 x4 50 0 0 -2 1 1

100 x2 250 0 1 0 0 1-z -27500 0 0 -50 0 -50

例 1 。化标准形式： Max z = 50 x1 + 100 x2

s.t. x1 + x2 + x3 = 300 2 x1 + x2 + x4 = 400 x2 + x5 = 250 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0

最优解 x1 = 50 x2 = 250 x4 = 50 （松弛标量，表示原料 A 有 50 个单位的剩余）

19

• 注意：单纯形法中， 1 、每一步运算只能用矩阵初等行变换； 2 、表中第 3 列的数总应保持非负（≥ 0 ）； 3 、当所有检验数均非正（≤ 0 ）时，得到最优单纯形表。

1 、线性规划（续 1.3 ）

20

1 、线性规划（续 1.3 ）• 一般情况的处理及注意事项的强调（ p45--55 ） 1.3.4 段主要是讨论初始基本可行解不明显时，常用的方法。要弄清它的原理，并通过例 1-14 ~ 例 1-17 掌握这些方法，同时进一步熟悉用单纯形法解题。考虑一般问题： bi > 0 i = 1 , … , m

Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn

s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

…… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm

x1 ， x2 ，… ， xn ≥ 0

21

1 、线性规划（续 1.3 ）• 大 M 法：引入人工变量 xn+i ≥ 0 i = 1 , … , m ; 充分大正数 M 。得到， Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn + M xn+1 + … + M xn+m

s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn + xn+1 = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn + xn+2 = b2

…… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn + xn+m = bm

x1 ， x2 ，… ， xn ， xn+1 ，… ， xn+m ≥ 0

显然， xj = 0 j=1, … , n ; xn+i = bi i =1 , … , m 是基本可行解对应的基是单位矩阵。• 结论：若得到的最优解满足 xn+i = 0 i = 1 , … , m 则是原问题的最优解；否则，原问题无可行解。

22

1 、线性规划（续 1.3 ）• 两阶段法：引入人工变量 xn+i ≥ 0 ， i = 1 , … , m ；构造， Max z = - xn+1 - xn+2 - … - xn+m

s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn + xn+1 = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn + xn+2 = b2

…… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn + xn+m = bm

x1 ， x2 ，… ， xn ， xn+1 ，… ， xn+m ≥ 0• 第一阶段求解上述问题：显然， xj = 0 j=1, … , n ; xn+i = bi i =1 , … , m 是基本可行解对应的基是单位矩阵。• 结论：若得到的最优解满足 xn+i = 0 i = 1 , … , m 则是原问题的基本可行解；否则，原问题无可行解。• 得到原问题的基本可行解后，第二阶段求解原问题。

23

1 、线性规划（续 1.3 ）例题例：（ LP ） Max z = 5 x1 + 2 x2 + 3 x3 - x4

s.t. x1 + 2 x2 + 3 x3 = 15

2 x1 + x2 + 5 x3 = 20

x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 26

x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0• 大M 法问题（ LP - M ） Max z = 5 x1 + 2 x2 + 3 x3 - x4 - M x5 - M x6

s.t. x1 + 2 x2 + 3 x3 + x5 = 15

2 x1 + x2 + 5 x3 + x6 = 20

x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 26

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0• 两阶段法：第一阶段问题（ LP - 1 ） Max z = - x5 - x6

s.t. x1 + 2 x2 + 3 x3 + x5 = 15

2 x1 + x2 + 5 x3 + x6 = 20

x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 26

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0

24

1 、线性规划（续 1.3 ）大 M法例5 2 3 -1 -M -M

CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 θ i

-M x5 15 1 2 3 0 1 0 5-M x6 20 2 1 (5) 0 0 1 4-1 x4 26 1 2 4 1 0 0 6.5

-z 35M+26 3M+6 3M+4 8M+7 0 0 0-M x5 3 -1/5 (7/5) 0 0 1 -3/5 15/73 x3 4 2/5 1/5 1 0 0 1/5 20-1 x4 10 -3/5 6/5 0 1 0 -4/5 25/3

-z 3M-2 -M/5+16/5 7/5M+13/5 0 0 0 -8/5M-7/52 x2 15/7 -1/7 1 0 0 5/7 -3/73 x3 25/7 (3/7) 0 1 0 -1/7 2/7 25/3-1 x4 52/7 -3/7 0 0 1 -6/7 -2/7

-z -53/7 25/7 0 0 0 -M-13/7 -M-2/72 x2 10/3 0 1 1/3 0 2/3 -1/35 x1 25/3 1 0 7/3 0 -1/3 2/3-1 x4 11 0 0 1 1 -1 0

-z -112/3 0 0 -25/3 0 -M-2/3 -M+8/3

•大 M 法（ LP - M ）

• 得到最优解： (25/3 ， 10/3 ， 0 ， 11)T 最优目标值： 112/3

25

1 、线性规划（续 1.3 ）两阶段法例0 0 0 0 -1 -1

CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 θ i

-1 x5 15 1 2 3 0 1 0 5-1 x6 20 2 1 (5) 0 0 1 40 x4 26 1 2 4 1 0 0 6.5

-z 35 3 3 8 0 0 0-1 x5 3 -1/5 (7/5) 0 0 1 -3/5 15/70 x3 4 2/5 1/5 1 0 0 1/5 200 x4 10 -3/5 6/5 0 1 0 -4/5 25/3

-z 3 -1/5 7/5 0 0 0 -8/50 x2 15/7 -1/7 1 0 0 5/7 -3/70 x3 25/7 3/7 0 1 0 -1/7 2/7 25/30 x4 52/7 -3/7 0 0 1 -6/7 -2/7

-z 0 0 0 0 0 -1 -1

•第一阶段（ LP - 1 ）

• 得到原问题的基本可行解： (0 ， 15/7 ， 25/7 ， 52/7)T

26

1 、线性规划（续 1.3 ）两阶段法例

5 2 3 -1CB XB x1 x2 x3 x4 θ i

2 x2 15/7 -1/7 1 0 03 x3 25/7 (3/7) 0 1 0 25/3-1 x4 52/7 -3/7 0 0 1

-z -53/7 25/7 0 0 02 x2 10/3 0 1 1/3 05 x1 25/3 1 0 7/3 0-1 x4 11 0 0 1 1

-z -112/3 0 0 -25/3 0

•第二阶段把基本可行解填入表中

• 得到原问题的最优解： (25/3 ， 10/3 ， 0 ， 11)T

•最优目标值： 112/3

27

1 、线性规划（续 1.3 ）

1.3.5 矩阵描述—— 此段为选读，有困难者可不看。 1.3.6 段单纯形迭代过程中的几点注意事项是对有关内容的强调和补充，要认真学习、理解。

28

1. 4 线性规划应用—— 建模本节介绍了些线性规划应用的例子，这些例子从多个方面介绍建模对未来是很有用的，应认真对待。除了教材上的例子之外，还有许多其它应用：* 合理利用线材问题：如何下料使用材最少* 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润* 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大* 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大* 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要* 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小

1 、线性规划（续 1.4 ）

返回目录

29

例．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：

设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员 ?

班次时间所需人数1 6：00 —— 10：00 602 10：00 —— 14：00 703 14：00 —— 18：00 604 18：00 —— 22：00 505 22： —— 2：00 206 2：00 —— 6：00 30

例：人力资源分配的问题

30

解：设 xi 表示第 i班次时开始上班的司机和乘务人员数 ,这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件： s.t. x1 + x6 ≥ 60 x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0

例：人力资源分配的问题（续）

31

例、明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？甲乙丙资源限制

铸造工时(小时/件) 5 10 7 8000机加工工时(小时/件) 6 4 8 12000装配工时(小时/件) 3 2 2 10000自产铸件成本(元/件) 3 5 4外协铸件成本(元/件) 5 6 --机加工成本(元/件) 2 1 3装配成本(元/件) 3 2 2产品售价(元/件) 23 18 16

例：生产计划的问题

32

解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数， x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和可得到 xi（ i=1,2,3,4,5）的利润分别为 15、 10、 7、 13、 9元。这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件： s.t. 5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000 x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0

例：生产计划的问题（续）

33

例、永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过 A、 B 两道工序加工。假设有两种规格的设备 A1、 A2能完成 A 工序；有三种规格的设备 B1、 B2、 B3能完成 B 工序。Ⅰ可在 A、 B的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在任意规格的A设备上加工，但对 B工序，只能在 B1设备上加工；Ⅲ只能在 A2与 B2设备上加工；数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？产品单件工时

设备 Ⅰ Ⅱ Ⅲ设备的有效台时

满负荷时的设备费用

A1 5 10 6000 300A2 7 9 12 10000 321B1 6 8 4000 50B2 4 11 7000 783B3 7 4000 200

原料（元/件） 0.25 0.35 0.50售价（元/件） 1.25 2.00 2.80


34

解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。利润 = [（销售单价 - 原料单价） * 产品件数 ] 之和 - （每台时的设备费用 *设备实际使用的总台时数）之和。这样我们建立如下的数学模型 : Max 0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123 s.t. 5x111 + 10x211 ≤ 6000 （设备 A1 ） 7x112 + 9x212 + 12x312 ≤ 10000 （设备 A2 ） 6x121 + 8x221 ≤ 4000 （设备 B1 ） 4x122 + 11x322 ≤ 7000 （设备 B2 ） 7x123 ≤ 4000 （设备 B3 ） x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （Ⅰ产品在 A、 B工序加工的数量相等） x211+ x212- x221 = 0 （Ⅱ产品在 A、 B工序加工的数量相等） x312 - x322 = 0 （Ⅲ产品在 A、 B工序加工的数量相等） xijk ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3


35

例、某工厂要做 100 套钢架，每套用长为 2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长 7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？解：设计下列 5 种下料方案方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5 方案 6 方案 7 方案 8

2.9 m 1 2 0 1 0 1 0 02.1 m 0 0 2 2 1 1 3 01.5 m 3 1 2 0 3 1 0 4合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 6.5 6.3 6.0

剩余料头 0 0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 1.1 1.4

假设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面前 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 约束条件： s.t. x1 + 2x2 + x4 ≥ 100 2x3 + 2x4 + x5 ≥ 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 ≥ 100 x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0

例：套裁下料问题

36

例 6．某工厂要用三种原料 1、 2、 3 混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？产品名称规格要求单价（元/kg）甲原材料 1不少于 50%，原材料 2不超过 25% 50乙原材料 1不少于 25%，原材料 2不超过 50% 35丙不限 25

原材料名称每天最多供应量单价（元/kg）1 100 652 100 253 60 35

例：配料问题

37

例：配料问题（续）解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：对于甲： x11， x12， x13；对于乙： x21， x22， x23；对于丙： x31， x32， x33；对于原料 1： x11， x21， x31；对于原料 2： x12， x22， x32；对于原料 3： x13， x23， x33；目标函数：利润最大，利润 = 收入 - 原料支出约束条件：规格要求 4 个；供应量限制 3 个。

38

Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料 1不少于 50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料 2不超过 25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料 1不少于 25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料 2不超过 50%） x11+ x21 + x31 ≤ 100 (供应量限制） x12+ x22 + x32 ≤ 100 (供应量限制） x13+ x23 + x33 ≤ 60 (供应量限制） xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3

例：配料问题（续）

39

例8．某部门现有资金 200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目 A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利 110%；项目 B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利 125%，但规定每年最大投资额不能超过 30万元；项目 C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利 140%，但规定最大投资额不能超过 80万元；项目 D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利 155%，但规定最大投资额不能超过 100万元；据测定每万元每次投资的风险指数如右表：问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在 330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？

项目风险指数（次/万元）A 1B 3C 4D 5.5

解： 1 ）确定决策变量：连续投资问题设 xij ( i = 1 - 5， j = 1、 2、 3、 4)表示第 i 年初投资于 A(j=1)、 B(j=2)、 C(j=3)、 D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量： A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x24

例：投资问题

40

2 ）约束条件：第一年： A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12 = 200；第二年： B次当年末才可收回投资故第二年年初的资金为 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11；第三年：年初的资金为 x21+x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；第四年：年初的资金为 x31+x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；第五年：年初的资金为 x41+x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32； B、 C、 D的投资限制： xi2 ≤ 30 ( I =1、 2、 3、 4 )， x33 ≤ 80， x24 ≤ 100 3 ）目标函数及模型：a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 ≤ 30 ( I =1、 2、 3、 4 )， x33 ≤ 80， x24 ≤ 100 xij ≥ 0 ( i = 1、 2、 3、 4、 5； j = 1、 2、 3、 4） b) Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 ≤ 30 ( I =1、 2、 3、 4 )， x33 ≤ 80， x24 ≤ 100 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 ≥ 330 xij ≥ 0 ( i = 1、 2、 3、 4、 5； j = 1、 2、 3、 4）

例：投资问题（续）

41

2 、线性规划问题的进一步研究（ 2.1 ）2. 1 对偶原理1 、对偶问题：考虑前文例 1 若设备和原料都用于外协加工，工厂收取加工费。试问：设备工时和原料 A 、 B 各如何收费才最有竞争力？设 y1 ， y2 ， y3 分别为每设备工时、原料 A 、 B 每单位的收取费用Max z = 50 x1 + 100 x2 Min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3

s.t. x1 + x2 ≤ 300 s.t. y1 + 2 y2 + ≥ 50

2 x1 + x2 ≤ 400 （不少于甲产品的利润） x2 ≤ 250 y1 + y2 + y3 ≥ 100

x1 , x2 ≥ 0 y1, y2 , y3 ≥ 0

42

2 、对偶定义• 对称形式：互为对偶 (LP) Max z = cT x (DP) Min f = bT y s.t. Ax ≤ b s.t. AT y ≥ c x ≥ 0 y ≥ 0 “Max -- ≤ ” “Min-- ≥”

• 一般形式：若一个问题的某约束为等式，那么对应的对偶问题的相应变量无非负限制；反之，若一个问题的某变量无非负限制，那么对应的对偶问题的相应约束为等式。

2 、线性规划问题的进一步研究（ 2.1 ）

43

3 、对偶定理（原问题与对偶问题解的关系）考虑（ LP ）和（ DP ）定理 2-1 （弱对偶定理）若 x, y 分别为（ LP ）和（ DP ）的可行解，那么 cT x ≤ bT y 。推论若（ LP ）可行，那么（ LP ）无有限最优解的充分必要条件是（ LD ）无可行解。定理 2-2 （最优性准则定理）若 x, y 分别为（ LP ）和（ D

P ）的可行解，且 cT x = bT y ，那么 x, y 分别为（ LP ）和（ DP ）的最优解。定理 2-3 （主对偶定理）若（ LP ）和（ DP ）均可行，那么（ LP ）和（ DP ）均有最优解，且最优值相等。以上定理、推论对任意形式的相应线性规划的对偶均有效


44

4 、影子价格 —— 是一个向量，它的分量表示最优目标值随相应资源数量变化的变化率。若 x*, y* 分别为（ LP ）和（ DP ）的最优解，那么， cT x* = bT y* 。根据 f = bT y* = b1y1

* + b2y2* + + bmym

*

可知 f / bi = yi*

yi* 表示 bi 变化 1 个单位对目标 f 产生的影响，称 yi

* 为 bi 的影子价格。注意：若 B 是最优基， y* = (BT)-1 cB 为影子价格向量。


45

5 、由最优单纯形表求对偶问题最优解第 1 章例 1 。化标准形式： Max z = 50 x1 + 100 x2

s.t. x1 + x2 + x3 = 300 ， 2 x1 + x2 + x4 = 400

x2 + x5 = 250 ， x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0 I

O

B=(p1 , p4 , p2 )

(BT)-1 cB

B-1

最优解 x1 = 50 x2 = 250 x4 = 50 （松弛标量，表示原料 A 有 50 个单位的剩余）影子价格 y1 = 50 y2 = 0 y3 = 50 , B-1 对应的检验数 (BT)-1 cB 。


50 100 0 0 0CB XB x1 x2 x3 x4 x5 θ i

0 x3 300 1 1 1 0 0 3000 x4 400 2 1 0 1 0 4000 x5 250 0 (1) 0 0 1 250

-z 0 50 100* 0 0 00 x3 50 (1) 0 1 0 -1 500 x4 150 2 0 0 1 -1 75

100 x2 250 0 1 0 0 1-z -25000 50* 0 0 0 -100

50 x1 50 1 0 1 0 -10 x4 50 0 0 -2 1 1

100 x2 250 0 1 0 0 1-z -27500 0 0 -50 0 -50

46

2. 2 对偶单纯形法• 对偶单纯形法在什么情况下使用：应用前提：有一个基，其对应的基本解满足 ① 单纯形表的检验数行全部非正（对偶可行）； ② 变量取值可有负数（非可行解）。 ** 注：通过矩阵行变换运算，使所有相应变量取值均为非负数即得到最优单纯性表。


47

2 、线性规划问题的进一步研究（ 2.2 ）• 对偶单纯形法求解线性规划问题过程： 1 、建立初始对偶单纯形表，对应一个基本解，所有检验数均非正，转 2 ；2 、若 b’≥ 0 ，则得到最优解，停止；否则，若有 bk <

0 则选 k 行的基变量为出基变量，转 3 ；3 、若所有 akj’≥ 0 ( j = 1,2,…,n ) ，则原问题无可行解，停止；否则，若有 akj’ < 0 则选 = min {j’/ akj’ ┃ akj’ < 0 } = r’/ akr’那么 r 为进基变量，转 4 ；4 、以 akr’ 为转轴元，作矩阵行变换使其变为 1 ，该列其他元变为 0 ，转 2 。

48

例：求解线性规划问题： Min f = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3

S.t. x1 + 2x2 + x3 ≥ 3

2x1 - x2 + x3 ≥ 4

x1 , x2 , x3 ≥ 0

标准化： Max Z = - 2x1 - 3x2 - 4x3

S.t. - x1 - 2x2 - x3 + x4 = - 3

- 2x1 + x2 - 3x3 + x5 = - 4

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0


49

• 表格对偶单纯形法CI -2 -3 -4 0 0CB XB b X1 X2 X3 X4 X5

0 X4 -3 -1 -2 -1 1 00 X5 -4 [-2] 1 -3 0 1

σ j -2 -3 -4 0 00 X4 -1 0 [-5/2] 1/2 1 -1/2-2 X1 2 1 -1/2 3/2 0 -1/2

σ j 0 -4 -1 0 -1-3 X2 2/5 0 1 -1/5 -2/5 1/5-2 X1 11/

51 0 7/5 -1/5 -2/5

σ j 0 0 -9/5 -8/5 -1/5


50

2.3 灵敏度分析• 进一步理解最优单纯形表中各元素的含义考虑问题 Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn

s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ b2

…… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ bm

x1 ， x2 ，… ， xn ≥ 0

引入 m 个松弛变量后，通过计算得到最优单纯形表。应 -1 -1能够找到最优基 B 的逆矩阵 B ，以及 B N ，检验数等。


51

2 、线性规划问题的进一步研究（ 2.3 ）c1 … cn 0 … 0

CB XB x1 … xn xn+1 … xn+m θ i

0 xn+1 b1 a11 … a1n 1 … 0 θ 1

0 xn+2 b2 a21 … a2n 0 … 0 θ 2

┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇0 xn+m bm am1 … amn 0 … 1 θ m

-z f c1 … cn 0 … 0

c1 … cn cn+1 … cn+mCB XB x1 … xn xn+1 … xn+m θ i

ci1 xi1 b1 a11 … a1n a1n+1 … a1n+m θ 1

ci2 xi2 b2 a21 … a2n a2n+1 … a2n+m θ 2

┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇Cim xim bm am1 … amn amn+1 … amn+m θ m

-z f σ 1 … σ n σ n+1 … σ n+m

最优单纯形表

B-1

(BT)-1cB

I

O

52

• 价值系数 C 发生变化： m考虑检验数 j = cj -∑ cri arij j = 1,2,……,n

i = 1

1 、若 ck 是非基变量的系数：设 ck 变化为 ck + ck k

’= ck + ck -∑ cri arik = k+ ck 只要 k’≤ 0 ，即 ck ≤ - k ，则最优解不变；否则，将最优单纯形表中的检验数 k 用 k

’取代，继续单纯形法的表格计算。例 : Max Z = - 2x1 - 3x2 - 4x3

S.t. - x1 - 2x2 - x3 + x4 = - 3

- 2x1 + x2 - 3x3 + x5 = - 4

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0


53

例：最优单纯形表

从表中看到 σ3 = C3 +ΔC3 - （ C2 * a13 + C1* a23 ）可得到 ΔC3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。

2 、线性规划问题的进一步研究（ 2.3 ）CI -2 -3 -4 0 0CB XB b X1 X2 X3 X4 X5

-3 X2 2/5 0 1 -1/5 -2/5 1/5-2 X1 11/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5

σ j 0 0 -9/5 -8/5 -1/5

CI -2 -3 -4+Δ c3 0 0CB XB b X1 X2 X3 X4 X5

-3 X2 2/5 0 1 -1/5 -2/5 1/5-2 X1 11/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5

σ j 0 0 -9/5+Δ c3 -8/5 -1/5

54

2 、若 cs 是基变量的系数：设 cs 变化为 cs + cs ，那么 j

’= cj -∑ cri arij - ( cs + cs ) asj = j - cs asj ，对所有非基变量 i ≠ s 只要对所有非基变量 j

’≤ 0 ，即 j ≤ cs asj ，则最优解不变；否则，将最优单纯形表中的检验数 j 用 j’取代，继续单纯形法的表格计算。

Max{j / asj asj > 0 } ≤ cs ≤ Min{j / asj asj < 0 }

例 : Max Z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5

S.t. x1 + 2x2+ x3 = 8

4x1 + x4 =16

4x2 +x5 = 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0


55

例、下表为最优单纯形表，考虑基变量系数 c2 发生变化

从表中看到 σj = Cj - （ C1 * a1j + C5 * a5j + （ C2 +ΔC2 ） * a2j ） j = 3 、 4

可得到 -3 ≤ ΔC2 ≤ 1 时，原最优解不变。

C i 2 3 0 0 0CB XB B X1 X2 X3 X4 X5

2 X1 4 1 0 0 1/4 00 X5 4 0 0 -2 1/2 13 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0

σ j 0 0 -1.5 -1/8 0

Ci 2 3+Δ C2 0 0 0CB XB B X1 X2 X3 X4 X5

2 X1 4 1 0 0 1/4 00 X5 4 0 0 -2 1/2 1

3+Δ C2 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0σ j 0 0 -1.5 -Δ C2/2 -1/8+Δ C2/8 0


56

• 右端项 b 发生变化设分量 br 变化为 br + br ，根据第 1章的讨论，最优解的基变量 xB = B-1b ，那么只要保持 B-1(b + b) ≥ 0 ，则最优基不变，即基变量保持，只有值的变化；否则，需要利用对偶单纯形法继续计算。对于问题 (LP) Max z = cT x s.t. Ax ≤ b x ≥ 0 最优单纯形表中含有 B-1 = （ aij ） i = 1, … , m ; j = n+1, … , n+m

那么，新的 xi = (B-1b)i + br air i = 1, … , m 。由此可得，最优基不变的条件是 Max{-bi / air air > 0 } ≤ br ≤ Min{-bi / air air < 0 }


57

例、上例最优单纯形表如下

0 0.25 0 这里 B-1 = -2 0.5 1 各列分别对应 b1 、 b2 、 b3 的单一 0.5 -0.125 0 变化。因此，设 b1 增加 4 ，则 x1 , x5 , x2 分别变为： 4 + 0*4 = 4 ， 4 + (-2)*4 = - 4 < 0 ， 2 + 0.5*4 = 4用对偶单纯形法进一步求解，可得： x* = ( 4, 3, 2, 0, 0 )T f* = 17

2 、线性规划问题的进一步研究（ 2.3 ）C i 2 3 0 0 0CB XB B X1 X2 X3 X4 X5

2 X1 4 1 0 0 1/4 00 X5 4 0 0 -2 1/2 13 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0

σ j 0 0 -1.5 -1/8 0

58

• 增加一个变量增加变量 xn+1 则有相应的 pn+1 ， cn+1 。那么，计算出 B-1pn+1 n+1 = cn+1 -∑ cri ari n+1 填入最优单纯形表，若 n+1 ≤ 0 则最优解不变；否则，进一步用单纯形法求解。例、前例增加 x6 ， p6 = ( 2, 6, 3 )T ， c6 = 5 。计算得到


Ci 2 3 0 0 0 5CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6

2 X1 4 1 0 0 1/4 0 1.50 X5 4 0 0 -2 1/2 1 [2]3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0 0.25

σ j 0 0 -1.5 -1/8 0 1.25

用单纯形法进一步求解，可得： x* = ( 1,1.5,0,0,0,2 )T f* = 16.5

59

• 增加一个约束增加约束一个之后，应把最优解带入新的约束，若满足则最优解不变，否则填入最优单纯形表作为新的一行，引入

1 个新的非负变量（原约束若是小于等于形式可引入非负松弛变量，否则引入非负人工变量），并通过矩阵行变换把对应基变量的元素变为 0 ，进一步用单纯形法或对偶单纯形法求解。例、前例增加 3x1+ 2x2≤15 ，原最优解不满足这个约束。于是


Ci 2 3 0 0 0 5CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6

2 X1 4 1 0 0 1/4 0 00 X5 4 0 0 -2 1/2 1 03 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0 00 X6 -1 0 0 -1 -1/2 0 1

σ j 0 0 -1.5 -1/8 0 0

60

• A 中元素发生变化（只讨论 N 中某一列变化情况）与增加变量 xn+1 的情况类似，假设 pj 变化。那么，重新计算出 B-1pj j = cj -∑ cri ari j 填入最优单纯形表，若 j ≤ 0 则最优解不变；否则，进一步用单纯形法求解。


改变生产工艺： P1 = ( 2，5，2 )T，C1 = 4，Ci 4 3 0 0 0CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 θ2 X1 4 1.25 0 0 1/4 00 X5 4 0.5 0 -2 1/2 13 X2 2 0.375 1 1/2 -1/8 0

σ j 0.375 0 -1.5 -1/8 0用初等行变换把 X1 对应的列向量变换为( 1，0，0 )T，……

可得最优解： x* = ( 3.2,0.8,0,0,2.4 )T f* = 15.2

61

2 、线性规划问题的进一步研究（ 2.3 ）2. 3 灵敏度分析 2.3.1 Ci 发生变化 2.3.2 Bj 发生变化 2.3.3 增加一个变量 2.3.4 增加一个约束 2.3.5 A 中元素发生变化

返回目录

62

3. 1 运输问题模型与性质 • 运输模型例、某公司从两个产地 A1 、 A2将物品运往三个销地

B1 、 B2 、 B3 ，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往个销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？B1 B2 B3 产量

A1 6 4 6 200A2 6 5 5 300销量 150 150 200

3 、运输问题（ 3.1 ）

63

解：产销平衡问题：总产量 = 总销量设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运输量，得到下列运输量表：

Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij ≥ 0 ( i = 1、 2； j = 1、 2、 3）

3 、运输问题（ 3.1 ）

B1 B2 B3 产量A1 x11 x12 x13 200A2 x21 x22 x23 300销量 150 150 200

64

• 系数矩阵 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1

特点： 1 、共有 m+n 行，分别表示产地和销地； mn列分别表示各变量；2 、每列只有两个 1 ，其余为 0 ，分别表示只有一个产地和一个销地被使用；

3 、运输问题（ 3.1 ）

65

• 设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运输量，得到下列一般运输量问题的模型： m n

Min f = cij xij i=1 j=i

n

s.t. xij = si i = 1,2,…,m j=1

m

xij = dj j = 1,2,…,n i=1

xij ≥ 0 (i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)

•一般运输模型：产销平衡 A1 、 A2 、…、 Am 表示某物资的 m 个产地； B1 、 B2 、…、Bn 表示某物质的 n 个销地； si 表示产地 Ai 的产量； dj 表示销地 Bj 的销量； cij 表示把物资为从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价。

3 、运输问题（ 3.1 续）

66

3 、运输问题（ 3.1 续） • 变化： 1）有时目标函数求最大，如求利润最大或营业额最大等； 2）当某些运输线路上的能力有限制时，模型中可直接加入（等式或不等式）约束； 3）产销不平衡时，可加入虚设的产地（产大于销时）或销地（销大于产时）。

67

3 、运输问题（ 3.1 续） • 求解思路是基本可行解最优否结束否换基• 运输问题基变量的特点 * 运输问题的基变量共有 m + n -1 个， A 的秩为 m + n -1 。 * 运输问题的 m + n -1 个变量构成基变量的充分必要条件是不含闭回路。要弄清下列概念：闭回路、闭回路的顶点。

68

3. 2 运输问题的表上作业法 —— 本章重点1 、初始基本可行解的确定：（ 1 ）西北角法：从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。然后按行（列）标下一格的数。若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。如此进行下去，直至得到一个基本可行解。（ 2 ）最小元素法：从运价最小的格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。然后按运价从小到大顺序填数。若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。如此进行下去，直至得到一个基本可行解。注：应用西北角法和最小元素法，每次填完数，都只划去一行或一列，只有最后一个元例外（同时划去一行和一列）。当填上一个数后行、列同时饱和时，也应任意划去一行（列）在保留的列（行）任意没被划去的格内标一个 0 。

3 、运输问题（ 3.2 ）

69

*例：某食品公司下属的 A1、A2、A3 ，3个厂生产方便食品，要运输到 B1、B2、B3、B4 ，4个销售点，数据如下：

B1 B2 B3 B4 产量 ai

A1 3 11 3 10 7A2 1 9 2 8 4A3 7 4 10 5 9销量 bj 3 6 5 6 20（产销平衡）求最优运输方案。

3 、运输问题（ 3.2 ）

1、确定初始基本可行解：（1）西北角法B1 B2 B3 B4 产量 ai

A1 3 3

11 4

3 10 7

A2 1 9 2

2 2

8 4

A3 7 4 10 3

5 6

9

销量 bj 3 6 5 6 20

70

*

3 、运输问题（ 3.2 ）（2）最小元素法

B1 B2 B3 B4 产量 ai

A1 3 11 3 4

10 3

7

A2 1 3

9 2 1

8 4

A3 7 4 6

10 5 3

9

销量 bj 3 6 5 6 20

注：除最后一个元素（相当于同时删去一行一列）外，每填一个数都只删去一行或一列。若当前的行、列同时满足，可在当前的行（或列）的一个格子标 0，同时删去当前的列（或行）。

71

2 、最优性检验：因为求最小，当所有检验数均大于等于 0 时为最优解（ 1 ）位势法求检验数：• 位势：设对应基变量 xij 的 m + n - 1 个 ij ，存在 ui

, vj 满足 ui + vj = cij ， i = 1, … , m ; j = 1, … , n . 称这些 ui , vj 为该基本可行解对应的位势。由于有 m + n 个变量（ ui , vj ）， m + n - 1 个方程（基变量个数），故有一个自由变量，位势不唯一。• 利用位势求检验数： ij = cij - ui - vj i = 1, … , m ; j = 1, … , n

3 、运输问题（ 3.2 ）

72

• 前例，位势法求检验数： step 1 从任意基变量对应的 cij 开始，任取 ui 或 vj ，然后利

用公式 cij = ui + vj 依次找出 m + n 个 ui , vj ；从 c14 = 10 开始 step 2 计算非基变量的检验数 ij = cij - ui - vj ；填入圆圈内

3 、运输问题（ 3.2 ）

vj -3 4 -2 5ui B1 B2 B3 B4 产量 ai

5 A1 3 1

11 2

3 4

10 3

7

4 A2 1 3

9 1

2 *1

8 -1

4

0 A3 7 10

4 6

10 12

5 3

9

销量 bj 3 6 5 6 20

73

3 、主元变换：（ 1 ）选负检验数中最小者 rk ，那么 xrk 为主元，作为进基变量；（上页图中 x24 ）（ 2 ）以为 xrk 起点找一条闭回路，除 xrk 外其余顶点必须为基变量格；（上页图中蓝色回路）（ 3 ）为闭回路的每一个顶点标号， xrk 为 1 ，沿一个方向依次给各顶点标号；（ 4 ）求 =min{xijxij 对应闭回路上的偶数标号格 }= xpq那么确定 xpq 为出基变量，为调整量；（ 5 ）对闭回路的各奇标号顶点 xij + ，对各偶标号顶点

xij - ，特别 xpq - = 0 ，变为非基变量；

3 、运输问题（ 3.2 ）

重复 2 、 3 步，直到所有检验数均非负，得到最优解。

74

主元变换：由前面得到 = 1 ，于是3 、运输问题（ 3.2 ）

vj -2 4 -2 5ui B1 B2 B3 B4 产量 ai

5 A1 3 0

11 2

3 （4+1） 5

10 （3-1） 2

7

3 A2 1 3

9 2

2 (1-1) 1

8 （0+1） 1

4

0 A3 7 9

4 6

10 12

5 3

9

销量 bj 3 6 5 6 20

ij ≥ 0 ，得到最优解 x13 = 5, x14 = 2, x21 = 3, x24 = 1, x32 = 6, x34 = 3, 其余 xij = 0 ; 最优费用： f* = 3*5+10*2+1*3+8*1+4*6+5*3 = 85** 习题： p 123 习题 3 3-1, 3-2

75

3. 3 产销不平衡的运输问题 1 、产量大于销量例、某公司从两个产地 A1 、 A2将物品运往三个销地 B1 、 B2 、 B3 ，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往个销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？

解：增加一个虚设的销地运输费用为 0

B1 B2 B3 产量A1 6 4 6 300A2 6 5 5 300销量 150 150 200

B1 B2 B3 B4 产量A1 6 4 6 0 300A2 6 5 5 0 300销量 150 150 200 100

3 、运输问题（ 3.3 ）

76

2 、销量大于产量例、某公司从两个产地 A1 、 A2将物品运往三个销地 B1 、 B

2 、 B3 ，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往个销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？

解：增加一个虚设的产地运输费用为 0

3 、运输问题（ 3.3 ）

B1 B2 B3 产量A1 6 4 6 200A2 6 5 5 300销量 250 200 200

B1 B2 B3 产量A1 6 4 6 200A2 6 5 5 300A3 0 0 0 150销量 250 200 200

77

• 下面给出一些例题，可作为建模的练习：例、石家庄北方研究院有一、二、三，三个区。每年分别需

要用煤 3000 、 1000 、 2000吨，由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。供应能力分别为 1500 、4000吨，运价如下表。由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少 0--200吨，二区必须满足需求量，三区供应量不少于 1700吨，试求总费用为最低的调运方案。

一区二区三区产量山西盂县 1.65 1.70 1.75 4000河北临城 1.60 1.65 1.70 1500需要量 3000 1000 2000

3 、运输问题（例题）

78

解：根据题意，作出产销平衡与运价表：取 M 代表一个很大的正数，其作用是强迫相应的 x31 、 x33 、 x34取值为 0 。


一区一区二区三区三区产量山西盂县 1.65 1.65 1.70 1.75 1.75 4000河北临城 1.60 1.60 1.65 1.70 1.70 1500假想生产点 M 0 M M 0 500需要量 2800 200 1000 1700 300

79

例、设有 A 、 B 、 C三个化肥厂供应 1 、 2 、 3 、4四个地区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表。试求总费用为最低的化肥调拨方案。

1 2 3 4 产量A 16 13 22 17 50B 14 13 19 15 60C 19 20 23 --- 50

最低需要量 30 70 0 10最高需要量 50 70 30 不限


80

解：根据题意，作出产销平衡与运价表：最低要求必须满足，因此把相应的虚设产地运费取为 M ，而最高要求与最低要求的差允许按需要安排，因此把相应的虚设产地运费取为 0 。对应 4” 的销量 50 是考虑问题本身适当取的数据，根据产销平衡要求确定 D 的产量为 50 。


1’ 1” 2 3 4’ 4” 产量A 16 16 13 22 17 17 50B 14 14 13 19 15 15 60C 19 19 20 23 M M 50D M 0 M 0 M 0 50销量 30 20 70 30 10 50

81

例、某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供 10 、 15 、25 、 20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。

生产能力（台）单位成本（万元）一季度 25 10.8二季度 35 11.1三季度 30 11.0四季度 10 11.3


82

解：设 xij 为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那末应满足：交货： x11 = 10 生产： x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 25 x12 + x22 = 15 x22 + x23 + x24 ≤ 35 x13 + x23 + x33 = 25 x33 + x34 ≤ 30 x14 + x24 + x34 + x44 = 20 x44 ≤ 10 把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第

j 季度交货的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；成本加储存、维护等费用看作运费。可构造下列产销平衡问题：目标函数： Min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 +11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44


第一季度第二季度第三季度第四季度 D 产量第一季度 10. 80 10. 95 11. 10 11. 2 0 25第二季度 M 11. 10 11. 25 11. 40 0 35第三季度 M M 11. 00 11. 15 0 30第四季度 M M M 11. 30 0 10销量 10 15 25 20 30

83

例、光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的。已知 1至 6月份各月的生产能力、合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用见下表

已知上年末库存 103台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运到分厂库房，每台增加运输成本 0.1万元 , 每台机器每月的平均仓储费、维护费为 0.2万元。在 7--8月份销售淡季，全厂停产 1 个月，因此在 6月份完成销售合同后还要留出库存 80台。加班生产机器每台增加成本 1万元。问应如何安排 1--6月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓储、维护）最少？

正常生产能力（台）加班生产能力（台）销量（台）单台费用（万元）1月份 60 10 104 152月份 50 10 75 143月份 90 20 115 13.54月份 100 40 160 135月份 100 40 103 136月份 80 40 70 13.5


84

解：这个生产存储问题可化为运输问题来做。考虑：各月生产与交货分别视为产地和销地 1 ） 1--6月份合计生产能力（包括上年末储存量）为 743台，销量为 707台。设一假想销地销量为 36 ； 2 ）上年末库存 103台，只有仓储费和运输费，把它列为的 0 行； 3 ） 6月份的需求除 70台销量外，还要 80台库存，其需求应为 70+80=150台； 4 ） 1--6 表示 1--6月份正常生产情况， 1’--6’ 表示

1--6月份加班生产情况。续下页产销平衡与运价表：


85

** 习题： p 124 习题 3 3-3 ， 3-4

1月 2月 3月 4月 5月 6月虚销地正常产量加班产量0 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 0 1031 15 15.3 15.5 15.7 15.9 16.1 0 60

1’ 16 16.3 16.5 16.7 6.9 17.1 0 102 M 14 14.3 14.5 14.7 14.9 0 50

2’ M 15 15.3 15.5 15.7 15.9 0 103 M M 13.5 13.8 14.0 14.2 0 90

3’ M M 14.5 14.8 15.0 15.2 0 204 M M M 13.0 13.3 13.5 0 100

4’ M M M 14.0 14.3 14.5 0 405 M M M M 13.0 13.3 0 100

5’ M M M M 14.0 14.3 0 406 M M M M M 13.5 0 80

6’ M M M M M 14.5 0 40销量 104 75 115 160 103 150 36


返回目录

86

4. 1 动态规划概念与模型• 多阶段决策过程特点

要点：阶段，状态，决策，状态转移方程， k- 后部子过程

4 、动态规划 (4.1)

87

• 动态规划模型 n

opt R( u1, … , un ) = rk ( xk , uk ) k=1

s.t. xk+1 = Tk ( xk , uk ) xk Xk ； uk Uk k = 1,…,n ：表示对 n阶段效应进行综合（常用或）； opt ：最优化（ Max 或 Min ） R( u1, … , un ) ：目标函数（最优值函数） xk+1 = Tk ( xk , uk ) ：状态转移方程 Xk ：状态可能集合 Uk ：决策允许集合

4 、动态规划 (4.1)

88

• 建模过程 ① 确定阶段与阶段变量； ② 明确状态变量与状态可能集合； ③ 明确决策变量与决策允许集合； ④ 明确状态转移方程； ⑤ 确定阶段效应和目标。

4 、动态规划 (4.1)

89

4. 2 动态规划求解 • 求解动态规划模型：从起始状态 x1 开始，找最优策略、最优路线和最优目标值。 • 最优性原理最优策略具有的基本性质是：无论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所确定的某一状态而言，余下的决策序列必构成最优策略。最优策略的任何一子策略也是相应初始状态的最优策略；每个最优策略只能由最优子策略构成。

4 、动态规划 (4.2)

90

• 贝尔曼函数：（ k - 子过程的最优目标函数 ) n

fk(xk) = opt ri ( xi , ui ) k=1,…,n i=k

• 动态规划求解问题的一般过程：① 逆序地求出条件最优目标函数值集合和条件最优决策集合： fn+1(xn+1) = 0 (边界条件 )

fk(xk) = opt {rk ( xk , uk ) + fk+1(xk+1) } u

k = n,…,1

4 、动态规划 (4.2)

91

② 顺序地求最优决策序列：初始状态唯一： R* = f1(x1) ， u1* (x1)=u1’(x1)

若不唯一： R* = opt{f1(x1) x1X1} = f1(x1*) ， u1* (x1*)=u1’(x1*)

xk+1 = Tk ( xk , uk )

uk+1* (xk+1*) = uk+1’(xk+1*) k=1,…,n

最优策略： {u1* (x1*), u2*(x2*),…, un* (xn*)}

最优路线： {x1* , x2*, … , xn*, xn+1*)

4 、动态规划 (4.2)

92

1 、动态规划的四大要素、一个方程 —— 重点 ① 状态变量及其可能集合 xk Xk

② 决策变量及其允许集合 uk Uk

③ 状态转移方程 xk+1 = Tk ( xk , uk )

④ 阶段效应 rk ( xk , uk ) ⑤ 动态规划基本方程 fn+1(xn+1) = 0 (边界条件 ) fk(xk) = opt {rk ( xk , uk ) + fk+1(xk+1) } u

k = n,…,1

4 、动态规划 (4.2)

93

4. 3 动态规划应用举例例：一个线路网络图，从 A 到 E 要修建一条石油管道，必须在 B 、 C 、 D处设立加压站。各边上的数为长度，现需要找一条路使总长度最短。

4 、动态规划 (4.3)

94

解：可分成 4 个阶段： A 到 B 、 B 到 C 、 C 到 D 、 D 到 E ；每个阶段 k 的起点称为状态 S k ；从 k 阶段的起点出发可以做一选择，即决定到下一阶段的哪个节点，称为决策 X k ；可见， S k+1 是由 S k 和 X k 所决定的。那麽，从 A 出发经过 4 个阶段： A 到 B 、 B 到 C 、 C 到 D 、

D 到 E ，逐次作出决策，构成从 A 到 E 的一条路线，记为 u 。即， u = S1 X1 S2 X2 S3 X3 S4 X4 S5 其中 S1 = A ， S5 = E

记 d 为两个相邻节点之间的长度，如 d （ A ， B 3 ） = 3 。 ① 记 f k （ S k ）为从 S k 到 E 的最短长度，称为从 S k 到 E的距离。那么， f 1 （ A ）是从 A 到 E 的最短距离，即最优策略的值。

4 、动态规划 (4.3 续 )

95

② 最短路问题的特点：如果从 A 到 E 的最优策略经过某节点，那么这个策略的从该节点到 E 的一段，必定是该节点到 E 的所有线路中 S k 最短的一条，即这一段的长度为 f k （ S k ）。（ 1 ）逆序法：从 E 到 A （ 2 ）顺序法：对节点 S k ，从 A 到 S k 所有线路中，最短的一条的长度记为 φ k （ S k ），例如φ 1 （ A ） = 0 ，称为问题的边界条件。

4 、动态规划 (4.3 续 )

96

学习方法建议：第一步先看问题，充分理解问题的条件、情况及求解目标；第二步结合前面讲到的理论和解题过程，考虑如何着手进行求解该问题的工作。分析针对该动态规划问题的“四大要素、一个方程”——这一步在开始时，会感到困难，但是一定要下决心去思考，在思考过程中深入理解前文讲到的概念和理论；

4 、动态规划 (4.3 续 )

97

第三步动手把求解思路整理出来，或者说，把该问题作为习题独立的来做；第四步把自己的求解放到一边，看书中的求解方法，要充分理解教材中的论述；第五步对照自己的求解，分析成败。

4 、动态规划 (4.3 续 )

返回目录

98

5. 1 图的基本概念—— 本节主要是概念图 G （ V ， E ）： V 是顶点集合（ vi , i=1…6 ） E 是边的集合（ ej , j=1…9 ）顶点数 p (G) = 6 边数 q (G) = 9 对于边 e3 =[ v1, v4 ] ， v1, v4 是 e3 的端点 e3 是 v1, v4 的关联边

5 、图与网络分析（ 5.1 ）

•图的其他概念：相邻点，相邻边，环，多重边（平行边），多重图，简单图

99

端点的次 d(v) ：点 v 作为边端点的次数；奇点： d(v)=奇数；偶点： d(v)=偶数；悬挂点： d(v)=1 ；悬挂边：与悬挂点连接的边，孤立点： d(v)=0 ；空图： E = ，无边图。定理一：所有顶点次数之和等于所有边数的 2倍。定理二：在任一图中，奇点的个数必为偶数。

5 、图与网络分析（ 5.1续）

100

• 图的连通性：链：由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列；如： v0 , e1 , v1 , e2 , v2 , e3 , v3 , … , vn-1 , en , vn ； v0 , vn 分别为链的起点和终点简单链：链中所含的边均不相同；初等链：链中所含的点均不相同，也称通路；回路：若 v0 ≠ vn 分称该链为开链，否则称为闭链或回路；圈：出起点和终点外链中所含的点均不相同的闭链；连通图：图中任意两点之间均至少有一条通路，否则称作不连通图。


101

• 子图设 G1 = [ V1 , E1 ] , G2 = [ V2 , E2 ]子图定义：如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是 G1 的子图；真子图：如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是 G1 的真子图；部分图：如果 V2 = V1 , E2 E1 称 G2 是 G1 的部分图；导出子图：如果 V2 V1 , E2 = {[ vi , vj ] ∣ vi , vj V2 } ，称 G2 是 G1 中由 V2 导出的导出子图。


102

• 有向图：关联边有方向弧：有向图的边 a = ( u , v ) ，起点 u ，终点 v ；路：若有从 u 到 v 不考虑方向的链，且各方向一致，则称之为从 u 到 v 的路；初等路：各顶点都不相同的路；初等回路： u = v 的初等路连通图：若不考虑方向是无向连通图强连通图：任两点有路


103

• 树：无圈连通图；无圈图又称为树林，子连通图是树定理：六种等价描述。设：边数 q , 顶点数 p . 1 、无圈连通图； 2 、边数 q = 顶点数 p - 1 ； 3 、连通，且 q = p - 1 ； 4 、无圈，但加一边则得到唯一的圈； 5 、连通，但若去一边则图不连通； 6 、每对顶点之间有且仅有一条链。部分树：若一个图 G 的部分图 T 是树，则称 T 为部分树，又称生成树余树： G 中去掉 T 所有的边后得到的部分树称为 G 中 T 的余树，余树不一定是树。


104

5 、图与网络分析（ 5.2 ）5. 2 网络最短路问题网络：规定起点、中间点和终点的赋权图；有向网络：网络中每个边都是有向边；无向网络：网络中每个边都是无向边；混合网络：网络中既有有向边，又有无向边；网络最短路线问题：寻找网络中从起点 v1 到终点 vn 的最短路线。 Min L() = lij 为从 v1 到 vn 的通路； lij 其中， lij 为从 vi 到 vj 的一步距离。

105

• 结合例题学习、掌握求最短路的狄克斯拉、海斯和福德三个方法： 1 、狄克斯拉方法：适用于满足所有权系数大于等于

0 （ lij≥0 ）的网络最短路问题，能求出起点 v1 到所有其它点 vj 的最短距离； 2 、海斯方法：基本思想是在最短路线上任意两点间路线也是最短路线。利用 vi 到 vj 的一步距离求出 vi 到 vj 的两步距离再求出 vi 到 vj 的四步距离……经有限次迭代可求出 vi 到 vj 的最短距离； 3 、福德方法：适用于有负权系数，但无负回路的有向或无向网络的最短路问题，能求出起点 v1 到所有其它点 vj 的最短距离。 ** 习题： p218--219 习题 5 5-2


106

5. 3 最短树问题（最小树问题）（ p198--201 ）• 依据树的特点（即无圈和连通），按照最短的要求构造求最短树的方法。• 结合例题学习、掌握求最小树的破圈法和生长法两个方法： 1 、破圈法 ① 在网络图中寻找一个圈。若不存在圈，则已经得到最短树或网络不存在最短树； ② 去掉该圈中权数最大的边；反复重复 ① ② 两步，直到求出最短树。 2 、生长法从网络图中任意节点开始寻找与该节点关联的权数最小的边，得到另一节点后，再从这个新节点开始寻找与该节点关联的权数最小的另一边……。注意寻找过程中，节点不得重复，即在找最小权数边时不考虑已选过的边。反复进行，直到得到最短树或证明网络不存在最短树。 ** 习题： p218--219 习题 5 5-1 ， 5-3

5 、图与网络分析（ 5.3 ）

107

5. 4 最大流问题（ p201--212 ）• 网络最大流问题 * 在一定条件下，要求流过网络的物流、能量流或信息流等流量为最大的问题。 * 规定：一个起点和一个终点；有向网络；各弧上有权表示允许的最大流量；除起点和重点外，各节点流入量总和等于流出量总和。• 最大流最小割定理（在理解割集和最小割集概念的基础上掌握此定理）最大流最小割定理：流过网络的最大流量等于最小割集的容量。• 结合例题学习、掌握求最大流的福德 — 富克逊方法在理解算法原理的基础上，掌握算法思想及过程。通过例题掌握此方法。

** 习题： p219 习题 5 5-4

5 、图与网络分析（ 5.4 ）

108

5. 5 最小费用—— 最大流问题（ p212--218 ）• 最小费用—— 最大流问题本节讨论的问题是在 5.4节问题的基础上增加关于使费用最小的目标。• 对偶法原理先用 5.4节讨论的方法求出网络的最大流量，然后在原始的网络中用 5.2.4 的福德算法找出从起点 vs 到终点 vt 的最短路线——最短增广链，在该增广链上找出最大调整量，并调整流量得到一个可行流，则此可行流的费用最小。如果此时流量等于最大流量，那么它就是最小费用最大流；否则应继续调整。

• 结合例题学习、掌握求最小费用—— 最大流问题对偶法。 ** 习题： p 220 习题 5 5-5

5 、图与网络分析（ 5.5 ）

返回目录

109

6 、排队论（ 6.1 ）6. 1 概述•排队系统的特征：排队系统又称随机服务系统 ①有请求服务的人或物；②有为顾客服务的人或物；③顾客到达时间与接受服务时间是随机的。• 结构：排队的过程可表示为：排队系统

顾客到达排队服务机构服务顾客离去

110

排队系统有三个组成部分• 输入过程：顾客总体数（来源无限或有限）顾客到来方式（单个或成批）顾客流的概率分布（泊松流、定长、爱尔朗分布等）• 服务规则：损失制（服务台满时顾客立即离去）等待制（先到先服务，后到先服务，随机服务，优先权）混合制（队长有限制，排队时间有限制）• 服务机构：服务台数量及布置形式（单 /多服务台，串、并列或结合）某一时刻接受服务的顾客数（每服务台每次服务顾客数）服务时间分布（负指数、定长、爱尔朗分布等）

6 、排队论（ 6.1 续）

111

•排队论研究的内容和目的 —— 提出排队论关心的问题和需要计算的一些量研究内容：数量指标：队长、等待时间和逗留时间的分布、忙期和闲期的分布、服务设备利用率、顾客损失率等；排队系统优化问题：系统最优设计问题和动态控制问题。研究目的：通过对排队系统中概率规律的研究，使系统达到最优设计和最优控制，以最小费用实现系统的最大效益。

6 、排队论（ 6.1 续）

112

6 、排队论（ 6.1 续）•排队模型的分类及排队系统的常用符号肯道尔（ D.G.Kendall ）分类： A / B / C / D / E 其中： A 顾客到达的分布； B 服务时间的分布； C 服务台数； D 系统容量； E 顾客源的个体数。表示分布的符号： M----指数分布或泊松输入； D----定长分布； Ek----k 阶爱尔朗分布； GI---- 一般独立随机分布； G---- 一般随机分布。

113

• 系统的运行指标 —— 提出一般常需要计算的一些量最常用的量：单位时间顾客平均到达数单位时间平均服务顾客数（ 1 ）、系统中无顾客的概率 P0 （ 2 ）、系统中平均排队的顾客数 Lq （ 3 ）、系统中的平均顾客数 Ls （ 4 ）、系统中顾客平均的排队等待时间 Wq （ 5 ）、系统中顾客的平均逗留时间 Ws （ 6 ）、系统中恰好有 n 个顾客的概率 Pn （ 7 ）、有效到达率 e （ 8 ）、有效离去率 e 此外还有：忙、空的概率等 6 个量

6 、排队论（ 6.1 续）

114

6.2 泊松输入 — 负指数服务的排队系统• 对于泊松输入 - 负指数分布服务的排队系统的一般决策过程： ① 根据已知条件绘制状态转移速度图 ② 依据状态转移速度图写出各稳态概率之间的关系 ③ 求出 P0 及 Pn ④ 计算各项数量运行指标 ⑤ 用系统运行指标构造目标函数，对系统进行优化

6 、排队论（ 6.2 ）

115

• 典型分布 —— 泊松分布及其性质，负指数分布泊松分布 (平稳状态） > 0 为单位时间平均到达的顾客数： P { I = n } = n e- / n! (n = 0,1,2,……)负指数分布为平均服务率，即单位时间服务的顾客数 P （服务时间≤ t ) = 1- e- t t ≥0• 系统状态概率分布及状态转移速度图 —— 基本的概率分布推导

6 、排队论（ 6.2 ）

116

• 系统的运行指标：（ 1 ）、系统中顾客数的期望值 Ls

（ 2 ）、系统中排队等待顾客数的期望值 Lq

（ 3 ）、系统中顾客平均的排队等待时间 Wq

（ 4 ）、系统中顾客的平均逗留时间 Ws

（ 5 ）、有效到达率 e

6 、排队论（ 6.2 续）

117

6 、排队论（ 6.2 续）（ 6 ）、系统中 Ls ， Lq ， Wq ， Ws ， e 之间的关系 Ls = n pn ， Lq = ( n - c ) pn ， Ws = Ls / e ， Wq = Lq / e ， Ws = Wq + 1 / ， e = n pn = n pn ， Ls = Lq + e / 。

118

6 、排队论（ 6.3 ）* 在 6.1 、 6.2 节的基础上，结合例题学习、掌握下列各系统有关问题的计算6． 3 M/M/1无限源系统（ p239--246 ）• M/M/1/N系统，M/M/1等待制系统，M/M/l 损失制系统，无限源模型特点6． 4 M/M/C无限源系统（ p246--253 ）• M/M/C/N系统，M/M/C等待制系统，M/M/C损失制系统6． 5 客源有限的排队系统（ p253--258 ）• M/M/1/m/m系统，M/M/C/m/m系统6． 6 排队系统应用举例（ p258--264 ）• 本段的各例题要在充分理解的基础上学习，然后独立去完成课后练习作业。6． 7 本章小结（ p264 ）• 学习本节内容，要认真体会第6章的重点和难点。• 小结也需要学习，自己应仿照此在总复习中作各章的小结。 ** 习题： p 265--266 习题 6 6-1 ， 6-2 ， 6-3 ， 6-4 ， 6-5 ， 6-6 ， 6-7 ， 6-8

返回目录

119

教学日历课次学习内容 1 绪论 1 线性规划 1 1 ． 1 线性规划的概念 1 ． 1． 1线性规划问题的导出 1 ． 1． 2线性胡划问题的概念和模型 1 ． 1． 3线性规划问题的标准型 1 ． 1． 4线性规划问题的标准化 2 1 ． 2线性规划问题解的概念及性质 1 ． 2． 1解的概念 1 ． 2． 2图解法 (解的几何表示 ) 1 ． 2． 3基本可行解的几何意义 1 ． 2． 4线性规划求解思路 ( 单纯形法思想 ) 1 ． 2． 5线性规划解的性质的证明 3 1 ． 3单纯形法 1 ． 3． 1单纯形法引例 1 ． 3． 2单纯形法的一般描述

120

课次学习内容 1 ． 3． 3表格单纯形法 1 ． 3． 4一般线性规划问题的处理 1 ． 3． 5单纯形法的矩阵描述 1 ． 3． 6单纯形迭代过程中的几点注意事项 4 1 ． 4线性规划应用 1 ． 4． 1线性规划建模 1 ． 4． 2生产计划问题 1 ． 4． 3合理下料问题 1 ． 4． 4合理配料问题 1 ． 4． 5运输问题 1 ． 4． 6最大流量问题 2 线性规划问题的进一步研究 5 2 ． 1对偶原理 2 ． 1． 1对偶线性规划问题的导出 2 ． 1． 2对偶问题的定义 2 ． 1． 3对偶定理

教学日历（续）

121

课次学习内容 2 ． 1． 4对偶最优解的经济含义——影子价格 2 ． 1． 5由最优单纯形表求对偶问题最优解 5 2 ． 2对偶单纯形法 6 2 ． 3灵敏度分析 2 ． 3． 1价值系数 C发生改变 2 ． 3． 2右端常数 b发生改变 2 ． 3． 3增加一个变量 2 ． 3． 4增加一个约束 2 ． 3． 5 A中的元素发生改变 3 运输问题 7 3 ． 1运输问题模型与性质 3 ． 1． 1约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构 3 ． 1． 2运输问题的基变量共有m+n-1个 3 ． 1． 3 m+n-1个变量构成基变量的充要条件是不含闭回路 7 3 ． 2运输问题的求解 (表上作业法 ) 3 ． 2． 1初始基本可行解的确定


122

课次学习内容 3 ． 2． 2最优性检验 3 ． 2． 3主元变换 8 3 ． 3产销不平衡的运输问题 3 ． 3． 1产量大于销量的情况 3 ． 3． 2销量大于产量的情况 4 动态规划 8 4 ． 1动态规划概念与模型 4 ． 1． 1引言 4 ． 1． 2多段决策过程 4 ． 1． 3动态规划模型 4 ． 1． 4动态规划建模 9 4 ． 2动态规划求解 4 ． 2． 1解的概念 4 ． 2． 2最优性原理 4 ． 2． 3贝尔曼函数 4 ． 2． 4动态规划的基本方程


123

课次学习内容 4 ． 2． 5动态规划方法基本原理 4 ． 2． 6动态规划问题求解的一般步骤 4 ． 2． 7动态规划四大要素、一个方程 9 4 ． 3动态规划应用举例 4 ． 3． 1工程路线问题 10 4 ． 3． 2资源分配问题 4 ． 3． 3串联系统可靠性问题 4 ． 3． 4生产—库存问题 4 ． 3． 5二维背包问题 4 ． 3． 6设备更新问题 5．图与网络分析 11 5 ． 1图的基本概念 5 ． 1． 1引言 5 ． 1． 2图的概念 5 ． 1． 3图的连通 5 ． 1． 4子图 5 ． 1． 5有向图


124

课次学习内容 5 ． 1． 6树 11 5 ． 2网络最短路线问题 5 ． 2． 1引言 5 ． 2． 2最短路线问题的狄克斯拉法 5 ． 2． 3最短路线问题的海斯算法 5 ． 2． 4最短路线问题的福德算法 12 5 ． 3最短树问题 5 ． 3． 1引言 5 ． 3． 2破圈法 5 ． 3． 3生长法 12 5 ． 4最大流问题 5 ． 4． 1引言 5 ． 4． 2最大流最小割集定理 5 ． 4． 3福德—富克逊算法 12 5 ． 5最小费用—最大流问题 5 ． 5． 1引言 5 ． 5． 2对偶法原理和步骤


125

课次学习内容 5 ． 5． 3对偶法示例 6 排队论 13 6 ． 1概述 6 ． 1． 1引言 6 ． 1． 2排队系统的特征 6 ． 1． 3排队系统的结构 6 ． 1． 4排队论研究的内容和目的 6 ． 1． 5排队模型的分类 6． 1． 6 排队系统的常用符号 13 6 ． 2泊松输入—负指数服务的系统 6 ． 2． 1典型分布 6 ． 2． 2系统状态概率分布 6 ． 2． 3状态转移速度图 6 ． 2． 4系统的运行指标 13 6 ． 3 M/M/1 无限源系统 6 ． 3． 1 M/M/1/N系统


126

课次学习内容 6 ． 3． 2 M/M/1等待制系统 6 ． 3． 3 M/M/l 损失制系统 6 ． 3． 4 M/M/1 无限源模型特点 14 6． 4 M/M/C无限源系统 6 ． 4． 1 M/M/C/N系统 6 ． 4． 2 M/M/C等待制系统 6 ． 4． 3 M/M/C 损失制系统 14 6． 5客源有限的排队系统 6 ． 5． 1 M/M/1/m/m系统 6 ． 5． 2 M/M/C/m/m系统 14 6． 6排队系统应用举例 6． 7 本章小结


返回目录

Documents

运 筹 学 —— 目录

运筹学 —— 目录