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普通高等教育“十二五”规划教材

高等院校工商管理类教材系列

运筹学基础

孙 淼 主 编

金燕波 胡云峰 潘尤兴 副主编

北 京

内 容 简 介

本书系统地介绍了线性规划、整数规划、动态规划、图与网络分析等运

筹学各分支的主要理论和方法，全书共分为 8章，内容包括:线性规划基础、

单纯形法、对偶理论、灵敏度分析、运输问题、整数规划、动态规划、图论

与网络分析。各章开头点明本章学习目标和学习要点；内容上注意结合生产

生活实际，有较强的实用性；各章后附有丰富的典型例题和案例分析，以帮

助读者复习基本知识和检查学习效果。

本书可供应用型本科院校经济管理类专业和其他理工类专业的本科生

作为教材使用，也可作为工程技术人员和经济管理人员的参考用书。 书繁体字版名为《SolidWorks 2001 PLUS 教学范本》，由知城数位科技股份

图书在版编目(CIP)数据

运筹学基础/孙淼主编. —北京：科学出版社，2011 （普通高等教育“十一五”规划教材·高等院校工商管理类教材系列） ISBN 978-7-03-030208-3

Ⅰ. ①运… Ⅱ. ①孙… Ⅲ. ①运筹学 Ⅳ. ①022

中国版本图书馆 CIP 数据核字（2011）第 020235 号

责任编辑：李 娜 朱大益 / 责任校对：刘玉靖 责任印制：吕春珉 / 封面设计：东方人华平面设计部

出版

北京东黄城根北街 16 号 邮政编码：100717

http://www.sciencep.com

北京印刷厂印刷 科学出版社发行 各地新华书店经销

* 2011 年 3 月第 一 版 2011 年 3 月第一次印刷 印数：1—3 000

开本：787×1092 1/16 印张：11 3/4 字数：279 000

定价：25.00 元

（如有印装质量问题，我社负责调换<路通>）

销售部电话 010-62134988 编辑部电话 010-62137374（HF02）

版权所有，侵权必究

举报电话：010-64030229；010-64034315；13501151303

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iii

第一章 非营利组织

前 言

运筹学是从 20 世纪 30 年代逐渐发展起来的一门新兴学科。我国从 1957 年开始运筹

学的研究，并且将其列为高等院校的一门专业课程。运筹学在生产管理、工程技术、交

通运输、军事作战、科学实验、财政经济以及社会科学中都得到了极为广泛的应用。它

能够为行政管理人员在做决策时提供科学的依据。 应用运筹学去处理问题时，首先要有全局的观点，通过建立数学模型，对于要求解

的问题提供最合理的解决方案。运筹学的内容较为庞杂，目前国内流行的有关运筹学的

教材，多半偏重于算法的推导与论证，对于如何根据实际问题针对性地建立数学模型侧

重较少，同时对解题的技巧不够重视，不能切实满足应用型本科院校的教学需要。本书

强调运筹学理论方法的实用性，可作为运筹学学习的基础性教材，内容上力求深入浅出，

文字通俗易懂，方法上着重于解题思路和技巧的直观解释，并尽量结合经济管理专业和

生产生活列举一些实例。 全书具体编写分工如下：绪论及第一、二、五章由孙淼执笔；第三、四章由田淑芬

执笔；第六章由马凤鸣执笔；第七、八章由屈春艳执笔。本书编写过程中还参考了许多

同类教材，在此，对相关作者表示衷心的感谢。 由于编者的理论和业务水平有限，书中错讹及疏漏之处在所难免，恳请广大读者批

评指正。

目 录

绪论 .................................................................................................................................................................. 1

第一节 运筹学简史 ......................................................................................................................... 2

一、现代运筹学发展简史 .............................................................................................................. 2

二、中国运筹学的发展简史 .......................................................................................................... 2

三、运筹学会和学校教育的蓬勃发展 .......................................................................................... 3 第二节 运筹学的定义和特点....................................................................................................... 4

一、运筹学的定义.......................................................................................................................... 4

二、运筹学的性质和特点 .............................................................................................................. 5

三、运筹学的主要分支.................................................................................................................. 5

第三节 运筹学的工作步骤 ........................................................................................................... 7

一、提出和分析问题...................................................................................................................... 7

二、建立数学模型.......................................................................................................................... 7

三、模型的求解.............................................................................................................................. 8

四、对模型和由模型导出的解进行检验 ...................................................................................... 8

五、解的控制和方案实施 .............................................................................................................. 8

小结 ......................................................................................................................................................... 8

第一章 线性规划基础.............................................................................................................................. 9

第一节 线性规划问题及其数学模型....................................................................................... 10 一、问题的提出............................................................................................................................ 10

二、线性规划问题的数学模型 .....................................................................................................11

三、数学模型的表达方式 ............................................................................................................ 12

第二节 线性规划问题的标准化 ................................................................................................ 14

第三节 图解法 ................................................................................................................................ 15

第四节 线性规划问题解的概念 ................................................................................................ 19

一、解的基本概念........................................................................................................................ 19

二、基本定理................................................................................................................................ 20

小结 ....................................................................................................................................................... 21

案例分析 .............................................................................................................................................. 21 本章自测题 ......................................................................................................................................... 22

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iv

运筹学基础

第二章 单纯形法 ..................................................................................................................................... 25

第一节 单纯形法基本原理 ......................................................................................................... 26

第二节 单纯形法计算步骤及应用举例 .................................................................................. 27 一、单纯形法的结构.................................................................................................................... 27

二、单纯形法的计算步骤 ............................................................................................................ 27

三、应用举例................................................................................................................................ 28

第三节 单纯形法的进一步讨论 ................................................................................................ 31

一、人工变量................................................................................................................................ 31

二、大 M 法 .................................................................................................................................. 32

三、两阶段法................................................................................................................................ 33

第四节 单纯形法的矩阵描述..................................................................................................... 35 第五节 建模应用举例 .................................................................................................................. 36

一、生产计划问题........................................................................................................................ 37

二、混合配料问题........................................................................................................................ 37

三、人力资源问题........................................................................................................................ 38

四、下料问题................................................................................................................................ 38

五、运输问题................................................................................................................................ 39

六、投资问题................................................................................................................................ 40

小结 ....................................................................................................................................................... 40

案例分析 .............................................................................................................................................. 41 本章自测题 ......................................................................................................................................... 42

第三章 对偶理论 ..................................................................................................................................... 47

第一节 线性规划的对偶问题..................................................................................................... 48 一、对偶问题的提出.................................................................................................................... 48

二、对偶问题的写法.................................................................................................................... 49

第二节 对偶问题的基本性质..................................................................................................... 53 一、对称性.................................................................................................................................... 53

二、弱对偶性................................................................................................................................ 54

三、最优性.................................................................................................................................... 56

四、强对偶性（或称对偶定理） ................................................................................................ 56

五、互补松弛性............................................................................................................................ 57

六、原问题单纯形表中的检验数行对应对偶问题的一个基本解............................................. 58

第三节 对偶变量的经济解释——影子价格 ......................................................................... 61

一、影子价格的概念.................................................................................................................... 62

二、影子价格的经济含义 ............................................................................................................ 62

v

目 录

第四节 对偶单纯形法 .................................................................................................................. 63

一、对偶单纯形法的基本思想 .................................................................................................... 63

二、对偶单纯形法的计算步骤 .................................................................................................... 64

小结 ....................................................................................................................................................... 66 案例分析 .............................................................................................................................................. 66

本章自测题 ......................................................................................................................................... 67

第四章 灵敏度分析 ................................................................................................................................ 71

第一节 灵敏度分析的基本思路 ................................................................................................ 72

一、灵敏度分析的含义................................................................................................................ 72

二、灵敏度分析的基本思路 ........................................................................................................ 72

第二节 目标函数系数变化的灵敏度分析.............................................................................. 72 一、目标函数中非基变量系数变化的灵敏度分析 .................................................................... 72

二、目标函数中基变量系数变化的灵敏度分析 ........................................................................ 74

第三节 资源数量变化的灵敏度分析....................................................................................... 75

第四节 增加一个新变量的灵敏度分析 .................................................................................. 77

第五节 增加一个约束条件的灵敏度分析.............................................................................. 78 第六节 工艺系数变化的灵敏度分析....................................................................................... 80

一、非基列变化的灵敏度分析 .................................................................................................... 80

二、基列变化的灵敏度分析 ........................................................................................................ 81

小结 ....................................................................................................................................................... 83

案例分析 .............................................................................................................................................. 84 本章自测题 ......................................................................................................................................... 88

第五章 运输问题 ..................................................................................................................................... 92

第一节 运输问题的数学模型及特点....................................................................................... 93

第二节 表上作业法 ....................................................................................................................... 95

一、给定初始调运方案................................................................................................................ 95

二、最优性检验.......................................................................................................................... 101

三、方案调整.............................................................................................................................. 104

第三节 运输问题的进一步讨论 .............................................................................................. 106

第四节 应用问题举例 ................................................................................................................ 107 一、求极大值问题...................................................................................................................... 107

二、需求量有上下限的运输问题 .............................................................................................. 108

三、转运问题.............................................................................................................................. 109

小结 ......................................................................................................................................................110 案例分析 .............................................................................................................................................110

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vi

运筹学基础

本章自测题 ........................................................................................................................................112

第六章 整数规划 ....................................................................................................................................116

第一节 整数规划的数学模型及解的特点.............................................................................117 一、整数规划数学模型的一般形式 ...........................................................................................117

二、整数规划数学模型举例 .......................................................................................................117

三、整数规划解的特点...............................................................................................................119

第二节 整数规划的割平面法................................................................................................... 120

第三节 分枝定界法 ..................................................................................................................... 123 第四节 0-1 型整数规划 .............................................................................................................. 126

一、0-1 变量及 0-1 型整数规划概述 ......................................................................................... 126

二、0-1 型整数规划的解法........................................................................................................ 126

第五节 指派问题及匈牙利法................................................................................................... 128 一、问题的提出.......................................................................................................................... 128

二、指派问题的数学模型 .......................................................................................................... 129

三、匈牙利法.............................................................................................................................. 130

四、非标准形式的指派问题 ...................................................................................................... 133

小结 ..................................................................................................................................................... 133

案例分析 ............................................................................................................................................ 134 本章自测题 ....................................................................................................................................... 136

第七章 动态规划 ................................................................................................................................... 139

第一节 基本概念、基本方程与最优化原理 ....................................................................... 140

一、基本概念.............................................................................................................................. 141

二、最优化原理及基本方程 ...................................................................................................... 143

三、基本解法.............................................................................................................................. 144

第二节 动态规划应用 ................................................................................................................ 145 一、资源分配问题——离散确定性的决策过程 ...................................................................... 145

二、机器负荷分配问题——连续确定性的决策过程 .............................................................. 147

三、静态规划问题...................................................................................................................... 150

小结 ..................................................................................................................................................... 152

案例分析 ............................................................................................................................................ 152 本章自测题 ....................................................................................................................................... 154

第八章 图论与网络分析 ..................................................................................................................... 157

第一节 图的基本概念 ................................................................................................................ 159

一、图 ......................................................................................................................................... 159

vii

目 录

二、端点、关联边...................................................................................................................... 159

三、相邻：点相邻、边相邻 ...................................................................................................... 159

四、环、多重边、简单图、多重图 .......................................................................................... 159

五、次、奇点、偶点、孤立点、悬挂点、悬挂边 .................................................................. 159

六、链、开链、闭链、简单链、初等链、圈 .......................................................................... 160

七、连通图与分离图（不连通图） .......................................................................................... 160

八、子图、真子图、部分图 ...................................................................................................... 160

九、有向图、无向图.................................................................................................................. 160

十、网络 ..................................................................................................................................... 161

第二节 最短路问题 ..................................................................................................................... 161

一、Dijkstra 算法 ........................................................................................................................ 162

二、算法应用举例...................................................................................................................... 163

三、欧拉回路与中国邮递员问题 .............................................................................................. 164

第三节 最大流问题 ..................................................................................................................... 168 一、最大流问题的数学模型 ...................................................................................................... 169

二、基本概念及定理.................................................................................................................. 169

三、求最大流的 Ford-Fulkerson 算法 ....................................................................................... 171

四、算法应用举例...................................................................................................................... 172

小结 ..................................................................................................................................................... 173 案例分析 ............................................................................................................................................ 174 本章自测题 ....................................................................................................................................... 175

参考文献 ..................................................................................................................................................... 178

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绪 论

学习目标

通过本章教学，理解运筹学的定义、特点与主要分支；熟悉运筹学的工作步骤；

了解运筹学的发展历史。

学习要点

● 理解运筹学的定义与特点。 ● 理解运筹学的主要分支。 ● 熟悉运筹学的工作步骤。

关键词

运筹学 发展历史 工作步骤

反 潜 艇 战

第二次世界大战期间，英国陆军遭到很大挫折，又受到德国空军和海军的封锁，形

势十分危急，如何转变战争局势，成为当时亟待解决的严重问题。在 20 世纪 30 年代末

期虽然已研制成功了雷达和新式作战飞机等武器，但由于没有实际使用经验，在当时资

源十分缺乏的情况下，难于正确评估和迅速提高这些武器的使用效率。为了动员各方面

的力量，将科学家的聪明才智运用到战争当中，英国国防部在 1940 年成立了一个专门小

组进行作战研究，该小组包括四位物理学家、两位数学家、三位生理学家、一位测量员

和一位军官，由著名物理学家布莱克特领导。这个小组研究了一系列与作战和武器运用

有关的问题，取得了显著效果。 反潜艇战是当时着重研究的一个问题。潜艇的可怕之处在于，它能够潜入水中，使

对方不易觉察。因此，反潜艇的首要问题就集中在如何搜索潜艇位置上，著名数学家库

普曼在这一课题研究中起了很大作用，这一研究后来发展成为搜索论。搜索到潜艇的目

的是为了打沉它，原来用飞机投掷普通炸弹，破坏力不大，于是改为深水炸弹，但是新

的问题也随之出现了：在水下多深处爆炸效果最好？著名物理学家肖莱克经科学的定量

分析，发现在 25 英尺深处爆炸能使袭击成功的机会增加三倍。这样一来就作出了如下决

策：在潜艇刚开始下沉时投弹攻击，起爆点为水面下 25 英尺。这种方法的采用使德国潜

艇被摧毁的数目增加了四倍。

导入案例

2

运筹学基础

第一节 运筹学简史

“运筹学”一词最早出现于 1938年的英国，英国人称之为 Operational Research。1942年美国人开始从事这项工作，称之为 Operations Research（O.R.），直译为“作业研究”或

“运用研究”。1957 年我国学者参照《史记·高祖本纪》中的词句“夫运筹策帷帐之中，

决胜于千里之外”，摘取“运筹”二字，将 O.R.正式译为运筹学，其意为运算筹划、出

谋献策、以最佳策略取胜，这就极为恰当地概括了这门学科的精髓。

一、现代运筹学发展简史

运筹学作为一门现代科学，起源于第二次世界大战期间英、美等国的军事运筹小组。

1935 年，为了应对德军空袭，英国科学家开始进行雷达试验，在波德塞（Baudsey）设

立了专门的研究机构，并在沿海建立了一些雷达站。1938 年，英国空军在一次空防大演

习中发现，空军的飞机定位控制系统和雷达站发送来的信息常常是相互矛盾的，需要作

关联、协调处理，以改进作战效能。为此，英国空军成立了作战研究运筹学小组，从事

警报和控制系统的研究。在 1939～1940 年间，这个小组的任务扩大到包含防卫战斗机的

布置，并对某些未来的战斗结果进行预测，以供决策之用。 英国运筹小组卓有成效的工作促使美国军事管理部门也开始进行类似的研究。1942年，

美国大西洋舰队反潜艇指挥官贝克（Baker）组织并领导了反潜艇战运筹组，即后来隶属

于美国海军总司令部的运筹组的前身，这个运筹组集中了一批著名的科学家，其研究课

题包括：通过适当配备护航舰队，减少船只受到潜艇攻击的损失；通过改进深水炸弹投

放的深度，使德国潜艇的损毁率提高；根据飞机出动架次作出维修安排，提高飞机的作

战效率，等等。在战争结束时，英国、美国和加拿大三国的军队中，运筹学工作者已超

过 700 人。 第二次世界大战后，运筹学的研究主要转向经济方面，重点集中在如何用一定的投

入获得更多的产出或如何用更少的投入来获取一定的产出，从而使运筹学在管理科学中

获得了长足的发展。随着各国工业的逐步恢复和繁荣，组织内与日俱增的复杂性和专门

化所产生的问题，很多人认识到，这些问题与战争中曾面临的问题非常类似，只是具有

不同的现实环境而已。运筹学就这样被引入工商企业和其他部门，并在 20 世纪 50 年代

以后得到了广泛的应用。随着运筹学的发展，人们逐渐在系统配置、聚散、竞争的运用

机理等方面形成了一套比较完备的理论，如规划论、排队论、存储论、决策论等。理论

上的不断成熟，加上电子计算机的问世，又反过来促进了运筹学的发展，经过科学家们

50 多年的不懈探索，目前运筹学已成为一个门类齐全、理论完善，有着广泛应用前景的

新兴学科。

二、中国运筹学的发展简史

在中国历史的长河中，运筹谋划的思想俯拾皆是，经典的运筹谋划案例层出不穷，

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3

绪 论

如田忌赛马和丁渭主持北宋皇宫的修复等。田忌赛马是说一次田忌和齐王赛马，规定双

方各出上中下三个等级的马各一匹。如果按同等级的马比赛，齐王可获全胜，但田忌采

取的策略是以下马对齐王的上马，以上马对齐王的中马，以中马对齐王的下马，结果田

忌反以二比一获胜。北宋真宗时，皇宫失火，由大臣丁渭主持修复工作。他让人在宫前

大街取土烧砖，挖成大沟后灌水成渠，利用水渠运来各种建筑用材料，工程完毕后再以

废砖乱瓦等填沟修复大街，做到减少成本和方便运输，加快了工程进度。田忌赛马的对

策和丁渭一举三得的修复皇宫方案，都是典型的运筹案例。 我国现代运筹学的研究和应用起步较晚，在 20 世纪 50 年代才由钱学森、许国志等

教授引入。但之后运筹学的发展还是相当迅速的。我国运筹学的应用是在 1957 年，始于

建筑业和纺织业。在理论联系实际的思想指导下，1958 年在交通运输、工农业生产等方

面都得到应用，产生了独具风格的“表上作业法”。在纺织行业，用排队论方法解决细纱

车间的劳动组织、最优折布长度等问题。在解决邮递员合理投递线路时，管梅谷教授在

1962 年首先提出了这一问题的解法，被国外誉为中国邮路问题。1970 年前后在著名数学

家华罗庚教授的直接指导下，在全国范围内推广统筹方法和优选法，并取得了卓著的成

效，也促使一大批数学家加入到运筹学的研究队伍中来，在运筹学研究领域内取得了很

大成绩，在很多分支领域跟上了当时的国际水平。近年来，一批有远见的运筹学工作者

也在老一辈科学家的带领下茁壮成长起来。

三、运筹学会和学校教育的蓬勃发展

随着运筹学研究的不断深化，世界上很多国家都先后成立了致力于该领域及相关活

动的专门学会。最早建立运筹学会的国家是英国（1948 年），接着是美国（1952 年）、法

国（1956 年）、日本和印度（1957 年）等。1959 年，英、美、法三国的运筹学会发起并

成立了国际运筹学联合会（International Federation of Operational Research Societies，IFORS）。以后各国的运筹学会纷纷加入。我国的运筹学会成立于 1980 年，1982 年加入

IFORS 并创刊《运筹学杂志》，以后又加入了成立于 1985 年的亚太运筹学联合会

（Association of Asia-Pacific Operations Research Societies，APORS）。多年来国际运筹学

学术活动非常活跃，并出版学术刊物，促进着运筹学的不断发展。 从学校教育方面来看，1948 年，美国麻省理工学院开设了第一个非军事 O.R.技术课

程。1952 年，第一套能授予硕士及博士学位的 O.R.课程设置在 Case 理工学院建立。之

后，美国约有 30 所大学开始介绍 O.R.课程。20 世纪 50 年代早期，英国伯明翰大学率先

在英国开设了 O.R.课程。1964 年，新成立的兰卡斯特大学坐上了英国 O.R.教育的第一把

交椅。之后的几年里，英国约有 12 所大学为研究生和本科生开设了 O.R.课程，其中约

一半学校设有 O.R.系科。在多数拥有全国性 O.R.学会的国家，该过程也在进行。我国也

是 O.R.教育发展较早的国家之一。但将运筹学作为主要专业课列入教学计划，则始于 20 世纪 80 年代。1998 年，在教育部颁布的《本科专业目录和专业介绍》中，正式将运

筹学课程列为经济、管理专业的主干课程。

4

运筹学基础

运筹学的研究应用已经给企业和国民经济各部门带来了巨大的财富节约。由国

际运筹学联合会和美国运筹学（管理科学）学会联合主办的 Interfaces杂志主要用于

刊登运筹学的应用成果，在世界范围内对大量富有竞争力的入围者进行艰苦的评审，

每年评审一次，由国际运筹学联合会对最优秀的六项运筹学（管理科学）应用成果，

授予弗兰茨·厄德曼（Franz Edelman）奖，并刊登于该杂志每年的首期（l～2 月号）

上。发表在该期刊上的部分获奖项目如表 0-1 所示。

表 0-1 弗兰茨·厄德曼奖部分获奖项目

组织 成果概况 发表年份 效益/亿美元每年

Citgo 石油公司 炼油过程及产品供应、分配、销售的整体优化 1987 0.7 旧金山警署 应用计算机系统实现巡警值班与调度的优化 1989 0.11 Texaco 公司 满足质量和销售需要的汽油产品的优化调和 1989 0.3 美国电报 电话公司

商用客户营业中心的优化选址 1990 4.06

IBM 公司 备件库存的全国网络的整合用以改进服务支持 1990 0.02 及降低库存 2.5 亿

美洲航空公司 设计一个票价结构、订票和协调航班的系统用来

增加收入 1992 5.0 及更多收入

中国 为满足国家未来能源需求的发电、交通、采煤等

大型项目的优选及投产安排 1995 4.25

数字设备公司 供应商、工厂、分销中心、潜在厂址和市场区域

的全球供应链重构 1995 8.0

宝洁公司 重新设计北美的生产和分销系统以降低成本和

加速市场进入 1997 2.0

第二节 运筹学的定义和特点

一、运筹学的定义

什么是运筹学？目前还没有一个统一而确切的定义。《中国大百科全书》（1991 年版）

的释义为：运筹学“用数学方法研究经济、民政和国防等部门在内外环境的约束条件下

合理分配人力、物力、财力等资源，使实际系统有效运行的技术科学，它可以用来预测

发展趋势，制定行动规划或优选可行方案”。《中国企业管理百科全书》（1984 年版）中

的释义为：运筹学“应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人、财、物等有

限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理”。《辞海》

（1979 年版）中有关运筹学条目的释义为：运筹学“主要研究经济活动与军事活动中能

用数量来表达有关运用、筹划与管理方面的问题，它根据问题的要求，通过数学的分析

与运算，作出综合性的合理安排，以达到较经济较有效地使用人力物力”。英国《运筹学

阅 读 资 料

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5

绪 论

杂志》则认为“运筹学是运用科学方法（特别是数学）来解决那些在工业、商业、政府

和国防部门中，有关人力、机器、物质、金钱等大型系统的指挥和管理方面出现的问题

的科学，目的是帮助管理者科学地决策其策略和行动”。

二、运筹学的性质和特点

运筹学属于应用数学范畴。具体地说，它是一门管理数学，是一种通过对系统进行

科学的定量分析，从而发现问题、解决问题的系统方法论。与其他的自然科学不同，运

筹学研究的对象是“事”，而不是“物”，它揭示的是“事”的内在规律性，研究的是如

何把“事”办得更好的方式和方法。 运筹学研究的主要特点包括以下几个方面。 1）运筹学的研究对象是经济、军事及科学技术等活动中能用数量关系来描述的有关

运用、筹划与管理等方面的问题。目前，运筹学已被广泛应用于农林、交通运输、建筑、

机械、冶金、石油化工、水利、邮电、纺织、商业等部门，最终目的是使有组织的系统

中的人、财、物和信息得到最有效的利用。它总是力求使系统的产出最大化，使投入与

产出的比例实现最佳配置。它特别重视效益与费用的比较，强调在降低成本费用的基础

上追求系统效益和产出的最优化。 2）运筹学研究强调整体最优。在一个系统中，局部最优并不代表整体最优。因此，

运筹学着重从全局或系统的观点看问题，始终追求总体效果最优。系统是由相互关联、

相互制约、相互作用的一些部分组成的具有某种功能的有机整体。运筹学在研究问题时，

总是力求从事物方方面面的联系中进行分析，强调通过协调各组成部分之间的关系和利

害冲突，使整个系统达到最优状态。 3）运筹学研究需要多学科的配合。对于系统的有效管理涉及很多方面，运筹学研究

往往能够吸引来自不同领域、具有不同经验和技能的专家，从而增强了发挥小组集体智

慧、提出问题和解决问题的能力。运筹学解决的问题往往是政治、经济、技术、社会、

心理、生态等多种因素的综合体，涉及数学、经济学、社会学、管理学、心理学等多方

面的知识。这种多学科的协调配合对于问题的解决显得特别重要。这一点从运筹学的发

展历史中可以看出。 4）运筹学研究的精髓是建立数学模型。运筹学透过各种错综复杂的数量关系，抓住

主要矛盾，通过对问题的深入分析，建立合适的模型，使问题在量化的基础上能科学、

合理地得到解决。因此，学好运筹学的关键就是要提高对运筹学数学模型的表达、运算

和分析能力。

三、运筹学的主要分支

1．线性规划（linear programming）

经营管理中关注的问题是如何有效地利用现有人力、物力完成更多的任务，或在预

定的任务目标下，如何耗用最少的人力、物力去实现目标。这类统筹规划的问题用数学

6

运筹学基础

语言表达为：先根据问题要达到的目标选取适当的变量，问题的目标通过用变量的函数

形式表示（称为目标函数），对问题的限制条件用有关变量的等式或不等式表达（称为约

束条件）。当变量连续取值，且目标函数和约束条件均为线性时，称这类模型为线性规划

的模型。有关对线性规划问题建模、求解和应用的研究构成了运筹学中的线性规划分支。

线性规划建模相对简单，有通用算法和计算机软件，是运筹学中应用最为广泛的一个分

支。用线性规划求解的典型问题有运输问题、生产计划问题、下料问题、混合配料问题

等。 有些规划问题的目标函数是非线性的，但往往采用分段线性化等方法，转化为线性

规划问题。

2．非线性规划（nonlinear programming）

线性规划模型中目标函数或约束条件不全是线性的，对这类模型的研究构成非线性

规划分支。由于大多数工程物理量的表达式是非线性的，因此非线性规划在各类工程的

优化设计中得到较多应用，它是优化设计的有力工具。

3．动态规划（dynamic programming）

动态规划是研究多阶段决策过程最优化的运筹学分支。有些经营管理活动由一系列

相互关联的阶段组成，在每个阶段依次进行决策，而且上一阶段的输出状态就是下一阶

段的输入状态，各阶段决策之间互相关联，因而构成一个多阶段的决策过程。动态规划

研究多阶段决策过程的总体优化，即从系统总体出发，要求各阶段决策所构成的决策序

列使目标函数值达到最优。

4．图论与网络分析（graph theory and network analysis）

生产管理中经常遇到工序间的合理衔接搭配问题，设计中经常遇到研究各种管道、

线路的通过能力，以及仓库、附属设施的布局等问题。运筹学中把一些研究的对象用节

点表示，对象之间的联系用连线（边）表示，用点、边的集合构成图。图论是研究由节

点和边所组成图形的数学理论和方法。图是网络分析的基础，根据研究的网络对象（如

铁路网、电力网、通信网等），赋予图中各边某个具体的参数，如时间、流量、费用、距

离等，规定图中各节点代表具体网络中任何一种流动的起点、中转点或终点，然后利用

图论方法来研究各类网络结构和流量的优化分析。网络分析还包括利用网络图形来描述

一项工程中各项作业的进度和结构关系，以便对工程进度进行优化控制。

5．排队论（queueing theory）

排队论又称随机服务系统理论，是研究拥挤现象（排队、等待）的科学。在这种系

统中，服务对象的到达过程和服务过程一般都是随机性的，是一种随机聚散过程。它通

过对随机服务对象的统计研究，找出反映这些随机现象平均特性的规律，从而提高服务

系统的工作能力和工作效率。

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7

绪 论

6．存贮论（inventory theory）

存贮论又称库存理论，是研究确定经营管理工作中保证系统有效运转的物资储备量，

即系统需要在什么时间、以什么数量和供应来源补充这些储备，使得保持库存和补充采

购的总费用最小。

7．对策论（game theory）

对策论也称博弈论，是一种研究对抗性竞争局势的数学模型，其目的在于寻求最优

的对抗策略。在这类模型中，参与对抗的各方均有一组策略可供选择，对策论的研究为

对抗各方提供为获取对自己有利的结局应采取的最优策略。目前，对策论已应用于商品、

消费者、生产者之间的供求平衡分析，利益集团间的协商和谈判，以及军事上各种作战

模型的研究等。

8．决策论（decision theory）

决策就是人们为了达到某一特定的目标，从若干个可行方案中选择最优或满意方案

的过程。决策论是运筹学的重要分支之一，广泛应用于经营管理工作中。它是根据系统

的状态信号和评价准则，选择一组最优策略的理论。

第三节 运筹学的工作步骤

一、提出和分析问题

学习和应用运筹学的目的是要解决问题，而解决问题的第一步是提出问题，并对所

研究的问题和系统进行观察分析，归纳出决策的目标以及制定决策时在行动、时间、资

源等方面的限制。运筹学工作就是要在这些分析和归纳的基础上，确定问题中要实现的

决策目标是什么，哪些是可控的决策变量，哪些是不可控的变量，各相关变量的关系是

什么，以及限制变量取值的工艺技术条件及对目标的有效度量等。

二、建立数学模型

模型是对实际问题的抽象概括和严格的逻辑表达。模型表达了问题中可控的决策变

量、不可控变量、工艺技术条件及目标有效度量之间的相互关系。模型的正确建立是运

筹学研究中的关键一步。一个典型的运筹学模型包括四部分：①一组需要通过求解模型

确定的决策变量；②一个反映决策目标的目标函数；③一组反映系统复杂逻辑和约束关

系的约束方程；④模型要使用的各种参数。

8

运筹学基础

知识拓展

学习运筹学必须使用相应的计算机软件，必须注重学以致用的原则。为了使运

筹学在工商管理、企业运作、交通运输中发挥应有的作用，要把管理学的学习放到

现代科技，特别是计算机的迅速发展与应用的背景中来，在学习中充分地使用计算

机软件。在学习运筹学时，不仅要掌握一些必要的原理和算法，还要学会借助相应

的计算机软件解决管理问题，即学会把实际问题概括为计算机能够识别的模型，然

后输入计算机中，进而将计算机求解的结果应用到实际中去，以解决实际问题。

三、模型的求解

模型的求解是指用数学方法或其他工具对所建立的模型进行求解。根据问题的要求，

可分别求出最优解、次最优解或满意解；依据对解的精度的要求及算法上实现的可能性，

又可区分为精确解和近似解等。

四、对模型和由模型导出的解进行检验

模型和实际之间总是存在一定的差异，因此模型的最优解并不一定就是实际问题的

最优解。为了检验得到的解是否正确，常采用回溯的方法，即将历史资料输入模型，研

究得到的解与历史实际的符合程度，以判断模型是否正确。通过检验，可以发现模型的

结构和逻辑错误，并了解模型求解结果与实际问题的差距。只有当模型在一定程度上能

相对准确地反映实际问题时，运筹学分析才算达到了理想的效果。

五、解的控制和方案实施

任何模型都有一定的适用范围，判断模型的解是否有效，要首先注意模型是否继续

有效， 并依据灵敏度分析的方法，确定最优解保持稳定时的参数变化范围。一旦外界条

件参数变化超出这个范围，就要及时对模型和导出的解进行修正。运筹学研究的最终目

的是要确保方案的实施，提高被研究系统的效率，因此就必须要使管理人员与运筹学分

析人员取得共识，让管理人员明确该方案如何实施、实施的时间和可能遇到的阻力，并

为此制定克服困难的相应措施。只有这样，才能确保研究和分析成果的真正实施。

小 结

绪论部分是全书的总纲，主要介绍了运筹学发展的简史、我国古代文献中朴素的运

筹学思想、世界各国运筹学会和运筹学教育的发展；运筹学的定义、性质、特点以及运

筹学的主要分支；最后介绍运筹学的工作步骤。

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第 一 章

线性规划基础

学习目标

通过本章教学，使学生掌握线性规划问题模型的表达形式，掌握经济管理中典

型线性规划问题模型的建立，掌握二维变量图解中可行域在各种情况下解出现的情

况及得到的启示，掌握线性规划问题标准型的转化方法。理解线性规划问题解的概

念及模型特点，理解线性规划问题的几何意义。

学习要点

● 掌握线性规划问题模型的 4 种表达形式。 ● 掌握线性规划问题标准型的转化方法。 ● 理解线性规划问题解的概念。

关键词

线性规划模型 标准型

线性规划的应用

在生产实际中，许多问题需要应用线性规划原理来解决。归纳起来，线性规划所要

解决的问题包括如下两类：一类是如何合理地使用有限的劳动力、设备、资金等资源，

以得到最大的效益，即利润最大化问题；另一类是为了达到一定的生产指标或其他目标，

应如何组织生产，合理安排工艺流程或调整产品的成分，以使所消耗的人力、设备台时、

资金、原材料等资源为最少，即资源最小化问题。

导入案例

10

运筹学基础

第一节 线性规划问题及其数学模型

一、问题的提出

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用较广、相对成熟的一个分支。它实

质上是解决稀缺资源在有竞争的使用方向中如何进行最优分配的问题，即寻求某个整体

指标最优的问题，如经营管理中的运输问题、生产组织与计划安排问题、合理下料问题、

配料问题及布局问题等。 1）经营管理中的运输问题。比如，在某一个给定的地区范围内，有某种产品的产地

与销地各若干个，要把一定数量的产品从各个产地运到各个销地，调运方案有很多种，

应如何调运，才能使总的运费或运输量（吨公里数）最小化。 2）生产组织与计划安排问题。比如，有一项生产任务，如何组织较少的人力、物力

来完成；或者，有一定的人力、物力条件，如何安排使用，才能生产出尽可能多的有用

产品等，都属于生产的组织与计划安排问题。 3）合理下料问题。合理下料问题包括一维下料问题、二维下料问题等。一维下料问

题也叫棒材下料问题。比如，一根棒材通常长度一定，使用中常常需要裁剪成不同长度

的小段，选择哪一种裁法，才能使总的废料最少。二维下料也叫板材下料。通常，不同

的裁法也会有不同的废料节余。 4）配料问题。配料问题包括营养配餐、医药配方以及家畜的饲料配方问题等。比如

医药配方，每一种药品都需要一定的有效成分，这些有效成分可以由不同的原材料提供，

各种不同的原材料价格不同，怎样对原材料进行搭配，才能使得有效成分既满足要求，

同时成本又最小，这就是配料问题。 5）布局问题。布局问题包括工业布局和农业布局。比如，在一定面积的工厂中，如

何合理安排生产区、生活区和绿地等，才能使得工厂的产出既大，同时又最舒适宜人，

就属于工业布局问题；而在一定面积的土地上，如何安排各种不同农作物的种植比例，

才能使得单位面积的产出最多等，则属于农业布局问题。 在生产中，经常会遇到以下问题。 【例 1-1】 利润最大化问题。 某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台

时和 A、B 两种原材料的消耗、单位产品的利润及资源限量如表 1-1 所示，问应如何安排

生产计划才能使该工厂获得的利润最大？

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11

第一章 线性规划基础

表 1-1 已知设备、原材料状况

产 品 资 源

甲 乙 资源限量

设备/台时 2 1 10 原材料 A/千克 1 1 8 原材料 B/千克 0 1 7

利润/元 4 3

【例 1-2】 费用最小化问题。 某饲养场用两种原料 A 和 B 配合成饲料喂鸡，为了让鸡生长得快，规定每千克饲料

中含有营养成分甲至少 0.2 千克、营养成分乙至少 0.18 千克、营养成分丙至少 0.36 千克。

每千克原料 A 和 B 的价格分别为 1.1 元和 0.8 元。原料 A 中含营养成分甲、乙、丙分别

为 0.1 千克、0.03 千克、0.04 千克，原料 B 中含营养成分甲、乙、丙分别为 0.02 千克、

0.03 千克、0.09 千克，问应该如何配制饲料才能使成本最低？

二、线性规划问题的数学模型

对上述两道例题分别进行分析如下。 【例 1-1】 利润最大化问题。 问题分析：这个优化问题的目标是使总利润最大，要做的决策是生产计划，即生产

甲产品多少个，生产乙产品多少个。决策受到 3 个条件的限制：设备有效台时及原材料

A、B 的资源限量。按照题目所给条件，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及

式子表示出来，就可得到如下模型。 基本模型： 决策变量：设生产甲产品 1x 个，生产乙产品 2x 个。 目标函数：设获得的总利润为 Z 元。 1x 个甲产品获利 14x 、 2x 个乙产品获利 23x ，故

1 24 3Z x x= + 。

约束条件： 设备每天的有效使用时间不得超过 10 小时，即 1 22 10x x+ ≤ 小时； 原材料 A 每天的限量不得超过 8 千克，即 1 2 8x x+ ≤ 千克； 原材料 B 每天的限量不得超过 7 千克，即 2 7x ≤ 千克； 非负约束—— 1 2,x x　 均不能为负值，即 1 20, 0x x≥ ≥ 。

综上可得 1 2

1 2

1 2

2

1 2

max 4 32 10

8(subject to) . .

7, 0

Z x xx xx x

s tx

x x

= +

+⎧⎪ +⎪⎨⎪⎪⎩

≤

≤

≤

≥

12

运筹学基础

这是一个最大化的线性规划模型。 【例 1-2】 费用最小化问题。 问题分析：这个优化问题的目标是使配制饲料的总成本最低，要做的决策是确定两

种原料的数量，即原料 A 多少千克、原料 B 多少千克。两种原料配制出来的饲料必须含

有合乎规定的三种营养成分，即要实现总成本最少受到营养成分甲、乙、丙最低含量的

限制。按照题目所给条件，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出

来，就可得到如下模型。 基本模型： 决策变量：设需用原料 A 1x 千克，原料 B 2x 千克。 目标函数：设配制饲料的总成本为 Z 元。 1x 千克原料 A 的费用为 1.1 1x ， 2x 千克原

料 B 的费用为 0.8 2x ，故 1 21.1 0.8Z x x= + 。

约束条件： 营养成分甲至少 0.2 千克，即 1 20.1 0.02 0.2x x+ ≥ 千克； 营养成分乙至少 0.18 千克，即 1 20.03 0.03 0.18x x+ ≥ 千克； 营养成分丙至少 0.36 千克，即 1 20.04 0.09 0.36x x+ ≥ 千克。 非负约束—— 1 2,x x 均不能为负值，即 1 20, 0x x≥ ≥ 。

综上可得 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

min 1.1 0.80.1 0.02 0.2

0.03 0.03 0.18. .

0.04 0.09 0.36, 0

Z x xx xx x

s tx x

x x

= +

+⎧⎪ +⎪⎨ +⎪⎪⎩

≥

≥

≥

≥ 　　　

这是一个最小化的线性规划模型。 从上述例子中看到线性规划问题的数学模型包含三个要素：①决策变量，指决策者

为实现规划目标采取的方案、措施，是问题中要确定的未知量；②目标函数，指问题要

达到的目的要求，表示为决策变量的函数；③约束条件，指决策变量取值时受到的各种

可用资源的限制，表示为含决策变量的等式或不等式。如果在规划问题的数学模型中，

决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的，这类模型称为线性规划

问题的数学模型。

三、数学模型的表达方式

一般线性规划的数学模型可以表示为以下几种方式。 一般表达式为

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13

第一章 线性规划基础

1 1 2 2

11 1 1 2 2 1 1

21 1 2 2 2 2 2

1 1 2 2

1 2

max( min)

( , )( , )

. .( , )

, , , 0

n n

n n

n n

m m mn n m

n

Z c x c x c x

a x a x a x ba x a x a x b

s ta x a x a x bx x x

= + + +

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎪⎨⎪ + + + =⎪⎪⎩

　　 　　 　

　　 　

或

或

或

或

　　　　　　　　　

≤ ≥

≤ ≥

≤ ≥

≥

简写形式为

1

1

max min

, 1,2, ,. .

0 1,2, ,

n

j jj

n

ij j ij

j

Z c x

a x b i ms t

x j n

=

=

=

⎧= =⎪

⎨⎪ =⎩

∑

∑

或

或≤ ≥

≥

( )

( )

其中 ( 1,2, , )jx j n= 表示 n个变量， ( 1,2, , )jc j n= 称为价值系数，是目标函数中 jx 的系

数， ( 1,2, , )ib i m= 称为资源系数，表示第 i 种资源的拥有量， 1,2, , 1,2, ,ija i m j n= =( ; )

称为技术系数或工艺系数，表示变量 jx 取值为 1 个单位时所消耗或含有的第 i 种资源的

数量。 向量形式为

1

max min

,. .

0

n

j jj

Z CX

P x bs t

X=

=

⎧ =⎪⎨⎪⎩

∑

或

或≤ ≥

≥

( )

( )

其中 ( )1 2, , , nC c c c=

1

2

n

xx

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

X

1

2

j

jj

mj

aa

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

P

1

2

m

bb

b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b

矩阵形式为 max min

,. .

0

Z CX

AX bs t

X

=

=⎧⎨⎩

或

或≤ ≥

≥

( )

( )

A =

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

其中 A 称为约束方程组变量的系数矩阵，或简称约束变量的系数矩阵。

14

运筹学基础

第二节 线性规划问题的标准化

由于目标函数和约束条件内容和形式上的差别，线性规划问题可以有多种多样。为

了便于讨论，规定符合以下条件的线性规划问题为标准形式：①目标函数为求极大值；

②约束条件全为等式；③约束条件右端常数项全为非负值；④变量 jx 的取值全为非负值。

线性规划的标准形式为

1

1

max

1,2, ,. .

0 1,2, ,

n

j jj

n

ij j ij

j

Z c x

a x b i ms t

x j n

=

=

=

⎧ = =⎪⎨⎪ =⎩

∑

∑≥

对于不符合标准形式的线性规划问题，可分别通过下列方法化为标准形式。 （1）若目标函数值是求最小值，即minZ CX= ，则令 Z Z′ = − ，便得到maxZ CX′ = − 。 （2）若约束条件是不等式，分两种情况处理： ① 约束条件为“≤”不等式，则在“≤”不等式的左端引入松弛变量，把原不等式

变为等式。 例如， 1 2 32 10x x x+ + ≤ 变为 1 2 3 42 10x x x x+ + + = ， 4x 称为松弛变量。

② 约束条件为“≥”不等式，则在“≥”不等式的左端减去剩余变量，把原不等式

变为等式。 例如， 1 20.1 0.02 0.2x x+ ≥ 变为 1 2 30.1 0.02 0.2x x x+ − = ， 3x 称为剩余变量。

有些时候松弛变量和剩余变量统称为松弛变量。 （3）约束条件右端常数为负值时，令约束式子两端同乘以“-1”，使得右端项变为

正值。 （4）变量约束不符合非负。当变量 0jx ≤ 时，令 j jx x′ = − ，使得 0jx′ ≥ ；若存在取值

为无约束的变量 jx ，则令 j j jx x x′ ′′= − ，其中 0, 0j jx x′ ′′≥ ≥ 。

根据以上几种情况的处理方法，任何形式的线性规划数学模型均可化为标准形式，

下面举例说明。 【例 1-3】 把例 1-1 的线性规划模型转化为标准形式。

1 2

1 2

1 2

2

1 2

max 4 32 10

8. .

7, 0

Z x xx xx x

s tx

x x

= +

+⎧⎪ +⎪⎨⎪⎪⎩

≤

≤

≤

≥

解：该线性规划模型的标准形式为

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15

第一章 线性规划基础

1 2 3 4 5

1 2 3

1 2 4

2 5

1 2 3 4 5

max 4 3 0 0 02 10

8. .

7, , , , 0

Z x x x x xx x xx x x

s tx x

x x x x x

= + + + +

+ + =⎧⎪ + + =⎪⎨ + =⎪⎪⎩ ≥

【例 1-4】把下面的线性规划模型转化为标准形式。 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 2 33 5 2

2 7 4. .

8 2 60, 0,

Z x x xx x xx x x

s tx x x

x x x

= − + +

− − +⎧⎪ − + −⎪⎨ − + = −⎪⎪⎩

　

　

不限制

≤

≥

≥ ≤

解：设 Z Z′ = − ， 2 2x x′ = − ， 3 3 3x x x′ ′′= − ，其中 3 30, 0x x′ ′′≥ ≥ ，则标准形式为

1 2 3 3 4 5

1 2 3 3 4

1 2 3 3 5

1 2 3 3

1 2 3 3 4 5

max 2 3 3 0 0

3 5 5 22 7 4

. .8 2 2 6, , , , , 0

Z x x x x x x

x x x x xx x x x x

s tx x x x

x x x x x x

′ ′ ′ ′′= + − + + +

′ ′ ′′− + + − + =⎧⎪ ′ ′ ′′− − − + − =⎪⎨ ′ ′ ′′− + − + =⎪⎪ ′ ′ ′′⎩ ≥

第三节 图 解 法

当只有两个决策变量时，可以用图解法求解。图解法简单直观，有助于领会线性规

划的基本性质及一般求解方法的基本思想。图解法的步骤是：建立坐标系，图示约束条

件，图示目标函数，确定最优解。下面举例说明图解法的基本步骤。 【例 1-5】 用图解法求解

1 2

1 2

1 2

2

1 2

max 4 32 10

8. .

7, 0

Z x xx xx x

s tx

x x

= +

+⎧⎪ +⎪⎨⎪⎪⎩

≤

≤

≤

≥

解：图解法步骤如下。 1）以变量 1x 为横坐标， 2x 为纵坐标，建立平面直角坐标系。 2）对每个约束（包括非负约束）条件，先取其等式在坐标系中作出直线，再通过判

断确定不等式所决定的半平面。因为变量 1 20, 0x x≥ ≥ ，所以只有第一象限内的点才满

足约束。约束条件 1 22 10x x+ ≤ 是一个不等式，代表一个半平面，此半平面以直线

1 22 10x x+ = 为边界，是包括边界点及这条直线左下方的半平面（如图 1-1 所示）。同理，

16

运筹学基础

满足约束条件 1 2 8x x+ ≤ 的所有点位于直线 1 2 8x x+ = 上及这条直线左下方的半平面内，

约束条件 2 7x ≤ 的所有点位于直线 2 7x = 上及这条直线下方的半平面内。同时满足这些

约束条件的点就是图 1-1中所示的两个坐标轴与上述三条直线所围成的多边形OABCD内

及该多边形的边界上。 3）图示目标函数。目标函数 1 24 3Z x x= + 中， Z 是待定的值。将其改写成

2 11 43 3

x Z x= − ，由解析几何可知，这是参数为 Z 、斜率为43

− 的一组平行线。从图 1-1

中可以看出，离O 点越远的直线， Z 值越大。 4）确定最优解。代表目标函数的一组平行线向右上方移动时，Z 值不断增大，直到

等值线与凸多边形相切。切点（2，6）代表最优解。

图 1-1 图解法一

本例中我们用图解法得到的问题的最优解是唯一的。但在线性规划问题的计算中，

解还有以下几种情况。

1．无穷多最优解

如果在例 1-5 中的目标函数改变为 1 24 2Z x x= + ，即

1 2

1 2

1 2

2

1 2

max 4 22 10

8. .

7, 0

Z x xx xx x

s tx

x x

= +

+⎧⎪ +⎪⎨⎪⎪⎩

≤

≤

≤

≥

则目标函数恰好与约束条件 1 22 10x x+ = 平行。当目标函数直线向右上方移动时，它

与凸多边形相切时不仅仅是一个点，而是在整个线段上相切，如图 1-2 所示。这时在点

及线段上的任意点都使目标函数值达到最大，则该线性规划问题有无穷多最优解。

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17

第一章 线性规划基础

图 1-2 图解法二

2．无界解（或无最优解）

如果例 1-5 中的约束条件改变如下，即 1 2

1 2

1 2

2

1 2

max 4 32 10

8. .

7, 0

Z x xx xx x

s tx

x x

= +

+⎧⎪ +⎪⎨⎪⎪⎩

≤

≥

≥

≥

可以看出约束条件所确定的区域为非封闭的区域，随着决策变量的增大，目标函数

值也不断增大，这种情况称问题具有无界解或无最优解，如图 1-3 所示。

图 1-3 图解法三

18

运筹学基础

知识拓展

图解法虽然只能用来求解具有两个变量的线性规划问题，但它的解题思路和几

何意义对于求解一般的线性规划问题仍有很大启发。 （1）求解线性规划问题时，解的情况有以下 4 种：唯一最优解；无穷多最优解；

无界解；无可行解。 （2）若线性规划问题解的集合存在，则这个集合是一个凸多边形。 （3）若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一（如果有无穷多的

话）一定能够在这个集合的某个顶点处找到。 （4）线性规划问题的一般求解思路：先找出集合的任一顶点，计算该点的目标

函数值，对集合内所有顶点的目标函数值进行比较，找出目标函数值最大的顶点即

为问题的最优解。

3．无可行解（或无解）

如果例 1-5 中约束条件 2 7x ≤ 变为 2 9x ≥ ，即线性规划模型为

1 2

1 2

1 2

2

1 2

max 4 32 10

8. .

9, 0

Z x xx xx x

s tx

x x

= +

+⎧⎪ +⎪⎨⎪⎪⎩

≤

≤

≥

≥

如图 1-4 所示。

图 1-4 图解法四

用图解法求解时找不到满足所有约束条件的公共区域，这时问题无可行解（或无解）。

原因在于建立数学模型时存在相互矛盾的约束条件。

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19

第一章 线性规划基础

第四节 线性规划问题解的概念

一、解的基本概念

为了说明线性规划问题的基本性质，首先引入一些有关解的基本概念。根据线性规

划问题的标准形式

1

1

max 1-1

1,2, , 1- 2. .

0 1,2, , 1- 3

n

j jj

n

ij j ij

j

Z c x

a x b i ms t

x j n

=

=

=

⎧ = =⎪⎨⎪ =⎩

∑

∑

　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　

　　　　　　　　　≥

可行解：满足上述约束条件式（1-2）、（1-3）的解 ( )1 2, , , Tnx x x=X 称为线性规划

问题的可行解。 可行域：可行解的集合称为可行域。 最优解：使目标函数式（1-1）达到最大值的可行解称为最优解。 凸集：如果集合 C 中任意两个点，其连线上的所有点也都是集合 C 中的点，称 C 为

凸集。 顶点：如果 C 中不存在任何两个不同的点 1x 、 2x ，使得 x 成为这两点连线上的一个

点，这样的点 x 称为顶点。 基：设 A为约束方程（1-2）的m n× 维系数矩阵，其秩为m ，B 为矩阵 A的m m× 阶

非奇异矩阵（ 0B ≠ ），则称 B 是线性规划问题的一个基。

基向量：矩阵 B 由m 个线性独立的列向量组成， ( )11 1

1 2

1

, , ,m

m

m mm

a aB P P P

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

，

B 中的每一个列向量 ( 1,2, , )jP j m= 称为基向量。基 B 中共有m 个基向量。

基变量：与基向量 jP 对应的变量 ( 1,2, , )jx j m= 称为基变量，否则称为非基变量。

对应于 jP ，有m 个基变量， n m− 个非基变量。

基解：对于基 B ，令所有非基变量为零，求得满足式（1-2）的解，称为 B 对应的基

解。有一个基，就有一个基解。 基可行解：满足非负条件（1-3）的基解称为基可行解。 可行基：基可行解对应的基称为可行基。 【例 1-6】 在下列线性规划问题中，举例说明什么是基、基变量、基解、基可行解和

可行基。

（1-1）

（1-2）

（1-3）

20

运筹学基础

1 2

1 2

2

1 2

max 42 8

2. ., 0

Z x xx x

xs tx x

= +

+⎧⎪⎨⎪⎩

≤

≤

≥

解：写出该线性规划问题的标准形式 1 2 3 4

1 2 3

2 4

1 2 3 4

max 4 0 02 8

. . 2, , , 0

Z x x x xx x x

s t x xx x x x

= + + +

+ + =⎧⎪ + =⎨⎪⎩ ≥

系数矩阵 ( )1 2 3 4

1 2 1 00 1 0 1

A P P P P⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

，矩阵 A的秩等于 2，其中 1

10

P⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

，

2

21

P⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

， 3

10

P⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

， 4

01

P⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

，可以看出，除 ( )1 3P P 外，其余任取 2 列均线性无关，

可以组成 5 个基。若取 ( )1 1 2

1 20 1

B P P ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠，则 1 2,x x 是基变量， 3 4,x x 是非基变量，令

3 4,x x 为零，求得 1 24, 2x x= = ，对应的基解为 ( )1 4 2 0 0 TX = ，这是一个基可行解，

相应的基 1B 是可行基。

同理，对应于基 ( )2 1 4B P P= 的基解为 ( )2 8 0 0 2 TX = ，这是基可行解；对应于

基 ( )3 2 3B P P= 的基解为 ( )3 0 2 4 0 TX = ，这是基可行解；对应于基 ( )4 2 4B P P= 的

基解为 ( )4 0 4 0 2 TX = − ，由于 4 0x ≤ ，所以不是基可行解；对应于基 ( )5 3 4B P P= 的

基解为 ( )5 0 0 8 2 TX = ，这是基可行解。 因此在这个线性规划问题中，基解有 5 个： 1 2 3 4 5, , , ,X X X X X ；基可行解有 4 个：

1 2 3 5, , ,X X X X ；对应的可行基有 4 个： 1 2 3 5, , ,B B B B 。

二、基本定理

定理 1-1 若线性规划问题存在可行域，则问题的可行域是凸集。 证明：我们只需证明 1 2,X X 是可行域内任意两点，若 1 2,X X 连线上的点全部属于该可

行域，则该可行域为凸集。 任意给定 1 2,X X ，并且 1 1, 0AX Xb= ≥ ， 2 2, 0AX Xb= ≥ ，

对于任意给定的 [ ]0, 1α ∈ ，令 1 21X X Xα α= −+ ( )

1 2(1 )(1 )

AX AX XAb b

b

α αα α

= −= + −=

+

且 0X ≥ ，所以 X 也是可行解，也在可行域内，则该可行域为凸集。证毕。 定理 1-2 线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。（证明略）

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21

第一章 线性规划基础

定理 1-3 若线性规划问题有最优解，一定存在一个基可行解是最优解。（证明略）

各种解之间的关系可以用图 1-5 来表示。

图 1-5 各种解之间的关系

小 结

线性规划问题是描述实际问题的抽象的数学形式，它反映了实际问题中数量之间的

关系。通过了解该实际问题的经济背景，确定影响该问题的主要因素及想要达到的目标，

然后设出若干变量，并列出约束条件和目标函数。为了求解线性规划问题，要掌握线性

规划问题的标准形式。要学会用图解法求解线性规划问题，并掌握解的基本概念。

案例分析

百佳沅百货商场采购计划

案例背景

百佳沅百货商场经营同类的两种商品 A和 B，A每件可获利润 200 元，B每件可获利

润 300 元，历史销售资料显示，每月单独采购商品 A不得超过 4 万件，商品 B不得超过

3 万件。根据前期销售经验，商品 A 的采购量加商品 B 采购量的两倍不能超过 8 万件，

其具体情况如表 1-2 所示。问应如何组织采购才能使利润总额最大？

表 1-2 商品 A、B 的销售情况

商品 采购方式

A B 最高限额/万件

单独采购 A 1 0 4 单独采购 B 0 1 3

配套采购 A 和 B 1 2 8 经营利润/万元 200 300

阅 读 资 料

22

运筹学基础

案例解析

首先建立该问题的数学模型。设 A商品的采购量为 1x 万件，B商品的采购量为 2x 万

件，利润总额为 Z 万元。则有 1 2

1

2

1 2

1 2

max 200 3004

3. .

2 8, 0

Z x xx

xs t

x xx x

= +

⎧⎪⎪⎨

+⎪⎪⎩

≤

≤

≤

≥

这是两个变量的线性规划问题，可应用图解法求解，最终结果为 当 1 24, 2x x= = 时， 200 4 300 2 1400Z = × + × = （万元）

即 A商品采购 4 万件，B商品采购 2 万件，可获取最大利润 1400 万元。

本章自测题

一、填空题

1．线性规划数学模型的一般表达式为 ，简写形式为 ，向

量形式为 ，矩阵形式为 。

2．线性规划的约束条件为1 2

1 2

7 5. .

3 10x x

s tx x

+⎧⎨− +⎩

≥

≤

，将其标准化后为

1 2 3

41 2

7 5. .

3 10x x x

s tx x x+ − =⎧

⎨− + + =⎩，

则 1x 是 变 量 ， 2x 是 变 量 ， 3x 是 变 量 ， 4x 是

变量。

3．线性规划数学模型

1

1

max

( , ) ( 1,2, , ).

0( =1,2, , )

n

j jj

n

ij j ij

j

Z c x

a x b i ms.t

x j n

=

=

=

= =⎧⎪⎨⎪⎩

∑

∑ ≤ ≥

≥

中，价值系数是 ，

资源系数是 ，工艺系数是 ，系数矩阵 A= 。 4．线性规划的数学模型由 、 、 三部分组成。 5．线性规划问题的基可行解与基解的区别是 。 6．对于平面中的某线性规划的约束集合，其可行解为 ；基解为 ；

基可行解为 。

二、选择题

1．线性规划问题的标准型最本质的特点是（ ）。 A．目标要求是极小化 B．变量要求非负 C．变量可以取任意值

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23

第一章 线性规划基础

D．约束条件一定是等式 E．目标要求是极大化 F．右端常数要求非负 2．目标函数取极小化（min Z ）的线性规划可以转化为目标函数极大化即max Z−( )

的线性规划求解，两者的最优解（ ），最优值（ ）。 A．相关一个负号 B．相同 C．无确定关系

三、判断题（判断对错并改正）

1．若线性规划问题具有可行解，且可行域有界，则该线性规划问题有唯一最优解。 2．若可行域是空集，则表明存在矛盾的约束条件。 3．如果线性规划问题存在可行解，则问题的可行域是凸集。 4．如果线性规划问题存在最优解，则最优解一定是可行域边界上的点。 5．对于一个有 n个变量，m 个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好

为 mnc 个。 6．线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。 7．若 ( )1X 、 ( )2X 分别为某一线性规划问题的最优解，则 ( ) ( ) ( )1 21X X Xα α= + − 也是

该线性规划问题的最优解，其中α 为正的常数。 8．线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值，

则该顶点处的目标函数值达到最优。

四、将下面的线性规划问题化成标准型

1． 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

min 25

4 8. .

2 20, 0

Z x xx xx x

s tx x

x x

= +

− + = −⎧⎪ +⎪⎨ −⎪⎪⎩

≥

≤

≥

2． 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

max 2 35

4 3 6. .

3 100, 0,

Z x x xx x x

x x xs t

x x xx x x

= − +

− +⎧⎪ − + =⎪⎨ + +⎪⎪⎩ 不限制

≥

≤

≤ ≥

3． 1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

1 2 3 4

max 2 8 72 3 5 6 28

4 3 7 16. .

2 3 5 90, , 0, 0

Z x x x xx x x x

x x x xs t

x x xx x x x

= − + + −

− + +⎧⎪ − + − =⎪⎨ + −⎪⎪⎩ 不限制

≤

≥

≤ ≥ ≥

4． 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 30 0

min 3 2 32 2 3 154 2 11

. .2 5 8

, 0,

Z x x xx x xx x x

s tx x x

x x x

= − +

− + +⎧⎪ − +⎪⎨ − − = −⎪⎪⎩

≤

≥

≤ ≥ ≤

五、应用题

1．用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、

无界解还是无可行解。

24

运筹学基础

（1） 1 2 3

2 3

1 2 3

1 2 3

min 15 24 56 2

. . 5 2 1, , 0

Z x x xx x

s t x x xx x x

= + +

+⎧⎪ + +⎨⎪⎩

≥

≥

≥

（2） 1 2

1 2

2

1 2

1 2

max 16 253 2 60

3 75. .

40, 0

Z x xx x

xs t

x xx x

= +

+⎧⎪⎪⎨

+⎪⎪⎩

≤

≤

≥

≥

（3） 1 2

1 2

2

1

1 2

max 2 32 84 12

. .4 16

, 0

Z x xx x

xs t

xx x

= +

+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

≥

≤

≥

≥

（4） 1 2

1 2

1 2

2

1 2

1 2

max 33 22

4. . 6

2 5 0, 0

Z x xx x

x xs t x

x xx x

= +

+⎧⎪

− −⎪⎪⎨⎪− +⎪⎪⎩

≤

≥

≤

≥

≥

2．找出下述线性规划问题的所有基解、基可行解，并确定最优解。 （1） 1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

min 5 2 3 22 3 4 7

. . 2 2 2 3, , , 0

Z x x x xx x x x

s t x x x xx x x x

= − + +

+ + + =⎧⎪ + + + =⎨⎪⎩ ≥

（2） 1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 5

1 2 3 4 5

max 22 6

. . 4 4, , , , 0

Z x x xx x x x

s t x x x xx x x x x

= + −

+ + + =⎧⎪ + − + =⎨⎪⎩ ≥

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第 二 章

单 纯 形 法

学习目标

通过本章教学，掌握单纯形法的基本原理、基本步骤，掌握用矩阵语言来描述

单纯形法的计算过程；理解改进单纯形法中已知基阵及其逆阵如何求新基的逆；熟

悉大 M 法和两阶段法的解题方法；能够根据实际问题熟练建立各类数学模型。 学习要点

● 掌握单纯形法运算的基本步骤。 ● 掌握用矩阵语言来描述单纯形法。 ● 根据实际问题熟练建立各类数学模型。

关键词

单纯形法 矩阵描述 数学模型

丹齐格与单纯形法

乔治·伯纳德·丹齐格（George Bernard Dantzig，1914～2005）是美国数学家，1914年11 月 8 日生于俄勒冈州，其父亲 T. 丹齐格也是一位数学家。1936 年丹齐格毕业于马里

兰大学，之后进入密歇根大学攻读研究生课程。1937 年，丹齐格成为美国劳工统计局的

统计职员，在那里接触到第二次世界大战时期关于美国经济投入产出模型的研究；不久

进入加利福尼亚大学伯克利分校，跟随著名统计学家内曼攻读博士学位，后来由于美国

空军组建统计控制中心的需要而中止研究生学业，作为文职人员加入空军。丹齐格于1946年回到伯克利获得博士学位，之后成为美国空军审计长的一名数学顾问，1952 年又转到

兰德公司进行研究，20 世纪 60 年代以后到斯坦福大学担任教授。丹齐格的主要贡献在

线性规划方面。1947 年他首次提出线性规划的名称，他创立的线性规划和单纯形法在经

济学、环境科学和统计学中有重要应用，从而得到迅速发展，并占据世界领先地位。因

此，丹齐格被称为“线性规划之父”。

导入案例

26

运筹学基础

第一节 单纯形法基本原理

从第一章的学习中已知，若线性规划问题有 优解，必可在某个极点上达到，即在

某个基可行解上取得 优解。因此对线性规划问题， 简单的方法是：把所有基可行解

都找出来，然后逐个进行比较，求出 优解。这种方法称之为“枚举法”。但由于基可

行解的个数不超过 mnC 个，而 m

nC 这个数是随着m 、 n的增大而增大的，因此枚举法事实

上不可行。如当 20m = ， 30n = 时， 20 730 3.0 10m

nC C= ≈ × ，要计算这么多个基可行解显然

是行不通的。那么换一种思路：若从某一基可行解出发，每次总是寻找比上一个“更好”

的基可行解，而不去计算不比上一个“更好”的基可行解，那就大大减少计算量。但这

种逐步改善的求解方法需要解决以下三个问题：①如何得到一个初始的基可行解；②如

何判别当前的基可行解是否已达到 优解；③若当前解不是 优解，如何去寻找一个改

善了的基可行解。 美国数学家丹齐格提出的单纯形法解决了以上三个问题，单纯形法是求解线性规划

问题的一种普遍而有效的方法。 单纯形法的基本思路包括以下几个步骤。 第一步，构造一个初始基可行解。对已经标准化的线性规划模型，设法在约束矩阵

m nA × 中构造一个m 阶单位阵作为初始可行基，相应就有一个初始基可行解，确定基变量、

非基变量以及基变量、非基变量和目标函数的值，并将目标函数和基变量分别用非基变

量表示。 第二步，判断当前基可行解是否 优解。在用非基变量表示的目标函数表达式中，

我们称非基变量 jx 的系数（或其负数）为检验数，记为 jσ 。若 jσ ＞0，那么相应的非基

变量 jx 的值从当前值 0 开始增加时，目标函数值随之增加。这个选定的非基变量 jx 称为

“进基变量”，转到下一步；如果所有 jσ 非正，当任何一个非基变量的值增加时，目标

函数值随之减少，则当前的基可行解就是 优解，计算结束。 第三步，若当前解不是 优解，则要进行基变换迭代到下一个基可行解。首先从当

前解的非基变量中选一个作为进基变量，选择的原则一般是：目标函数的表达式中，

大的正检验数所属的基变量作为进基变量，再从当前解的基变量中选一个作为离基变量。

选择的方法是：在用非基变量表示基变量的表达式中，除了进基变量外，让其余非基变

量取值为零，再按 小比值原则确定离基变量，即随着进基变量的增加 先降为零的基

变量成为离基变量，这样就得到了一组新的基变量与非基变量，即从上一个基可行解迭

代到下一个基可行解（两个基可行解之间只有一对决策变量进行了基变量与非基变量的

交换）。将进基变量作为新的基变量，出基变量作为新的非基变量，确定新的基、新的

基可行解和新的目标函数值。在新的基变量、非基变量的基础上重复第二步、第三步，

直至结束。

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27

第二章 单 纯 形 法

第二节 单纯形法计算步骤及应用举例

一、单纯形法的结构

在前述讨论的基础上，为了便于单纯形法的计算、判断和检验，人们设计了一种迭

代表格，具有增广矩阵的简明性和易于检验的优点，称之为单纯形表。表 2-1 就是一个

单纯形表。

表 2-1 单纯形表

jc 1c … mc … jc … nc

BC BX b 1x mx … jx … nx

1c 1x 1b 1 … 0 … 1 ja … 1na

2c 2x 2b 0 … 0 … 2 ja … 2na

mc mx mb 0 … 1 … mja … mna

j jc Z− 1

m

i ii

c b=

−∑ 0 … 0 … 1

m

j i iji

c c a=

− ∑ … 1

m

n i ini

c c a=

− ∑

在表中第一行 jc 行中填入各变量的价值系数 1 2, , , nc c c ，称为价值系数行；第二行

称为标识行，标出表中主体各列的含义：标识行下对应第 1 列是 BC 列，标出基变量的价

值系数；第 2 列是 BX 列，标出当前基变量的名称；第 3 列是b 列，标出基变量对应的取

值，其余各列在变量 jx 下面标出所对应的工艺系数； 后一行是检验数行，除了1

m

i ii

c b=

−∑表示当前解的目标函数值的负值外，其余各元素均为对应决策变量 jx 的检验数

( 1,2, , )j j nσ = ，1

m

j j i iji

c c aσ=

= − ∑ ，对于基变量的检验数为零。

二、单纯形法的计算步骤

运用单纯形表来计算，主要分为以下五步。 1）找出初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单纯形表。

2）检验各非基变量 jx 的检验数1

m

j j i iji

c c aσ=

= − ∑ ，若 0 ( 1, , )j j m nσ = +＜ ，则已得

到 优解，可停止计算。否则转入下一步。 3）在 0 ( 1, , )j j m nσ = +＞ 中，若有某个 kσ 对应 kx 的系数列向量 0kP ≤ ，则此问题

无界，停止计算。否则，转入下一步。 4）根据max( 0)j kσ σ=＞ ，确定 kx 为换入变量，按θ 规则计算

28

运筹学基础

min 0i lik

ik lk

b ba

a aθ = =（ ＞ ）

可确定 lx 为换出变量。转入下一步。 5）以 l ka 为主元素进行迭代，把 kx 所对应的列向量

1

2

k

k

kl k

mk

aa

Pa

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

变换为

00

0

kPl l

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

′⇒ = ⎜ ⎟←⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

第 行

将 BX 列中的 lx 换为 kx ，得到新的单纯形表。 重复 2）～5），直到终止。

三、应用举例

【例 2-1】以例 1-1 的标准形式来说明上述计算步骤。 1 2 3 4 5

1 2 3

1 2 4

2 5

1 2 3 4 5

max 4 3 0 0 02 10

8. .

7, , , , 0

Z x x x x xx x xx x x

s tx x

x x x x x

= + + + +

+ + =⎧⎪ + + =⎪⎨ + =⎪⎪⎩ ≥

解：本例的系数矩阵

2 1 1 0 01 1 0 1 00 1 0 0 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

，以 ( )3 4 5P P P 为初始可行基，则 3x ， 4x ，

5x 为基变量， 1x ， 2x 为非基变量，令 1 20, 0x x= = ，得到一个基可行解为

( )0 0 0 10 8 7 TX = ，并以此列出初始单纯形表（见表 2-2）。 表中存在检验数大于零，故表 2-2 中的基可行解不是 优解。又 1 2σ σ> ，故确定 1x

为换入变量。将b 列数字除以 1x 列的同行数字得10 8 10min( , , ) 52 1 2

θ = − = = ，由此确定 3x 为

换出变量，2 为主元素。作为标志对主元素 2 加上方括号[ ]。

表 2-2 初始单纯形表

jc 4 3 0 0 0

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x

0 3x 10 [2] 1 1 0 0

0 4x 8 1 1 0 1 0

0 5x 7 0 1 0 0 1

j jc Z− 0 4 3 0 0 0

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29

第二章 单 纯 形 法

用 1x 替换变量中的 3x 后得到新的基变量是 1x ， 4 5x x和 ，列出新的单纯形表（见表2-3），

表中数字按照矩阵变换计算得到。

表 2-3 新的单纯形表

jc 4 3 0 0 0

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x

4 1x 5 1 1/2 1/2 0 0

0 4x 3 0 [1/2] -1/2 1 0

0 5x 7 0 1 0 0 1

j jc Z− -20 0 1 -2 0 0

表中还存在检验数 2 0σ > ，说明目标函数值还能进一步增大。重复上述计算步骤得

表 2-4。

表 2-4 重复计算后所得单纯形表

jc 4 3 0 0 0

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x

4 1x 2 1 0 1 -1 0

3 2x 6 0 1 -1 2 0

0 5x 1 0 0 1 -2 1

j jc Z− -26 0 0 -1 -2 0

上表中由于所有 0jσ ≤ ，表明已求得问题的 优解 1 2 3 42, 6, 0, 0x x x x= = = = ，

5 1x = ， 优值 26Z = 。这是唯一的 优解。

【例 2-2】 用单纯形法求解线性规划问题。 1 2

1 2

1 2

2

1 2

max 4 22 10

8. .

7, 0

Z x xx xx x

s tx

x x

= +

+⎧⎪ +⎪⎨⎪⎪⎩

≤

≤

≤

≥

解：首先在各约束条件上添加松弛变量，将上述问题化为标准形式。 1 2

1 2 3

1 2 4

2 5

1 2 3 4 5

max 4 22 10

8. .

7, , , , 0

Z x xx x xx x x

s tx x

x x x x x

= +

+ + =⎧⎪ + + =⎪⎨ + =⎪⎪⎩ ≥

用单纯形法求解时得到的 终单纯形表见表 2-5。

30

运筹学基础

表 2-5 最终单纯形表

jc 4 2 0 0 0

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x

0 3x 10 [2] 1 1 0 0

0 4x 8 1 1 0 1 0

0 5x 7 0 1 0 0 1

j jc Z− 0 4 2 0 0 0

4 1x 5 1 1/2 1/2 0 0

0 4x 3 0 1/2 -1/2 1 0

0 5x 7 0 1 0 0 1

j jc Z− -20 0 0 -2 0 0

由于表 2-5 中非基变量 2x 的检验数为 0，如果将 2x 换入基变量得到新的单纯形表，

即表 2-6。

表 2-6 新的单纯形表

jc 4 2 0 0 0

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x

4 1x 2 1 0 1 1 0

2 2x 6 0 1 -1 2 0

0 5x 1 0 0 1 -2 1

j jc Z− -20 0 0 -2 0 0

从表 2-5 和表 2-6 中分别得到两个 优解 ( ) ( )1 25 0 0 3 7 , 2 6 0 0 1T TX X= = 。

这两个点连线上的点的目标函数值相等，因而也是 优解，说明该问题有无穷多

优解。 【例 2-3】 用单纯形法求解线性规划问题。

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

max 7 4 24 2 5

2 5 3 11. .

3 15, , , 0

Z x x x xx x x xx x x x

s tx x xx x x x

= + − +

+ − +⎧⎪ − − +⎪⎨− + +⎪⎪⎩

≤

≤

≤

≥

解：首先在各约束条件上添加松弛变量，将上述问题化为标准形式：

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31

第二章 单 纯 形 法

知识拓展

我们规定目标函数值的极大化作为线性规划的标准形式，因此要求所有检验数

小于等于零作为判别单纯形表中解是否最优的标志。如果有些教材中规定目标函数

值的极小化作为线性规划的标准形式，这时只需要求所有检验数大于等于零作为判

别单纯形表中解是否最优的标志。

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5

1 2 3 4 6

1 2 3 7

1 2 3 4 5 6 7

max 7 4 2 0 0 04 2 5

2 5 3 11. .

3 15, , , , , , 0

Z x x x x x x xx x x x xx x x x x

s tx x x x

x x x x x x x

= + − + + + +

+ − + + =⎧⎪ − − + + =⎪⎨− + + + =⎪⎪⎩ ≥

用单纯形法求解时得到的 终单纯形表，见表 2-7。

表 2-7 最终单纯形表

jc 7 1 -4 2 0 0 0

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

0 5x 5 [1] 4 -2 1 1 0 0

0 6x 11 2 -1 -5 3 0 1 0

0 7x 15 -1 3 1 0 0 0 1

j jc Z− 0 7 1 -4 2 0 0 0

7 1x 5 1 4 -2 1 1 0 0

0 6x 1 0 -9 -1 1 -2 1 0

0 7x 20 0 7 -1 1 1 0 1

j jc Z− -35 0 -27 10 -5 -7 0 0

表中 3σ > 0 ，但 3x 列数字均小于零，即 3x 的取值可无限增大而不受限制。由此目标

函数值也可无限增大，说明问题的解无界。

第三节 单纯形法的进一步讨论

一、人工变量

前面讨论了线性规划问题的约束条件若为1

1,2, ,n

ij j ij

a x b i m=

∑ ≤ ( = )，化成标准形式

时在每个不等式左端添加一个松弛变量，由此在约束方程的系数矩阵中包含一个单位矩

阵。选这个单位矩阵作为初始可行基，使得求初始基可行解和建立初始单纯形表都十分

32

运筹学基础

方便。当线性规划的约束条件都是等式，而系数矩阵中又不包含有单位矩阵时，往往采

用添加人工变量的方法来人为构造一个单位基矩阵。当约束条件是“≥”的情况下，可

以先在不等式左端减去一个大于等于零的剩余变量（也称为松弛变量）化为等式，然后

添加一个人工变量。 如

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 4. . 4 2 3 9

2 2 3 8

x x xs t x x x

x x x

− + −⎧⎪ − +⎨⎪ + + =⎩

　 ≥

≤

标准化后成为 1 2 3 4

1 2 3 5

1 2 3

2 2 4. . 4 2 3 9

2 2 3 8

x x x xs t x x x x

x x x

− + − − =⎧⎪ − + + =⎨⎪ + + =⎩

　

　 　　　　　　

　

　 　

为了构造单位矩阵又转化成 1 2 3 4 6

1 2 3 5

1 2 3 7

2 2 4. . 4 2 3 9

2 2 3 8

x x x x xs t x x x x

x x x x

− + − − + =⎧⎪ − + + =⎨⎪ + + + =⎩

　 　

　　　 　

　　　　　　　　

　　　 　

　　 　　　

　　　

在这个过程中， 4x 是剩余变量， 5x 是松弛变量， 6 7x x和 是人工变量。

二、大M法

【例 2-4】用单纯形法求解线性规划问题 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

max2 2 4

4 2 3 9. .

2 2 3 8, , 0

Z x x xx x x

x x xs t

x x xx x x

= + +

− + −⎧⎪ − +⎪⎨ + + =⎪⎪⎩

　

　　

≥

≤

≥

解：在上面已经分析过，为了求解这样的线性规划问题，除了标准化外，还要添加

人工变量，得到系数矩阵

2 2 1 1 0 1 04 2 3 0 1 0 02 2 3 0 0 0 1

A− − −⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

。在 A中，列向量 6 5 7P P P、 、 正

好构成单位矩阵，从这个单位矩阵入手求解。对于任何添加人工变量的等式，要保证等

式成立，因此在 优解中人工变量取值必须为零。为此，令目标函数中人工变量的系数

为任意大的一个负数，用 “ M− ”代表，只要当人工变量的取值不为零，目标函数就不

可能极大化。对剩余变量，因实质上也是松弛变量，因此目标函数中的系数也为 0。这

样化成标准形式后例 2-4 的目标函数为

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33

第二章 单 纯 形 法

2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 6

1 2 3 5

1 2 3 7

max 0 02 2 44 2 3 9

. .2 2 3 8

0 1, ,7j

Z x x x x x Mx Mxx x x x xx x x x

s tx x x xx j

= + + + + − −

− + − − + =⎧⎪ − + + =⎪⎨ + + + =⎪⎪ =⎩

1

　 　

　　　 　

　　　　　　　　

≥

　　　 　　

　　 　　　　

　　　

　　　 　　　　

用大M 法求解，计算过程见表 2-8。

表 2-8 用大 M 法求解的计算过程

jc 1 1 1 0 0 M− M−

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

M− 6x 4 -2 [ 2 ] -1 -1 0 1 0

0 5x 9 4 -2 3 0 1 0 0

M− 7x 8 2 2 3 0 0 0 1

j jc Z− 12M 1 4 1M + 2 1M + M− 0 0 0

1 2x 2 -1 1 -1/2 -1/2 0 1/2 0

0 5x 13 2 0 2 -1 1 1 0

M− 7x 4 [ 4 ] 0 4 1 0 -1 1

j jc Z− 4 2M − 4 2M + 0 342

M +12

M + 0 122

M− − 0

1 2x 3 0 1 1/2 -1/4 0 1/4 1/4

0 5x 11 0 0 0 -3/2 1 3/2 -1/2

1 1x 1 1 0 1 1/4 0 -1/4 1/4

j jc Z− -4 0 0 -1/2 0 0 M− 12

M− −

求得 优解 ( )1 3 0 0 11 TX = 。

三、两阶段法

两阶段法的第一阶段是先求解一个目标函数中只包含人工变量的线性规划问题，即

令目标函数中其他变量的系数取零，人工变量的系数取某个正的常数（一般取 1），在保

持原问题约束条件的情况下求这个目标函数极小值时的解。显然在第一阶段中，当人工

变量取值为 0 时，目标函数值也为 0。这时候的 优解就是原线性规划问题的一个可行

解。如果第一阶段求解结果是 优解的目标函数值不为 0，即 优解的基变量中含有人

工变量，表明原线性规划问题无可行解。 当第一阶段求解结果表明问题有可行解时，第二阶段是从第一阶段的 终单纯形表

出发，去掉人工变量，并按问题原来的目标函数，继续寻找问题的 优解。 【例 2-5】 用两阶段法求解例 2-4 时，第一阶段的线性规划问题可表示为

34

运筹学基础

6 7

1 2 3 4 6

1 2 3 5

1 2 3 7

min2 2 44 2 3 9

. .2 2 3 8

0 1,2, ,7j

W x xx x x x xx x x x

s tx x x x

x j

= +

− + − − + =⎧⎪ − + + =⎪⎨ + + + =⎪⎪ =⎩

　 　

　　　 　

　　　　　　　　

≥

　　　 　

　　 　　　

　　　

　　　 　　　　

用单纯形法求解的过程见表 2-9。 表 2-9 用单纯形法求解的过程

jc 0 0 0 0 0 -1 -1

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

-1 6x 4 -2 [ 2 ] -1 -1 0 1 0

0 5x 9 4 -2 3 0 1 0 0

-1 7x 8 2 2 3 0 0 0 1

j jc Z− 12 0 4 2 -1 0 0 0

0 2x 2 -1 1 -1/2 -1/2 0 1/2 0

0 5x 13 2 0 2 -1 1 1 0

-1 7x 4 [ 4 ] 0 4 1 0 -1 1

j jc Z− 4 4 0 4 1 0 -2 0

0 2x 3 0 1 1/2 -1/4 0 1/4 1/4

0 5x 11 0 0 0 -3/2 1 3/2 -1/2

0 1x 1 1 0 1 1/4 0 -1/4 1/4

j jc Z− 0 0 0 0 0 0 -1 -1

第二阶段是将表 2-9 中的人工变量 6 7,x x 除去，线性规划问题写作

2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 3 5

1 2 3

max 0 02 2 44 2 3 9

. .2 2 3 8

0 1, ,5j

Z x x x x xx x x xx x x x

s tx x x

x j

= + + + +

− + − − =⎧⎪ − + + =⎪⎨ + + =⎪⎪ =⎩

1

　

　　　 　

　　　　　　　　　

≥

　　　

　　 　

　

　　　 　　

再从表 2-9 出发，继续用单纯形法计算，求解过程见表 2-10。 表 2-10 继续用单纯形法求解的过程

jc 1 1 1 0 0

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x

1 2x 3 0 1 1/2 -1/4 0

0 5x 11 0 0 0 -3/2 1

1 1x 1 1 0 1 1/4 0

j jc Z− -4 0 0 -3/2 0 0

求得 优解 ( )1 3 0 0 11 TX = 。

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35

第二章 单 纯 形 法

在单纯形法计算过程中，基变量有时存在两个或两个以上相同的最小比值，这

样在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，这称为退化。退化解的出现原因

是模型中存在多余的约束，使多个基可行解对应同一个顶点。当存在退化解时，就有

可能出现迭代计算的循环，尽管可能性极其微小。为了避免出现计算的循环，1974年勃兰特（Bland）提出了一个简便有效的规则：①当存在多个非基变量的检验数大于

零时，选取一个下标最小的非基变量作为换入变量；②当计算θ值出现两个以上相

同的最小比值时，始终选取下标最小的变量作为换出变量。

第四节 单纯形法的矩阵描述

单纯形法的计算步骤可以用向量矩阵的形式描述。 用矩阵形式描述线性规划的形式为

max

. .0

Z CXAX b

s tX

=

⎧⎨⎩

≤

≥

将原问题标准化后变为 max 0

. .0, 0

S

S

S

Z CX XAX IX b

s tX X

= +

+ =⎧⎨⎩ ≥ ≥

其中， ( )1 2, , , TS n n n mX x x x+ + += 为松弛变量， I 为m m× 阶单位矩阵。

设系数矩阵 A 可分块为 ( )B N 。不失一般性，假定 ( )2, , , mB P P P= ；

( )1 2, , ,m m nN P P P+ += 。对应于 B 的基变量 ( )1 2, , , TB mX x x x= ，对应于 N 的非基变量

( )1 2, , , TN m m nX x x x+ += ，则 B

N

XX

X⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

。

单纯形法计算时，总选取 I 为初始基，对应基变量为 SX 。设迭代若干步后，基变量

为 BX ， BX 在初始单纯形表中的系数矩阵为 B 。将 B 在初始单纯形表中单独列出，而 A

中去掉B 的若干列后剩下的列组成矩阵 N ，这样标准化后的初始单纯形表如表 2-11所示。

阅 读 资 料

36

运筹学基础

表 2-11 标准化后的初始单纯形表

非基变量 基变量 项目

BX NX SX

0 SX b B N I

j jc Z− BC NC 0

当迭代若干步，基变量为 BX 时，则该步的单纯形表中由 BX 系数组成的矩阵为 I 。又因单纯形法的迭代是对约束增广矩阵进行的行的初等变换，对应 SX 的系数矩阵在新表

中应为 1B− 。故当基变量为 BX 时，新的单纯形表如表 2-12 所示。

表 2-12 新的单纯形表

非基变量 非基变量 项目

BX NX SX

BC BX 1B b− I 1B N− 1B−

j jc Z− 0 1

N BC C B N−− 1BC B−−

从表 2-11 和表 2-12 中可看出：

（1）松弛变量 SX 的系数矩阵对应初始单纯形表中的单位矩阵 I ，迭代后在单纯形表

中为 1B− 。 （2）初始单纯形表中基变量 SX b= ，迭代后基变量 1

BX B b−= 。 （3）初始单纯形表中约束系数矩阵为 [ ] [ ]A I B N I= ，迭代后的表中约束系数

矩阵为 1 1 1 1 1 1 1B A B I B B B N B I I B N B− − − − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 。

（4）若初始矩阵中变量 jx 的系数向量为 jP ，迭代后为 jP′，则有 1j jP B P−′ = 。

（5）初始单纯形表中检验数为 [ ]0B NC C ，与价值系数行相同，迭代后的检验数

为 1 1 1 10 0B B N B B N B BC C I C C B N C B C C B N C B− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − = − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 。此时检验数若非

正，当前解则为 优解。

第五节 建模应用举例

如前所述，应用运筹学研究实际问题要经历分析和表述问题、建模、求解、对解的

检验、对解的控制和方案实施等五个步骤，而建模是运筹学方法的核心和精髓。 将经济管理领域的实际问题抽象为数学模型，是一项技巧性很强的创造性的工作，

它要求对研究对象的本质有深刻的理解，并能熟练地掌握有关线性规划模型的结构特点，

运用数学技巧。 下面通过一些例子来说明如何将一些实际问题归结为线性规划的数学模型。

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37

第二章 单 纯 形 法

一、生产计划问题

【例 2-6】星辰电器厂计划制造两种家电。已知各制造一件时分别占用设备 A、B 的

台时、调试时间、调试工序及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况

如表 2-13 所示。问该工厂应制造两种家电各多少件，使获取的利润为 大？

表 2-13 获利情况

项目 家电Ⅰ 家电Ⅱ 每天可用能力

设备 A/小时 2 3 23 设备 B/小时 6 2 24

调试工序/小时 1 1 8 利润/元 4 3

解：设生产家电Ⅰ 1x 件，家电Ⅱ 2x 件。

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

max 4 32 3 23

6 2 24. .

8, 0

Z x xx x

x xs t

x xx x

= +

⎧⎪ +⎪⎨ +⎪⎪⎩

　

　 　

　

≤

≤

≥

　 +　

　

≤

求解之后得到 1 22, 6, 26x x Z= = = 。表明家电Ⅰ生产 2 件，家电Ⅱ生产 6 件，获取

大利润为 26 元。

二、混合配料问题

【例 2-7】某企业生产混合配料 A 和 B，每 100 千克的成本分别为 110 元和 80 元。每

种混合配料含甲、乙、丙三种营养成分，但它们的含量各不相同。每 100 千克混合配料

中各种营养成分的含量如表 2-14 所示。现要获得各种营养成分的含量应为：营养成分甲

至少 20 千克，营养成分乙至少 18 千克，营养成分丙至少 36 千克，问满足这些要求的

低成本为多少？

表 2-14 每 100 千克混合配料中营养成分含量

含量 配料 成分

混合配料 A 混合配料 B

营养成分甲 10 2 营养成分乙 3 3 营养成分丙 4 9

解：设生产混合配料 A 和 B 分别为 1x ， 2x （×100 千克）。

38

运筹学基础

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

min 110 8010 2 20

3 3 18. .

4 9 36, 0

Z x xx xx x

s tx x

x x

= +

+⎧⎪ +⎪⎨ +⎪⎪⎩

≥

≥

≥

≥

求解之后得到 1 21, 5, 510x x Z= = = 。表明生产混合配料 A100 千克，配料 B500 千克，

少成本为 510 元。

三、人力资源问题

【例 2-8】某昼夜服务的公交线路每天各时段内所需司机和乘务人员数见表 2-15。设

司机和乘务人员分别在各时段一开始时上班，并连续工作 8 小时，问该公交线路至少配

备多少名司乘人员才能既满足工作需要，又使配备人员 少？

表 2-15 所需司机和乘务人员数

班次 时间 所需人数 1 6：00～10：00 60 2 10：00～14：00 70 3 14：00～18：00 60 4 18：00～22：00 50 5 22：00～2：00 20 6 2：00～6：00 30

解：设第 j 时段初上班的司乘人员为 jx 名，这些人员在第 1j + 时段结束后下班。由

于每班实际上班的人数中必包括前一时段初上班的人数，于是可建立如下线性规划模型 1 2 3 4 5 6

6 1

1 2

2 3

3 4

4 5

5 6

1 2 3 4 5 6

min607060

. . 502030

, , , , , 0

Z x x x x x xx xx xx x

s t x xx xx x

x x x x x x

= + + + + +

+⎧⎪ +⎪⎪ +⎪

+⎨⎪ +⎪

+⎪⎪⎩

≥

≥

≥

≥

≥

≥

≥

求解之后得到 1 2 3 4 5 650, 20, 50, 0, 20, 10, 150x x x x x x Z= = = = = = = ，表明该公交线路

至少要配备 150 名司乘人员才能满足需要。

四、下料问题

【例 2-9】某工厂要做 100 套钢架，每套用长为 2.9 米、2.1 米、1.5 米的圆钢各一根。

已知原料每根长为 7.4 米，问应如何下料，可使所用原料 省？

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39

第二章 单 纯 形 法

解： 简单的下料方法是，每根圆钢上截取 2.9 米、2.1 米和 1.5 米的长度各一根组

成一套，这样每根圆钢剩下料头 0.9 米。完成任务后，共消耗圆钢 100 根，余下的料头

共 90 米。若改成套裁，即可先设计出几个较好的下料方案。所谓较好，首先要求是每个

方案下料后的料头较短，其次要求所有的方案配合起来能满足完成任务的需要。为此，

可设计出如表 2-16 所示的五种方案供参考使用。

表 2-16 五种参考方案

方案 长度

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ

2.9 米 1 2 0 1 0 2.1 米 0 0 2 2 1 1.5 米 3 1 2 0 3 料头 0 0.1 0.2 0.3 0.8

为了得到 100 套钢架，需要混合使用各种下料方案。设分别按第 j 种方案下料的原

料根数为 jx 根，可列出线性规划模型为

2 3 4 5

1 2 4

3 4 5

1 2 3 5

1 2 3 4 5

min 0.1 0.2 0.3 0.82 100

2 2 100. .

3 2 3 100, , , , 0

Z x x x xx x x

x x xs t

x x x xx x x x x

= + + +

+ + =⎧⎪ + + =⎪⎨ + + + =⎪⎪⎩

≥

求解之后得到 1 2 3 4 530, 10, 0, 50, 0, 16x x x x x Z= = = = = = ，表明按第Ⅰ种方案下料

30 根，按第Ⅱ种方案下料 10 根，按第Ⅳ种方案下料 50 根，即只需 90 根圆钢，就可以制

造出 100 套钢架，剩余料头 16 米。

五、运输问题

【例 2-10】两个水厂 1 2A A、 将自来水供应三个小区 1 2 3B B B、 、 ，每天各水厂的供应量

与各小区的需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见表 2-17。应如何安排供水方案，

使总水费 少？

表 2-17 小区自来水供需量及供水单价

小区 水厂

1B 2B 3B 供应量/吨

1A 10 6 4 170

2A 7 5 6 200

需求量/吨 160 90 120

解：解决这一问题需要使用双下标变量。设水厂 iA 供给小区 jB 的自来水量为 ijx 吨，

由于各水厂的总供水量和各小区的总需求量相等，则线性规划模型为

40

运筹学基础

11 12 13 21 22 23

11 12 13

21 22 23

11 21

12 22

13 23

11 12 13 21 22 23

min 10 6 4 7 5 6170200160

. .90120

, , , , , 0

Z x x x x x xx x xx x xx x

s tx xx xx x x x x x

= + + + + +

+ + =⎧⎪ + + =⎪⎪ + =⎪⎨ + =⎪⎪ + =

⎩

≥⎪⎪

求解之后得到 11 12 13 21 22 230, 50, 120, 160, 40, 0x x x x x x= = = = = = ， 2100Z = ，表明 1A 水

厂供给 2B 小区 50 吨自来水，供给 3B 小区 120 吨， 2A 水厂供给 1B 小区 160 吨，供给 2B 小

区 40 吨，总水费 少为 2100 元。

六、投资问题

【例 2-11】现有资金总额 B，可供选择的投资项目有 n个，项目所需的投资额和预期

收益分别为 ja 和 ( 1,2, , )jc j n= 。此外，由于种种原因，有三个附加条件：第一，若选

择项目 1，就必须同时选择项目 2；反之，则不一定。第二，项目 3 和项目 4 中至少选择

一个。第三，项目 5、项目 6 和项目 7 中恰好选择两个。问应当怎样选择投资项目，才

能使总预期收益 大？ 解：解决这一问题时要考虑对于每个投资项目只有两种可能性，选择投资和选择不

投资，对应的变量取值只有两种数值，当选择某项目时，变量为 1，当不选择时，变量

为 0，则设定1,0,j

jx

j⎧

= ⎨⎩

选择投资 项目

不选择投资 项目

，该问题的线性规划模型为

1

1

1 2

3 4

5 6 7

max

. .1

20 1 1,2, ,

n

j jj

n

j jj

j

Z c x

a x B

x xs t

x xx x x

x j n

=

=

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎨ +⎪⎪ + + =⎪

= =⎪⎩

∑

∑ ≤

≤

≥

或 ( )

小 结

本章主要介绍单纯形法的基本原理以及计算步骤，对于目标函数为 大的标准型线

性规划问题，用单纯形法求解时， 优解的判别方法如下：①当所有非基变量的检验数

小于零时，有唯一 优解；②当所有非基变量的检验数小于等于零，至少有一个为零时，

有无穷多 优解；③当非基变量的检验数大于零，但是其所在行的元素为负时，存在无

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41

第二章 单 纯 形 法

界解；④当用人工变量建立的辅助标准形式中，人工变量不为零，则原问题无可行解。 用矩阵方法可以描述单纯形法，并求解简单的线性规划问题。给出一些应用问题，

能够建立线性规划的数学模型，并利用单纯形法进行求解。

案例分析

吉娃娃玩具厂生产计划的安排

案例背景

吉娃娃玩具厂生产三种玩具Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，每种玩具要经过 A、B 两道加工工序。设

该厂有两种规格的设备能完成 A工序，它们以 1A 、 2A 表示；有三种规格的设备能完成 B工序，它们以 1B 、 2B 、 3B 表示。玩具Ⅰ可在 A、B任何一种规格的设备上加工；玩具Ⅱ

可在任何规格的 A设备上加工，但完成 B工序时，只能在 1B 设备上加工；玩具Ⅲ只能在

2A 与 2B 设备上加工。假定玩具Ⅰ的销售量不超过 800 单位，已知三种玩具在各种设备上

加工时，单件玩具耗用的工时数、原材料费、产品销售价格、各种设备有效台时以及满

负荷操作时设备使用费如表 2-18 所示。要求安排最优的生产计划，使该玩具厂利润最大。

表 2-18 单件玩具消耗资源

玩具 设备

Ⅰ Ⅱ Ⅲ 设备有效台时 满负荷时的设备使用费/元

1A 5 10 — 6000 3000

2A 7 9 12 10000 3500

1B 6 8 — 4000 2500

2B 4 — 11 7000 4200

3B 7 — — 4000 2000 原材料（元/件） 2.5 3.5 5.0 单价（元/件） 12.5 20.0 28.0

案例解析

案例中三种玩具可以采用不同设备组合方式进行加工。玩具Ⅰ可以采用六种不同设

备组合方式进行加工： 1 1( , )A B ， 1 2( , )A B ， 1 3( , )A B ， 2 1( , )A B ， 2 2( , )A B ， 2 3( , )A B ，并以

1 2 3 4 5 6, , , , ,x x x x x x 分别表示玩具Ⅰ用这六种方式加工的数量。玩具Ⅱ可用以下两种设备组

合方式进行加工： 1 1( , )A B ， 2 1( , )A B ，并分别以 7 8,x x 表示玩具Ⅱ用这两种方式加工的数

量。玩具Ⅲ只能用 2 2( , )A B 这种设备组合方式进行加工，以 9x 表示加工的数量。 用各种设备组合生产的产品，其利润各不相同。比如，设备组合 1 1( , )A B 生产的玩具

Ⅰ，用设备 1A 每加工一件玩具Ⅰ的成本为5 3000 2.5

6000=× 元，用设备 1B 每加工一件玩

具Ⅰ的成本为6 2500 3.75

4000=× 元，而一件产品的原料费为 2.5 元，则用 1 1( , )A B 加工生

42

运筹学基础

产一件玩具Ⅰ的成本为 2.5+3.75+2.5=8.75 元，玩具Ⅰ的销售价格为 12.5 元，于是玩具Ⅰ

用该种方式生产获得的单位利润为 12.5-8.75=3.75（元）。

同理可计算出其他组合方式生产的单件玩具利润。

1 2( , )A B 方式生产的玩具Ⅰ：5 412.5 3000 4200 2.5 5.10

6000 7000− − − =× × （元）。

1 3( , )A B 方式生产的玩具Ⅰ：5 712.5 3000 2000 2.5 4.00

6000 4000− − − =× × （元）。

2 1( , )A B 方式生产的玩具Ⅰ：7 612.5 3500 2500 2.5 3.80

10000 4000− − − =× × （元）。

2 2( , )A B 方式生产的玩具Ⅰ：7 412.5 3500 4200 2.5 5.15

10000 7000− − − =× × （元）。

2 3( , )A B 方式生产的玩具Ⅰ：7 712.5 3500 2000 2.5 4.05

10000 4000− − − =× × （元）。

1 1( , )A B 方式生产的玩具Ⅱ：10 820.0 3000 2500 3.5 6.50

6000 4000− − − =× × （元）。

2 1( , )A B 方式生产的玩具Ⅱ：9 820.0 3500 2500 3.5 8.35

10000 4000− − − =× × （元）。

2 2( , )A B 方式生产的玩具Ⅲ：12 1128.0 3500 4200 5.0 12.20

10000 7000− − − =× × （元）。

设 Z 表示三种玩具的总利润，得到问题的线性规划模型为 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 7

4 5 6 8

max 3.75 5.10 4.00 3.80 5.15 4.05 6.50 8.35 12.205 5 5 10 6000

7 7 7 9

. .

Z x x x x x x x x xx x x x

x x x x

s t

= + + + + + + + +

+ + ++ + + +

≤

9

1 4 7 8

2 5 9

3

12 100006 6 8 8 4000

4 4 11 70007

xx x x x

x x xx

+ + ++ +

≤

≤

≤

6

1 2 3 4 5 6

7 4000800

0( 1,2, ,9)j

xx x x x x x

x j

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪ +

+ + + + +=⎩

≤

=

≥

⎪⎪⎪

用单纯形法计算的结果为 1 2 3 4 5 6 7 80, 228.57, 571.43, 0, 0, 0, 126.55, 373.45,x x x x x x x x= = = = = = = = 9 553.25,x =

14141.92Z =

本章自测题

一、填空题

1．在表 2-19 中填空并回答问题。

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43

第二章 单 纯 形 法

表 2-19 单纯形表

jc （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x

4 （ ） 20 1 1/2 0 2 -1

6 （ ） 30 0 1/2 1 -1 1

j jc Z− -260 0 -3 0 -2 -2

（1）基变量： （2）基 B = （3）目标函数值= （4）此时问题的解= （5） X 是否为 优解？为什么？ 2．已知某极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始基变量为 3x , 4x 和 5x ，求得

的 终单纯形表如表 2-20 所示，则 优表所对应的基 ( )1 5 2B P P P= 的逆矩阵

为 ， 优解为 ， 优值为 。

表 2-20 最终单纯形表

jc 2 3 0 0 0

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x

2 0 3

1x

5x

2x

4 4 2

1 0 0

0 0 1

0 -2

1/2

1/4 1/2 -1/8

0 1 0

j jc Z− 0 0 -3/2 -1/8 0

二、单项选择题

1 ．某 线 性 规 划 问 题 的 约 束 条 件 为1 2

1 2

4 1. .

3 14x x

s tx x−⎧

⎨ +⎩

≥

≤， 将 其 标 准 化 后 为

1 2 3 5

1 2 4

4 1. .

3 14x x x x

s tx x x

− − + =⎧⎨ + + =⎩

，则 1x , 2x 是（ ）， 3x 是（ ）， 4x 是（ ）， 5x 是（ ）。

A．人工变量 B．决策变量 C．松弛变量 D．剩余变量

2．对线性规划问题标准形式

max

. .0

Z CXAX b

s tX

=

=⎧⎨⎩ ≥

，利用单纯形法求解时，每作一次换基迭

代，都能保证其相应的目标函数值 Z 必定（ ）。 A．增大 B．不减少 C．减少 D．不增大

3．若线性规划问题 优解不唯一，则在 优单纯形表上（ ）。 A．非基变量的检验数必有为零 B．非基变量的检验数不必有为零

44

运筹学基础

C．基变量的检验数必有为零 D．基变量的检验数不必有为零 4．用大 M 法求解线性规划模型时，若在 终单纯形表上基变量中仍含有非零的人

工变量时，则原模型（ ）。 A．有可行解，但无 优解 B．有 优解 C．无可行解 D．解不确定

5．求解线性规划问题时，引入人工变量是为了（ ）。 A．使该模型存在可行解 B．确定一个初始的基可行解 C．使该模型标准化 D．使约束条件成为等式

6．大M 法和两阶段法是用来处理人工变量的，当用两阶段法求解线性规划问题时，

第一阶段建立的辅助线性规划标准形式的目标函数为（ ）。 A．人工变量之和 B．松弛变量、剩余变量和人工变量之和 C．人工变量之和的相反数 D．松弛变量与剩余变量之和

三、判断题（判断对错并改正）

1．图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，二者是一致的。 2．用大 M 法处理人工变量时，若 终表上基变量中仍含有人工变量，则原问题无

可行解。 3．单纯形表计算中，如不按 小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一

个基变量为负值。 4．用单纯形法求解线性规划问题时，若 终表上非基变量的检验数均非正，则该模

型一定有唯一 优解。 5．单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解。

6．线性规划问题可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函

数值，则该顶点处的目标函数值达到 优。

四、将下列线性规划问题转换成标准形式，并列出初始单纯形表

1． 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 2 22 4 15

2 3 9. .

3 220, , 0

Z x x xx x xx x x

s tx x x

x x x

= + −

+⎧⎪ − +⎪⎨ − + +⎪⎪⎩

　 　

　 　

　

　 　 　 　

＝ 　 　

≥ 　 　

无约束 ≥ 　

- ≤

≤

2． 1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

max 3 43 2 35

4 2 20. .

2 2 500, 0, 0, 0

Z x x x xx x x xx x x x

s tx x x

x x x x

= − + +

+ − +⎧⎪ − + −⎪⎨ + +⎪⎪⎩

≤

≤

≥

≤ ≥ ≥ ≥

五、应用题

1．已知某线性规划问题的初始单纯形表和用单纯形法迭代后得到的单纯形表如

表 2-21 所示，在表格空白处填上正确的数字。

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45

第二章 单 纯 形 法

表 2-21 迭代后所得单纯形表

jc 0 0

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x

4x 6 1 0

5x 1 -1 3 0 1

j jc Z− -1 2 0 0

1x 2 -1 1/2 0

5x 4 1 1/2 1

j jc Z− 0 -7 0

2．表 2-22 给出某线性规划问题计算过程中的一个单纯形表，目标函数为max Z =

4 5 628 2x x x+ + ，约束条件为“≤”形式。其中 1x , 2x , 3x 为松弛变量，表中解的目标函数

值为 14Z = 。

表 2-22 单纯形表

BX b 1x 2x 3x 4x 5x 6x

6x （a） 3 0 -14/3 0 1 1

2x 5 6 （d） 2 0 5/2 0

4x 0 0 （e） （f） 1 0 0

j jc Z− （b） （c） 0 0 -1 （g）

（1）求 a～g 的值。 （2）表中给出的解是否为 优解? 3．用单纯形法求解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类。 （1） 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

max 3 52 7

4 14. .

3 2 22, 0

Z x xx xx x

s tx xx x

= +

⎧⎪ +⎪⎨ +⎪⎪⎩

　

　

≤

≤

≥

+　

　 　

≤

（2） 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

max 3 43 2 35

4 2 20. .

2 2 50, , 0

Z x x xx x xx x x

s tx x x

x x x

= − +

+ −⎧⎪ − +⎪⎨ + +⎪⎪⎩

≤

≤

≤

≥

（3） 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

max 6 42 2 222 25

. .4 4 19

, , 0

Z x x xx x xx x x

s tx x x

x x x

= + +

− + +⎧⎪ + +⎪⎨ − +⎪⎪⎩

≤

≤

≤

≥

（4） 1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

max 6 2 10 85 6 4 4 203 3 2 8 25

. .4 2 3 10

, , , 0

Z x x x xx x x xx x x x

s tx x x x

x x x x

= + + +

+ − −⎧⎪ − + +⎪⎨ − + +⎪⎪⎩

≤

≤

≤

≥

4．一家工厂制造三种产品 A、B、C 需要三种资源：技术服务、劳动力和行政管理。

表 2-23 中列出了三种单位产品对每种资源的需要量。今有 100 小时的技术服务、600 小

时的劳动力和 300 小时的行政管理时间可供使用。试确定能使总利润 大的产品生产量。

46

运筹学基础

表 2-23 产品的资源需求量

资源/小时 产品

技术服务 劳动力 行政管理 单位利润/元

A 1 10 2 10 B 1 4 2 6 C 1 5 6 4

5．某服务部门各时段（每 2 小时为一时段）需要的服务员人数见表 2-24。按规定，

服务员连续工作 8 小时（即四个时段）为一班。现要求安排服务员的工作时间，使服务

部门服务员人数 少。写出这个问题的线性规划模型，不用求解。

表 2-24 某服务部门各时段需要服务员人数

时段 1 2 3 4 5 6 7 8 服务员 少人数 6 9 12 14 13 8 5 3

6．某公司钢材、铝材、铜材分别有 1200 吨、800 吨和 700 吨，拟调往物资目的地

甲、乙、丙。已知甲、乙、丙对上述物资的总需求分别为 900 吨、800 吨和 1000 吨。各

种物资在各地销售每吨的获利情况如表 2-25 所示。问公司应如何安排调运计划，才能使

获利 大？

表 2-25 各种物资销售的获利情况 单位：元/吨

物资 地区

钢材 铝材 铜材

甲 260 300 400 乙 210 250 550 丙 180 400 350

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第 三 章

对 偶 理 论

学习目标

本章学习要求理解对偶问题的经济含义，掌握对偶问题的写法，能够根据对偶

问题的性质求另一个问题的最优解，从多方面理解影子价格的含义，并能熟练掌握

对偶单纯形算法。

学习要点

● 理解对偶问题的经济含义，掌握对偶问题的写法。 ● 掌握对偶问题的性质。 ● 理解影子价格的含义。 ● 掌握对偶单纯形法。

关键词

对偶问题 对偶问题的性质 对偶单纯形法 影子价格

利润最大化与费用最小化

在前面的章节中，我们所讨论的生产计划问题是确定产量求利润，即通过求解各种

产品的产量以实现企业最大利润的线性规划问题。现在从另一个角度去考虑。现代企业

面临很多体制改革和资产重组问题。假设企业的决策者想要停止生产某些产品，而将设

备租赁出去，那么该企业如何确定单位设备的租赁费用，能够使获得的租金收入不低于

自身生产所获得的利润呢？从租赁设备的企业角度考虑，应该如何决策能够使所花费的

总租赁费用最小呢？因此，在线性规划中应该考虑这类利润最大与费用最小模型之间的

对应关系。

导入案例

48

运筹学基础

第一节 线性规划的对偶问题

一、对偶问题的提出

在线性规划问题中，无论从理论方面，还是从实际应用方面，都存在一个重要而又

有趣的问题，就是对于每一个求目标函数 大值的线性规划问题都有一个求目标函数

小值的线性规划问题与之相伴随，反之亦然。两者从不同角度分别反映着同一个实际问

题，称其中一个为“原始问题”，称另一个为它的“对偶问题”，也可称它们是一对互为

对偶的线性规划问题，两者之间有着非常密切的关系及相关性质，甚至可以通过求解其

中一个问题来获得另一问题有关 优解的全部信息。研究对偶问题不仅可以更深入地领

会线性规划问题，而且在经济上也具有重要意义。 为说明对偶问题的由来及其经济含义，我们先来分析下面的例子。 【例 3-1】某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需要

的设备台时和 A、B 两种原材料的消耗、单位产品的利润及资源限量如表 3-1 所示，问应

如何安排生产计划才能使该工厂获得的利润 大？

表 3-1 生产单位产品所耗资源

产 品 资 源

甲 乙 资源限量

设备/台时 2 1 10 原材料 A/千克 1 1 8 原材料 B/千克 0 1 7

利润/元 4 3

设甲产品生产 1x 个，乙产品生产 2x 个，则该线性规划问题的数学模型为

1 2

1 2

1 21

2

1 2

max 4 32 10

8(LP ) . .

7, 0

Z x xx xx x

s tx

x x

= +

+⎧⎪ +⎪⎨⎪⎪⎩

≤

≤

≤

≥

　

其 优单纯形表如表 3-2 所示。

表 3-2 最优单纯形表

jc 4 3 0 0 0

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x

4 1x 2 1 0 1 -1 0

3 2x 6 0 1 -1 2 0

0 5x 1 0 0 1 -2 1

j jc Z− -26 0 0 -1 -2 0

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49

第三章 对 偶 理 论

现在从另一个角度来考虑这个问题。如果该企业的决策者因某种原因打算放弃生产

甲、乙两种产品，而将三种资源出售。此时决策者应考虑如何确定各种资源的销售价格

方可满足以下要求：①出售资源并不比自己组织生产获利少；②为提高竞争力，各种资

源的售价应在满足①的条件下尽量压低总收益。为此设 1 2 3, ,y y y 分别为出租单位设备台

时的租金和出让单位原材料 A、B 的附加额（相当于利润部分）。 由于生产一单位甲产品需消耗设备台时 2 小时，原材料 A 1kg，原材料 B 0kg，可创

造利润 4 元。为满足条件①，出售同样数额的资源，企业获得的销售收益应不少于 4 元，

即应满足 1 22 4y y+ ≥

同理，生产一件乙产品需消耗设备台时 1 小时，原材料 A 1 kg，原材料 B 1kg，可创

造利润 3 元。为满足条件①，出售同样数额的资源，企业获得的销售收益应不少于 3 元，

即应满足 1 2 3 3y y y+ + ≥

以上两个不等式保证了出售资源所获得的收益不低于自己组织生产所能创造的收

益。另一方面，销售利润也不能太高，否则因市场调节作用会使资源卖不出去。为此，

在满足上述两个约束条件的前提下销售利润应尽量压低，即全部资源售出后获得的总收

益 1 2 310 8 7W y y y= + + 应尽量少。故有

1 2 3min 10 8 7W y y y= + +

这样，从出售资源的角度考虑，该问题的数学模型为 1 2 3

1 2

1 2 3

1 2 3

min 10 8 72 4

(LP2) . . 3, , 0

W y y yy y

s t y y yy y y

= + +

+⎧⎪ + +⎨⎪⎩

≥

≥

≥

　

上述模型（LP2）就是模型（LP1）的对偶问题，或称模型（LP1）与模型（LP2）是一对互为对偶的线性规划问题。

以上分析表明：目标函数 大化的原始问题可以解决有限资源的合理利用问题；而

目标函数 小化的对偶问题则可以用来解决资源价格的恰当估计问题。显然，当

min maxW Z= 时出售资源与自己组织生产有相同的经济效益。

二、对偶问题的写法

1．对称形式下对偶问题的写法

满足下列条件的线性规划问题称为对称形式：①其变量均具有非负约束；②其约束

条件当目标函数求极大值时均取“≤”，或当目标函数求极小值时均取“≥”。 则根据上例，对称形式下线性规划原问题的一般形式为

50

运筹学基础

( )

1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

max

. .

0 1,2 ,

n n

n n

n n

m m mn n m

j

Z c x c x c x

a x a x a x ba x a x a x b

s ta x a x a x bx j n

= + + +

⎧ + + +⎪

+ + +⎪⎪⎨⎪ + + +⎪⎪ =⎩

≤

≤

≤

≥

用 ( )1,2, ,iy i m= 代表第 i 种资源的估价，则其对偶问题的一般形式为

( )

1 1 2 2

11 1 21 2 1 1

12 1 22 2 2 2

1 1 2 2

min

. .

0 1,2, ,

m m

m m

m m

n n mn m n

i

W b y b y b y

a y a y a y ca y a y a y c

s ta y a y a y cy i m

= + + +

⎧ + + +⎪

+ + +⎪⎪⎨⎪ + + +⎪⎪ =⎩

≥

≥

≥

≥

用矩阵形式表示，对称形式的线性规划问题的原问题为 max

. .0

Z CXAX b

s tX

=

⎧⎨⎩

≤

≥

其对偶问题为 min

. .0

W YbYA C

s tY

=

⎧⎨⎩

≥

≥

其中 ( )1 2, , , mY y y y= ， 1 2, , , my y y 称为对偶变量，其余符号相同。以上两个问题

称为对称形式的对偶线性规划，互为对偶关系，因为对偶问题的对偶即为原问题（第二

节对偶性质），所以可根据其中一个问题写出另一个问题。 从以上不难看出对偶问题与原问题从模型结构上有以下几方面的对应关系。 1）若原问题是求目标函数极大值的问题，约束条件都是“≤”型不等式，变量均非

负，则其对偶问题就是一个求目标函数极小值的问题，且变量均非负，约束条件都是“≥”

型不等式。 2）对偶变量 iy 的价值系数，恰是其原问题第 i 个约束条件的右端常数；对偶问题第

j 个约束条件的右端常数，恰是其原问题 jx 的价值系数。

3）对偶问题第 j 个约束条件中各变量的系数，是其原问题第 j 个变量在各约束条件

中的系数。 上例中，把原问题和对偶问题写成矩阵形式为

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51

第三章 对 偶 理 论

( ) 1

2

1

2

1 2

max 4 3

2 1 101 1 8

. .0 1 7, 0

xZ

x

xxs t

x x

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪⎩

≤

≥

( )

( ) ( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

10min 8

7

2 11 1 4 3

. .0 1

, , 0

W y y y

y y ys t

y y y

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎧ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪⎩

≥

≥

2．非对称形式下对偶问题的写法

非对称形式的对偶关系是指原问题的约束条件为等式的线性规划。 设等式约束条件的线性规划问题为

( )

( )

1

1

max

1,2, ,. .

0 1,2, ,

n

j jj

n

ij j ij

j

Z c x

a x b i ms t

x j n

=

=

=

⎧= =⎪

⎨⎪ =⎩

∑

∑≥

第一步，先将等式约束条件分解为两个不等式约束条件。这时上述线性规划问题表

示为

( )

( )

( )

1

1

1

max

1,2, ,

. . 1,2, ,

0 1,2, ,

n

j jj

n

ij j i ij

n

ij j i ij

j

Z c x

a x b i m y

s t a x b i m y

x j n

=

=

=

=

⎧ ′=⎪⎪⎪⎪ ′′− − =⎨⎪⎪ =⎪⎪⎩

∑

∑

∑

≤

≤

≥

对偶变量

第二步，按对称形式变换关系可写出它的对偶问题

( )( ) ( )

( )

1 1

1 1

min

1,2, ,. .

, 0 1,2, ,

m m

i i i ii i

m m

ij i ij i ji i

i i

W b y b y

a y a y c j ns t

y y i m

= =

= =

′ ′′= + −

⎧ ′ ′′+ − =⎪⎨⎪ ′ ′′ =⎩

∑ ∑

∑ ∑ ≥

≥

将上述规划问题的各式整理后得

52

运筹学基础

( )

( )

1

1

min ( )

( ) 1,2, ,. .

, 0 1,2, ,

m

i i ii

m

ij i i ji

i i

W b y y

a y y c j ns t

y y i m

=

=

′ ′′= −

⎧ ′ ′′− =⎪⎨⎪ ′ ′′ =⎩

∑

∑ ≥

≥

令 , 0, 0i i i i iy y y y y′ ′′ ′ ′′= − ≥ ≥ 。由此可见， iy 符号不受正负限制，为自由变量。将 iy

代入上述规划问题，便得到对偶问题为

( )

( )

1

1

min

1,2, ,. .

1,2, ,

m

i ii

m

ij i ji

i

W b y

a y c j ns t

y i m

=

=

=

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

∑

∑ ≥

为自由变量

综上所述，线性规划的原问题与对偶问题的关系，其变换形式归纳如表 3-3 所示。

表 3-3 对偶问题的变换形式

原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）

目标函数 max Z 目标函数 minW

变量00

n⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

个

≥

≤

无约束

n ⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

个

≥约束条件

≤

＝

约束条件

m⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

个

≤

≥

＝

00

m ⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

个

≥变量

≤

无约束

约束条件右端项 目标函数变量的系数

目标函数变量的系数 约束条件右端项

【例 3-2】试写出下述线性规划问题的对偶问题。 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 3

1 2 3

max 3 22 4 3 1 (1)3 2 8 (2)

. .2 6 (3)

0, 0

Z x x xx x xx x x

s tx x

x x x

= + +

− + +⎧⎪ − +⎪⎨ + =⎪⎪⎩

≤

≥

≥ ≤ ， 无正负约束

解：设对偶变量 1y ， 2y ， 3y 分别对应约束条件（1）、（2）、（3），则按表 3-3 的规则

直接写出其对偶问题为

（1） （2） （3）

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53

第三章 对 偶 理 论

知识拓展

不论是对称形式的对偶问题，还是非对称形式的对偶问题，都告诉我们这样一

个事实：对偶变量的编号顺序，就是原问题约束条件的排列顺序。因此，对偶变量

的个数等于原问题的约束条件的个数。同样，对偶问题约束条件的排列顺序，对应

原问题变量的编号顺序。所以，对偶问题约束条件的个数也就等于原问题变量的个

数。掌握这个规律，有助于我们根据原问题轻松写出其对偶问题。

1 2 3

1 2 3

1 2

1 2 3

1 2 3

min 8 62 3 1

4 3. .

3 2 2 20 0

W y y yy y y

y ys t

y y yy y y

= + +

− + +⎧⎪ −⎪⎨ + + =⎪⎪⎩

≥

≤

≥ ≤， ， 无正负约束

【例 3-3】试写出下述线性规划问题的对偶问题。

( )( )( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 7 5 3

4 2 3 10 1

2 6 4 15 2. .

8 2 20 30

Z x x x

x x x

x x xs t

x x xx x x

= − +

⎧ + +⎪

− −⎪⎨

+ + =⎪⎪⎩

≤

≥

≥ ≤， ， 0

解：设对偶变量 1 3y y y， ， 分别对应约束条件（1）、（2）、（3），则按表 3-3 的规则直

接写出其对偶问题为 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

max 10 15 204 2 72 6 8 5

. .3 4 2 3

0 0

W y y yy y yy y y

s ty y y

y y y

= + +

+ +⎧⎪ − + −⎪⎨ − +⎪⎪⎩

≤

≤

≥

≤ ≥， ， 无正负约束

第二节 对偶问题的基本性质

一、对称性

对偶问题的对偶是原问题。 证：设原问题是

（1） （2） （3）

54

运筹学基础

max

. .0

Z CXAX b

s tX

=

⎧⎨⎩

≤

≥

根据对偶问题的对称变换关系，可以找到它的对偶问题是 min

. .0

W YbYA C

s tY

=

⎧⎨⎩

≥

≥

将上式两边取负号，又因min max( )W W= − − ，可得到 max( )

. .0

W YbYA C

s tY

− = −

− −⎧⎨⎩

≤

≥

根据对称变换关系，得到上式的对偶问题是 min( )

. .0

W CXAX b

s tX

′− = −

− −⎧⎨⎩

≥

≥

又因min( ) max( )W W′ ′− = − ，整理得到 max

. .0

W CXAX b

s tX

′ =

⎧⎨⎩

≤

≥

即原问题为 max

. .0

Z CXAX b

s tX

=

⎧⎨⎩

≤

≥

二、弱对偶性

设 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解，则恒有CX Yb≤ 。 证：设原问题是

max

. .0

Z CXAX b

s tX

=

⎧⎨⎩

≤

≥

对偶问题是 min

. .0

W YbYA C

s tY

=

⎧⎨⎩

≥

≥

因 X 是原问题的可行解，所以满足原问题的所有约束条件，即

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55

第三章 对 偶 理 论

. .0

AX bs t

X⎧⎪⎨⎪⎩

≤

≥

因Y 是对偶问题的可行解，所以满足对偶问题的所有约束条件，即

. .0

YA Cs t

Y⎧⎪⎨⎪⎩

≥

≥

用Y 左乘式 AX b≤ ，因 0Y ≥ ，所以得到YAX Yb≤ ； 用 X 右乘式YA C≥ ，因 0X ≥ ，所以得到YAX CX≥ 。 于是得到CX YAX Yb≤ ≤ ，即CX Yb≤ 。 由弱对偶性，可得出以下推论： 1）原问题（极大化问题）任一可行解对应的目标函数值，均可作为其对偶问题（极

小化问题）目标函数值的下界；反之，对偶问题（极小化问题）任一可行解对应的目标

函数值，均可作为其原问题（极大化问题）目标函数值的上界。 2）如果原问题（极大化问题）有可行解且目标函数值无界，则其对偶问题（极小化

问题）无可行解；反之，如果对偶问题（极小化问题）有可行解且目标函数值无界，则

其原问题（极大化问题）无可行解。 注意：本点性质的逆不成立。当原问题（对偶问题）无可行解时，其对偶问题（原

问题）或具有无界解或无可行解。 例如，下述一对互为对偶的问题皆无可行解。

1 2

1 2

1 2

1 2

max1

. . 1, 0

Z x xx x

s t x xx x

= +

− −⎧⎪− + −⎨⎪⎩

≤

≤

≥

1 2

1 2

1 2

1 2

min1

. . 1, 0

W y yy y

s t y yy y

= − −

−⎧⎪− +⎨⎪⎩

≥

≥

≥

3）若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界；反之，对

偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对偶问题的目标函数值无界。 【例 3-4】已知线性规划问题

1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

max2

. . 2 1, , 0

Z x xx x x

s t x x xx x x

= +

− +⎧⎪ − −⎨⎪⎩

≤

≤

≥

试用对偶理论证明上述线性规划问题具有无界解。 证：首先找到原问题的一个可行解 (0,0,0)TX = ，而上述问题的对偶问题为

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

min 21

2 1. .

0, 0

W y yy yy y

s ty y

y y

= −

+⎧⎪− −⎪⎨ −⎪⎪⎩

≥

≥

≥

≥

56

运筹学基础

在对偶问题中，约束条件 1 22 1y y− − ≥ 与非负条件相矛盾，故对偶问题无可行解。

根据弱对偶性的推论 3）即可证明原问题具有无界解。

三、最优性

若 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解，且有 ˆ ˆCX Yb= ，则 X 是原问题的

优解， Y 是对偶问题的 优解。 证：根据弱对偶性的推论可知，对偶问题的一切可行解Y 必都满足 ˆCX Yb≤ ，又因

为 ˆ ˆCX Yb= ，所以 Yb Yb≤ 。这表明 Y 是使对偶问题目标函数达到 小值的可行解，因此

Y 是对偶问题的 优解。 同理可证明：对于原问题的一切可行解 X 必都满足 ˆCX Yb≤ ，又因为 ˆ ˆCX Yb= ，所

以 ˆCX CX≤ 。这表明 X 是使原问题目标函数达到 大值的可行解，因此 X 是原问题的

优解。

四、强对偶性（或称对偶定理）

若原问题和其对偶问题都有可行解，则两者都有 优解，且 优解对应的目标函数

值相等。 证：第一部分——两者都有 优解。 由于两者均有可行解，根据弱对偶性的推论 2），原问题的目标函数值具有上界，对

偶问题的目标函数值具有下界，因此两者均具有 优解。 第二部分——证明在达到 优时，两者 优解对应的目标函数值相等。 假设原问题为

max

. .0

Z CXAX b

s tX

=

⎧⎨⎩

≤

≥

，

则对偶问题为 min

. .0

W YbYA C

s tY

=

⎧⎨⎩

≥

≥

若原问题得到 优解 1ˆBX B b−= ，则所有变量对应的检验数

1

1

1

0

0

0 0

N

B

S

X N B

X B B

X B

C C B N

C C B B

C B I

σ

σ

σ

−

−

−

⎧ = −⎪⎪ = − =⎨⎪

= −⎪⎩

≤

≤

即 1

1

0

0B

B

C C B A

C B

−

−

⎧ −⎪⎨−⎪⎩

≤

≤

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57

第三章 对 偶 理 论

令 1ˆBY C B−= ，则

0YA CY⎧⎨⎩

≥

≥。

这时 1ˆBY C B−= 是对偶问题的可行解，对应的目标函数值为 1ˆ

BW Yb C B b−= = ，而原问

题的 优解 1ˆBX B b−= 对应的目标函数值为 1ˆ ˆ

B B BZ CX C X C B b−= = = ，由此得到

1ˆ ˆBCX Yb C B b−= = ，根据 优性， 1ˆ

BY C B−= 是对偶问题的 优解。

五、互补松弛性

若 X ，Y 分别是原问题和对偶问题的可行解，则 X ，Y 分别是原问题和对偶问题

优解的充要条件是 ˆ ˆ0, 0s sYX Y X= = ，其中， ,s sX Y 分别是原问题和对偶问题的松弛变量。

证：设对称形式的原问题和对偶问题分别为 原问题 对偶问题

max

. .0

Z CXAX b

s tX

=

⎧⎨⎩

≤

≥

min

. .0

W YbYA C

s tY

=

⎧⎨⎩

≥

≥

因为 X 、 Y 分别是原问题和对偶问题的可行解，所以满足各自的约束条件 ˆmax

ˆ. .

ˆ 0

Z CX

AX bs t

X

=

⎧⎪⎨⎪⎩

≤

≥

ˆminˆ

. .ˆ 0

W Yb

YA Cs t

Y

=

⎧⎪⎨⎪⎩

≥

≥

化为标准形式为 ˆmax

ˆ. .

ˆ , 0s

s

Z CX

AX X bs t

X X

=

⎧ + =⎪⎨⎪⎩ ≥

ˆminˆ

. .ˆ, 0

s

s

W Yb

YA Y Cs t

Y Y

=

⎧ − =⎪⎨⎪⎩ ≥

将原问题目标函数中的系数行向量，用 ˆsC YA Y= − 代替后，得到

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )s sZ CX YA Y X YAX Y X= = − = − （3-1）

将原问题目标函数中的系数列向量，用 ˆsb AX X= + 代替后，得到

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )s sW Yb Y AX X YAX YX= = + = − （3-2）

式（3-1）减去式（3-2）得到 ˆ ˆ ˆ ˆ

s sCX Yb YX Y X− = − （3-3）

必要性：已知 X ， Y 分别是原问题和对偶问题的 优解，证明 ˆ ˆ0, 0s sYX Y X= = 。

根据强对偶性，若 X ， Y 分别是原问题和对偶问题的 优解，有 ˆ ˆCX Yb= 。根据式

（3-3），则 ˆ ˆ 0s sYX Y X− = ，由于 ˆ , 0sX X ≥ ， ˆ, 0sY Y ≥ ，所以 ˆ 0sYX = ， ˆ 0sY X = 。

充分性：已知 X ，Y 分别是原问题和对偶问题的可行解， ˆ ˆ0, 0s sYX Y X= = ，证明 X ，

Y 分别是原问题和对偶问题的 优解。

58

运筹学基础

由于 ˆ ˆ0 0s sYX Y X= =， ，式（3-3）中 ˆ ˆ 0CX Yb− = ，即 ˆ ˆCX Yb= ，根据 优性，则 X ，

Y 分别是原问题和对偶问题的 优解。 【例 3-5】已知线性规划问题

1 2

1 2

1 2

2

1 2

max 4 32 10

8. .

7, 0

Z x xx xx x

s tx

x x

= +

+⎧⎪ +⎪⎨⎪⎪⎩

≤

≤

≤

≥

的 优解 (2,6)TX ∗ = ，试根据互补松弛性求出对偶问题的 优解。

解：对偶问题为 1 2 3

1 2

1 2 3

1 2 3

min 10 8 72 4

. . 3, , 0

W y y yy y

s t y y yy y y

= + +

+⎧⎪ + +⎨⎪⎩

≥

≥

≥

根据互补松弛性 ˆ 0sY X = ，有4 1

5 2

0

0

y x

y x

∗

∗

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

因为 1 2x ∗ = ， 2 6x ∗ = ，所以 4 0y = ， 5 0y = 。

则对偶问题的两个约束条件均为等式

1 2

1 2 3

1 2 3

2 43

, , 0

y yy y y

y y y

+ =⎧⎪ + + =⎨⎪⎩ ≥

因此对偶问题的 优解满足所有约束，即

1 2

1 2 3

1 2 3

2 4

3

, , 0

y y

y y y

y y y

∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

⎧ + =⎪

+ + =⎨⎪⎩ ≥

根据互补松弛性 ˆ 0sYX = ，有

1 3

2 4

3 5

0

0

0

y x

y x

y x

∗

∗

∗

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

，将 1 2x ∗ = ， 2 6x ∗ = 代入原问题各约束条件

中有 5 0x ≠ ，根据 3 5 0y x∗ = ，有 3 0y ∗ = 。

将 3 0y ∗ = 代入

1 2

1 2 3

1 2 3

2 4

3

, , 0

y y

y y y

y y y

∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

⎧ + =⎪

+ + =⎨⎪⎩ ≥

中，得到 1 1y ∗ = ， 2 2y ∗ = ，即对偶问题的 优解为

(1,2,0)Y ∗ = 。

六、原问题单纯形表中的检验数行对应对偶问题的一个基本解

设原问题化为标准型 对偶问题化为标准型

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59

第三章 对 偶 理 论

max

. ., 0

s

s

Z CXAX X b

s tX X

=

+ =⎧⎨⎩ ≥

min

. ., 0

s

s

W YbYA Y C

s tY Y

=

− =⎧⎨⎩ ≥

则原问题单纯形表中的检验数行对应对偶问题的一个基解。 其对应关系见表 3-4。

表 3-4 对应关系

BX NX sX

检验数行 0 1

N BC C B N−− 1BC B −−

对偶变量 1sY 2sY− Y−

这里 1sY 是对应原问题中基变量 BX 的剩余变量； 2sY 是对应原问题中非基变量 NX 的

剩余变量。

证：设 B 是原问题的一个可行基，于是 ( , )A B N= ，原问题可以改写为

max

. ., , 0

B B N N

B N s

B N s

Z C X C XBX NX X b

s tX X X

= +

+ + =⎧⎨⎩ ≥

相应地对偶问题可表示为

1

2

1 2

min

. ., , 0

s B

s N

s s

W YbYB Y C

s t YN Y CY Y Y

=

− =⎧⎪ − =⎨⎪⎩ ≥

这里 1 2( , )s s sY Y Y= 。 当求得原问题的一个基可行解 1

BX B b−= ，其检验数为 1

1

1

0

0

N

B

S

X N B

X B B

X B

C C B N

C C B B

C B I

σ

σ

σ

−

−

−

⎧ = −⎪⎪ = − =⎨⎪

= −⎪⎩

为考察这些检验数与对偶问题的解之间的关系，令 1BY C B−= ，并将其代入

1

2

s B

s N

YB Y CYN Y C

− =⎧⎨ − =⎩

中

得到 1

1 0s B BY C C B B−= − = 1

2s N BY C C B N−− = − 10 BY C B I−− = −

对偶变量具有十分重要的经济意义，因此，在求解一个线性规划问题时，总是希望

同时得到它的对偶 优解。由于用单纯形法求解线性规划问题时，迭代的每一步，在得

60

运筹学基础

到原问题的一个基可行解的同时，其检验数行对应其对偶问题的一个基解，因此不难想

到：从原问题 优单纯形表的检验数行即可以得到对偶 优解。 实际上，只要从 优单纯形表上找出 优基的逆矩阵 1B− ，由前面已得到的关系式

1BY C B−= ； 1

1 0s B BY C C B B−= − = ； 12 ( )s N BY C C B N−= − − 即可求得对偶 优解。

【例 3-6】分别求解下列线性规划问题及其对偶问题，并分析对偶问题的 优解与原

问题 终表中检验数之间的关系。 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

max 5 12 42 5

. . 2 3 2, , 0

Z x x xx x x

s t x x xx x x

= + +

+ +⎧⎪ − + =⎨⎪⎩

≤

≥

解：（1）第一个约束引进松弛变量 4x ，第二个约束引进人工变量 R ，列出初始单纯

形表（见表 3-5），经迭代得 优表（见表 3-6）。

表 3-5 初始单纯形表

jc 5 12 4 0 M−

BC BX b 1x 2x 3x 4x R

0 4x 5 1 2 1 1 0

M− R 2 2 -1 3 0 1

j jc Z− 2M 5 2M+ 12 M− 4 3M+ 0 0

表 3-6 最终单纯形表

jc 5 12 4 0 M−

BC BX b 1x 2x 3x 4x R

12 2x 8/5 0 1 -1/5 2/5 -1/5

5 1x 9/5 1 0 7/5 1/5 2/5

j jc Z− -141/5 0 0 -3/5 -29/5 2 /5M− +

( )9 / 5,8 / 5,0,0,0 TX ∗ = 1max 285

Z =

（2）写出对偶问题为 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

min 5 22 5

2 12. .

3 40,

W y yy yy y

s ty yy y

= +

+⎧⎪ −⎪⎨ +⎪⎪⎩

≥

≥

≥

≥ 无正负约束

令 2 2 2y y y′ ′′= − ，其中 2y ′， 2 0y ′′≥ ，化为典范形式。这是一个目标函数 小化问题，

列出初始单纯形表（见表 3-7）；迭代得 优单纯形表（见表 3-8）。

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61

第三章 对 偶 理 论

表 3-7 初始单纯形表

jc 5 2 2 0 0 0 M M M

BC BX b 1y 2y′ 2y′′ 1s 2s 3s 1R 2R 3R

M 1R 5 1 2 -2 -1 0 0 1 0 0

M 2R 12 2 -1 1 0 -1 0 0 1 0

M 3R 4 1 3 -3 0 0 -1 0 0 1

j jc Z− -21M 5 4M− 2 4M− 4 2M − M M M 0 0 0

表 3-8 最优单纯形表

jc 5 2 -2 0 0 0 M M M

BC BX b 1y 2y′ 2y′′ 1s 2s 3s 1R 2R 3R

0 3s 3/5 0 0 0 -7/5 1/5 1 7/5 0 0

-2 2y′′ 2/5 0 -1 1 2/5 -1/5 0 -2/5 1 0

5 1y 29/5 1 0 0 -1/5 -2/5 0 1/5 0 1

j jc Z− -141/5 0 0 0 9/5 8/5 0 9 / 5M − 8 / 5M − 8 / 5M −

得到对偶问题的 优解 ( )29 / 5, 2 / 5Y ∗ = − ，1285

W ∗ = ，这里 2y 无正负约束，

2 2 225

y y y∗ ′ ′′= − = − 。

由表 3-6 可知 1 2 / 5 1/ 51/ 5 2 / 5

B− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

， ( )12,5BC = ，计算 ( )1 29 / 5, 2 / 5BC B− = − ，所以得

到的结果即是Y ∗。 我们关心的是如何从原问题 优单纯形表的检验数行直接得到对偶问题的 优解。

其对应规则是：

在 优单纯形表的检验数行中，与初始可行基（单位阵）的列

( )0, ,0, 1, 0, ,0 TiE

i

=

↑

第 个元素

对应的检验数减去相应的价值系数后再反号（或相应的价值系数减去对应的检验数）即

是对偶变量 iy ∗的值。 运用此规则，由表 3-6 即可得到对偶问题的 优解 ( )29 / 5, 2 / 5Y ∗ = − ；由表 3-8 可得

到原问题的 优解 ( )9 / 5,8 / 5,0 TX ∗ = 。

第三节 对偶变量的经济解释——影子价格

线性规划的 优解 X ∗ 只能告诉我们在当前条件下如何利用现有资源 好地安排各

种产品的产量，而对偶变量的 优解Y ∗则告诉我们增加利润和挖掘潜力的信息。

62

运筹学基础

一、影子价格的概念

从上节对偶问题的基本性质可以看出，当线性规划原问题求得 优解 X ∗ 时，对偶问

题也得到 优解Y ∗，且 1

BZ CX C B b W Y b∗ ∗ − ∗ ∗= = = = （3-4）

由此得到 1B

Z C B Yb

∗− ∗∂

= =∂

所以 iy ∗的经济意义是：对偶变量 iy ∗表示原问题第 i 种资源的边际价值，即在其他条

件不变的情况下，只增加单位第 i 种资源所引起的目标函数 优值的变化。也可解释为：

每单位第 i 种资源对目标函数值的贡献。从转让资源的角度考虑， iy ∗可理解为出让单位

第 i 种资源的收益。 iy ∗的值代表对第 i 种资源的估价，这种估价不是资源的市场价格，

而是针对具体工厂的具体产品而存在的一种特殊价格，称为“影子价格”（shadow price）。 例如例 3-1，由表 3-2 得到对偶问题的 优解： 1 1y ∗ = ， 2 2y ∗ = ， 3 0y ∗ = ，这表示：

设备每台时的影子价格为 1 元；每千克原材料 A 的影子价格为 2 元，即除成本外再附加

2 元；每千克原材料 B 的影子价格为 0 元，即每千克原材料 B 可按原成本出让。需要注

意，影子价格只有在原问题的 优基没有变化时才是不变的。

显然，在售出资源时，每单位资源的收益应不低于影子价格；在买进资源时，每单

位资源付出的额外费用应不超过影子价格。

二、影子价格的经济含义

在实际中，影子价格具有以下几方面的经济含义。 1）资源的市场价格是其价值的客观体现，相对比较稳定，而其影子价格则有赖于资

源的利用情况，是未知数，因企业生产任务、产品结构等情况发生变化，资源的影子价

格也随之改变。

2）影子价格是一种边际价格，在式1 1

n m

j j i ij i

Z c x b y W∗ ∗ ∗ ∗

= =

= = =∑ ∑ 中对 Z ∗求 ib 的偏导

数得 ii

Z yb

∗∗∂

=∂

。这说明 iy ∗的值相当于在资源得到 优利用的生产条件下， ib 每增加一个

单位时目标函数 Z 的增量。 3）资源的影子价格是一种机会成本。所以，在完全市场经济条件下，当某种资源的

市场价格低于影子价格时，企业可买进该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价格

高于影子价格时，则企业的决策者可把已有的资源卖出。随着资源的买进卖出，它的影

子价格也将随之发生变化，一直到影子价格与市场价格保持同等水平时，才处于平衡 状态。

4）在上一节对偶问题的互补松弛性质中有1

ˆn

ij jj

a x=∑ ＜ ib 时， ˆ 0iy = ；当 ˆiy ＞ 0 时，有

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63

第三章 对 偶 理 论

1

ˆn

ij jj

a x=∑ = ib ，这表明生产过程中如果某种资源 ib 未得到充分利用时，该种资源的影子价

格为零；又当资源的影子价格不为零时，表明该种资源在生产中已消耗完毕。 5）从影子价格的含义上再来考察单纯形表的计算。单纯形表的检验数公式为

1

1

m

j j B j j ij ii

c C B p c a yσ −

=

= − = −∑

式中， jc 若表示第 j 种产品的产值，1

m

ij ii

a y=∑ 是生产该种产品所消耗各项资源的影子

价格的总和，即产品的隐含成本。当产品产值大于隐含成本时，表明生产该项产品有利，

可在计划中安排；否则，用这些资源来生产其他产品更为有利，就不在生产计划中安排。 6）线性规划问题的求解一般来说是确定资源的 优分配方案，而对偶问题的求解则

是确定对资源的恰当估计，这种估计直接涉及资源的 有效利用。如在一个大公司内部，

可借助资源的影子价格确定一些内部结算价格，以便控制有限资源的使用和考核下属企

业经营的好坏。资源的影子价格越高，说明资源在系统内越稀缺，而增加该资源的供应

量对系统目标函数值贡献也越大。又如在社会上可对一些 紧缺的资源，借助影子价格

规定使用这种资源一单位时必须上缴的利润额，以控制一些经济效益低的企业自觉地节

约使用紧缺资源，使有限资源发挥更大的经济效益。

第四节 对偶单纯形法

一、对偶单纯形法的基本思想

对偶单纯形法是利用对偶性质来求解原问题的一种方法（而不是求解对偶问题的方

法），在第二章中介绍的单纯形法，从理论上说可以解决一切线性规划问题。但对于某些

特殊线性规划问题，用对偶单纯形法解决更加方便。 我们知道，用单纯形法求解线性规划问题时，是从原问题的一个基本可行解开始的。

在迭代过程中，要求保证每一步都得到原问题的一个基本可行解，当迭代达到所有检验

数 Z 0j jc − ≤ 时，又基变量中无非零人工变量，即得到了极大化问题的 优解。

根据对偶问题的性质，迭代过程的每一步，在得到原问题的一个基本可行解的同时，

从检验数行还可以得到其对偶问题的一个基本解。当检验数 0j jc Z− ≤ 时，所得对偶问

题的解即是基本可行解，由此原问题和对偶问题均得到 优解。反之，如果存在一个对

偶问题的基本可行解，即 0j jc Z− ≤ ，这时只要有 1 0BX B b−= ≥ ，则原问题的解也为可

行解，即两者均为 优解。 所以我们可以设想另一条求解思路，即在迭代过程中，始终保持对偶问题解的可行

性，而原问题的解由不可行逐渐向可行性转化，一旦原问题的解也满足了可行性条件，

64

运筹学基础

也就达到了 优解。这就是对偶单纯形法解题的思路。

二、对偶单纯形法的计算步骤

（1）根据线性规划问题，列出初始单纯形表

检查 1B b− 列的数字，若都为非负，检验数都为非正，则已得到 优解，停止计算。

若检查 1B b− 列的数字时，至少还有一个负分量，检验数保持非正，那么进行以下计算。 （2）确定换出变量 按 { }1 1 1min ( ) ( ) 0 ( )i i lB b B b B b− − −< = 对应的基变量 lx 为换出变量。

（3）确定换入变量 在单纯形表中检查 lx 所在行的各系数 ( 1,2, , )lja j n= 。若所有 0lja ≥ ，则原问题无

可行解，此时对偶问题的目标函数值无界，停止计算。若存在 0( 1,2, , )lja j n< = ，为了

使下一个表中对偶问题的解仍为可行解，令

min 0j j k kljj

lj lk

c z c za

a aθ

⎧ ⎫− −⎪ ⎪= < =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

（3-5）

称 lka 为主元素， kx 为换入变量。

设下一个表中的检验数为 ( )j jc z ′− ，则

( ) ( ) ( )lj j j k kj j j j k k lj

lk lj lk

a c z c zc z c z c z a

a a a⎡ ⎤− −′− = − − − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

（3-6）

分两种情况说明满足式（3-5）来选取主元素时，式（3-6）中， ( ) 0j jc z ′− ≤ 对

( 1,2, , )j n= 。

1）当 0lja ≥ ，因 0j jc z− ≤ ，故 0j j

lj

c za−

≤ ，又因主元素 0lka < ，故 0k k

lk

c za−

≥ ，

由此式（3-6）方括弧内的值 0j j k k

lj lk

c z c za a

⎡ ⎤− −−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦≤ ，所以有 ( ) 0j jc z ′− ≤ 。

2）当 0lja < ，因 0j j k k

lj lk

c z c za a

⎡ ⎤− −− >⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦，所以有 ( ) 0j jc z ′− ≤ 。

（4）以 lka 为主元素，按原单纯形法在表中进行迭代运算，得到新的单纯形表

重复步骤（1）～（4）。

下面举例说明对偶单纯形法的计算步骤。 【例 3-7】用对偶单纯形法求解下述线性规划问题

1 2 3

1 2

1 2 3

1 2 3

min 10 8 72 4

. . 3, , 0

Z x x xx x

s t x x xx x x

= + +

+⎧⎪ + +⎨⎪⎩

≥

≥

≥

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65

第三章 对 偶 理 论

解：先将此问题化成下列形式，以便得到对偶问题的初始可行基 1 2 3

1 2 4

1 2 3 5

max 10 8 7

2 4. . 3

0 1,2, ,5j

Z x x x

x x xs t x x x x

x j

= − − −

⎧− − + = −⎪− − − + = −⎨

⎪ =⎩ ≥ （ ）

建立此问题的初始单纯形表，见表 3-9。

表 3-9 初始单纯形表

jc -10 -8 -7 0 0

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x

0 4x -4 [-2] -1 0 1 0

0 5x -3 -1 -1 -1 0 1

j jc Z− 0 -10 -8 -7 0 0

从表 3-9 中看到，检验数行对应的对偶问题的解是可行解，又因表中 b 列数字有负

分量，即原问题为非可行解，所以可以应用对偶单纯形法进行迭代运算。

1）换出变量的确定：按上述对偶单纯形法计算步骤（2），计算 ( )min 4, 3 4− − = −

故 4x 为换出变量。 2）换入变量的确定：按上述对偶单纯形法计算步骤（3），计算

10 8min , , 52 1

θ − −⎛ ⎞= =⎜ ⎟− −⎝ ⎠

故 1x 为换入变量。 换出变量、换入变量所在的行、列交叉处“-2”为主元素。按单纯形法计算步骤进

行迭代，得表 3-10。

表 3-10 迭代后的单纯形表

jc -10 -8 -7 0 0

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x

-10 1x 2 1 1/2 0 -1/2 0

0 5x -1 0 [-1/2] -1 -1/2 1

j jc Z− 20 0 -3 -7 -5 0

由表 3-10 中可看出，对偶问题的解仍是可行解，而b 列数字中仍有负分量。故重复

上述迭代步骤，得表 3-11。

66

运筹学基础

表 3-11 重复迭代后所得单纯形表

jc -10 -8 -7 0 0

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x

-10 1x 1 1 0 -1 -1 1

-8 2x 2 0 1 2 1 -2

j jc Z− 26 0 0 -1 -2 -6

表 3-11 中，b 列数字全为非负，故问题的 优解为 ( )1,2,0 TX ∗ = ， 优值为 2Z b∗ = 。

（1）初始解可以是非可行解，对于极大化问题，当检验数都为非正数时，便可

以应用对偶单纯形法进行计算。优点是不需要加入人工变量，避开构造人造基，因

此可以简化计算。 （2）对变量多于约束条件的线性规划问题，应用对偶单纯形法进行计算可以减

少计算工作量，因此对变量较少，而约束条件很多的线性规划问题，可先将其变换

成对偶问题，若满足对偶单纯形法应用的条件，即可应用对偶单纯形法求解。 （3）在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中，有时需要用对偶单纯形法，

这样可以使问题的处理简化。 对偶单纯形法的局限性主要是：对于大多数线性规划问题，很难找到一个初始

可行基，因而这种方法在求解线性规划问题时很少单独应用。

小 结

本章主要介绍线性规划问题的对偶问题及其相应的对应关系，掌握对偶问题的基本

性质有助于判断线性规划问题解的状况；应理解影子价格在生产实际中的作用，掌握对

偶单纯形法的基本原理以及计算步骤。对于目标函数为 大的标准型线性规划问题，用

对偶单纯形法求解时，必须保证运算过程中所有非基变量的检验数小于等于零， 优解

的判别方法如下：①当 1 0B b− ≥ 时，当前解为 优解；②当 1B b− 列有小于零的数据，且

所在行的系数全都大于等于零时，原问题无可行解，而对偶问题存在无界解。

案例分析

案例背景

某厂生产 A、B、C 三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见表 3-12。如果劳动

力数量不增加，材料不足时可从市场购买，每单位 0.4 元。问该厂要不要购进原材料扩

大生产。

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67

第三章 对 偶 理 论

表 3-12 生产 A、B、C 三种产品所需资源

项目 A B C 可用量/单位

劳动力 6 3 5 45 材料 3 4 5 30

利润/元/件 3 1 4

案例解析

根据题意建立线性规划模型，设 1 2 3, ,x x x 分别表示三种产品 A、B、C生产的数量，则

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

max 3 46 3 5 453 4 5 30

0

Z x x xx x x

s.t. x x xx ,x ,x

= + ++ +⎧

⎪ + +⎨⎪⎩

　

　　　

≤

≤

≥

下面是求解该问题的最优单纯形表 3-13。

表 3-13 最优单纯形表

jc 3 1 4 0 0

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x

3 1x 5 1 -0.33 0 0.33 -0.33

4 3x 3 0 1 1 -0.2 0.4

j jc Z− -27 0 -2 0 -0.2 -0.6

从最优单纯形表中可得劳动力的影子价格为 0.2 元，材料的影子价格为 0.6 元。现今

劳动力数量不增加，材料从市场购买价格为每单位 0.4 元，低于影子价格（0.6 元），该

厂应该购进原材料扩大生产。

本章自测题

一、写出下列线性规划问题的对偶问题

1． 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

max 2 33 4 5 102 6 8

. .4 3 4

, 0, 0

Z x x xx x xx x x

s tx x xx x x

= − +

− −⎧⎪ + +⎪⎨ + + =⎪⎪⎩

≤

≥

≥ ≤无约束

2． 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 5 3 62 3 5

5 3. .

2 6 40, 0,

Z x x xx x x

x x xs t

x x xx x x

= + +

+ + =⎧⎪− + −⎪⎨ + +⎪⎪⎩

≥

≤

≥ ≤ 无约束

68

运筹学基础

3．1 1

1

1

min

( 1,2, , )

. . ( 1,2, , )

0 ( 1,2, , ; 1,2, , )

m n

ij iji j

n

ij ij

m

ij ji

ij

Z c x

x a i m

s t x b j n

x i m j n

= =

=

=

=

⎧ = =⎪⎪⎪⎪ = =⎨⎪⎪ = =⎪⎪⎩

∑∑

∑

∑≥

4．1

11

1 11

1

1 1

max

( 1,2, , )

( 1, 2, , ). .

0 ( 1,2, , )

( 1, 2, , )

n

j jj

n

ij j ij

n

ij j ij

j

j

Z c x

a x b i m m

a x b i m m ms t

x j n n

x j n n n

=

=

=

=

⎧= <⎪

⎪⎪⎪ = = + +⎨⎪⎪ = <⎪

= + +⎪⎩

∑

∑

∑

≤

≥

无约束

二、判断题（判断对错并改正）

1．如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解。 2．如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解。 3．如果线性规划的原问题和其对偶问题都有可行解，则两者均有 优解。 4．在一对互为对偶的线性规划问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解

的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值。

三、应用题

1．已知线性规划问题 1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

max2

. . 2 1, , 0

Z x xx x x

s t x x xx x x

= +

− + +⎧⎪− + −⎨⎪⎩

≤

≤

≥

试用对偶理论证明上述线性规划问题目标函数值无界。 2．已知线性规划问题

1 2 3 4

1 2 4

1 2 3 4

3 4

1 3

1 2 3 4

min 8 6 3 62 3

3 6. . 2

2, , , 0

Z x x x xx x xx x x x

s t x xx x

x x x x

= + + +

+ +⎧⎪ + + +⎪⎪ +⎨⎪ +⎪⎪⎩

≥

≥

≥

≥

≥

（1）写出其对偶问题。 （2）已知原问题的 优解 ( )1,1,2,0 TX ∗ = ，试根据对偶理论直接求出其对偶问题的

优解。

3．已知线性规划问题

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69

第三章 对 偶 理 论

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

max 221

. .2 2

0, 0,

Z x x xx x xx x x

s tx x x

x x x

= + +

+ −⎧⎪ − + =⎪⎨ + +⎪⎪⎩

≤

≥

≥ ≤ 无约束

（1）写出其对偶问题。 （2）利用对偶问题性质证明原问题目标函数值 1z ≤ 。

4．用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。 （1） 1 2

1 2

1 2

1 2

min2 4

. . 7 7, 0

Z x xx x

s t x xx x

= +

+⎧⎪ +⎨⎪⎩

≥

≥

≥

（2） 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 5 2 43 2 4

. . 6 3 5 10, , 0

Z x x xx x x

s t x x xx x x

= + +

+ +⎧⎪ + +⎨⎪⎩

≥

≥

≥

5．已知某极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始基变量为 4 2 5, ,x x x ，求得

的 终单纯形表如表 3-14 所示，则 优表所对应的基 4 2 3( , , )B p p p= 的逆矩阵为

，对偶问题的 优解为 。

表 3-14 最终单纯形表

jc -3 0 1 0 0

BC BX b 1x 2x 3x 4x 5x

0 4x 0 0 0 0 1 -1/2

0 2x 5/2 -1/2 1 0 0 -1/4

1 3x 3/2 3/2 0 1 0 3/4

j jc Z− -9/2 0 0 0 -3/4

6．制定生产计划问题时的一张线性规划 优单纯形表（极大化问题，约束条件均为

“≤”型的不等式）如表 3-15 所示，其中 4x ， 5x ， 6x 为松弛变量。

表 3-15 最优单纯形表

BX b 1x 2x 3x 4x 5x 6x

1x 2 1 1 0 2 0 1

3x 3/2 0 0 1 1 0 4

5x 1 0 -2 0 1 1 6

j jc Z− 0 0 0 -4 0 -9

（1）写出对偶问题的 优解。

（2）求1

zb

∗∂∂

，并解释这个数值的含义。

（3）按 优计划完成任务时，哪几种资源已消耗完，哪些资源还有剩余？

70

运筹学基础

（4）第三种资源的影子价格是多少？如果有人向你购买第三种资源，你应要价多

少，为什么？

7．考虑下面的线性规划问题 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

min 12 204 45 2

. .2 3 7

, 0

Z x xx xx x

s tx x

x x

= +

+⎧⎪ +⎪⎨ +⎪⎪⎩

≥

≥

≥

≥

（1）说明原问题和对偶问题都有 优解。 （2）通过解对偶问题由 优表中观察出原问题的 优解。 （3）利用公式 1

BC B− 求原问题的 优解。

（4）利用互补松弛性求原问题的 优解。 8．已知线性规划问题

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 2 24

. . 60, 0,

Z x x xx x x

s t x x kxx x x

= − +

− + + =⎧⎪− + −⎨⎪⎩

≤

≤ ≥ 无约束

其 优解为 ( )5,0, 1 TX ∗ = − − ，请回答如下问题：

（1）写出其对偶问题。 （2）利用对偶问题的性质求对偶问题的 优解。 （3）求 k 的取值。 9．已知线性规划问题

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

max 2 3 42 2 3 20

. . 2 3 2 20, , , 0

Z x x x xx x x x

s t x x x xx x x x

= + + +

+ + +⎧⎪ + + +⎨⎪⎩

≤

≤

≥

其对偶问题 优解为 1 1.2y ∗ = ， 2 0.2y ∗ = ，试根据对偶理论求出原问题的 优解。 科

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