Задачи на построение сечений

Алгоритм построения сечений многогранников:

1) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет две общие точки, и провести через данные точки прямые (А2);

2) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет одну общую точку, построить вторую общую точку и провести через них прямую(А3);

3) определить грани, с которыми секущая плоскость не имеет общих точек, построить две общие точки, и провести через них прямую (А3; 1 свойство параллельных плоскостей,1 утверждение параллельности прямой и плоскости);

4) выделить отрезки прямых, по которым секущая плоскость пересекает ребра многогранника, заштриховать полученный многоугольник.

Аксиомы и теоремы стереометрии

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.А

В

α


А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

α

А

β

a


Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

α

β

γ

α

Секущейплоскостьюмногогранника , называетсялюбаяплоскость по обе

стороныоткоторой имеютсяточки данного.многогранника

А

В

С

D

M

N

K

Секущаяплоскостьпересекает . гранимногогранника по отрезкам

, Многоугольник сторонами , которого являются этиотрезки

называется сечениеммногогранника.

Сечение - четырехугольник

Сечение - четырехугольник

Сечение - пятиугольник Сечение - шестиугольник

Задача №1: Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки M,N,K.

M

K

N

Решение задачи №1

M

K

N

D

A

B

C

M

N

K

Задача №2. Дан тетраэдр DABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK, если M, N, K соответственно принадлежат ребрам DC, DA, AB.

D

A

B

C

M

N

K

X

P

Решение задачи №2 1. MN ∩ AC = X

2. XK ∩ BC = P3. NK, MP4. KNMP – искомое сечение

Задача №3: Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки M,N,K.

M

K

N

MK

N

L

KNML - искомое сечение

Задача № 4 Постройте сечение тетраэдра DABC плоскостью MNK, если M и N –середины ребер AB и BC, K принадлежит

ребру DC. D

C

B

A

M

K

N

D

C

B

A

M

K

N

L

1. MN2. NK3. LK II MN4. ML5. MNKL – искомое сечение

А

В

С

S

Задача 5. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки D, Е, K.

D

E

K

M

F

Построение:

2. ЕК3. ЕК ∩ АС = ∩ АС = FF4. FD

5. FD ∩ ∩ BBС = С = MM6. KM

1. DE

DЕKМ – искомое сечение

А D

В1

В С

А1

C1

D1

Задача 6. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Р, К, М, М ВС.∈

КР

М


1. КP2. EM ║║ КP (К1Р1)3. EK

KРNМE – искомое сечение

К1

Р1

E

N

4. МN ║ ║ EK5. РN

А D

В1

В С

А1

C1

D1

Задача 7. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М АВ.∈

Н

Т

М


1. НМ

1. МТ

1. НT

Выберите верный вариант:

А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М


1. НМ

Комментарии:Данные точки

принадлежат разным граням!

Назад

А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М


1. МT

Комментарии:Данные точки

принадлежат разным граням!

Назад

А D

В1

В С

А1

C1

D1

Задача 7. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Н

Т

М


1. НТ

2. 2. НТ ∩ DС = Е

2. 2. НТ ∩ BС = Е


А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М


1. НТ

2. НТ ∩ ВС2. НТ ∩ ВС == ЕЕ

Назад

Комментарии:Данные прямые - скрещивающиеся!Пересекаться не

могут!

А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М


1. НТ

2. НТ ∩ 2. НТ ∩ DDСС == ЕЕ

ЕЕ

33. . ME ∩ AA1 = F

33. . ME ∩ BС = F33. . ME ∩ CC1 = F


А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М


1. НТ

33. . MEME ∩ ∩ AAAA11 = = F F2. НТ ∩ 2. НТ ∩ DDСС == E E

EE

Назад


могут!

А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М


1. НТ

33. . MEME ∩ ∩ CCCC11 = = F F2. НТ ∩ 2. НТ ∩ DDСС == E E

EE

Назад


могут!

А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М

Построение:1. НТ

2. НТ ∩ 2. НТ ∩ DDСС == E E

EE

33. . MEME ∩ ВС∩ ВС == F F

FF

4. НF

4. ТF

4. МТ


А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М


2. НТ ∩ 2. НТ ∩ DDСС == E E

EE

33. . MEME ∩ ВС∩ ВС == F F

FF

4. НFF

Комментарии:Данные точки принадлежат

разным граням!

Назад

А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М


2. НТ ∩ 2. НТ ∩ DDСС == E E

EE

33. . MEME ∩ ВС∩ ВС == F F

FF

4. MT



Назад

А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М


2. НТ ∩ 2. НТ ∩ DDСС == E E

EE

33. . MEME ∩ ВС∩ ВС == F F

FF

4. ТFF

5. ТF ∩ А1 А = K

5. ТF ∩ В1В = K


А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М


2. НТ ∩ 2. НТ ∩ DDСС == E E

EE

33. . MEME ∩ ВС∩ ВС == F F

FF

4. ТFF

5. ТFF ∩ А∩ А1 1 АА == K K


могут!

Назад

А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М


2. НТ ∩ 2. НТ ∩ DDСС == E E

EE

33. . MEME ∩ ВС∩ ВС == F F

FF

4. ТFF

5. ТFF ∩ В∩ В11ВВ == K K

KK

6. МK ∩ АА1= L

6. НK ∩ АD = L

6. ТK K ∩ А∩ АD D == L L


А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М


2. НТ ∩ 2. НТ ∩ DDСС == E E

EE

33. . MEME ∩ ВС∩ ВС == F F

FF

4. ТFF

5. ТFF ∩ В∩ В11ВВ == K K

KK

6. НK K ∩ А∩ АD D == L L


могут!

Назад

А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М


2. НТ ∩ 2. НТ ∩ DDСС == E E

EE

33. . MEME ∩ ВС∩ ВС == F F

FF

4. ТFF

5. ТFF ∩ В∩ В11ВВ == K K

KK

6. TK K ∩ А∩ АD D == L L


могут!

Назад

А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М


2. НТ ∩ 2. НТ ∩ DDСС == E E

EE

33. . MEME ∩ ВС∩ ВС == F F

FF

4. ТFF

5. ТFF ∩ В∩ В11ВВ == K K

KK

6. МKK ∩ АА∩ АА11== L L

LL

7. LTLT

7. LFLF

7. LHLH


А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М


2. НТ ∩ 2. НТ ∩ DDСС == E E

EE

33. . MEME ∩ ВС∩ ВС == F F

FF

4. ТFF

5. ТFF ∩ В∩ В11ВВ == K K

KK

6. МKK ∩ АА∩ АА11== L L

LL

7. LLТ



Назад

А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М


2. НТ ∩ 2. НТ ∩ DDСС == E E

EE

33. . MEME ∩ ВС∩ ВС == F F

FF

4. ТFF

5. ТFF ∩ В∩ В11ВВ == K K

KK

6. МKK ∩ АА∩ АА11== L L

LL

7. LFLF



Назад

А D

В1

В С

А1

C1

D1


Н

Т

М


2. НТ ∩ 2. НТ ∩ DDСС == E E

EE

33. . MEME ∩ ВС∩ ВС == F F

FF

4. ТFF

5. ТFF ∩ В∩ В11ВВ == K K

KK

6. МKK ∩ АА∩ АА11== L L

LL

7. LLН

НТFFММLL – искомое сечение – искомое сечение

Пояснения к построению:1. Соединяем точки K и F, принадлежащие одной плоскости А1В1С1D1.

А

D

В1

ВС

А1

C1

D1

Задача 8. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки Е, F, K.

К

L М

Построение:1. KF2. FE3. FE ∩∩ АB = L= L

EFKNM – искомое сечение

F

EN

4. LN ║║ FK

6. EM5. LN ∩∩ AD = = MM7. KN

Пояснения к построению:2. Соединяем точки F и E, принадлежащие одной плоскости АА1В1В.

Пояснения к построению:3. Прямые FE и АВ, лежащие в однойи АВ, лежащие в одной плоскостиплоскости АА1В1В, пересекаются в точке L L ..

Пояснения к построению:4. Проводим прямую LN параллельнопараллельно FK (если секущая плоскость пересекает противоположные грани, то она пересекает их по параллельным отрезкам).

Пояснения к построению:5. Прямая LN пересекает ребропересекает ребро AD в точкев точке M M..

Пояснения к построению:6. Соединяем точки Е и М, принадлежащие одной плоскости АА1D1D..

Пояснения к построению:7. Соединяем точки К и N, принадлежащие одной плоскости ВСС1В1..

А

В

С

S

Задача 9. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки К, М, Р, Р АВС∈

К

М

Р

Е

N

F


1. КМ2. КМ ∩ СА = Е ∩ СА = Е3. EР

4. ЕР ∩ АВ = ∩ АВ = FF ЕР ∩ В ∩ ВCC = = NN

5. МF6. NК

КМFN – искомое сечение

АD

В1

ВС

А1

C1

D1

Задача 10. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки К, L, М.

К

L

М

Построение:1. ML2. ML ∩ ∩ D1А1 = E= E3. EK

МLFKPG – искомое сечение

FE

N

P

G

T

4. EK ∩∩ А1B1 = = FF

6. LM ∩∩ D1D = ND = N5. LF

7. ЕK ∩∩ D1C1 = T = T8. NT9. NT ∩∩ DC = G = G NT ∩∩ CC1 = P = P10. MG11. PK

АD

В1

ВС

А1

C1

D1

Задача 11. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки F, K, L.

К

L

F

АD

В1

ВС

А1

C1

D1

Задача 11. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки F, K, L.Проверка:

К

L

М

FМKLN – искомое сечение

F

N

Documents

Задачи на построение сечений