Проблемы устойчивости пучка в коллайдере NICA.

А. Е. Большаков, П.Р.Зенкевич

Оглавление.• Параметры накопителя НИКА.• Линейные кулоновские эффекты.• Нелинейные кулоновские эффекты.• Программа численного моделирования динамики частиц.• Результаты численного моделирования для N=1000.• Анализ зависимости динамической апертуры (ДА) от времени

циркуляции пучка.• Расчет предела по коллективным неустойчивостям (coasting

beam instabilities)..• а) Поперечные неустойчивости несгруппированного пучка• б) Микроволновая неустойчивость.• Заключение.• Дальнейшая программа исследований.

Параметры кольцаДлина кольца [м] 497

Энергия ионов [ГэВ/н] 1-4.5

Бетатронные частоты (x,y) 9.44/9.42

Критическая энергия [ГэВ] 7.0

Хроматичности (x,y) -30.7/-27.1

Кратность ВЧ поля 72

Число сгустков 24

Напряжение ВЧ [МВ] 1

Среднекв. размер сгустка [м] 0.6

Среднеквадратичный эмиттанс [м]

Среднекв. разброс по импульсам (3 ГэВ)

Гор. и верт. размер вак. камеры (мм) 80*60

Линейные кулоновские сдвиги бетатронных частот и выбор энергии ионов для численного моделирования.

• Линейный сдвиг бетатронной частоты из-за межпучкового взаимодействия

• Для сгустка ионов с симметричным Гауссовским распределением линейный сдвиг бетатронной частоты в центре сгустка определяется следующей формулой

• В этой формуле фактор группировки - весьма большое число. При выборе параметров машины предполагалось, что

• Из этих формул найдем, что

Линейные кулоновские сдвиги бетатронных частот и выбор энергии ионов для численного моделирования.

• В области низких кинетических энергий интенсивность ограничивается кулоновским сдвигом. Заметим, что межпучковый и однопучковый кулоновский эффект имеют разный механизм действия: межпучковый эффект приводит в возникновению полного набора резонансных гармоник нелинейных резонансов бетатронных колебаний, в то время как однопучковый кулоновский сдвиг, в основном, не создает таких резонансов. При заданном полном сдвиге параметр межпучкового взаимодействия падает как с уменьшением энергии частицы как , поэтому точка с T=3ГэВ/н является наиболее опасной также и в диапазоне низких энергий. С учетом этих соображений для расчета ДА была выбрана наиболее опасная точка с =3 ГэВ. В этой точке , .

• Видно, что однопучковые эффекты в 20 рвз сильнее межпучковых, поэтому надо соблюдать особую осторожность при их численном моделировании.

Нелинейное кулоновское взаимодействие частиц в сгустке 1.

• Нелинейное кулоновское взаимодействие приводит к следующим эффектам:1. Нелинейной зависимости частоты от амплитуды.2. Зависимости бетатронной частоты от амплитуды и фазы синхротронных колебаний.3. Возникновению нелинейных бетатронных резонансов. Нелинейный кулоновский сдвиг для круглого Гауссовского пучка определяется следующей

формулой

Здесь - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, J - нормализованный» инвариант.

Из-за зависимости плотности частиц от продольной координаты z сдвиг бетатронной частоты на оси пучка

Для линейных синхротронных колебаний с амплитудой

Зависимость ширины резонанса от амплитуды колебаний была исследована Кейлом. Абсцисса – амплитуда в единицах . . Ордината - , где есть ширина резонанса

в единицах . Порядок резонансов p=4,6,8,10,12 в направлении сверху вниз. .

-

Нелинейное кулоновское взаимодействие частиц в сгустке 2

• Осцилляции кулоновского сдвига бетатронной частоты в процессе синхротронных колебаний приводит к пересечению резонансов поперечных бетатронных резонансов. Изменение амплитуды частицы при пересечении резонанса зависит от ширины резонанса и скорости его пересечения. При малой скорости пересечения возможно явление «затягивания» в резонанс [, при большой скорости пересечения возникает эффект модуляционной диффузии. Сами эти резонансы создаются всеми внешними и внутренними полями, присутствующими в кольце.

• Остановимся теперь на возбуждении резонансных гармоник силами однопучкового взаимодействия. Используя формулу Кейла как функцию Грина, мы вывели следующее выражение для ширины гармоники, создаваемой кулоновскими полями

• В этой формуле параметр

Анализ этой формулы показывает, что в силу непрерывности кулоновских сил, как правило,

Таким образом, мы должны выбирать размещение элементов, симулирующих кулоновские силы, так, чтобы они не возбуждали нелинейные гармоники.

Методика численного моделирования1.

• Расчеты динамики пучка производились с помощью программы MADX с учетом следующих факторов, вносящих нелинейные возмущения движения:

• Магнитное поле секступольных линз системы компенсации хроматичности.• 2. Систематические ошибки магнитного поля в поворотных магнитах и cлучайные ошибки магнитного

поля в поворотных магнитах, среднеквадратичная величина которых принята равной 1/3 от систематических ошибок.

• 3. Силы межпучкового взаимодействия в двух точках встречи пучков.• 4. Силы пространственного заряда пучка. Расчет динамики пучка выполнялся в приближении "тонких линз",

что обеспечило симплектичность процедуры расчета . Расчеты проводились с учетом синхротронного движения пучка; для этого в структуру вводился резонатор с напряжением 1 МВ. Начальное распределение в шестимерном фазовом пространстве предполагалось Гауссовским, количество частиц составляло 20000-200000, число оборотов частиц – до 100000. Влияние пространственного заряда пучка моделировалось внесением “beam-beam” элементов, распределенных по кольцу и расположенных в центре элементов структуры накопителя. Заметим, что в программе MADX предусмотрено два вида “beam-beam” элементов: для встречных пучков и для пучков, двигающихся в одном направлении (такие “beam-beam” элементы используются, в частности, для численного моделирования взаимодействия с пучком системы электронного охлаждения). В программе может изменяться знак заряда и сила тока. Именно такие “beam-beam” элементы для пучков, двигающихся в одном направлении, и были использованы для численного моделирования однопучковых сил кулоновского взаимодействия. Учет зависимости силы пространственного заряда от расстояния частицы от центра сгустка достигается варьированием силы “beam-beam” линзы в зависимости от продольной координаты частицы.

Методика численного моделирования2.

Подчеркнем, что расстановка этих элементов по кольцу является нетривиальной задачей. Основная проблема состоит в том, что эти элементы следует размещать так, чтобы не возбуждать гармоники нелинейных резонансов. При кулоновском сдвиге 0.05 мгновенные бетатронные частоты находятся в следующем диапазоне: 9.38 - 9.42. В эту область попадают следующие нелинейные резонансы низших порядков: резонанс 10 порядка (номер гармоники k=94) и резонанс 12 порядка (номер гармоники k=113). Ввиду четности структуры резонанс 12 порядка не наблюдается; основную опасность представляет резонанс 10 порядка с четным номером гармоники. Для того, чтобы сделать точное интегрирование, необходимо не менее 8 BB элементов на длину волны; при этом полное число элементов должно быть не менее 756 (8*94).

Поэтому был применен следующий искусственный прием: линзы пространственного заряда были размещены только в арках в середине каждого магнита (в пустых периодах в середине missing magnet). Заметим, что при этом сдвиг фазы гармоники на период . Таким образом, каждый следующий период арки «гасит» предыдущий, и при четном числе ячеек амплитуда 10 гармоники, создаваемой нашими линзами, близка к нулю. Для иллюстрации мы рассмотрели фазовые портреты частицы при двух размещениях “beam-beam” элементов: размещение, где эти элементы размещены по всему кольцу, и размещение, где они размещены только в арках. На Рис. 3 приведена фазовая траектория частицы после 500000 оборотов для варианта размещения BB элементов только в арках.

Фазовая траектория частицы после 500000 оборотов.

, амплитуда колебаний по импульсу

Распределение погибших частиц в пространстве поперечных инвариантов. Левый рисунок – , правый рисунок

Амплитуда колебаний по импульсу .

(

Обработка диаграмм потерь

• Введем параметр , определяющий стабильность движения, и рассмотрим частицу со значениями инвариантов . Для нее .

Подставляя эти выражения в формулу для параметра ; и учитывая, что аксептанс камеры

и , получим, что . В случае накопителя НИКА

• и . В связи с этими соображениями для численной оценки ДА выполнялась следующая процедура:

• Область выживания по делилась на равные интервалы с шириной . Для каждого интервала определялось значение вертикального инварианта , минимального для всех потерянных частиц, расположенных в данном интервале (такой обработанный график приведен на следующем рисунке).

• Определялась величина , представляющая собой минимум из всех значений

• Определялась величина .

“Огибающая” области жизни в зависимости от числа оборотов частиц.

Амплитуда колебаний по импульсу

Зависимость минимального значения инварианта от параметра . Число макрочастиц =20000, число оборотов =1000.

Зависимость ДА от параметра . Число макрочастиц N=20000, число оборотов отмечено на графике.

Зависимость динамической апертуры от числа оборотов частиц

Нестабильности несгруппированного пучка

• Неустойчивости, аналогичные по своей природе неустойчивостям несгруппированного пучка, могут возникать в сгустке при выполнении следующих условий :

1. Длина волны возмущения много меньше длины сгустка, т.е.

2. Время развития неустойчивости много меньше синхротронного периода. Это последнее условие

можно записать в следующей форме:

В этой формуле . Нормализованная (деленная на частоту обращения) синхротронная частота для пучка с нулевой интенсивностью определяется следующей формулой:

• Подставляя численные значения параметров, найдем, что нормализованная синхротронная частота . Мы видим, что в этом последнем варианте синхротронная частота заметно

выше, что связано с большой амплитудой ВЧ напряжения и удалением от критической энергии.

Поперечная неустойчивость несгруппированного пучка

• Для монохроматического пучка комплексный сдвиг бетатронной частоты из-за действительной части поперечного импеданса определяется следующим выражением:

• При использовании модели широкополосного резонатора достигает максимального значения на частоте среза . Соответствующий номер моды

• Подставляя это выражение в формулу для числа длин волн на длине сгустка, найдем, что условие возникновения такой неустойчивости :

• Для наших условий , , что указывает на возможность возникновения такой неустойчивости. Эта неустойчивость подавляется разбросом по импульсу. Условие подавления (критерий Зоттера) имеет следующий вид:

•

Подставляя числа, найдем, что необходимое значение , что меньше расчетного разброса по импульсу ( ). Таким образом, эта неустойчивость подавляется затуханием Ландау и не представляет опасности.

Микроволновая неустойчивость

• Эта неустойчивость, типичная для несгруппированных пучков, может возникнуть в сгруппированных пучках при тех же условиях, что и аналогичная поперечная неустойчивость. Обычно предполагают, что driving force для микроволновой неустойчивости также является импеданс широкополосного резонатора. Инкремент этой неустойчивости определяется следующим выражением:

• Подставляя числа, получим, что . Имея в виду, что , мы видим, что микроволновая неустойчивость может развиваться только при , что представляется маловероятным (как правило, в разумно спроектированном кольце около 0.5-1 Ом).

• В случае, если мкв неустойчивость для монохроматического пучка все же успевает развиться, она может подавляться затуханием Ландау из-за разброса по импульсам. Этот критерий устойчивости (критерий Кейла-Шнелля) для Гауссовского распределения записывается в следующей форме:

Отсюда найдем, что требуемый разброс по импульсу , что меньше разброса в пучке по импульсам

Заключение.

• Расчеты показали, что основным коллективным эффектом является гибель частиц из-за нелинейного кулоновского поля; когерентные неустойчивости (по крайней мере, неустойчивости, типичные для несгруппированного пучка) для данного варианта структуры накопителя не представляют серьезной угрозы.

• При численном моделировании гибели частиц следует соблюдать особую осторожность. Мы моделировали динамику с помощью программы MADX, в которую вводятся «beam-beam” элементы для пучков с одинаковым направлением движения. На основе разработанной теории предложена конфигурация “beam-beam” элементов для накопителя НИКА, позволяющая при ограниченном числе таких элементов (порядка 100) подавить гармоники, наведенные однопучковыми кулоновскими силами.

• С помощью программы MADX исследовано влияние различных факторов возмущения движения на ДА. Показано, что основными причинами уменьшения ДА являются систематические ошибки магнитного поля в поворотных магнитах, магнитное поле секступольных линз системы компенсации хроматичности и однопучковые кулоновские эффекты.

• Показано, что значение ДА сильно зависит от числа оборотов частицы в кольце. В силу ограниченных возможностей ПК мы были вынуждены ограничиться . При таком числе оборотов значение , что меньше физической апертуры кольца. Необходимо значительно повысить вычислительную мощность, чтобы увеличить на 1-2 порядка и достичь асимптотического значения (если оно существует). При отсутствии такого асимптотического значения понятие ДА лишено физического смысла, и необходимо от расчетов ДА перейти к расчету потерь и времени жизни пучка.

Дальнейшая программа исследований.

• Учесть новые результаты магнитных измерений для магнитов коллайдера.• Учесть влияние на ДА искажений замкнутой орбиты и бета-функции из-за случайных возмущений

поля и градиента.• Усовершенствование системы коррекции хроматичности для коррекции зависимости бета-функции

в точке встречи от импульса.• Освоить программу Франкетти (GSI) MICROMAP.• Сравнить результаты этой программы с результатами MADX (validation).• Провести расчеты для возможно большего числа оборотов (миллион и более).• Проанализировать устойчивость других когерентных мод колебаний пучка с учетом конкретного

вида источников импеданса в накопителе НИКА.• Проанализировать зависимость ДА от рабочей точки в клетке бетатронных колебаний.