Контрольная работа №1

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Задача 1.

Даны векторы 321 ;; aaaa , 321 ;; bbbb , 321 ;; cccc и

321 ;; dddd в некотором базисе. Показать, что cba ,, образуют базис и

найти координаты вектора d в этом блоке.

1.1 3;2;1a 2;3;1b 5;3;7 c 17;10;6d

1.2 8;7;4a 3;1;9b 1;4;2 c 13;13;1 d

1.3 3;2;8a 10;6;4b 1;2;3 c 11;4;7d

1.4 1;3;10a 2;4;1b 2;9;3c 7;30;19d

1.5 1;4;2a 6;3;1b 1;3;5c 6;20;24d

1.6 3;7;1a 2;4;3b 5;8;4c 14;32;7d

1.7 3;2;1a 2;7;4b 2;4;6c 6;18;14d

1.8 3;4;1a 5;8;6b 4;1;3c 33;18;21d

1.9 3;7;2a 8;1;3b 4;7;2 c 27;14;16d

1.10 1;2;7a 5;3;4b 2;4;3 c 13;5;2 d

Задача 2.

Даны координаты вершин пирамиды 4321 AAAA . Найти:

1) длину ребра 21AA ; 2) угол между ребрами 4321 и AAAA ; 3) угол

между ребром 32141 гранью и AAAAA ; 4) площадь грани 321 AAA ; 5) объем

пирамиды; 6) уравнение прямой 21AA ; 7)уравнение плоскости 321 AAA ;

8)уравнение высоты опущенной из вершины 4A на грань 321 AAA . Сделать

чертеж.

2.1. 5;2;41A 2;7;02A 7;2;03A 0;5;14A

2.2. 10;4;41A 2;10;42A 4;8;03A 4;6;94A

2.3. 5;6;41A 4;9;62A 10;10;23A 9;5;74A

2.4. 4;5;31A 4;7;82A 4;10;53A 8;7;44A

2.5. 6;6;101A 2;8;22 A 9;8;63A 3;10;74A

2.6. 2;8;11A 6;2;52A 4;7;53A 9;10;44A

2.7. 5;6;61A 5;9;42A 11;6;43A 3;9;64A

2.8. 2;2;71A 7;7;52A 1;3;53A 7;3;24A

2.9. 4;6;81A 5;5;102A 8;6;53A 7;8;104A

2.10. 3;7;71A 8;5;62A 8;5;33A 1;4;84A

Задача 3.

Линия задана уравнением rr в полярной системе координат.

Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от 0 до 2 и

придавая значения через промежуток 8 ; 2) найти уравнение данной

линии в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с

полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью; 3) по

уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить,

какая это линия.

3.1. 1cos1 r 3.2. cos21 r

3.3. cos324 r 3.4. cos38 r

3.5. cos221 r 3.6. cos435 r

3.7. cos210 r 3.8. cos213 r

3.9. cos131 r 3.10. cos365 r

Задача 4.

Дана система линейных уравнений

.

,

,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом

Гаусса; 2) средством матричного исчисления.

4.1.

.1132

,132

,523

321

321

321

xxx

xxx

xxx

4.2.

.6523

,20432

,632

321

321

321

xxx

xxx

xxx

4.3.

.18265

,4352

,9234

321

321

321

xxx

xxx

xxx

4.4.

.244

,422

,12

321

321

321

xxx

xxx

xxx

4.5.

.11423

,11243

,42

321

321

321

xxx

xxx

xxx

4.6.

.05

,432

,8243

321

321

321

xxx

xxx

xxx

4.7.

.334

,2638

,1

321

321

321

xxx

xxx

xxx

4.8.

.9653

,53

,324

321

321

321

xxx

xxx

xxx

4.9.

.20432

,43114

,3157

321

31

21

xxx

xx

xx

4.10.

.93

,2025

,3142

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Задача 5.

Дано комплексное число Z. Требуется: 1) записать число Z в

алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни

уравнения 03 .

5.1. iz 122 . 5.2. 314 iz .

5.3. iz 122 . 5.4. 314 iz .

5.5. iz 122 . 5.6. iz 122 .

5.7. 314 iz . 5.8. iz 34 .

5.9. iz 31 . 5.10. iz 31 .

Введение в математический анализ

Задача 6.

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

6.1.

а) 23

21lim

x

x

x; б) x

xx

x 3

11lim

0

;

в) 20 5

cos1lim x

x

x

;

г)

x

x x

x

2

3lim ;

6.2.

а) 12

13

3

lim

x

x

x; б) 7

32lim

7

x

x

x;

в) x

x

x 5

3arcsinlim

0;

г)

x

x x

x

12

12lim ;

6.3.

а) 2

523

23

lim

xx

xx

x; б) xx

xx

x

2

1lim ;

в) x

x

x

2cos1lim

0

; г)

x

x x

xx

2

4

14lim

;

6.4.

а) 22

634

24

lim

xx

xx

x; б) 131

lim0 x

x

x;

в) arctgx

x

x

5lim

0; г)

x

x

x1

)21(lim

;

6.5.

а) 15

5622

2

lim

xx

xx

x; б) 2

2

0

11lim x

x

x

;

в) 2

3

0

coscoslim x

xx

x

;

г) xxx

x

ln)1ln(lim

;

6.6.

а) 112

534

4

lim

xx

xx

x; б) 2

0

2131lim xx

xx

x

;

в) ;

3sin

22

0lim

x

xctgx

x

г) xxx

x

ln)3ln()12(lim

;

6.7.

а) 42

42

32

52lim xx

xxx

x

; б) 32

2

0

131lim xx

x

x

;

в) x

x

x 2cos1

6cos1lim

0

;

г) xxx

x

ln)3ln()5(lim

6.8.

а) 53

1352

2

lim

xx

xx

x; б) 3

512lim

3

x

x

x;

в) 2

2

0

2lim x

xtg

x;

г)

)33(

1

)67(lim

xx

x

x

6.9.

а) 3

2274

34

lim

x

xx

x; б) xx

xx

x 5

62312

5lim

;

в) xtgx

x

x 22

4cos1lim

0

; г)

)4(2

2

2

)53(lim

xx

x

x;

6.10.

а) 522

93825

25

lim

xx

xx

x; б) 22

2lim

2

x

x

x;

в)

xctgxx

35lim0

; г)

)3(2

3

)83(lim

x

x

x;

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Задача 7.

Задана функция )(xfy . Найти точки разрыва функции, если они

существуют. Сделать чертеж.

7.1.

.1,2

;11,2

;1,4

)( 2

xx

xx

xx

xf

7.2.

.1,3

;11,1

;1,2

)( 2

xx

xx

xx

xf

7.3.

.2,3

;20,)12(

;0,

)( 2

xx

xx

xx

xf

7.4.

.1,

;10,1

;0,cos

)( 2

xx

xx

xx

xf

7.5.

.2,1

;20,

;0,

)( 2

xx

xx

xx

xf

7.6.

.,2

;0,sin

;0,

)(

xx

xx

xx

xf

7.7.

.0,

;01,)1(

;1),1(

)( 2

xx

xx

xx

xf

7.8.

.4

,2

;4

0,

;0,

)(

2

x

xtgx

xx

xf

7.9.

.1,2

;10,1

;0,2

)( 2

x

xx

xx

xf

7.10.

.4,1

;40,

;0,2

)(

x

xx

xx

xf

Задача 8.

Найти производные dx

dyданных функций.

8.1.

а) 1

3342

3

xxxy

; б)

2cos )3( xey ;

в) )52sin(ln xy ;

г)

xxxy ;

д) x

x

ytg 5

.

8.2. а)

22 1 xxy ; б) x

xy

2cos

sin4

;

в)

xarctgey 2 ; г)

xxy1

;

д) 0 arctgyyx .

8.3.

а) 2

2

1

1

x

xxy

; б) xtg

y2

12

;

в) xy 31arcsin ; г)

xxy ln ;

д) yxxy cossin .

8.4.

а) 2543

63

xx

xy

; б) xxxy cossin ;

в) xxy m ln ; г)

tgxxy ;

д) y

xarctg

x

y

.

8.5.

а) 22 xa

xy

; б) x

xy

2

2

cos32

sin

;

в) 1

ln

x

xxy

; г)

xarctgxy ln)( ;

д) 01)1)(1( yx ee .

8.6.

а) 5 3

215

1

1

x

xy

; б) )1(2 23 xtgy ;

в)

3

3arctgxy ; г) xarctgxy )( ;

д) x

y

exy 2.

8.7.

а) 3

2

2

1

1

x

xy

;

б) xxxy )( 2 ;

в) 11 2

x

xarctgy

; г) xxtgy cosln

2

1 2 ;

д) 0333 axyyx .

consta

8.9. а)

5 2 15 xxxy ; б) xx ey 2 ;

в)

21/)(arcsin xxy ; г) xxy )(cos ;

д) )/(ln yxarctgy .

8.10. а)

3 32 11 xxy ; б)

tgxxtgy 3

3

1;

в) )2/()3( xxarctgy ; г)

2

)(cos xxy ;

д) 0 arctgxeyx y

.

Задача 9.

Найти dx

dy и 2

2

dx

yd для заданных функций. а) )(xfy ; б)

)(tx ; )(ty .

9.1. а) )1/( 2 xxy ; б) )2/cos(tx ; tty sin

9.2. а) xctgy 2ln ; б) ttx 83 ; tty 25

9.3. а) xxy ln3 ; б) ttx sin ; ty cos1

9.4. а) arctgxxy ; б)

tex 2 ; ty cos

9.5. а) arctgxy ; б) tx 2cos3 ; ty 3sin2

9.6. а)

xctgey 3 ; б) tx cos3 ; ty 2sin4

9.7. а) xey x cos ; б)

33 ttx ; 23ty

9.8. а) xey x sin б)

32 ttx ; 22ty

9.9.

а) 21 xxy

б) ttx cosln ; tty sinln .

9.10.

а)

2xexy б) tx ln ;

tty

1

2

1

.

Задача 10.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции )(xfy на

отрезке [а;в].

10.1. 712)( 3 xxxf ; 3;0 .

10.2. 2)3/5()( 35 xxxf ; 2;0 .

10.3. xxxf cos23)( ; 2

;0 .

10.4. 2163)( 34 xxxf ; 1;3 .

10.5. 13)( 3 xxxf ; 2;

21

.

10.6. xxxf 4)( 4 ; 2;2

10.7. xxxf sin23)( ; 2

;0

10.8. 481)( xxxf ; 4;1

10.9. 223)( xxf ; 3;1

10.10. xxxf sin)( ; ;

Задача 11.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию

)(xfy и, используя результаты исследования, построить ее график.

11.1. )4/(4 2xxy 11.2. )1/()1( 22 xxy

11.3. )1/()1( 22 xxy 11.4. )1/(2 xxy

11.5. )1/( 22 xxy 11.6. xxy /)54( 3

11.7. )3/()5( 2 xxy 11.8. )1/( 34 xxy

11.9. )1/(4 33 xxy 11.10. )41/()42( 22 xxy