数理統計学第１回 1

数理統計学 ( 第一回）確率変数とは？

浜田知久馬

数理統計学第１回 2

世の中は不確定なことが多い決まりきったことばかりとは限らない .

予想される値は決まっていてもばらつく .

このようなとき，確率変数によって，物事を確率的に記述できると便利なことが多い .

数理統計学第１回 3

確率変数 X

条件 1 ） X が取り得る値はある範囲（標本空間： sample space ）に定まっている．

条件 2 ） X はある時点が過ぎると値が定まる「実現値｣が，それまでは値が不確定である．

条件 3 ） X の取り得る値についての確率分布は定まっている．

数理統計学第１回 4

サイコロの目の例条件 1 ） 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6

条件 2 ）サイコロを投げると目は定まる条件 3 ） P ｒ｛ X ＝ i ｝＝ 1/6

　　　　　ｉ＝ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6

サイコロが壷の中で投げられていたらいかさまだったら

数理統計学第１回 5

隣の人の明日の登校時間条件 1 ） 0 時～ 24 時条件 2 ）明日来てみればわかる .

条件 3 ） 8 時 50 分位を中心にして，ある　　　　バラツキを持った分布にしたがう．

明日自分が休んでしまったら．総武線が遅れてしまったら .

数理統計学第１回 6

演習1 ）自分の身近なもので確率変数を 3 つあ

げること．2 ）条件 1 ），条件 2 ），条件 3 ）を上げ

ること．3 ）条件 1 ），条件 2 ），条件 3 ）を動か

す要因を考えること．

数理統計学第１回 7

天気予報より

きょう 4/22 ( 月 ) の 天気 　　　　　　　　　　　　　 4/23

時間帯　　 6 時 -12 時 12 時 -18 時 18 時 -24 時 0 時 -6 時 降水確率 　　 30% 　　　 20% 　　　 10% 　　　 10% 　予想気温 　　 ( )℃ 18 / - 　　　　　　　　　　　　　 23 / 13

週間予報　　　 4/24 ( 水 ) 4/25 ( 木 ) 4/26 ( 金 ) 4/27 ( 土 ) 4/28 ( 日 )

降水確率　　　　 30% 　 50% 　 50% 　　 40% 　　 20%

予想気温 ( )℃ 23/14 20/15 16/12 　　　 19/10 　 21/12

数理統計学第１回 8

統計工学Ⅱの得点

0 12 24 36 48 60 72 84 96

x

0

0.01

0.02

密度

20 40 60 80

x

x

数理統計学第１回 9

統計工学ⅠとⅡの平均得点

パーセント点100% 最大値 90.0000 75% Q3 60.0000 50% 中央値 33.5000 25% Q1 23.5000 0% 最小値 4.0000 範囲 86.0000 Q3-Q1 36.5000 最頻値 60.0000

99.0% 90.0000 97.5% 80.0000 95.0% 80.0000 90.0% 80.0000 10.0% 15.0000 5.0% 13.0000 2.5% 10.0000 1.0% 4.0000

モーメントN 88.0000平均値 42.6477標準偏差 22.9863歪度 0.2988無修正平方和 206025.000変動係数 53.8980

重みの合計 88.0000合計 3753.0000分散 528.3687尖度 -1.2634修正平方和 45968.0795標準誤差 2.4503

数理統計学第１回 10

確率変数と実現値確率変数：ある時点までは，確率分布によ

って記述される．実現値：ある時点を過ぎて定まった値のこ

とを実現値または観測値と呼ぶ確率変数は大文字で，実現値は小文字で表

現するのが一般的である．　　Ｘ→ｘ

数理統計学第１回 11

確率変数の分布の記述法

1 ）確率（密度）関数2 ）（累積）分布関数3 ）％点4 ）期待値，分散5 ）モーメント6) 母関数

数理統計学第１回 12

確率分布の記述確率分布とは，標本空間における確率という名

の量の分布である . 　確率の和は 1 である離散分布：確率関数　　　　 Σ ｐ (x) ＝ 1 　　　連続分布：確率密度関数　∫ｆ（ x ）ｄ x ＝ 1

　　ｐ (x) 0≧ ，ｆ (x) 0≧身長は離散分布か，連続分布か？お金は離散分布か，連続分布か？

数理統計学第１回 13

サイコロの目の確率分布

確率

1/6

　　 1 　　　　　 2 　　　　 3 　　　　 4 　　　　　 5 　　　　 6

数理統計学第１回 14

連続分布の確率

9:00 ちょうどに大学に来る確率はいくらか？9:00 と 9:10 に来る可能性はどちらが大きいか？9:00 から 9:10 に来る確率は？8:59 ： 30 から 9 ： 00 ： 30 に来る確率は？確率密度（ 1/ 時間）は定義できる．ある区間（ a ， b) に入る確率：∫ a

b 　ｆ（ｘ）ｄｘ

数理統計学第１回 15

正規分布の確率密度関数

f( ) expx

x

1

2 22 2

2

,

x

数理統計学第１回 16

標準正規分布の確率密度関数

数理統計学第１回 17

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Gauss.html

Carl Friedrich Gauss 1777-1855

ガウスについては下記に詳しい

数理統計学第１回 18

分布関数確率分布の別の記述方法Ｆ（ｘ）：ｘ以下になる確率（ 0 ～ 1)

離散型の分布：　

　　例）　サイコロで 3 以下になる確率連続型の分布：　

　　例）　 9 ： 00 までに来る確率

xu

upxF )()(

xduufxF )()(

数理統計学第１回 19

サイコロの目の例

　　　　 1 　　 　 2 　　 　 3 　　　 4 　 5 6 　　

6/6

5/6

4/6

3/6

2/6

1/6

0/6

数理統計学第１回 20

正規分布の例

数理統計学第１回 21

分布関数と確率関数離散型の分布　　ｐ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）－Ｆ（ｘ－）連続型の分布　　ｆ（ｘ）＝ｄＦ（ｘ）／ｄｘ

＊　ｘ－の意味はｘの－の側から単調に　　増加して収束することを意味する .

数理統計学第１回 22

H13 年度 17 歳の体格もしある確率変数の分布が定まれば , 様々な情報を得ることができる .

　　　　身長　平均　 SD 　　体重　平均　SD

男子　　　　 170.9 5.76 62.8 10.47

女子 158.0 5.32 53.2 8.11

仮に正規分布に従っているとすれば , ある範囲に入る確率 , ある値を超える確率を分布関数 , 確率密度関数から求められる .

数理統計学第１回 23

演習コインを 4 枚投げたときの , 表が出る回数

の確率関数と分布関数を記述せよ .

数理統計学第１回 24

表の回数の分布

二項分布（ｎ , ｐ）ｐ（ｘ）＝ｎＣｘｐｘ（ 1- ｐ）ｎ - ｘ

表表表表表表表裏　表表裏表　表裏表表　裏表表表表表裏裏　表裏表裏　裏表表裏　表裏裏表　裏表裏表　裏裏表表裏裏裏表　裏裏表裏　裏表裏裏　表裏裏裏裏裏裏裏確率＝ (1/2)× (1/2) ×(1/2) ×(1/2) ＝ 1/16

数理統計学第１回 25

ＳＡＳのプログラム例

data data;phi=0.50;n=4;do y=0 to 4; p=pdf('binomial',y,phi,n); F=cdf('binomial',y,phi,n);output;end;proc gplot;plot p*y/vzero;　 symbol1 i=needle;proc gplot;plot f*y/vzero;　 symbol1 i=steplj;

数理統計学第１回 26

確率関数

数理統計学第１回 27

分布関数

数理統計学第１回 28

ＥＸＣＥＬのＢＩＮＯＭＤＩＳＴ関数

2 項分布の確率関数　 or 　分布関数BINOMDIST( 成功数 , 試行回数 , 成功率 , 関数形式 )

成功数 　　試行回数 に含まれる成功の回数を指定試行回数 　独立試行の回数を指定成功率 　　 1 回の試行が成功する確率を指定関数形式 　 0 ：確率関数　 1 ：分布関数例　　　　　　 BINOMDIST(1,4,0.5,0) ＝ 0.25

　　　　　　　　 BINOMDIST(1,4,0.5,1) ＝ 0.3125

数理統計学第１回 29

ＥＸＣＥＬによる計算

0 0.06251 0.25 0.31252 0.375 0.68753 0.25 0.93754 0.0625 1

数理統計学第１回 30

％点： percentile

分布関数：確率密度関数の積分　→簡単な関数では表せない数表　ｘ→ F(x) 　　　 F(x) ＝ α → ｘ下側 100α ％点： F （ｘ）＝ α となるｘの値上側 100α ％点： F （ｘ）＝ 1 － α となるｘの値両側 100α ％点： F （ｘ）＝ 1 － α/2 となるｘの

値　　 50 ％点：メジアン　　 25,75 ％点：四分位点

数理統計学第１回 31

NORMDIST 関数正規分布の確率密度関数　 or 　分布関数NORMDIST(x, 平均 , 標準偏差 , 関数形式 )

　 x  関数に代入する数値を指定平均 分布の算術平均 を指定標準偏差 分布の標準偏差を指定関数形式 0 ：確率密度関数　 1 ：分布関

数例　 NORMDIST(-1,0,1,0) ＝ 0.241971

　 　 NORMDIST(-1,0,1,1) ＝ 0.158655

数理統計学第１回 32

NORMINV 関数標準正規累積分布関数の％点の値を返す。書式NORMINV( 確率 , 平均 , 標準偏差 )

確率 正規分布における確率を指定平均 分布の算術平均 ( 相加平均 ) を指定標準偏差 分布の標準偏差値を指定例　 NORMINV(0.95,0,1) ＝ 1.644853

数理統計学第１回 33

正規分布の数表の作成0.001 - 3.090250.005 - 2.575830.01 - 2.326350.025 - 1.959960.05 - 1.644850.1 - 1.281550.9 1.2815520.95 1.6448530.975 1.9599630.99 2.3263470.995 2.5758310.999 3.090253

数理統計学第１回 34

SASの乱数関数 NORMAL(seed) RANNOR(seed) 正規分布RANBIN(seed,n,p) 　　　　　　　 2 項分布RANCAU(seed) 　　　 　　　　 Cauchy 分布RANEXP(seed) 　　　　　　　 指数分布RANGAM(seed,alpha) 　ガンマ分布RANPOI(seed,lambda) 　　 ポアソン分布RANTBL(seed,p1,..pi,..pn) 　指定した重みRANTRI(seed,h) 三角分布RANUNI(seed) UNIFORM(seed) 一様乱数

数理統計学第１回 35

分布関数の％点

BETAINV(p,a,b) 　ベータ分布CINV(p,df<,nc>) カイ 2 乗分布FINV(p,ndf,ddf<,nc>) F 分布GAMINV(p,a) 　　 ガンマ分布PROBIT(p) 標準正規分布TINV(p,df<,nc>) 　 　 t 分布

数理統計学第１回 36

確率 ( 密度）関数POISSON((lambda,n) ポアソン分布PROBBETA(x,a,b) ベータ分布PROBBNML(p,n,m) 2 項分布PROBCHI(x,df<,nc>) カイ 2 乗分布PROBF(x,ndf,ddf<,nc>) F 分布PROBGAM(x,a) 　　　　ガンマ分布PROBHYPR(nn,k,x<,or>) 　超幾何分布PROBNEGB(p,n,m) 負の 2 項分布PROBNORM(x) 　　　　正規分布PROBT(x,df<,nc>) スチューデントの t 分布

数理統計学第１回 37

演習１　指数分布（連続分布）

機械（コンピュータ等）の故障するまでの時間は指数分布にしたがうことが知られている .

指数分布では分布関数はF(x)=1 － exp( － λ ｘ）となる . λ=1 として，指数分布の分布関数と確率密度関数を図示せよ .

ヒント　ｅｘｐ（－ 1)=0.3679 ，ｅｘｐ（－ 2)=0.1353

　　　 　ｅｘｐ（－ 3)=0.0498 ，ｅｘｐ（－ 4)=0.0183

数理統計学第１回 38

演習２　ポアソン分布 ( 離散分布）

稀な事象（交通事故等）の生起数はポアソン分布にしたがうことが知られている .

ポアソン分布では確率関数はｐ (x)= λ ｘ exp( － λ ） / ｘ！　ｘ＝ 0,1,2,・・・となる . λ=2 として，ポアソン分布の分布関数

と確率関数を図示せよ .

ヒント　ｅｘｐ（－ 2)=0.1353