Многомерные модели волатильности: некоторые приложения к анализу российского финансового рынка

Многомерные модели волатильности:

некоторые приложения к анализу российского финансового рынка

Т.Е. Овчинникова О.В. Польдин

Л а б о р а т о р и я количественного анализа и моделирования экономики

Волатильность — это статистический показатель,

характеризующий изменчивость цены Волатильность является важнейшим

финансовым показателем в управлении финансовыми рисками, где представляет собой меру риска использования финансового инструмента за заданный промежуток времени


Волатильность определяется политическими событиями макроэкономической ситуацией поведением инвесторов показателями промышленного пр-ва процентными ставками темпами роста денег здоровьем экономики вцелом

...


Кластеризация волатильности

Ряд1

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Дата

US

D/R

UB


Модели с условной авторегрессионной гетероскедастичностью

ARCH - Engle, 1982 год

Была создана для определения существования волатильности в инфляции

Позже было выявлено, что модель ARCH подходит ко многим финансовым временным рядам

Нобелевская премия в 2003 году


ARCH

ARCH-модель моделирует волатильность в виде суммы константной базовой волатильности и линейной функции абсолютных значений нескольких последних изменений цен.

ttr

q

j

jtjt ah1

2

Zh tt


GENERALIZED ARCH

GARCH – Bollerslev , 1986 год На текущую волатильность влияют как предыдущие

изменения цен, так и предыдущие оценки волатильности

Было установлено, что даже простые модели GARCH (1,1) позволяют объяснить около 95% волатильности доходности

q

j

jtj

p

iitit ahh

1

2

1


Многомерные модели

VECH, DVECH, BEKK - Bollerslev, Engle, Wooldridge, 1988 год

Изучение отношения между волатильностями и совместными волатильностями различных рынков

Построение условной дисперсии и условной ковариации


Модель VECH для двух активов

)(*)*(*)( 111 tttt HVECHBVECHACHVECH

31

21

11

2

1

2221

1211

c

c

c

C

tu

ut

hh

hhH

t

tt

ttt

333231

232221

131211

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B

aaa

aaa

aaa

A


Модель VECH для двух активов Матричный оператор VECH берет верхне-

треугольную часть матрицы и складывает ее элементы в вектор-столбец

ththt

h

tHVECH

22

12

11

)(

tt

t

t

ttt

uu

u

u

uutu

uVECH

ttVECH

21

22

12

212

1 *)(


Модель VECH для двух активов

1123312232

11131121133122

32112

313112

1122312222

11121121123122

22112

212122

1121311111

12212121113122

12112

111111

tt

tttttt

tt

tttttt

tt

tttttt

hbhb

hbuuauauach

hbhb

hbuuauauach

hbhb

hbuuauauach

Не гарантирует положительную полуопределенность Ht!


Модель BEKK для двух активов

BEKK- Engle, Kroner. 1995 год Модель BEKK убирает недостаток

VECH, гарантируя, что матрица Н всегда положительно полуопределена.

BHBAACCH tttt 111 )(



2221

1211

1t,221t,21

1t,121t,11

2212

2111

2221

1211

1t,22

1t,11t,2

1t,21t,11t,12

2212

2111

2221

1211

2212

2111

t,22t,21

t,12t,11

bb

bb

hh

hh

bb

bb

aa

aa

uuu

uuu

aa

aa

cc

cc

cc

cc

hh

hh



1t,2222221t,1222121t,2122121t,111212

1t,22

22221t,21t,122121t,11t,222121t,12

121222221212t12

1t,2222211t,1221121t,2122111t,111211

1t,22

22211t,21t,121121t,11t,222111t,12

121122211211t21

1t,2221211t,1221111t,2121111t,111111

1t,22

21211t,21t,121111t,11t,221111t,12

111121211111t11

hbbhbbhbbhbb

uaauuaauuaauaaссссh

hbbhbbhbbhbb


hbbhbbhbbhbb



Модель BEKK, недостатки

Параметры в матрицах А, В и С не имеют прямой интерпретации

Большое число параметров для оценки. Параметры на практике часто бывают незначимы


Приложение: Эмпирическая оценка многомерной волатильности с помощью

моделей DVECH и ВЕКК для индекса РТС и нефти марки Brent


Совместная волатильность индекса РТС и нефти марки Brent

Brent (Brent Crude) — эталонная марка нефти, добываемой в Северном море. Цена нефти Brent с 1971 года является основой для ценообразования около 40 % всех мировых сортов нефти, в частности, российской нефти Urals

Индекс РТС - основного индикатора фондового рынка России, расчет которого начался 1 сентября 1995 года. Расчет индекса РТС производится на основе 50 ценных бумаг наиболее капитализированных российских компаний в долларах США

В работе использована дневная доходность активов с 1 сентября 1995 года по 31 декабря 2009 года. Всего 3533 наблюдения


Графики исследуемых активов

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Дата

RT

SI

0

20

40

60

80

100

120

140

160

Дата

BR

EN

T


Графики логарифмической доходности

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Дата

Ln

RT

SI

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Дата

Ln

Bre

nt


Статистические характеристики

Среднеезначение

Минимум Максимум Стандартноеотклонение

Асимметрия Эксцесс

Brent 0.044148 -16.63447 15.24168 2.482780 -0.136607 6.500115

РТС 0.075585 -21.1994 20.20392 2.887899 -0.365264 9.535264

0

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

-20 -10 0 10 20

Series : LNR TSSam ple 9/01/1995 12/31/2009O bservations 3533

Mean 0.075585Median 0.190059Maxim um 20.20392Minim um -21.19942Std. D ev. 2.887899Skewness -0.365264Kurtos is 9.535570

Jarque-Bera 6366.370Probability 0.000000

РТСBrent


Выбор временного лага для модели DVECH

DVECH (1,1) DVECH (2,1) DVECH (1,2) DVECH (2,2)

Coeff Prob. Coeff Prob. Coeff Prob. Coeff Prob.

С(1,1) 0.063991 0.0000 0.056794 0.0000 0.096636 0.0000 0.062574 0.0016

С(1,2) 0.002886 0.0251 0.042147 0.0307 0.004214 0.0257 0.003172 0.1770

С(2,2) 0.162617 0.0000 0.171300 0.0000 0.193896 0.0000 0.162663 0.7494

A1(1,1) 0.041033 0.0000 0.044767 0.0000 0.063321 0.0000 0.040546 0.0000

A1(1,2) 0.004957 0.0077 0.026758 0.0540 0.007293 0.0084 0.005461 0.7470

A1(2,2) 0.160198 0.0000 0.174421 0.0000 0.191424 0.0000 0.161628 0.0000

A2(1,1) 3.82E-08 1.0000 6.06E-07 0.9999

A2(1,2) -2.73E-07 1.0000 6.91E-06 0.9997

A2(2,2) 1.95E-06 0.9999 7.88E-05 0.9999

B1(1,1) 0.948819 0.0000 0.947194 0.0000 0.346641 0.0223 0.943641 0.0006

B1(1,2) 0.990638 0.0000 0.911145 0.0000 0.607848 0.0000 0.977017 0.1019

B1(2,2) 0.828743 0.0000 0.817625 0.0000 0.545397 0.0000 0.799586 0.8029

B2(1,1) 0.574691 0.0001 0.005895 0.9820

B2(1,2) 0.378432 0.0000 0.012763 0.9828

B2(2,2) 0.249196 0.0009 0.027634 0.9917


Выбор временного лага для модели DVECH

Для данных активов все коэффициенты значимы только для моделей DVECH (1,1) и DVECH (1,2)

Сравним суммы модулей отклонений прогнозируемой волатильности от реализованной:

В обоих случаях модель DVECH (1,1) показывает хоть и незначительно, но лучшие результаты. DVECH (1,1) DVECH (1,2)

Brent 2.36134762518790e+004 2.36368218007179e+004

РТС 3.16702645219295e+004 3.16828520293715e+004


Результаты построения модели DVECH

Coefficient Prob. С(1,1) 0.063991 0.0000

С(1,2) 0.002886 0.0251

С(2,2) 0.162617 0.0000

A(1,1) 0.041033 0.0000

A(1,2) 0.004957 0.0077

A(2,2) 0.160198 0.0000

B(1,1) 0.948819 0.0000

B(1,2) 0.990638 0.0000

B(2,2) 0.828743 0.0000

112121112321212

12222122

222222

11111112

111111

tttt

ttt

ttt

hВuuАСh

hВuАСh

hВuАСh


0

20

40

60

80

100

120

96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

VARRTS

0

5

10

15

20

25

30

35

96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

VARBR

-1

0

1

2

3

4

5

96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

CO V

-.1

.0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

CO RR



Результаты построения модели ВЕКК


Coefficient Std. Err

С(1,1) 0,4163 0,004

С(1,2) 0 0

С(2,1) 0,1918 0,0036

С(2,2) 0,1927 0,0019

A(1,1) 0,396 0,0017

A(1,2) 0,002 0,0001

A(2,1) 0,0359 0,0002

A(2,2) 0,168 0,0003

B(1,1) 0,9121 0,0003

B(1,2) -0,004 0

B(2,1) -0,0187 0

B(2,2) 0,9802 0

2221

1211

1t,221t,21

1t,121t,11

2212

2111

2221

1211

1t,22

1t,11t,2

1t,21t,11t,12

2212

2111

2221

1211

2212

2111

t,22t,21

t,12t,11

bb

bb

hh

hh

bb

bb

aa

aa

uuu

uuu

aa

aa

cc

cc

cc

cc

hh

hh

Результаты построения модели ВЕКК

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

5

10

15

20

25

V ar B rent

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

20

40

60

80

100

120

V ar RTS

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-10

-5

0

5

10

15

20

25

Cov B rent RTS

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Corr B rent RTS


Сравнительный анализ моделей DVECH и ВЕКК


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

50

100

150

200

250

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Brent

DVECH

РТС



Brent

ВЕКК

РТС

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

50

100

150

200

250

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500


Отклонения прогнозируемой волатильности от реализованной

Отношение суммы прогнозируемой и суммы реализованной волатильности

DVECH (1,1) ВЕКК

Brent 2.361347625187905e+004 2.375623131259052e+004

РТС 3.167026452192953e+004 3.179569946919395e+004


DVECH (1,1) ВЕКК

Brent 1.0029 1.0076

РТС 1.0502 1.0557

Выводы:

Индекс РТС очевидно является более волатильным, чем Brent

Оба актива демонстрируют резкое увеличение волатильности с началом экономического кризиса 2008 года, в этот период также резко возрос показатель условной корреляции

Стабилизация мировой экономики позволяет показателям волатильности постепенно снижаться.


Совместная волатильность валютных пар EUR/USD и JPY/USD Котируемыми валютами являются японская

йена и евро, а базовой - доллар США, что позволяет сделать предположение о том, что в отдельные периоды времени они могут двигаться сонаправленно под действием изменения базовой валюты.

Исследуемый период с февраля 2001г по январь 2010г, всего взято 2841 наблюдение.


Графики исследуемых активовEUR/USD

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

16.02.01 16.02.02 16.02.03 16.02.04 16.02.05 16.02.06 16.02.07 16.02.08 16.02.09

DATE

EU

R/U

SD

JPY/USD

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

16.02.01 16.01.02 16.12.02 16.11.03 16.10.04 16.09.05 16.08.06 16.07.07 16.06.08 16.05.09

DATE

JP

Y/U

SD



112121112321212

12222122

222222

11111112

111111

tttt

ttt

ttt

hВuuАСh

hВuАСh

hВuАСhCoefficient Prob.

M(1,1) 1.24E-07 0.0002

M(1,2) 2.39E-07 0.0000

M(2,2) 7.63E-07 0.0000

A(1,1) 0.026822 0.0000

A(1,2) 0.036251 0.0000

A(2,2) 0.049770 0.0000

B(1,1) 0.969829 0.0000

B(1,2) 0.950230 0.0000

B(2,2) 0.930562 0.0000



0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

2/1

6/0

1

7/2

4/0

1

12

/19

/01

6/1

8/0

2

11

/25

/02

5/0

1/0

3

9/3

0/0

3

2/2

8/0

4

7/2

7/0

4

12

/25

/04

5/2

7/0

5

10

/24

/05

3/2

3/0

6

8/1

9/0

6

1/1

6/0

7

6/2

3/0

7

11

/11

/07

3/1

9/0

8

7/2

5/0

8

12

/01

/08

4/0

8/0

9

8/1

5/0

9

12

/21

/09

VAREUR

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

2/1

6/0

1

7/2

4/0

1

12

/19

/01

6/1

8/0

2

11

/25

/02

5/0

1/0

3

9/3

0/0

3

2/2

8/0

4

7/2

7/0

4

12

/25

/04

5/2

7/0

5

10

/24

/05

3/2

3/0

6

8/1

9/0

6

1/1

6/0

7

6/2

3/0

7

11

/11

/07

3/1

9/0

8

7/2

5/0

8

12

/01

/08

4/0

8/0

9

8/1

5/0

9

12

/21

/09

VARJPY

-.8

-.6

-.4

-.2

.0

.2

.4

.6

2/1

6/0

1

7/2

4/0

1

12

/19

/01

6/1

8/0

2

11

/25

/02

5/0

1/0

3

9/3

0/0

3

2/2

8/0

4

7/2

7/0

4

12

/25

/04

5/2

7/0

5

10

/24

/05

3/2

3/0

6

8/1

9/0

6

1/1

6/0

7

6/2

3/0

7

11

/11

/07

3/1

9/0

8

7/2

5/0

8

12

/01

/08

4/0

8/0

9

8/1

5/0

9

12

/21

/09

CO V

-.6

-.4

-.2

.0

.2

.4

.6

.8

2/1

6/0

1

7/2

4/0

1

12

/19

/01

6/1

8/0

2

11

/25

/02

5/0

1/0

3

9/3

0/0

3

2/2

8/0

4

7/2

7/0

4

12

/25

/04

5/2

7/0

5

10

/24

/05

3/2

3/0

6

8/1

9/0

6

1/1

6/0

7

6/2

3/0

7

11

/11

/07

3/1

9/0

8

7/2

5/0

8

12

/01

/08

4/0

8/0

9

8/1

5/0

9

12

/21

/09

CO RR


Выводы:

JPY/USD чуть более волатильна, чем EUR/USD, Наблюдается один резкой всплеск волатильности в

период кризиса в конце 2008 года Корреляция этих валютных пар довольно высока и

положительна, однако на графике наблюдаются несколько отрицательных выбросов, что может объясняться выходом новостей, имеющих разнонаправленное воздействие на EUR и JPY

Самый сильный отрицательный выброс корреляции наблюдается в конце 2008 года, когда наблюдалось длительное разнонаправленное движение котировок исследуемых валютных пар


Литература:

1. Brooks C. Introductory Econometrics for Finance. Cambridge University Press, New York, 2008.

2 .Poon S.-H. A practical guide to forecasting financial market volatility. Wiley, 2005. P. 10-39.

3. Tsay R. Analysis of Financial Time Series. Wiley, 2005 4. Palm F. C. GARCH Models of Volatility // G. S. Maddala and C.

R. Rao, eds., Handbook of Statistics, Vol. 14. Elsevier Science B. V. 1996

5. Silvennoinen A., Teräsvirta T. Multivariate GARCH Models // T.G. Anderson et al., Handbook of Financial Time Series. Springer, 2009

6.Bauwens L., Laurent S., Rombouts J.. Multivariate GARCH Models: A Survey. // Journal of Applied Econometrics 21, 2006, pp. 79–109.


Documents

Многомерные модели волатильности: некоторые приложения к анализу российского финансового рынка