Множество комплексных

чисел.

Комплексным числом называется выражение вида а + bi, в котором а и b – действительные числа, а i – некоторый символ такой, что

Действительное число a называется действительной частью z=a+bi (Re z), а число b-мнимой частью (Im z)

Комплексное число z=a+bi изображают точкой плоскости с координатами (a;b)Точка М(a;b), соответствующая комплексному числу z=a+bi, называется аффиксом данного числа z.

12 i

Два комплексных числа (a; b) и (c; d) называются равными, если а = с и b = d.

Комплексное число a-bi называется

комплексно сопряженным с числом a+bi

и обозначается через

= a-bi

Комплексные числа вида a+bi и –a-bi называются противоположными.

z

biaz

Арифметические операции над комплексными числами

Суммой комплексных чисел z = (a; b) и

w = (c; d) называется комплексное число

(a+c; b+d).

Разностью комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называют такое числоu, которое в сумме с числом w даёт число z

z = w + u.

Справедливо следующее правило: (a; b) – (c; d) = (a – c; b – d).

Произведением комплексных чисел z = (a; b) и

w = (c; d) называют комплексное число

(ac – bd; ad + bc)

Частным от деления z на w называют число u, равное:

2222

;dc

adbc

dc

bdacu

Нахождение степеней числа i

Если показатель степени i делится на 4, то значение степени равно 1, если при делении показателя на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i, если при делении показателя на 4 остаток равен 2, то значение степени равно -1, если в остатке при делении показателя на 4 будет 3, то значение степени равно –i.

• Вычислить: 1) i 66 , 2) i143 , 3) i216 ,4)i137 Решение: 1) i66

66:4=16(2). Остаток равен 2, значит i66=-1

2)i143

143 :4=35(3).В остатке 3, значит i 143=-i

3)i216

216:4=54(0).в остатке 0, значит i216=1

4)i137

137:4=34(1).В остатке 1, значит i137=i

,

i

iii

1

23)21(

iii

ii

i

iii

ii

ii

i

i

iiiii

2

3

2

5

2

5

2

1)2)(3

2

5

2

1

11

253

1

2323

)1)(1(

)1)(23(

1

23)2

22)21)(1

2

2

2

Пример 1

Вычислить:

Геометрический смысл комплексного числа

Каждой точке М плоскости с координатами (a,b) соответствует один и только один вектор

с началом в точке z = 0 и концом в точке z=a+bi

zOM

y

x

M(a;b)

0

b

a

Если комплексное число Z= a+bi трактовать как точку M (a,b) плоскости xOy, то модуль Z равен расстоянию точки M (a,b) от начала координат

Если на плоскости ввести полярные координаты (r,φ), где φ аргумент числа z (φ=argz) - угол между действительной осью ОХ и вектором ОМ, то а = r COS φ, b = r SIN φ В силу этого комплексное число Z можно записать в форме z = r(COS φ+iSIN φ), где r – модуль числа Z, φ – угол (в рад.), который составляет вектор OM с положительным направлением оси ox

22 baz

Тригонометрическая форма комплексного числа

Тригонометрической формой комплексного числа называют его запись в виде:

z = r(cosφ + isinφ), где - модуль, а

φ – аргумент числа z, связанный с а и b формулами:

22 bar

22

22

sin

;cos

ba

bba

a

Угол φ из промежутка называется главным аргументом. Все остальные значения угла φ могут быть получены прибавлением к главному аргументу значений 2 n, где n – любое целое число.

;

Пример2.

Записать в тригонометрической форме:

Сначала находим модуль числа:

Далее, согласно формулам (*),

имеем:

Учитывая, что угол

i232

42)32( 22 r

2

1

4

2sin;

2

3

4

32cos

6

5sin

6

5cos4

iz

6

5 ;

Итак,

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

При умножении/делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются /делятся, а аргументы складываются (вычитаются).

))sin()(cos(

))sin()(cos(

21212

1

2

1

21212121

ir

r

z

z

irrzz(1)

(2)

Пример3. Выполнить действия:

Используя формулу (1), находим:

iii5

2

2sin

2cos

5

2

3

2

6sin

3

2

6cos

10

4

3

2sin

3

2cos

10

1*

6sin

6cos4

ii

При возведении комплексного числа z = r (Cosφ + iSinφ) в натуральную степень

nмодуль данного числа возводится в эту

степень,

а аргумент умножается на показатель степени:

формула Муавра

)4)(sin(cos ninrz nn

Корень n-й степени из комплексного числа z = r (Cosφ + iSinφ) имеет n различных значений, которые находятся по формуле :

)3(2

sin2

cos

n

in

rz nn

Здесь к = 0, 1, 2, … n-1

Пример4. Решить уравнение

Корнями данного уравнения являются все значения Для числа - 4 имеем r =2,

Согласно формуле(3),

находим:

042 z

4

2

2

2sin

2

2cos24

i

Если к = 0, то

Если к = 1, то

ii 22

sin2

cos21

ii 22

3sin

2

3cos22

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

)sin(cos i

,sincos iei

z

irez

Если комплексному числу , модуль которого равен 1, поставить в соответствие показанное выражение , то получим соотношение

то получим соотношение которое называется формулой Эйлера.

Любое комплексное число можно записать в виде

. Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.

ie

Пример: Записать число в показательной форме.

Решение: Здесь

тогда показательная форма числа имеет вид

.

)2

3sin

2

3(cos3

iz

2

3,3

r

2

3

3

iez

Пример: Записать число в показательной форме.

iz 5

z irez

zРешение. Что бы представить число в виде

нужно найти модуль и аргумент числа

.

;5,0 ba ,2

3,550 222 bar

z

iez 2

3

5

Здесь тогда

так как точка лежит на мнимой оси комплексной плоскости.

Зная r и , получим

.

• Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме

Если комплексные числа записаны в показательной форме, то умножение, деление, возведение в степень производится по правилам действий со степенями.

111

ierz 222

ierz 21

2121 ierrzz

21

2

1

2

1 ier

r

z

z

Так, для произведения и частного комплексных чисел

и справедливы формулы

а для n-й степени комплексного числа используется•формула

ninn erz

Для вычисления корня из комплексного числа

используется формула

irez

n

knn rz

2

e

где k принимает n значений: 0,1,2,…,n-1.

Понятие функции комплексного переменного и отличие от действительного анализа

Пусть D – некоторая область на комплексной плоскости

Dz

Определение. Функцией комплексного аргумента с областью определения D называется соответствие,которое любому комплексному числу сопостовляет одно или несколько комплексных значений.Таким образом, в отличие от действительного анализа, в комплексном анализе допускаются многозначные функции. Например,

f(z)=az+b (a, b – фиксированные комплексные числа)-однозначная функция; - однозначная функция2)( zzf

- n-значная функция;

-бесконечнозначная функция.

Если функция однозначна,то она может быть задана в виде отображения В таком случае функция называется однолистной .В дальнейшем, если не указано особо,будем рассматривать однолистные функции.

n zzf )(Argzzf )(

CDf :

Пример: Для функции найти

Решение: Подставим в место z значение i в функцию

Ответ: f(i)=1

12

1)(

2

i

zzf )(if

11012

111

2

1)(

2

ii

iif

Компоненты функции

Пусть дана функция , Представим z в алгебраической форме Значение f(x)-комплексное число,т.е. ,которое также можем представить в алгебраической форме ,где и -действительные функции комплексного аргумента,но задание я эквивалентно заданию пары(x,y).Окончательно,любую функцию комплексного аргумента можно представить в виде

,где и -действительные функции двух действительных переменных.Функции u и v называются компонентами функции f(z),u- действительная компонента,v-мнимая компонента.Пишут :

)(zf Dz iyxz

Czf )()()()( zivzuzf

)(zu )(zv

),(),()( yxivyxuzf ),( yxu ),( yxv

)(Re zfu )(Im zfv

Пример: Для функции

Где найти ее действительную и мнимую часть.

Решение:

(x+iy)2+4i=x2+2ixy-y2+4i=(x2-y2)+(2xyi+4i)=(x2-y2)+i(2xy+4).

Тогда действительная часть функции f(z) - x2-y2,а

мнимая - 2xy+4.

iiyxzf 4)()( 2 iyxz

22))(Re( yxzf

42))((Im xyzf

Понятие непрерывности определяется аналогично действительному случаю.

F(z)-непрерывна в точке

Так как это определение формально совпадает с обычным ,то все свойства непрерывной функции комплексного аргумента совпадают дословно со свойствами действительных функций.

0z 0)()(lim 00

zfzfzz

)( )()( 00 zfzfzz