narod.rulesar.narod.ru/Learn/vishk/TFKPlek.pdf1.1. Множество комплексных чисел 3 Теорема 1 (Свойства операций над комплексными

Теория функции комплексногопеременного. Курс лекций.

Гурина Т.А.

Глава 1

Введение в комплексный анализ

1.1 Множество комплексных чиселN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.N – множество натуральных чисел;Z – множество целых чисел;Q – множество рациональных чисел;R – множество действительных чисел;C – множество комплексных чисел.

Пример. Решим уравнение x2 − 2x+ 5 = 0x12 = 1±

√−4;√

−1 = i /∈ R;x1 = 1− 2i,x2 = 1 + 2i;

Определение 1 (Комплексное число). Говорят, что пара (комплекс)z = (x, y), x, y ∈ R является комплексным числом и пишут: x = Re z; y =Im z, если выполняются следующие условия:

1. z1 = z2, (x1, y1) = (x2, y2) ⇔ x1 = x2, y1 = y2;

2. z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2);

3. z1·z2 = (x1, y1)·(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1);

Замечание. z = (x, 0) = x – чисто действительное число; (0, y) – чистомнимое число;(0, 1) = i – мнимая единица. i2 = (0, 1)·(0, 1) = (0·0 − 1·1, 0·1 + 1·0) =(−1, 0) = −1.

2

1.1. Множество комплексных чисел 3

Теорема 1 (Свойства операций над комплексными числами).Пусть z = (x, y), z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2), z3 = (x3, y3) ∈ C. Тогдасправедливы следующие свойства:

I Свойства сложения:

1. z1 + z2 = z2 + z1 – свойство коммутативности;

2. z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 – свойство ассоциативности;

3. ∃! e : z + e = z. e = (0, 0) - существование и единственностьнейтрального элемента по сложению

4. ∃! z−1 : z+z−1 = e - существование и единственность обратногоэлемента по сложению

II Свойства умножения:

1. z1·z2 = z2·z1 – свойство коммутативности;

2. z1·(z2·z3) = (z1·z2)·z3 – свойство ассоциативности;

3. ∃! e : z·e = z. e = (1, 0) - существование и единственностьнейтрального элемента по умноженио;

4. ∃! z−1 : z·z−1 = e.

z−1 =

(x

x2 + y2,−y

x2 + y2

)- существование и единственность обратного элемента поумноженио;

III Свойство дистрибутивности:(z1 + z2)·z3 = z1z3 + z2z3

Доказательство. I.1 (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 +y1) = z2 + z1. Коммутативность сложения комплексных чисел следует изкоммутативности сложения действительных чисел.I.3 (x, y) + (0, 0) = (x, y), т.е. e = (0, 0) = 0 - нейтральный элемент посложению.Докажем единственность нейтрального элемента. Пусть ∃e 6= e : z + e =z ⇒ e+ z + e = z + e = z + e = z ⇒ e = e.

Замечание. Множество, обладающее свойствами I и II, называется алгебраическимполем. Множества R и Q являются алгебраическими полями; множестваN и Z алгебраическими полями не являются.

4 Глава 1. Введение в комплексный анализ

Замечание. 1. Наличие обратных элементов по сложению и умножениоозначает наличие операций вычитания и деления.2. На множестве C отсутствует отношение порядка, т.е. запись видаz1 > z2 не имеет смыла.

Определение 2 (Алгебраическая форма записи комплексногочисла). z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)·(y, 0). Равенство вида

z = x+ iy

называется алгебраической формой записи комплексного числа z.

Замечание. В алгебраической форме свойства Определения 1 весьмаочевидны :z1 + z2 = x1 + iy1 + x2 + iy2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);z1z2 = (x1 + iy1)·(x2 + iy2) = x1x2 + iy1x2 + ix1y2 + i2y1y2 = (x1x2− y1y2) ++ i(x1y2 + y1x2);

Определение 3 (Модуль и аргумент комплексного числа). Комплексноечисло можно графически представить в виде вектора, у которого перваякоордината равна действительной части комплексного числа, а вторая -мнимой (см. рисунок).Модуль комплексного числа, |z| = r =

√x2 + y2, - длина вектора.

Аргумент: ϕ = arg z, ϕ ∈ (−π, π]

-

6

y

x

z = (x, y)

Re z

Im z

0sinϕ = y/r; cosϕ = x/r;Arg z = arg z + 2πn, n ∈ Z.

Определение 4 (Тригонометрическая форма записи комплексногочисла). z = x+ iy = r cosϕ+ i r sinϕ = r(cosϕ+ i sinϕ)

z = |z|(cos Arg z + i sin Arg z)


Определение 5 (Показательная форма записи комплексного числа).Согласно формуле Эйлера: eiϕ = cosϕ+ i sinϕ, ϕ ∈ R;z = |z|(cos Arg z + i sin Arg z) = r eiϕ

z = r eiϕ, z = |z|ei Arg ϕ

Алгебраической формой записи комплексных чисел удобно пользоватьсяпри их сложении и вычитании, а тригонометрической и показательной -при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня.

Теорема 2 (Свойства операций над комплексными числами втригонометрической форме). Пусть z1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1), z2 =r2(cosϕ2 + i sinϕ2), z = r(cosϕ + i sinϕ). Тогда справедливы следующиесоотношения:

1. z1 z2 = (r1 r2)(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2))

2.z1

z2

=r1r2

(cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2))

3. zn = (rn)(cos(nϕ) + i sin(nϕ))

4. n√z = n

√r(cos

ϕ+ 2πk

n+ i sin(ϕ1 − ϕ2))

Доказательство. Доказательство провести самостоятельно с использованиемэлементарных формул тригонометрии.

Теорема 3 (Свойства операций над комплексными числами впоказательной форме). Пусть z = r eiϕ, z1 = r1 e

iϕ1, z2 = r2 eiϕ2 -

комплексные числа. Тогда справедливы следующие соотношения:

1. z1 z2 = (r1 r2)ei(ϕ1+ϕ2)

2.z1

z2

=r1r2ei(ϕ1−ϕ2)

3. zn = rn ei n ϕ

4. n√z = n

√ze

iϕ+2πkn , k = 0, 1, ..., (n− 1)

Доказательство. Утверждения теоремы 3 являются перефомулировкойсоответствующих утверждений теоремы 2 в показательной форме.


Определение 6 (Комплексное сопряжение). Говорят, что число zявляется комплексно-сопрояженным числу z ∈ C, если Re z = Re z, аIm z = − Im z.z = x+ iy, z = x− iy;z = r(z = cosϕ+ i sinϕ, z = cosϕ− i sinϕ);z = r ei ϕ, z = r ei ϕ.

Теорема 4 (Свойства комплексного сопряжения). Пусть z1, z2, z– комплексные числа.

1. (z1 + z2) = z1 + z2

2. (z1 · z2) = z1 · z2

3. (zn) = (z)n

4.(z1

z2

)=z1

z2

5. z · z = |z|2

6. (z) = z

Доказательство. Доказывается непосредственно на основании свойствалгебраической, тригонометрической и показательной форм записи комплексногочисла.

Теорема 5 (Свойства модулю комплексного числа). Пусть z1, z2, z– комплексные числа.

1. |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|;

2. |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|;

3. |z1 · z2| = |z1| · |z2|;

4.∣∣∣∣z1

z2

∣∣∣∣ =|z1||z2|

;

5. |z| = |z|;

6. |zn| = |z|n.

Теорема 6 (Свойства аргумента комплексного числа). Пусть z1, z2, z– комплексные числа.


1. arg(z1 · z2) = arg z1 + arg z2;

2. arg

(z1

z2

)= arg z1 − arg z2;

3. arg(zn) = n · arg(z);

4. arg n√z =

arg z + 2πk

n, k = 0, . . . , (n− 1).


1.2 Топология множества C

Определение 1 (Комплексная плоскость). Геометрически удобнопредставлять комплексные числа в виде векторов.(x, 0) – вещественная ось;(0, y) – мнимая ось;(x, 0) ∩ (0, y) = (0, 0) = 0.

-

6

y

x

z = (x, y)

Re z

Im z

0

C ↔ R2, C ↔ V – пространство геометрических векторов.

Сумме (разности) комплексных чисел z1 и z2 соответствует сумма (разность)соответствующих векторов. Произведению комплексных чисел соответствуетвектор, лежащий под углом ϕ1+ϕ2 к вещественной оси, с длиной, равнойпроизведению модулей перемножаемых комплексных чисел. Частномусоответствует вектор, лежащий под углом ϕ1−ϕ2 к вещественной оси, сдлиной, равной частному модулей. Комплексному сопряжению соответствуетвектор, симметричный z относительно вещественной оси.

1.2. Топология множества C 9

Определение 2 (Метрика на множестве C). Пусть z1, z2 ∈ C.Функция d(z1, z2) := |z1−z2| =

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 называется метрикой.

Замечание. Метрика обладает следующими свойствами:

1. d(z1, z2) = 0 ⇔ z1 = z2;

2. d(z1, z2) = d(z2, z1);

3. d(z1, z2) ≤ d(z1, z3) + d(z2, z3) – неравенство треугольника.

Определение 3 (Окрестность в C). Пусть c ∈ C, ε ∈ R, ε > 0. ε-окрестностью точки c называется множествоUε(c) := z ∈ C | d(z, c) < ε.UM(∞) := z ∈ C | d(z, 0) > M.


Замечание. Uε(c) и UM(∞) - открытые множества.

Определение 4 (Предел комплексной последовательности). Пустьзадана последовательность zn ⊂ C. c = lim

n→∞zn :⇔ ∀Uε(c)∃ N :

∀ n > N zn ∈ Uε(c)

Замечание (Свойства пределов комплексных последовательностей).

1. z′n → c′, z′′n → c′′ ⇒

z′n + z′′n → c′ + c′′,

z′n · z′′n → c′ · c′′,z′nz′′n

→ c′

c′′, c′′ 6= 0.

2. zn = xn + iyn, c = a+ ib.zn → c⇒ xn → a, yn → b.

3. zn = rneiϕn , c = |c|ei arg c,

zn → c⇒ rn → |c|.

4. rn → c, ϕn → arg c⇒ zn → c

Определение 5 (Бесконечно удаленная точка).lim

n→∞zn = ∞ :⇔ ∀UM(∞)∃N : ∀n > N zn ∈ UM(∞).

Замечание. Бесконечно удаленная точка - это внешность сколь угоднобольшого круга на комплексной плоскости. Или бесконечно удаленнаяточка - это объединение всех точек окружности бесконечно большогорадиуса.

Определение 6 (Бесконечно удаленная точка).lim

n→∞zn = ∞ :⇔ ∀UM(∞)∃N : ∀n > N zn ∈ UM(∞).

Определение 7 (Расширенная комплексная плоскость). МножествоC = C ∪ ∞ называется расширенной комплексной плоскостью.

Замечание. Склеивая точки окружности сколь угодно большого радиусаили добавляя точку бесконечность к множеству конечных комплексныхчисел, мы приходим к пониманию множества комплексных чисел каксферы.

1.2. Топология множества C 11

Определение 8 (Стереографическая проекция. Сфера Римана).

Как было сказано выше, склеим всеточки окружности бесконечно большогорадиуса. Полученная сфера называетсясферой Римана. Чтобы получитьстереографическую проекцию какой-либо точки z комплексной плоскости,необходимо

провести прямую, соединяющую точки z и N . Точка пересечения прямойи сферы и будет искомой проекцией.

Определение 9 (Открытое и замкнутое множества в C, границамножества). Говорят, что множество Ω ∈ C является открытым, еслилюбая точка, принадлежащая множеству Ω, входит в него вместе со своейокрестностью.

∀c ∈ Ω ⇒ U(c) ∈ Ω.Говорят, что точка c ∈ Γ является граничной, если любая окрестностьU(c) содержит как точки, принадлежащие Ω, так и не принадлежащиеΩ.

Замыканием открытого множества Ω - Ω назовем объединение этогомножства с границей:Ω = Ω

⋃Γ.

Замечание. Множество C открыто, множество C - замкнуто.

Определение 10 (Связное и несвязное множества). Множество Ωназывается связным, если любые две его точки можно соединить кривой,принадлежащей этому множеству. Если существуют точки, которые нельзясоединить кривой, целиком лежащей в Ω, множество Ω называется несвязным.


Замечание. Множество Ω называется областью, если оно одновременноявляется открытым и связным.

Определение 11 (Односвязное и многосвязное множества). МножесвоΩ называется односвязным, если любую замкнутую кривую, принадлежащуюмножеству Ω можно непрерывным преобразованием стянуть в точку,также принадлежащую множеству Ω. В противном случае множествоназывается неодносвязным или многосвязным ("множество с дырками").

1.3. Функции комплексного переменного 13

1.3 Функции комплексного переменногоОпределение 1 (Комплексная функция действительного переменного).Пусть (t1, t2) ∈ R, кривая Γ ∈ C. g(t) - комплексная функция действительногопеременного t :⇔ g(t) : (t1, t2) → Γ.

Замечание.

1. Функция g(t) может быть представлена в виде g(t) = g1(t) + ig2(t).

2. g(t) ∈ C(t0), t0 ∈ (t1, t2) ⇔ g1(t), g2(t) ∈ C(t0);g(t) ∈ D(t0) ⇔ g1(t), g2(t) ∈ D(t0), причем g′(t0) = g′1(t0) + ig′2(t0).

Также справедливо, t→ t0, или ∆t = t− t0 → 0, g(t)− g(t0) = g′(t0)∆t++ o(∆t).Точки на касательной к кривой Γ в точке c = g(t0): l(t) = c+ g′(t0)∆t.Определение 2 (Комплексная функция комплексного переменного).Пусть Z,W ∈ C, z = x+ iy ∈ Z, w = u+ iv ∈ W .


f(z) - комплексная функция комплексного переменного :⇔ ∃f : Z → W ,f : z 7→ w,w = f(z).При этом f : (x, y) 7→ (u, v);u = u(x, y),v = v(x, y);

R2 → R

Вещественное представление комплексной функции комплексного переменногоимеет вид: f(z) = u(x, y) + iv(x, y).

Определение 3 (Предел функции комплексного переменного).Пусть f : Z → W , c ∈ Z, p ∈ W .limz→c

f(z) = p :⇔ ∀Uε(p)∃Uδ(c) : ∀z ∈ Uδ(c) f(z) ∈ Uε(p).

Определение 4 (Непрерывность функции комплексного переменного).Пусть f : Z → W, c ∈ Z, f(c) ∈ W . Говорят, что функция f непрерывна вточке c и пишут: f ∈ C(c), если ∃ lim

Z3z→cf(z) = f(c).

Теорема 1 (Критерий непрерывности функции комплексногопеременного). Пусть дана функция f : Z → W, c = a + ib ∈ Z,f(z) = u(x, y) + iv(x, y), f(c) = u(a, b) + iv(a, b).Чтобы функция f была непрерывна в точке c, необходимо и достаточно,чтобы функции u(x, y) и v(x, y) были непрерывны в точке (a, b), т.е.чтобы u(x, y), v(x, y) ∈ C(a, b).

Доказательство. Докажем необходимость.∀Uε

(u(a, b)

)∃Uδ(a, b) : ∀ (x, y) ∈ Uδ(a, b)u(x, y) ∈ Uε

(u(a, b)

), т.е. u(x, y) ∈

C(a, b).Аналогично доказывается, что v(x, y) ∈ C(a, b).


Докажем достаточность.

∀Uε√

2

(f(c)

)∃Uδ(c)

(δ = min(δ1, δ2)

): ∀z ∈ Uδ(c) f(z) ∈ Uε

√2

(f(c)

)⇒ f ∈

C(c).

Определение 5 (Комплексная дифференцируемость функциикомплексного переменного). f : Z → W, c ∈ Z,∆z ∈ Z;

f ∈ DC(c) :⇔ ∃ lim∆z→0

f(c+ ∆z)− f(c)

∆z= f ′(c).

Определение 6 (Комплексная дифференцируемость функциикомплексного переменного).f ∈ DC(c) :⇔ f(c+ ∆z)− f(c) = C∆z + o(∆z), ∆z → 0.c, ∆z ∈ Z; f(c), f(c+ ∆z), c∆z, o(∆z) ∈ W ;C : Z → W, C(λ1∆z1 + λ2∆z2) = λ1C∆z1 + λ2C∆z2, C = A + iB, ∆z =∆x+ i∆y.o(∆z) : Z → W, o(∆z) = o1(

√∆x2 + ∆y2) + io2(

√∆x2 + ∆y2);

∆x,∆x→ 0.


Замечание. Определения 6 и 5 эквивалентны, но определение 6 являетсяболее удобным для доказательства.

Определение 7 (Вещественное дифференцирование функции комплексногопеременного).f(z) = u(x, y) + iv(x, y);c = a+ ib;f ∈ DR(c) :⇔ u(x, y), v(x, y) ∈ D(a, b).

Замечание. В отличие от комплексной функции действительного переменного,дифференцируемости действительной и мнимой частей недостаточно длякомплексной дифференцируемости функции комплексного переменного.

Теорема 2 (Критерий комплексной дифференцируемоси функциикомплексного переменного (Коши-Риман)). Пусть задана функциякомплексного переменного:f : Z → W, f(z) = u(x, y) + iv(x, y);c = a+ ib ∈ Z;f ∈ DC(c) ⇔

1. f ∈ DR(c);

2. В точке (a, b) выполняются условия Коши-Римана:∂u

∂x=∂v

∂y,∂u

∂y= −∂v

∂x,

Доказательство. Докажем, что из комплексной дифференцируемостиФКП следует выполнение условий (1) и (2).f(c+ ∆z) = f(c) = C∆z + o(∆z), ∆z → 0.f(c+ ∆z) = u(a+ ∆x, b+ ∆y) + iv(a+ ∆x, b+ ∆y).∆z = ∆x+ ∆y, C = A+ iB,f(c) = u(a, b) + iv(a, b);u(a+ ∆x, b+ ∆y) + iv(a+ ∆x, b+ ∆y)− u(a, b)− iv(a, b) = (A+ iB)(∆x++ i∆y) + o1(

√∆x2 + ∆y2) + o2(

√∆x2 + ∆y2),

u(a+ ∆x, b+ ∆y)− u(a, b) = A∆x−B∆y + o1(√

∆x2 + ∆y2),


v(a+ ∆x, b+ ∆y)− v(a, b) = B∆x+ A∆y + o2(√

∆x2 + ∆y2).Таким образом, v(x, y), v(x, y) ∈ D(a, b).∂u

∂x= A,

∂u

∂y= −B, ∂v

∂x= B,

∂u

∂y= A ⇒ f(t) ∈ DR(c).

∂u

∂x=∂v

∂y,∂u

∂y= −∂v

∂x,

т. е. условия Коши-Римана выполнены.Теперь докажем обратное: из условий (1) и (2) следует комплекснаядифференцируемость ФКП.u(x, y), v(x, y) ∈ DR(c).

u(a+ ∆x, b+ ∆y)− u(a, b) =∂u

∂x∆x+

∂u

∂y∆y + o1(

√∆x2 + ∆y2)

v(a+ ∆x, b+ ∆y)− v(a, b) =∂v

∂x∆x+

∂v

∂y∆y + o2(

√∆x2 + ∆y2)

⇒

⇒ f(c+ ∆z)− f(c) =

(∂u

∂x+ i

∂v

∂x

)∆x+

(∂v

∂x+ i

∂v

∂y

)∆y + o(∆z);

f(c+ ∆z)− f(c) =

(∂u

∂x− i

∂u

∂y

)∆x+

(∂u

∂x− i

∂u

∂y

)∆y + o(∆z);

f(c+ ∆z)− f(c) =

(∂u

∂x− i

∂u

∂y

)︸︷︷︸

C

(∆x+ i∆y)︸︷︷︸∆z

+o(∆z) = C∆z + o(∆z) ⇒

⇒ f ∈ DC(c).

f ′(c) = C =∂u

∂x− i

∂u

∂y=∂v

∂y+ i

∂v

∂x.

Теорема 3 (Свойства комплексно-дифференцируемой функциикомплексного переменного). Для комплексно-дифференцируемых функцийкомплексного переменного справедливы следующие свойства:

1. f(z), g(z) ∈ DC(c) ⇒ f(z)±g(z), f(z) ·g(z), f(z)

g(z)∈ DC(c), причем

(f ± g)′(c) = f ′(c)± g′(c);

(f · g)′(c) = f ′(c)g(c) + f(c)g′(c);(f

g

)(c) =

f ′(c)g(c)− f(c)g′(c)

g2(c), g(c) 6= 0.

2. f ∈ DC(c), g ∈ DC(f(c)

)⇒ g

(f(z)

)∈ DC(c), причем(

g(f))′

(c) = g′(f(c)

)· f ′(c).

3. Если f ∈ DC(c), f ′(c) 6= 0, ∃ f−1 : U(f(c)

) C−→ U(c) ⇒ f−1 ∈DC(f(c)

), причем


(f−1)′(f(c)

)=

1

f ′(c)=

1

f ′(f−1(f(c)

)) .Доказательство. Свойства 1-3 доказываются на основе определения 6

Замечание (Отображение кривых и производных). γ : (t1, t2) → Γ,f : Γ → fΓ, γ(t0) = c ∈ Γ, f ′(c) 6= 0, γ ∈ D(t0).

γ(t)︸︷︷︸z

= γ(t0)︸︷︷︸z0

+ γ′(t0)∆t+ o(∆t)︸︷︷︸∆z

, ∆t→ 0;

f(z) = f(c) + f ′(c) ·(γ′(t0)∆t+ o(∆t)

)+ o(γ′(t0)∆t+ o(∆t)

)⇒

f(γ(t)

)= f(c) + f ′(c) · γ′(t0)∆t︸︷︷︸(

f(γ))′

(t0)

+o(∆t).

(f(γ)

)′(t0) = f ′(c) · γ′(t0)

Теорема 4 (Геометрический смысл модуля и аргумента производной).Пусть задана функция f : Z → W, f ∈ DC(c), f ′(c) 6= 0. Тогда

1.∣∣f ′(c)∣∣ - коэффициент локального растяжения плоскости под действиемf .

2. arg(f ′(c)

)- угол локального поворота плоскости под действием f .

Замечание. Теорема 4 утверждает, что при действии отображения f ,имеющего ненулевую производную, комплексная плоскость локально поворачиваетсяи растягивается.


Доказательство. Рассмотрим кривую Γ.γ : (t1, t2) → Γ, γ(t0) = c

f ′(c) =

(f(γ)

)′(t0)

γ′(t0),

∣∣f ′(c)∣∣ =

∣∣∣(f(γ))′

(t0)∣∣∣∆t∣∣γ′(t0)∣∣∆t ⇒

∣∣f ′(c)∣∣ =

∣∣∣∆f(γ(t))∣∣∣∣∣∆γ(t)∣∣ - коэффициент локального

растяжения.arg f ′(c) = arg

(f(γ)

)′(t0)−arg γ′(t0) ⇒ arg f ′(c) - угол локального поворота.

Теорема 5 (Свойство сохранения углов между кривыми).f : Z → W, f ∈ DC(z0), f

′(c) 6= 0;Γ1, Γ2 ⊂ Z; c = Γ1

⋂Γ2; α = Γ∧1 Γ2 ⇒ fΓ∧1 fΓ2 = α.

Доказательство. α - угол между касательными к Γ1 и Γ2. Под действиемf касательные к кривым Γ1 и Γ2 перейдут в касательные к кривым fΓ1 иfΓ2, которые повернутся на один и тот же угол arg f ′(c). Следовательно,угол между касательными сохранится.

Определение 8 (Аналитическая ФКП).f : Z → W, c ∈ Z.Говорят, что ФКП f(z) - аналитическая в точке c

(f ∈ O(c)

), если ∃U(c) :

f ∈ DC(U(c)

).

Замечание. Аналитические функции называют также голоморфными.В действительном анализе аналитическими называются функции, ряд


Тейлора которых сходится к самой функции. Далее буде доказано, чтоопределение 8 для комплексных функций эквивалентно действительномуопределению.Предварительно мы докажем, что функция комплексного переменного,дифференцируемая в точке один раз, дифференцируема в этой точкесколько угодно раз

(f ∈ DC(c) ⇒ f ∈ DC∞(c)

).

Определение 9 (Гармонические функции действительных переменных).

Φ(x, y) : Ω → R, Ω ⊂ R2;Φ(x, y) - гармоническая в Ω :⇔ ∀(x, y) ∈ Ω Φ(x, y) ∈ D2(x, y) и удовлетворяетуравнению Лапласа:

∂2Φ

∂x2+∂2Φ

∂y2= 0.

Теорема 6 (Гармоничность вещественного представления аналитическойфункции). f : Z → W, f ∈ O(z), f(z) = u(x, y)+iv(x, y) ⇒ u(x, y), v(x, y)- гармонические в Z ⊂ R2.

Доказательство. f ∈ DC(c) ⇒ f ∈ DC2(z), f ∈ C2(z) ⇒ u(x, y), v(x, y) ∈

C2(z).

∂u

∂x=∂v

∂y⇒ ∂2u

∂x2=

∂2v

∂x∂y

∂u

∂y= −∂v

∂x⇒ ∂2u

∂y2= − ∂2v

∂x∂y

⇒

∂2Φ

∂x2+∂2Φ

∂y2= 0.⇒ u(x, y) - гармоническая в z.

Аналогично доказывается гармоничность функции v(x, y).

1.4. Основные элементарные функции и их свойства 21

1.4 Основные элементарные функции и ихсвойства

1.4.1 Линейная функция

w = az + b, где a, b = const ∈ C.Линейная функция обратима: z =

1

aw − b

a, a 6= 0; ∞ 7→ ∞; C ↔ C.

Утверждение 1. Линейная функция является последовательностьюрастяжения, поворота и сдвига.

Доказательство. Растяжение: w1 = |a|z;поворот: w2 = w1e

i arg a, (a = |a|ei arg a);сдвиг: w = w3 = w2 + b.

Утверждение 2. Линейное отображение обладает круговым свойством(окружность переходит в окружность, прямая - в прямую).

Доказательство. z − z0 = Reit, t ∈ [0, 2π];

z =1

aw − b

a, z0 =

w0

a− b

a

1

aw − 1

aw0 = Reit, w − w0 = |a|Rei(t+arg a) - точки

окружности.z − z0 = teiϕ, t ∈ R+;1

aw − 1

aw0 = teiϕ

w − w0 = t|a|ei(ϕ+arg a) - прямая.

Утверждение 3. Линейное отображение является преобразованиемподобия.

Доказательство. Очевидно.

1.4.2 Обратная функция

w =1

z; 0 7→ ∞; ∞ 7→ 0, z =

1

w; C → C

Утверждение 1. Обратное отображение является последовательностьюинверсии и отражения.

Доказательство. w1 =1

z; w2 = w1;

w1 - симметричное отражение относительно единичной окружности.


|z| · |w1| = |z| 1

|z|= 1; argw1 = arg z

Утверждение 2 (Круговое свойство). Окружности и прямые,проходящие через точку z = 0, переходтят в прямые, а точки, непроходящие через z = 0, переходят в окружности.

Доказательство.A(x2 + y2) +Bx+ Cy +D = 0;

x2 + y2 = zz, x =z + z

2, y =

z + z

2i⇒

Azz +

(B

2+C

2i

)z +

(B

2− C

2i

)z +D = 0;

z =1

w, z =

1

w, тогда

A1

ww+

(B

2+C

2i

)1

w+

(B

2− C

2i

)1

w+D = 0,

Dww +

(B

2− C

2i

)w +

(B

2+C

2i

)w + A = 0.

Утверждение 3 (Сохранение симметричных точек). Пустьz1 и z2 - симметричные точки.|z1| · |z2| = R2,

1

|w1|· 1

|w2|= R2


1.4.3 Дробно-линейная функция

w =az + b

cz + d;

ad 6= cb; z =b− dw

cw − a; −d

c7→ ∞; ∞ 7→ a

c.

Утверждение 1. Дробно-линейная функция является последовательностьюлинейной, обратной и линейной функций.

Доказательство.

w =c(az + b)

c(cz + d)=a(cz + d) + bc− ad

c(cz + d)=a

c+

bc− ad

c(cz + d);

w1 = cz + d, w2 =1

w1

, w3 =bc− ad

cw2 +

a

c.

Утверждение 2. Для дробно-линейной функции характерны круговоесвойство и свойство сохранения симметрии точек (см. выше)

Утверждение 3 (Отображение 3-х точек).∀z1, z2, z3 ∈ C и ∀w1, w2, w3 ∈ C∃! w = f(z) =

az + b

cz + d, w(zj) = wj, j = 1, 2, 3.

Доказательство.f1 : z1 7→ 0, z2 7→ 1, z3 7→ ∞,

f1(z) =z − z1

z − z3

· z2 − z3

z2 − z1

;

f2 : w1 7→ 0, w2 7→ 1, w3 7→ ∞,

f2(w) =w − w1

w − w3

· w2 − w3

w2 − w1

.


f(z) = f−12

(f1(z)

)⇔ f1(z) = f2(w)

w − w1

w − w3

· w2 − w3

w2 − w1

=z − z1

z − z3

· z2 − z3

z2 − z1

;

Единственность доказывается от противного.

Замечание. Формула трех точек работает и в случае бесконечно удаленныхточек, при этом отношения, содержащие бесконечно удаленную точку вчислителе и знаменателе, заменяются единицей.

Пример. Написать дробно-линейную функцию, отображающую единичныйкруг на верхнюю полуплоскость.

Z = |z| < 1, W = Imw > 0.

z1 = 0 7→ w1 = i;z2 = 1 7→ w2 = 0;z3 = ∞ 7→ w3 = −i;w − i

w + i· 0 + i

0− i=

z − 0

z −∞· 1−∞

1− 0;

−w − i

w + i= z;


−w − i

w + i= z;

w − i = −z(w + i), w + wz = i− iz;

w =−iz + i

z + i.

1.4.4 Степенная функция и радикал

w = zn, n ∈ Z+.

z = n√w.

w = z2, z = sqrtw

Замечание (Поверхность Римана).

Пример (Функция Жуковского).

w =1

2

(z +

1

z

)=z2 + 1

2z;

w − 1

w + 1=

(z − 1

z + 1

)2

;

z = reiϕ,1

z=

1

re−iϕ;

w =1

2

(reiϕ +

1

re−iϕ

)=

1

2r(cosϕ+ i sinϕ) +

1

2r(cosϕ− i sinϕ);


w = u+ iv;

u =1

2

(r +

1

r

)cosϕ,

v =1

2

(r − 1

r

)sinϕ;

1.4.5 Экспонента и логарифм

Определение 1.ez := lim

n→∞

(1 +

z

n

)n

Утверждение 1. ez = ex (cos y + i sin y)

Доказательство. Найдём |ez| −?∣∣∣∣(1 +z

n

)n∣∣∣∣ =

∣∣∣∣1 +x+ iy

n

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ (1 +x

n

)+ i

y

n

∣∣∣∣n =

((1 +

x

n

)2

+(yn

)2)n/2

=

=

(1 +

2x

n+x2 + y2

n2

)n/2

, при n → ∞

это эквивалентно(1 +

2x

n

)n/2

→ ex, при n→∞.

Таким образом, |ez| = ex.

Найдём arg(ez)−?

arg(1− z

n

)n

= n arg((

1 +x

n

)+ i

y

n

)= n arctg

(y

n+(1 + x

n

)) ∼∼ n

y

n= y, при n → ∞


Таким образом, arg ez = y. Следовательно, ez = ex (cos y + i sin y)

Утверждение 2. ez1+z2 = ez1 · ez2


ez1 · ez2 = ex1 (cos y1 + i sin y1) · ex2 (cos y2 + i sin y2) =

= ex1ex2 (cos (y1 + y2) + i sin (y1 + y2)) = ez1+z2

Утверждение 3. ez – периодическая функция. Период T = 2πi


ez+T = ez, eT = 1, T = T1 + iT2

eT (cosT2 + i sinT2) = e0 (cos 2π + i sin 2π)

T1 = 0, T2 = 2πk, T = i 2πk, T = i 2πk

Утверждение 4. eiz = cos z + i sin z — Формула Эйлера.

Доказательскво позже.

Утверждение 5.

z = x+ i 0 ⇒ w = ez = ex(cos 0 + i sin 0) = ex

z = x+ i 2π ⇒ w = ez = ex(cos 2π + i sin 2π) = ex

Определение 2. Натуральный комплексный логарифм,обратный z = ew, обозначается w = ln z.


Утверждение 1. Из того, что argw 6= 0 следует что0 < Im z < 2π

Утверждение 2. ln(z1 · z2) = ln z1 + ln z2


z1 · z2 = eln(z1·z2), z1 = eln z1 , z2 = eln z2 , eln z1 · eln z2 = eln z1+ln z2 = z1 · z2

Утверждение 3. ln z = ln |z|+ i arg z


z = |z|ei arg z, ln z = ln |z|+ ln ei arg z = ln |z|+ i arg z

Замечание. Многозначный логарифм

Ln z = ln z + iArg z = ln |z|+ i arg z + i πk, k = 0,±1,±2, ...

1.4.6 Тригонометрические функции и обратные к нимei z = cos z + i sin z, e−i z = cos z − i sin z,

cos z :=ei z + e−i z

2, sin z :=

ei z − e−i z

2 i.

Утверждение 1. cos z является композицией линейной функции,экспоненты, функции Жуковского.

Доказательство. w1 = i z, w2 = ew1 , w3 = 12

(w2 + 1

w2

)


Утверждение 2.

tg z :=sin z

cos z; T = π

Определение 1. Арккосинус z – функция обратная к z = cosw обозначаетсяw = arccos z

Утверждение 1. arccos z = −i ln(z +

√z2 − 1

).


z = ei w+e−i w

2

∣∣∣× 2 ei w

e2 i w − 2 z ei w + 1 = 0 ln(z +

√z2 − 1

)= i w,

ei w = z +√z2 − 1, w = −i ln

(z +

√z2 − 1

).

Замечание. Многозначный арккосинус

Arccos z := −iLn(z +

√z2 − 1

)Упражнение. Дать утверждения для arcsin z, arctg z.


1.4.7 Гиперболические функции и обратные к ним

ch z :=ez + e−z

2,

sh z :=ez − e−z

2 i,

T = 2πi

th z :=sh z

ch z, T = πi

Замечание. w = arcch z обратна к z = chw

z = ew+e−w

2, w = ln

(z +

√z2 − 1

),

e2w − 2zew + 1 = 0, arcch z = ln(z +

√z2 − 1

),

ew = z +√z2 − 1, Arcch z = Ln

(z +

√z2 − 1

).

Упражнение. Вывести arcsh z, arcth z.Упражнение. Рассмотреть отображение комплексной плоскости функцией

ch z.

1.5 Комплексное интегрированиеОпределение 1 (Интеграл комплексной функции действительногопеременного).

g : [t1, t2] 7→ Γ ⊂ C, g(t) := g1(t)+i g2(t), g(t) ∈ C (Γ ) , g1,2 : [t1, t2] 7→ R∫Γ

g(t) dt :=

t2∫t1

g1(t) dt+ i

t2∫t1

g2(t) dt

Определение 2 (Интеграл комплексной функции комплексногопеременного).

f : Γ → C, Γ ⊂ C, γ(t) : [t1, t2]′ 7→ Γ, γ(t) ∈ C1 [t1, t2]∫

Γ

f(z) dz :=

∫Γ

f(γ(t)

)γ′(t) dt

Определение 2’ (Интеграл комплексной функции комплексногопеременного).

∫Γ

f(z) dz := limµ→0

k−1∑j=0

f (ξj) ∆zj,

∆zj = zj+1 − zj, µ = max |∆zj|

1.5. Комплексное интегрирование 31

Замечание. Определнние 2 и Определение 2’ эквивалентны. Этоможно доказать, перейдя к интегральной сумме в определенном интегралепо t.

Теорема 1 (Независимость интеграла от задания кривой).

γ1 : [t1, t2]C1

7−→ Γ

γ2 : [s1, s2]C1

7−→ Γγ1(t) = γ2(s) = z

Следовательно,∫Γ

f(γ1(t)

)γ′1(t) dt =

∫Γ

f(γ2(s)

)γ′2(s) ds

Доказательство. Рассмотрим отображение h : [t1, t2]C1

7−→ [s1, s2]s = h(t), t = h−1(s), h(t1) = s1, h(t2) = s2,

Тогда γ2(s) = γ2(t) = γ1

(h−1(s)

), γ′2(s) = γ′1

(h−1(s)

)·(h−1(s)

)′= γ′1(t)

1

h′(t),

ds = d h(t) = h′(t) dt

s2∫s1

f(γ2(s)

)γ′2(s) ds =

t2∫t1

f(γ1(t)

)γ′1(t)

1

h′(t)h′(t) dt

Теорема 2 (Свойство линейности).

∀λ1, λ2 ∈ C∫Γ

(λ1f1(z) + λ2f2(z)

)dz = λ1

∫Γ

f1(z) dz + λ2

∫Γ

f2(z) dz

Доказывается исходя из Определения 2 и свойства линейного определённогоинтеграла.

Теорема 3 (Аддитивность).

f : Γ −→ C,∫Γ

f(z) dz =

∫Γ1

f(z) dz +

∫Γ2

f(z) dz,

z0 – начальная точка Γ, Γ1,zm – начальная точка Γ2



k−1∑j=0

f(ξj)∆zj =m−1∑j=0

f(ξj)∆zj +k−1∑j=m

f(ξj)∆zj, µ = max |∆zj| → 0

∫Γ

f(z) dz =

∫Γ1

f(z) dz +

∫Γ2

f(z) dz

1.5. Комплексное интегрирование 33

Теорема 4 (Зависимость комплексного интеграла от ориентациикривой).

∫Γ−

f(z) dz = −∫

Γ+

f(z) dz


0∑j=k−1

f(ξj)∆∼zj = −

k−1∑j=0

f(ξj)∆zj ∆∼zj = zj − zj+1 = −∆zj, При µ→ 0

Теорема 5 (Вещественное представление комплексного чесла).

f(z) = U(x, y) + i V (x, y),∫Γ

f(z) dz =

∫Γ

U(x, y) dx− V (x, y) dy + i

∫Γ

V (x, y) dx+ U(x, y) dy


∆zj = ∆xj + i∆yj, ξj = xj + i yj, µ→ 0, ∆xj → 0, ∆yj → 0

k−1∑j=0

f(ξj)∆zj =k−1∑j=0

(U(xj, yj) + i V (xj, yj)

)(∆xj + i∆yj) =

=k−1∑j=0

U(xj, yj)∆xj + i V (xj, yj)∆yj

Теорема 6 (существования комплексного интеграла).(достаточное условие)

f(z) = U(x, y) + i V (x, y), f ∈ C(Γ ) ⇒ ∃∫Γ

f(z) dz



f ∈ C(Γ ) ⇒ U(x, y), V (x, y) ∈ C(Γ ) ⇒

⇒ ∃∫Γ

U dx− V dy + i

∫Γ

V dx+ U dy =

∫Γ

f(z) dz ⇒ ∃∫Γ

f(z) dz

Теорема 7 (Оценка комплексного интеграла).∣∣∣∣∣∣∫Γ

f(z) dz

∣∣∣∣∣∣ < supz∈Γ

|f(z)| · LΓ

Доказательство.∣∣∣∣∣∣∫Γ

f(z) dz

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣ limµ→0

k−1∑j=0

f(ξj)∆zj

∣∣∣∣∣∣ 6 limµ→0

k−1∑j=0

|f(ξj)| · |∆zj|

limµ→0

(sup

06j6k−1|f(ξj)| ·

k−1∑j=0

|∆zj|

)6 sup

z∈Γ|f(z)| lim

µ→0

k−1∑j=0

|∆zj| =

= supz∈Γ

|f(z)| · LΓ

Определение 3 (Первообразная комплексной функции комплексногопеременного). F (z) : Z → W – первообразная функции f(z) : Z → Wна Z :⇔ ∀z ∈ Z F ′(z) = f(z).

Глава 2

Основные свойствааналитических функций

2.1 Формула Ньютона-Лейбница

Определение 1 (Первообразная ФКП). Смотри (пар. 1.5 на стр. 34)

Теорема 1 (Ньютона-Лейбница).

f : Z → W, Γ ∈ Z, f ∈ DC(Z) ≡ O(Z),F (z) – первообразная f(z) на Z

Тогдаzk∫

z0

f(z) dz = F (z)∣∣∣zk

z0


f(z) = U(x, y) + i V (x, y),z0 = x0 + i y0

zk = xk + i yk

zk∫z0

f(z) dz =

(xk, yk)∫(x0, y0)

U(x, y) dx − V (x, y) dy +

(xk, yk)∫(x0, y0)

V (x, y) dx + U(x, y) dy $

U(x, y) dx− V (x, y) dy = dU1(x, y)V (x, y) dx+ U(x, y) dy = dU2(x, y)

т.к.

35

36 Глава 2. Основные свойства аналитических функций

∂V

∂y=∂U

∂x;∂U

∂y= −

∂V

∂x⇒

∂U

∂y=∂(−V )

∂x− условия полного дифференциала.

$

(xk, yk)∫(x0, y0)

dU1(x, y) + i

(xk, yk)∫(x0, y0)

dU2(x, y) = U1(x, y)+iU2(x, y)∣∣∣(xk, yk)

(x0, y0)= U(z)

∣∣∣zk

z0

Докажем, что U(z) = U1(x, y) + iU2(x, y) – первообразная f(z).

U′(z) =∂U1

∂x− i

∂U1

∂y= U(x, y) − i (−V (x, y)) = U(x, y) + i V (x, y) = f(z) ⇒

⇒ U(z) = F (z) − первообразная

2.2 Основная теорема Коши

Определение 1 (Простой и составной контур на комплекснойплоскости). Γ – простой контур :⇔ Γ – связное множество, замкнутаякривая без самопересечений.γ(t) : [t1, t2] 7→ Γ, γ(t1) = γ(t2), ∀t3, t4 ∈ (t1, t2), γ(t3) 6= γ(t4)

Γ – положительно ориентированный контур :⇔ при обходе областиZ по границе Γ , область остается слева (против часовой стрелки).

Γ – составной контур :⇔ Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪· · · ∪ Γm – объединение простых контуровΓ1, Γ2, ..., Γm; Γ – не является связныммножеством и ограничивает многосвязноемножество Z.Внешний контур ориентирован противчасовой стрелки. Внутренний контурориентирован по часовой стрелке.

Теорема 1 (Основная теорема Коши для простого контура).f : Z → W, Γ− граница Z, простой контур

f ∈ O(Z) ⇒∮

Γ+

f(z) dz = 0

Доказательство. f(z) = U(x, y) + i V (x, y).

2.3. Интегральная формула Коши 37

U(x, y) dx− V (x, y) dy = dU1(x, y), т.к.∂U

∂y= −

∂V

∂x

V (x, y) dx+ U(x, y) dy = dU2(x, y), т.к.∂V

∂y=∂U

∂x∮Γ

f(z) dz =

∮Γ

U dx− V dy+i

∮Γ

V dx + U dy =

∮Γ

dU1+i dU2 = 0+i 0 = 0

Теорема 2 (Основная теорема Коши для составного контура).Γ− составной положительно определенный контур.

f ∈ O(Z) ⇒∮

Γ+

f(z) dz = 0

Доказательство. Γ = Γ1 ∪ Γ2, AB ∪ Γ1 ∪ BA ∪ Γ2− простой контур.∮AB∪Γ1∪BA∪Γ2

f(z) dz = 0 ⇒∫

AB

f(z) dz +

+

∮Γ1+

f(z) dz +

∫BA

f(z) dz +

∮Γ2−

f(z) dz = 0,∫AB

f(z) dz = −∫

BA

f(z) dz,

∮+

f(z) dz +

∮−

f(z) dz = 0 ⇒∮

Γ+

f(z) dz = 0

2.3 Интегральная формула Коши

Пусть f : Z → W, Γ− граница Z, является простым или составнымположительно ориентированным контуром f ∈ O(Z) ⇒ c ∈ Z,

Тогда f(c) =1

2πi

∮Γ+

f(z)

z − cdz


Теорема 1 (Интегральная формула Коши).

f ∈ O(Z) ⇒ ∀c ∈ Z,

f(c) =1

2πi

∮Γ+

f(z)

z − cdz


f(z)

z − c∈ O

(Z\Uρ(c)

)⇒

∮Γ∪γρ+

f(z)

z − cdz = 0 ⇒

∮Γ+

f(z)

z − cdz+

∮γρ+

f(z)

z − cdz =

=

∮γρ+

f(z)− f(c) + f(c)

z − cdz =

∮γρ+

f(z)− f(c)

z − cdz + f(c)

∮γρ+

dz

z − c;

∮γρ+

dz

z − c=

∣∣∣∣∣∣z − c = ρ ei t

dz = ρ i ei tdtt ∈ [0, 2π]

∣∣∣∣∣∣ =

2π∫0

ρ i ei t

ρ ei tdt = i

2π∫0

dt = i · 2π = 2πi.

∣∣∣∣∣∣∮p

f(z)− f(c)

z − cdz

∣∣∣∣∣∣ 6 supz∈jp

∣∣∣∣∣f(z)− f(c)

z − c

∣∣∣∣∣ 2πρ 6 M · 2πρ→ 0,

∣∣∣∣∣f(z)− f(c)

z − c

∣∣∣∣∣→ ∣∣∣f ′(c)∣∣∣, ρ→ 0 ( или z → c) ⇒

∣∣∣∣∣f(z)− f(c)

z − c

∣∣∣∣∣ 6 H−

ограничено, т.к. имеет предел∣∣∣f ′(c)∣∣∣⇒ ∮

Γ+

f(z)

z − cdz = 0+f(c)·2πi.

2.4 Комплексные функциональные рядыОпределение 1 (Комплексый функциональный ряд).

f1(z), f2(z), . . . , fn(z), . . . , : z → C; f1(z)+f2(z)+· · ·+fn(z)+· · · =∞∑

n=1

fn(z)

2.4. Комплексные функциональные ряды 39

fn(z)−общий член ряда. Sn(z) =n∑

k=1

fk(z)−конечная сумма первых nчленов последовательности,т.е. частичная сумма ряда.

Определение 2 (Поточечная равномерная сходимость

функционального ряда).∞∑

n=1

fn(z) – сходится поточечно на Z : ⇔

∀z ∈ Z ∃ limn→∞

Sn(z) = S(z), (или ∀z ∈ Z ∃ limn→∞

Sn(z)− S(z) = 0),где S(z) – сумма (функционального) ряда.

∞∑n=1

fn(z) – сходится равномерно на Z : ⇔ limn→∞

sup(Sn(z)− S(z)

)= 0

Замечание. Из равномерной сходимости следует поточечная, обратное –неверно.

Теорема 1 (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса).∞∑

n=1

fn(z), fn(z) : z → C, ∀z ∈ Z∣∣fn(z)

∣∣ 6 an

∞∑n=1

an – сходится ⇒∞∑

n=1

fn(z) – сходится равномерно на Z.(∑

an –

числовой ряд с неотрицательными членами, называется мажорирующимрядом).

Определение 3 (Комплексный степенной ряд по целым степеням).

Пусть an, c = const, an, c ∈ C∣∣∣ an − коэф. степенного ряда

c − центр степенного ряда∞∑

n=0

an(z − c)n — степенной ряд по неотрицательным степеням.

−1∑n=−∞

an(z − c)n =∞∑

m=1

am

(z − c)m— степенной ряд по

отрицательным степеням.∞∑

n=−∞an(z − c)n =

∞∑n=0

an(z − c)n +−1∑

n=−∞

an

(z − c)n— степенной ряд по

целым степеням.

Теорема 2 (Абеля).∞∑

n=0

an(z−c)n — степенной ряд по неотрицательным

степеням, сходящийся при z = z0, следовательно:

1.∞∑

n=0

an(z− c)n — сходится абсолютно и поточечно при∣∣z− c∣∣ < ρ,

где ρ =∣∣z0 − c

∣∣2.

∞∑n=0

an(z − c)n — сходится равномерно при∣∣z − c

∣∣ 6 ρ1 < ρ


Замечание. Степенной ряд равномерно сходится внутри круга поточечнойсходимости.

Доказательство. 2)∞∑

n=0

an(z0−c)n — сходится. Тогда limn→∞

an(z0−c)n = 0,

следовательно последовательностьan(z0 − c)n

— ограничена,

т.е. ∃M > 0 т.ч.∣∣an(z0 − c)n

∣∣ =∣∣an

∣∣ρn 6 M , где ρ = |z0 − c|

Общий член степенного ряда∣∣an(z − c)n

∣∣ =∣∣an

∣∣(z − c)n

ρn,

Т.к. |z − c| 6 ρ1 < ρ, то|z − c|ρ

6 q < 1, q =ρ1

ρ∣∣an(z0 − c)n∣∣ 6

∣∣an

∣∣qnρn 6 Mqn — быстро убывающая геом. прогрессия.∞∑

n=0

Mqn — сходящийся мажорирующий ряд. =⇒ по признаку Вейерштрасса:∑an(z − c)n — равномерно сходящийся ряд, при |z − c| 6 ρ1 < ρ

1)∑an(z− c)n — равномерно сходящийся, ∀ρ1 → ρ⇒

∑an(z− c)n —

сходится поточечно, при |z − c| < ρ и абсолютно.

Теорема 3 (Коши-Адамара).∞∑

n=0

an(z − c)n — степенной ряд с

неотрицательными степенями. Следовательно, ∃R ∈ R+ :

1. |z − c| < R — ряд сходится поточечно и абсолютно.

2. |z − c| > R — ряд расходится.

3. |z − c| 6 ρ1 < R — ряд сходится равномерно.

Доказательство. 1) Применим признак Коши

q = limn→∞

n

√∣∣an(z − c)n∣∣ = |z − c| lim

n→∞n√|an| < 1 ⇒

⇒ |z − c| <1

limn→∞

n√|an|

= R. Отсюда R = limn→∞

1n√|an|

3) По теореме Абеля равномерная сходимость при |z − c| 6 ρ1 < R

Замечание. 1. R = limn→∞

|an|an+1

2. При |z−c| = R ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

2.4. Комплексные функциональные ряды 41

Замечание. Теорема 2 и Теорема 3 могут быть сформулированы и

доказаны для степенных рядов по отрицательным степеням∞∑

n=1

a−n

(z − c)n.

∃ r = limn→∞

n√|a−n| = lim

n→∞

a−(n+1)

a−n

, ряд

сходится абсолютно поточечно при |z−c| >r и равномерно, при |z − c| > ρ2 > r

Если∞∑

n=−∞an(z − c)n – по целым степеням

n, и r < R, т.е. абсолютно поточечносходится, то r < |z − c| < R – кольцосходимости, а равномерная сходимость –при r < ρ2 6 |z − c| 6 ρ1 < R внутрикольца сходимости.

Теорема 4 (О пределе суммы функционального ряда).

Пусть∞∑

n=1

fn(z) – равномерно сходится на Z. Тогда ∀z ∈ Z :

limz→c

∞∑n=1

fn(z) =∞∑

n=1

limz→c

fn(z), limz→c

S(z) =∞∑

n=1

limz→c

fn(z)

Теорема 5 (О непрерывности суммы функционального ряда).

Пусть∞∑

n=1

fn(z) – равномерно сходится на Z, ∀n fn(z) ∈ C(z). Тогда:

S(z) =∞∑

n=1

fn(z) ∈ C(z)

Теорема 6 (О почленном интегрировании функционального ряда).

Пусть∞∑

n=1

fn(z) – равномерно сходится на Z, Γ ⊂ Z, fn(z) ∈ C(Γ ). Тогда:∫Γ

∞∑n=1

fn(z) dz =∞∑

n=1

∫Γ

fn(z) dz,

∫Γ

S(z) dz =∞∑

n=1

∫Γ

fn(z) dz

Теорема 7 (О почленном дифференцировании степенного ряда).

Пусть дан ряд∞∑

n=0

an(z − c)n, Радиус сходимости R. Тогда:

S(z) ∈ DC(|z − c| 6 ρ < R

), S ′(z) =

∞∑n=0

n an(z − c)n−1,

т.е.

(∞∑

n=0

an(z − c)n

)′

=∞∑

n=0

(an(z − c)n

)′



∞∑n=0

an(z − c)n – равномерно сходится на |z − c| 6 ρ < R,

R = limn→∞

1n√|an|

, |z + ∆z − c| 6 ρ < R

S ′(z) = lim∆z→0

∆S

∆z= lim

∆z→0

∞∑n=0

an(z + ∆z − c)n −∞∑

n=0

an(z − c)n

∆z=

= lim∆z→0

∞∑n=0

an

(z + ∆z − c)n − (z − c)n

∆z=

=∞∑

n=0

an lim∆z→0

(z + ∆z − c)n − (z − c)n

∆z=

∞∑n=0

an

((z − c)n

)′=

=∞∑

n=0

an n (z − c)n−1 =m=n−1

∞∑m=0

am+1(m+ 1)(z − c)m,

R = limm→∞

1m√

(m+ 1)|am+1|= lim

m→∞

1n√|an|

= R.

2.5 Разложение ФКП в ряды Тейлора и Лорана

Теорема 1 (Тейлора).

f ∈ O(UR(c)

)⇒ ∀z ∈ UR(c),

f(z) =∞∑

n=0

an(z − c)n,

an =1

2πi

∮Γ+

f(z)

(z − c)n+1dz

2.5. Разложение ФКП в ряды Тейлора и Лорана 43


Γρ = |z − c| = ρ < R, f(z) ∈ O(Uρ(c)

).

По интегральной формуле Коши ∀z ∈ Uρ(c) f(z) =1

2πi

∮Γρ+

f(ξ)

ξ − zdξ ⇒

∣∣∣∣∣z − c

ξ − c

∣∣∣∣∣ = |q| < 1,1

ξ − z=

1

(ξ − c)− (z − c)=

1

ξ − c·

1

1− z−cξ−c

=

1

ξ − c

∞∑n=0

(z − c

ξ − c

)n

=∞∑

n=0

(z − c)n

(ξ − c)n+1—

ряд по отрицательным степеням (ξ−c) по теореме Коши-Адамара равномерносходится, при |z−c| > r1 > r = |z−c|, r = lim

n→∞n√|a−n| = lim

n→∞n√|z − c|n =

= |z − c| и, следовательно, может быть почленно проинтегрирован.Замечание. Теоремы, аналогичные 4, 5, 6, 7 верны для рядов по отрицательнымстепеням.

⇒ f(z) =1

2πi

∮Γρ+

f(ξ)

ξ − zdξ =

1

2πi

∮Γρ+

f(ξ)∞∑

n=0

(z − c)n

(ξ − c)n+1dξ =

=∞∑

n=0

1

2πi

∮Γρ+

f(ξ)

(ξ − c)n+1dξ

︸︷︷︸

an

(z − c)n =∞∑

n=0

an(z − c)n

Следствие 1 (Неравенство Коши).

f ∈ O(UR(c)

), ∀z ∈ Γρ |f(z)| 6 M ⇒ |an| 6

M

ρn


|an| =

∣∣∣∣∣∣∣1

2πi

∮Γρ+

f(z)

(z − c)n+1dz

∣∣∣∣∣∣∣ 61

2πisupz∈Γρ

∣∣∣∣∣ f(z)

(z − c)n+1

∣∣∣∣∣ 2πρ =

=1

2π·M

ρn+1· 2πρ =

M

ρn


Следствие 2 (Теорема Лиувилля).

f ∈ O(C). Если∣∣f(z)

∣∣ 6 M, то f(z) = const.

Доказательство. ∀ρ → ∞ |an| 6M

ρn⇒ ∀n > 0, |an| = 0, an = 0 ⇒

⇒ f(z) =∞∑

n=0

an(z − c)n = a0 = const.

Теорема 2 (Теорема единственности разложения в ряд Тейлора).

f ∈ O(UR(c)

)⇒ ∃!f(z) =

∞∑n=0

an(z − c)n

Доказательство. Степенной ряд почленно дифференцируем внутри кругаравномерной сходимости |z − c| 6 ρ < R,

f(z) =∞∑

n=0

an(z − c)n, f(c) = an

f ′(z) =∞∑

n=0

n an(z − c)n−1, f ′(c) = 1 · a1,

f ′′(z) =∞∑

n=0

n(n− 1)an(z − c)n−2, f ′′(c) = 2 · 1 · a2,

· · · · · ·f (k)(z) =

∞∑n=0

n(n− 1) · · · (n− k + 1)(z − c)n−kan,

f (k)(c) = k(k − 1) · · · 2 · 1 · ak.

⇓∃! an =

fn(c)

n!

Следствие 1. f ∈ DC(UR(c)

)⇒ f ∈ DC∞(UR(c)

)Следствие 2 (Интеграл типа Коши).

fn(c) =n!

2πi

∮Γ+

f(ξ)

(ξ − c)n+1dξ


an =fn(c)

n!=

1

2πi

∮Γ+

f(z)

(z − c)n+1dz ⇒ fn(c) =

n!

2πi

∮Γ+

f(z)

(z − c)n+1dz

2.5. Разложение ФКП в ряды Тейлора и Лорана 45

Теорема 3 (Лорана). f ∈ O(K), K = r < |z − c| < R ⇒ ∀z ∈ K

f(z) =∞∑

n=−∞

an(z − c)n =∞∑

n=0

an(z − c)n

︸︷︷︸правильная часть

ряда Лорана

+∞∑

n=1

a−n

(z − c)n︸︷︷︸главная частьряда Лорана

an =1

2πi

∮Γ+

f(z)

(z − c)n+1dz


Γρ = Γρ1 + Γρ2 , f ∈ O(Kρ

)⇒ ∀z ∈ Kρ,

f(z) =1

2πi

∮Γρ+

f(ξ)

ξ − zdξ.

Kρ = r < ρ2 6 |z − c| 6 ρ1 < R

Для ξ ∈ Γρ1 ,∣∣∣z − c

ξ − c

∣∣∣ = |q| < 1,1

ξ − z=

1

ξ − c

∞∑n=0

(z − c

ξ − c

)n

=∞∑

n=0

(z − c)n

(ξ − c)n+1,

Для ξ ∈ Γρ2 ,∣∣∣ξ − c

z − c

∣∣∣ = |q| < 1,1

ξ − z=

1

(ξ − c)− (z − c)=

− 1

z − c·

1

1− ξ−cz−c

=

=− 1

z − c

∞∑n=0

(ξ − c

z − c

)n

= −∞∑

n=0

(ξ − c)n

(z − c)n+1=

m=n+1−

∞∑m=1

(ξ − c)m−1

(z − c)m


f(z) =1

2πi

∮Γρ1+

+

∮Γρ2−

=1

2πi

∮Γρ1+

f(ξ)∞∑

n=0

(z − c)n

(ξ − c)n+1dξ −

−∮

Γρ2−

f(ξ)∞∑

m=1

(ξ − c)m−1

(z − c)mdξ

=∞∑

n=0

1

2πi

∮Γρ1+

f(ξ)

(ξ − c)n+1dξ

(z−c)n+

+−1∑

n=−∞n=−m

1

2πi

∮Γρ2+

f(ξ)

(ξ − c)n+1dξ

(z − c)n =∞∑

n=−∞

an(z − c)n,

an =1

2πi

∮Γρ+

f(ξ)

(ξ − c)n+1dξ

2.6 Нули и изолированные особые точкианалитических функций

Определение 1 (Нуль ФКП). f : Z → W, c ∈ Z,

• c — нуль функции f(z) :⇔ f(c) = 0, f(z) 6≡ 0

• c— изолированный нуль f(z) :⇔ f(c) = 0, ∃ U(c) : ∀z ∈ U(c) f(z) 6= 0

• f ∈ O(U(c)

), c — нуль порядка k функции f(z) :⇔

f(c) = f ′(c) = · · · = f (k−1)(c) = 0, f (k)(c) 6= 0. Друими словами,порядок нуля – это порядок первой ненулевой производной в точке c.

Теорема 1 (О строении аналитической функциив окрестности нуля). Пусть f ∈ O

(U(c)

), с – нуль порядка k f(z).

Тогда ∃!ϕ(z) ∈ O(U(c)

), ϕ(c) 6= 0, ∀z ∈ U(c) f(z) = (z − c)kϕ(z).

Доказательство. f(z) = a0 +a1(z− c)+a2(z− c)2 + · · ·+ak(z− c)k + · · · .Т.к. f(c) = f ′(c) = · · · = f (k−1)(c) = 0, то a0, a1, . . . , ak−1 = 0

Т.к. f (k)(c) 6= 0, то ak 6= 0 и f(z) = (z − c)k(ak + ak+1(z − c) + · · ·︸︷︷︸ϕ(z)

)

ϕ(z) = ak + ak+1(z − c) + · · · — ряд Тейлора другой аналитическойфункции, и ϕ(c) = ak 6= 0 Т.е. f(z) = (z − c)kϕ(z)

2.6. Нули и изолированные особые точки аналитических функций 47

Пусть ∃k1 6= k, ϕ1(z) = ϕ(z) и f(z) = (z−c)k1ϕ1(z), (z−c)k1ϕ1(z) == (z − c)kϕ(z), ϕ(z) = (z − c)k1−kϕ1(z), ϕ(c) 6= 0, но ϕ1(c) 6= 0 ⇒⇒ k1 − k = 0 или k1 = k. Отсюда, ϕ(z) = ϕ1(z)

Замечание. Нули аналитических функций могут быть только изолиро-ванными, либо накапливаться на границе аналитичности.

Определение 2 (Изолированная особая точка ФКП).

Пусть ∃ f(z) : Z → W, f ∈ O(U(c)

), U(c) ∈ Z, c – изолированная

особая точка f(z) :⇔ f 6∈ O(c)

Классификация изолированных особых точек (ИОТ)limz→c

f(z) ∃, 6= ∞ ∃, = ∞ @

Тип ИОТ c – устранимая ИОТ c – ИОТ типа c – СОТ (Сущ.полюс Особая Точка )

Теорема 2 (Необходимое и достаточное условие устранимой ИОТ).с – устранимая ИОТ f(z) ⇔ ряд Лорана f(z) в окрестности U(c) несодержит главной части.

Доказательство. ∃ limz→c

f(z) 6= ∞⇔ ∃Uρ(c) : |f(z)| 6 M, |an| 6M

ρn,

При n < 0 |an| 6 M · ρ|n|, ρ→ 0 ⇒ an = 0

При n > 0 |an| 6= 0, f(z) =∞∑

n=0

an(z − c)n, 0 < |z − c| < ρ

Теорема 3 (Необходимое и достаточное условие полюса).

c – ИОТ типа полюс f(z) ⇔ c – устранимая ИОТ; g(z) =1

f(z), lim

z→cg(z)= 0

Доказательство. ∃ limz→c

f(z) = ∞ ⇔ ∃ limz→c

1

f(z)= 0

Определение 3 (Порядок полюса). c – ИОТ типа полюс функции

f(z) порядка k :⇔ c – нуль порядка k функции g(z) =

1/f(z), при z 6= c

0, при z = c

Т.о. доопределяем функцию в нуле.

Теорема 4 (Необходимое и достаточное условие полюса порядка k).c – полюс порядка k f(z) ⇔ ряд Лорана функции f(z) в окрестностиU(c) имеет главную часть с членами до (−k)-го порядка включительно.


Доказательство. (⇒) c – нуль порядка k ф-ии g(z) =

1/f(z), z 6= c

0, z = c

g(z) ∈ O(U(c)

), g(z) = b0+b1(z−c)+b2(z−c)2+· · ·+bk(z−c)k+· · · .

b0 = b1 = · · · = bk−1 = 0, bk 6= 0g(z) = (z − c)kϕ(z), ϕ(c) 6= 0, ϕ(z) = bk + bk+1(z − c) + · · · .

f(z) =1

(z − c)k·

1

ϕ(z)=

1

(z − c)k

∞∑n=0

ak+n(z − c)n =

=a−k

(z − c)k+

a−k+1

(z − c)k−1︸︷︷︸главная часть

+ · · ·+ a0 + · · · .

(⇐) f(z) =a−k

(z − c)k+

a−k+1

(z − c)k−1+ · · ·+ a0 + a1(z − c) + · · · =

=1

(z − c)k

∞∑n=0

a−k+n(z − c)k,1

f(z)= (z − c)kϕ(z),

ϕ(z) =1

∞∑n=0

a−k+n(z − c)n

, ϕ(c) =1

a−k

6= 0, a−k 6= 0.

c – нуль порядка k функции g(z), следовательно c – полюс порядка kфункции f(z).

Теорема 5 (Необходимое и достаточное условие существенноИОТ). c – существенно ИОТ ⇔ ряд Лорана f(z) в U(c) содержитбесконечное число членов в главной части.

Доказательство. Доказывается в обе стороны от противного, используятеоремы 3, 4.

2.7 Вычеты ФКП

Определение 1 (Вычет функции). f : Z → W, c ∈ Z – ИОТ,

f(z) ∈ f ∈ O(U(c)

), Res

z=cf(z) :=

1

2πi

∮Γ+

f(z) dz,

где Γ – любой контур, охватывающий точку c, Γ ⊂ U(c)

Замечание.

1. Определение 1 не имеет смысла, если c не явл. ИОТ, Res f(z) = 0

2.7. Вычеты ФКП 49

2.∮

Γ+

=∫

ADB

−∫

AEB

, 2πi =∮

Γ+

dzz−c

Вычет – нормированная разность

интегралов по кривым, обходящим особую точку с разных сторон.

3. an =1

2πi

∮Γ+

f(z)

(z − c)n+1dz – коэффициент ряда Лорана в U(c).

n = −1, a−1 =1

2πi

∮Γ+

f(z)

1dz ⇒ Res

z=cf(z) = a−1

Теорема 1 (Вычисление вычитов). c – ИОТ функции f(z)

1. c – устранимая ИОТ f(z) ⇒ Resz=c

f(z) = 0.

2. c – простой полюс f(z) (k = 1) ⇒ Resz=c

f(z) = limz→c

[f(z)(z − c)

].

3. c – простой полюс f(z) =ϕ(z)

ψ(z), где ϕ(c) 6= 0, ψ(c) = 0 ⇒

⇒ Resz=c

f(z) = Resz=c

ϕ(z)

ψ(z)=ϕ(z)

ψ′(z).

4. c – полюс порядка k f(z) ⇒

⇒ Resz=c

f(z) =1

(k − 1)!limz→c

dk−1

dzk−1

[f(z)(z − c)k

].

5. c – существенная ИОТ f(z) ⇒ Resz=c

f(z) = a−1.

Доказательство. 5. очевидно (смотри замечание к 1)

1. c – УОТ f(z) ⇒ ряд Лорана не содержит главной части ⇒⇒ a−1 = 0 ⇒ Res

z=cf(z) = 0

4.,2. c – полюс порядка k ⇒ ряд Лорана содержит в главной частичлены до (−k) включительно.

f(z) =a−k

(z − c)k+

a−k+1

(z − c)k−1+ · · ·+

a−1

(z − c)+ a0 + a1(z − c) + · · · .

f(z)(z− c)k = a−k +a−k+1(z− c)+ · · ·+a1(z− c)k−1 +a0(z− c)k + · · · .dk−1

dzk−1

(f(z)(z − c)k

)= a−1(k − 1)! + a0(z − c)

k!

1!+ a1(z − c)2

(k + 1)!

1! · 2!

limz→c

dk−1

dzk−1

(f(z)(z − c)k

)= a−1(k − 1)! ⇒

⇒ a−1 =1

(k − 1)!limz→c

dk−1

dzk−1

(f(z)(z − c)k

)


3. f(z) =ϕ(z)

ψ(z), ψ(c) = 0, ϕ(c) 6= 0

2 ⇒ Resz=c

ϕ(z)

ψ(z)= lim

z→c

(ϕ(z)

ψ(z)(z − c)

)= lim

z→c

ϕ(z)(ψ(z)− ψ(c)

(z − c)

) =ϕ(z)

ψ′(c)

Теорема 2 (Основная теорема о вычитах).

f ∈ O(Z \ c1, c2, . . . , cm

).(

Т.е. c1, c2, . . . , cm – ИОТ f(z)).

Γ – граница Z положительноориентированная. Следовательно,∮

Γ+

f(z) dz = 2πim∑

j=1

Resz=cj

f(z)

Доказательство. f ∈ O(Z\

m⋃j=1

U(cj)), Γ∪Γ1∪Γ2∪· · ·∪Γm – положительно

ориентированный составной контур. Следовательно,∮

Γ∪Γ1∪···∪Γm

f(z) dz = 0 ⇒

⇒∮

Γ+

f(z) dz +

∮Γ1−

f(z) dz +

∮Γ2−

f(z) dz + · · ·+∮

Γm−

f(z) dz = 0

∮Γ+

f(z) dz = 2πi

1

2πi

∮Γ1+

f(z) dz +1

2πi

∮Γ2+

f(z) dz + · · ·+ 1

2πi

∮Γm+

f(z) dz

⇒

⇒∮

Γ+

f(z) dz = 2πi

(Resz=c1

f(z) + Resz=c2

f(z) + · · ·+ Resz=cm

f(z)

)Замечание. f(z) может иметь ещё особые точки 6⊂ Z. Их вычеты невходят в сумму правой части формулы.

2.8 Вычеты в бесконечно удалённых особыхточках

Определение 1 (Изолированная бесконечно удалённая точка).f : C → C c = ∞ – изолированная бесконечно удалённая точка :⇔f(z) ∈ O

(U(∞)

) (т.е. ∃M > 0 : ∀z M < |z| <∞, f ∈ O(z)

).

2.8. Вычеты в б.у. особых точках 51

Замечание. Очевидно, что c = ∞ – ИОТ функции f(z) ⇔ c = 0 – ИОТфункции f

(1z

)Классификация бесконечно ИОТ

limz→c

f(z) ∃, 6= ∞ ∃, = ∞ @

Тип ИОТ c = ∞ – УОТ c = ∞ – полюс c = ∞ – СОТ

c = ∞ – полюс порядка k функции f(z) ⇔ c = 0 – полюс порядка k f(

1z

).

Теорема 1 (Необходимое и достаточное условие бесконечнойУОТ, полюса порядка k, и бесконечной СОТ).

1. c = ∞ – УОТ функции f(z) ⇔ ряд Лорана f(z) по степеням z несодержит положительных степеней.

2. c = ∞ – полюс порядка k функции f(z) ⇔ ряд Лорана f(z) постепеням z содержит положительные степени (до k-ой включительно).

3. c = ∞ – СОТ функции f(z) ⇔ ряд Лорана f(z) по степеням zсодержит бесконечное число членов с положительными степенями.


1. c = 0 – УОТ функции f(

1z

)⇔ f

(1z

)= b0 + b1z + b2z

2 + · · · ⇔

⇔ f(z) = b0 + b11

z+ b2

1

z2+ · · · = a0 +

a−1

z+a−2

z2+ · · · .

2. c = 0 – полюс k-го порядка функции f(

1z

)⇔

⇔ f(

1z

)=b−k

zk+b−k+1

zk−1+ · · ·+

b−1

z+ b0 + b1z + · · · ⇔

⇔ f(z) = akzk + ak−1z

k−1 + · · ·+ a1z + a0 +a−1

z+ · · · .

3. Аналогично.

Определение 2 (Вычет в бесконечности). c = ∞ – ИОТ f(z)

Resz→∞

f(z) :=1

2πi

∮Γ−

f(z) dz


Замечание.

1. Функция f(z) являетсяаналитической в c = ∞,если ∃ lim

z→∞f(z) 6= ∞

(c = ∞ – УОТ)

2. Resz=∞

f(z) = −a−1 – коэф-фициент при степени (−1) вразложении f(z) по степеням z.

Теорема 2 (Полная теорема о вычетах). Пусть f(z) : C → C,c1, c2, . . . , cm,∞ - изолированные особые точки функции f(z). Тогда

m∑j=1

Resz=cj

f(z) + Resz=∞

f(z) = 0.

Доказательство. ΓM - граница окрестности UM(0).По теореме 2 §2.7

1

2πi

∮Γ+

M

f(z)dz

︸︷︷︸− Res

z=∞f(z)

=m∑

j=1

Resz=cj

f(z) ⇒m∑

j=1

Resz=cj

f(z) + Resz=∞

f(z) = 0.

2.8. Вычеты в б.у. особых точках 53

Пример. Вычислить интеграл:∮|z−1|=1

dz

z3 − 1= 2πiRes

z=1f(z);

f(z) =1

z3 − 1;

z1 = 1;

z2,3 = −1

2± i

√3

2;

limz→1

1

z3 − 1= ∞⇒ z = 1 - полюс;

1

f(z)= z3 − 1 = (z − 1) (z2 + z + 1)︸︷︷︸

ϕ(z)

;

k = 1, z = 1 - полюс 1-го порядка;

Resz=1

= limz→1

1

(z − 1)(z2 + z + 1)· (z − 1) =

1

3.

Пример. Вычислить интеграл:

∮|z|=2

dz

z3 − 1= 2πi

(Resz=1

f(z) + Resz=− 1

2+i√

32

f(z) + Resz=− 1

2−i√

32

f(z)

);

Рассморим точку z = ∞.

limz→0

f

(1

z

)= lim

z→0

11z3 − 1

= 0.

z = 0 - устранимая особая точка.∮|z|=2

dz

z3 − 1= −2πiRes

z=∞f(z) = 0.

Глава 3

Преобразование Лапласа и егоприложения

3.1 Преобразование Лапласа и его обращение

Определение 1 (Функция-оригинал). Пусть f : R → C - комплекснаяфункция действительного переменного, удовлетворяющая условиям:

1. f(t) на R кусочно-непрерывна, за исключением, быть может, конечногоили счетного числа точек разрыва первого рода;

2. ∀t < 0 f(t) = 0;

3. |f(t)| ≤Mest; M,S ≥ 0; inf s = s0 - показатель роста f(t).

f(t) называется функцией-оригиналом.

Пример (Функция Хевисайда).

η(t) =

0, t < 0,

1, t > 0;

t = 0 - точка разрыва первого рода (устранимая).f(0−) = 0 6= f(0+) = 1.|η(t)| ≤ 1 = 1 · e0t, M = 1, s0 = 0.

54

3.1. Преобразование Лапласа и его обращение 55

Пример.

f(t) =1

t− 3· η(t) =

0, t < 0

1t−3, t > 0

f(3−) = −∞, f(3+) = +∞, t = 3 - точка разрыва второго рода ⇒ f(t)не является оригиналом по пункту 1.

Пример. f(t) = et.f(t) > 0 при t < 0 ⇒ f(t) не является оригиналом по пункту 2.f(t) = et · η(t) является оригиналом.|et · η(t)| ≤ et = 1 · e1·t, M = 1, s0 = 1.

Пример. f(t) = et2 · η(t).|f(t) = et2 · η(t)| ≤ et2 ⇒ f(t) - не является оригиналом по пункту 3.

56 Глава 3. Преобразование Лапласа и его приложения

Замечание. Функции et · η(t), cos t · η(t), sh t · η(t), tn · η(t) являютсяоригиналами. Также оригиналами являются их производные и интегралы.Для простоты записи η(t) опускается, но подразумевается.

Определение 2 (Преобразование Лапласа). Пусть f(t) - функция-оригинал. Комплекснозначная функция F (p) : C → C комплексногопеременного p = s + iσ называется преобразованием Лапласа функцииf(t), если

F (p) =

+∞∫0

f(t)e−ptdt.

Интеграл в правой части равенства - интеграл Лапласа. Соответствиемежду f(t) и F (p) обозначается следующим образом: f(t) : F (p). f(t) -оригинал, F (p) - изображение оригинала f(t).

Теорема 1 (Существование преобразования Лапласа). ∀f(t) с показателемроста s0 преобразование Лапласа F (p) существует приRe p = s > s0.

Доказательство. Докажем сходимость несобственного интеграла:∣∣∣∣∣∣+∞∫0

f(t)e−ptdt

∣∣∣∣∣∣ ≤+∞∫0

∣∣f(t)e−pt∣∣ dt;

∣∣f(t)e−(s+iσ)t∣∣ = |f(t)|

∣∣f(t)e−st · e−iσt∣∣ ≤Mes0t·e−st = Me(s0−s)t, тогда∣∣∣∣∣∣

+∞∫0

f(t)e−ptdt

∣∣∣∣∣∣ ≤M

+∞∫0

f(t)e(s0−s)tdt =M

s0 − se(s0−s)t

∣∣∣∣+∞0

=M

s0 − s.

Интеграл равномерно сходится при Re p > s0.

Замечание. Можно доказать, что F (p) не только существует, но и аналитичнапри Re p > s0.

3.2. Основные свойства преобразования Лапласа 57

Пример.

η(t) =

0, t < 0,

1, t > 0;

s0 = 0;

F (p) =

+∞∫0

1 · e−ptdt = −1

pe−pt

∣∣∣∣+∞0

= −1

p

(lim

t→+∞e−pt − 1

)=

1

p;

1 :1

p

Замечание. Преобразование Лапласа обратимо, т.е. F (p) : f(t).

Теорема 2 (Обращение преобразования Лапласа). Если F (p) :C → C является изображением оригинала функции f(t), то в любойточке непрерывности справедливо равенство:

f(t) =1

2πi

a+i∞∫a−i∞

f(p)eptdp,

где интеграл берется по [a− ib, a+ ib] при a > s0, b→∞.

3.2 Основные свойства преобразования ЛапласаПусть f(t), f1(t), f2(t) - функции-оригиналы и f(t) : F (p), f1(t) :F1(p), f2(t) : F2(p).

Теорема 1 (Свойство линейности). Преобразование Лапласа линейнойкомбинации функций является соответствующей линейной комбинациейизображений, т.е. ∀λ1, λ2 ∈ C

λ1f1 + λ2f2 : λ1F1(p) + λ2F2(p).


Доказательство. λ1f1+λ2f2 - оригинал; соответствие следует из линейностиинтеграла Лапласа.

Теорема 2 (Свойство подобия). ∀α > 0

f(αt) :1

αF( pα

).


f(αt) :

+∞∫0

f(αt)e−ptdt =

∣∣∣∣∣∣τ = αtτ1 = 0, τ2 = ∞dt = 1

αdτ

∣∣∣∣∣∣ =1

α

+∞∫0

f(τ)e−pα

τdτ =1

αF( pα

).

Теорема 3 (Дифференцирование оригинала). Если f ′(t) - оригинал⇒ f ′(t) : pF (p)−f(0+), f (n)(t) - оригинал⇒ f (n)(t) : pnF (p)−pn−1f(0+)−. . .−f (n+1)(0+). Дифференцированию оригинала соответствует домножениеизображения на p.


f ′(t) :

+∞∫0

f ′(t)e−ptdt =

∣∣∣∣∣∣∣∣u = e−pt

dv = f ′(t)dtdu = −pe−ptdtv = f(t)

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= f(t)e−pt∣∣∞0

+ p

+∞∫0

f(t)e−ptdt

︸︷︷︸F(p)

= pF (p)− f(0+);

Аналогичноf ′′(t) : p2F (p)− pf(0+)− f ′(0+);...f (n)(t) : pnF (p)− pn−1f(0+)− . . .− fn−1(0+);

Теорема 4 (Интегрирование оригинала). Если f(t) - оригинал иf(t) : F (p), то

t∫0

f(τ)dτ :F (p)

p.

3.2. Основные свойства преобразования Лапласа 59

Доказательство.t∫

0

f(τ)dτ = g(t) - оригинал. Пусть g(t) : G(p). Но g′(t) = f(t) и по

теореме 3 g′(t) : pG(p)− g(0+) = pG(p), но f(t) : F (p)

⇒ pG(p) = F (p) ⇒ G(p) =F (p)

p

Теорема 5 (Дифференцирование изображений).F (p) : f(t) ⇒ f ′(t) : −tf(t), . . . , F (n)(p) : (−1)ntnf(t).

Доказательство. Если

F (p) =

+∞∫0

f(t)e−ptdt

равномерно сходится на Re p > s0, то его можно почленно дифференцировать:

F ′(p) =

+∞∫0

f(t)e−ptdt

′

p

=

+∞∫0

(f(t)e−pt

)′pdt =

+∞∫0

f(t)(−t)e−ptdt : −tf(t).

Аналогично теорема доказывается для производных более высокого порядка.

Теорема 6 (Интегрирование изображения).

F (p) : f(t) ⇒∞∫

p

F (p)dp :f(t)

t.

Интеграл берется по пути, лежащем в Re p > s0


∞∫p

F (p)dp =

∞∫p

∞∫0

f(t)e−ptdt

dp =

∞∫0

f(t)dt

∞∫p

e−ptdt =

∞∫0

f(t)·(

1

−te−pt

)∞p

dt =

=

∞∫0

f(t)

te−ptdt :

f(t)

t.


Теорема 7 (Теорема запаздывания).f(t) : F (p), ∀τ > 0, тогда f(t− τ) - оригинал и f(t− τ) : e−pτF (p).


f(t−τ) :

∞∫τ

f(t−τ)e−ptdt =

∣∣∣∣∣∣∣∣θ = t− τt = θ + τdt = dθθ1 = 0, θ2 = ∞

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∞∫0

f(θ)e−p(θ+τ)dθ =

= e−pτ

∞∫0

f(θ)e−pθdθ = e−pτF (p).

Теорема 8 (Теорема смещения).F (p) : f(t), ∀λ ∈ C F (p− λ) : eλtf(t).


eλtf(t) :

∞∫0

eλtf(t)e−ptdt =

∞∫0

f(t)e−(p−λ)tdt = F (p− λ).

Documents

narod.rulesar.narod.ru/Learn/vishk/TFKPlek.pdf1.1. Множество комплексных чисел 3 Теорема 1 (Свойства операций над комплексными