第 34 课 图形的相似

1 ．比和比例的有关概念： (1) 第四比例项：若 ＝ 或 a∶b＝ c∶d，那么 d叫做

a、 b、 c的 ． (2) 比例中项：若 ＝ 或 a∶b＝ b∶c，那么 b叫做 a、 c

的 ． (3) 黄金分割：把一条线段 (AB) 分成两条线段，使其中较长

线段 (AC) 是原线段 (AB) 与较短线段 (BC) 的比例中项，就叫做把这条线段 ．即 AC2 ＝ ， AC＝ AB

≈ AB.

要点梳理ab

cd 第四比例项

ab cd

比例中项

黄金分割 AB·BC5－12

0.618

2 ．比例的基本性质及定理： (1) ＝ ⇒ ad＝ bc； (2) ＝ ⇒ ； (3) ＝ ＝…＝ (b＋ d＋…＋ n≠0) ⇒ ＝ .

ab

cd

ab

cd

ab

cd

a±bb ＝

c±dd

mn

a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n

ab

3 ．平行线分线段成比例定理： (1) 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成 ； (2) 平行于三角形一边截其它两边 ( 或两边的延长线 ) ，所得的对 应线段成 ； (3) 如果一条直线截三角形的两边 ( 或两边的延长线 ) ，所得的对

应线段成 ，那么这条直线平行于三角形的第三边； (4) 平行于三角形的一边，并且和其它两边 ( 或两边的延长线 ) 相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．4 ．相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做 ． 相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的 ．

比例比例比例

相似三角形相似比

5 ．相似三角形的判定： (1) 平行于三角形一边的直线和其他两边 ( 或两边的延长线 ) 相

交，所截得的三角形与原三角形相似； (2) 两角对应相等； (3) 两边对应成比例且夹角相等； (4) 三边对应成比例； (5) 直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例； (6) 直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角

形相似．6 ．相似三角形性质：对应角相等，对应边成比例，对应高、对应

中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

7 ．直角三角形相似的判定及成比例的线段： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形

成比例，那么这两个直角三角形相似． 射影定理：如图，△ ABC中，∠ ACB＝ 90° ， CD是斜边

AB上的高，则有下列结论． (1)AC2 ＝ AD·AB； (2)BC2 ＝ BD·AB； (3)CD2 ＝ AD·BD； (4)AC2∶BC2 ＝ AD∶BD； (5)AB·CD＝ AC·BC.

1 ．证明三角形相似的解题技巧 判定两个三角形相似的常规思考过程是：①先找两对对应角相等，一般这个条件比较简单；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例；④若题目出现平行线，则直接运用预备定理得出相似的三角形．

[ 难点正本 疑点清源 ]

2 ．运用相似三角形的判定解决其他问题 相似三角形的判定方法可用来判定两个三角形相似，也可以间接地说明角相等或线段成比例，还可为计算线段及角的大小创造条件，在解决问题时，应从问题结论所需条件入手，灵活转化．有时需把解题中涉及的线段转化到适当的三角形中去考虑，有时要找“中间比”来替换，使问题得以间接解决．

1 ．下列各组线段 ( 单位： cm) 中，成比例线段的是 ( 　　 ) A ． 1 、 2 、 3 、 4 B ． 1 、 2 、 2 、 4 C ． 3 、 5 、 9 、 13 D ． 1 、 2 、 2 、 3 　 解析：线段 1 、 2 、 2 、 4 中， 1 2∶ ＝ 2 4.∶

基础自测B

2 ． (2011· 陕西 ) 如图，在平行四边形 ABCD中， E、 F分别是AD、 CD 边上的点，连接 BE 、 AF相交于 G，延长 BE交CD的延长线于点 H，则图中的相似三角形有 ( 　　 )

A ． 2 对 B ． 3 对 C ． 4 对 D ． 5 对 解析：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， AD∥BC. ∴△ABG∽△FHG，△ HED∽△HBC， △ABE∽△DHE，△ ABE∽△CHB， ∴ 相似三角形有四对．

C

3 ． (2011· 北京 ) 如图，在梯形 ABCD中， AD∥BC，对角线 AC、BD相交于点 O，若 AD＝ 1 ， BC＝ 3 ，则 的值为 ( 　　 )

A. B. C. D.

解析：∵ AD∥BC， ∴△AOD∽△COB， ∴ ＝ ＝ .

AOCO

12

13

14

19

B

AOCO

ADBC

13

4 ． (2011· 台州 ) 若两个相似三角形的面积之比为 1 4∶ ，则它们的周长之比为 ( 　　 )

A ． 1 2 B∶ ． 1 4 C∶ ． 1 5 D∶ ． 1 16∶

解析：相似三角形的面积之比为相似比的平方，周长比等于相似比，所以相似比为 ＝ .

A

14

12

5 ． (2010· 潍坊 ) 如图所示，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的．矩形 ABCD沿 EF对开后，再把矩形 EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么 等于 ( 　　 )

A ． 0.618 B.

C. D ． 2 　 解析：因为矩形 ABCD与矩形 CFED相似， 所以 ＝ . 若设 DE＝ a，则 AD＝ 2a， ＝ ， AB2 ＝ 2a2 ， AB＝ a， ∴ ＝ ＝ .

ABAD

22

2

B

DECD

ABAD

AB2a

aAB

2

ABAD

2a

2a 2

2

题型一　三角形相似的判定【例 1 】 如图，小正方形的边长均为 1 ，则下列图中的三角形

( 阴影部分 ) 与△ ABC相似的是 ( 　　 )

　

题型分类 深度剖析

A

解析：分析可以看出图中△ ABC是钝角三角形，其钝角为 135° ，且夹这个角的两边的比为 2 ∶ ＝ ∶ 1 ，只有 A 选项中的三角形符合条件．根据相似三角形的判定定理，它们是相似三角形，故选 A.

探究提高　 此题考查相似三角形的判定知识及观察能力．

2 2

知能迁移 1 　如图，在△ ABC中， DE∥BC， EF∥AB. 求证：△ ADE∽△EFC.

证明： ∵DE∥BC， EF∥AB， ∴∠AED＝∠ C，∠ A＝∠ CEF， ∴△ADE∽△EFC.

题型二　相似三角形的性质【例 2 】 如图，在梯形 ABCD中， AD∥BC，∠ B＝∠ ACD. (1)请再写出图中另外一对相等的角； (2) 若 AC＝ 6 ， BC＝ 9 ，试求梯形 ABCD的 中位线的长度． 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解： (1)∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ BCA. [2 分 ]

(2)∵∠B＝∠ ACD，∠ BCA＝∠ DAC， ∴△BCA∽△CAD， [4 分 ] ∴ ＝ ，∴ AC2 ＝ BC·AD， 即 62 ＝ 9·AD， AD＝ 4. [6 分 ] ∴ 梯形 ABCD的中位线＝ (AD＋ BC) ＝ ×(4 ＋ 9) ＝ 6.5.

答：梯形 ABCD的中位线的长度是 6.5. [8 分 ]

探究提高　 本题主要考查相似三角形的判定、性质，相似三角形性质的应用等．

BCCA

CAAD

12

12

知能迁移 2 　如图，在直角梯形 ABCD中， AD∥BC，∠ B＝ 90° ， E是 AB的中点，且 CE⊥DE. (1)请你判断△ ADE与△ BEC是否相似，并说明理由； (2) 若 AD＝ 1 ， BC＝ 2 ，求 AB的长． 解： (1) 相似，理由如下： ∵AD∥BC，∠ B＝ 90° ， ∴∠A＋∠ B＝ 180° ，∴∠ A＝∠ B＝ 90°. ∴∠ADE＋∠ AED＝ 90°. ∵CE⊥DE， ∴∠CED＝ 90° ，∠ AED＋∠ BEC＝ 90°. ∴∠ADE＝∠ BEC. 又∵∠ A＝∠ B，∴△ ADE∽△BEC.

(2)∵△ADE∽△BEC， ∴ ＝ . ∵E是 AB的中点， ∴AE＝ BE＝ AB. ∴AE2 ＝ AD·BC＝ 1×2 ＝ 2 ， AE＝ . ∴AB＝ 2AE＝ 2 . 答： AB的长为 2 .

ADEB

AEBC

12

2

2

2

题型三　相似三角形综合问题【例 3 】 如图，矩形 PQMN内接于△ ABC，矩形周长为

24 ， AD⊥BC交 PN于 E，且 BC＝ 10 ， AE＝ 16 ，求△ ABC的面积．

解：在矩形 PQMN中， PN∥＝ QM， ∴△APN∽△ABC. ∵AD⊥BC，∴ AE⊥PN. ∴ ＝ . 设 ED＝ x， ∵ 矩形 PQMN周长为 24 ，∴ PQ＋ PN＝ 12 ， ∴PN＝ 12 － x， AD＝ 16 ＋ x， ∴ ＝ ， x2 ＋ 4x－ 32 ＝ 0 ， 解之：得 x1 ＝ 4 ， x2 ＝－ 8(舍去 ) ， ∴AD＝ AE＋ ED＝ 20 ， ∴S△ABC＝ BC·AD＝ ×10×20 ＝ 100.

答：△ ABC的面积是 100.

PNBC

AEAD

12－x10

1616＋x

12

12

探究提高　 本题考查的关键是“相似三角形的对应边上的高线之比等于它们的相似比”．

知能迁移 3 (2011·怀化 ) 如图，△ ABC是一张锐角三角形的硬纸片． AD是边 BC上的高， BC＝ 40 cm ， AD＝ 30 cm.从这张硬纸片剪下一个长 HG是宽 HE的 2倍的矩形 EFGH，使它的一边 EF在 BC上，顶点 G、 H分别在 AC、 AB上， AD与 HG的交点为M.

(1)求证： ＝ ； (2)求这个矩形 EFGH的周长．

AMAD

HGBC

解： (1) 证明：∵四边形 EFGH为矩形， ∴EF∥GH， ∴∠AHG＝∠ ABC. 又∵∠ HAG＝∠ BAC， ∴△AHG∽△ABC， ∴ ＝ . (2) 解：设 HE＝ x， 则 HG＝ 2x， AM＝ AD－ DM＝ AD－ HE＝ 30

－ x， 由 (1) 可知， ＝ ，∴ ＝ ， 解得， x＝ 12, 2x＝ 24. ∴ 矩形 EFGH的周长为 2×(12 ＋ 24) ＝ 72 cm.

AMAD

HGBC

AMAD

HGBC

30－x30

2x40

题型四　相似多边形与位似图形【例 4 】 如图，在 8×8 的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△ OAB的一位似图形，使两个图形以 O为位似中心，且所画图形与△ OAB的位似比为 2 1.∶

解：画图略

探究提高　 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比叫做相似比．

知能迁移 4 　如图，在长为 10 cm 、宽为 6 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形 ( 图中阴影部分 ) 与原矩形相似，则留下的矩形的面积是多少？

解：由题意，可知矩形 ABCD∽矩形 CDEF.

∴ ＝ ，即 ＝ .

∴DE＝ 3.6 ， ∴S 矩形 CDEF＝ 6×3.6 ＝ 21.6 cm2.

ADAB

CDDE

106

6DE

13 ．易出错的三角形相似问题考题再现　 如图，在 Rt△ABC与 Rt△ADC中，∠ ACB＝∠ ADC＝ 90° ， AC＝ ， AD＝ 2 ，问：当 AB的长为多少时，这两个直角三 角形相似？

答题规范

6

学生作答　 解：在 Rt△ADC中， ∵AC＝ ， AD＝ 2 ， ∴CD＝ ＝ . 要使这两个三角形相似， 有 ＝ ， ∴AB＝ ＝ ＝ 3. 故当 AB的长为 3 时，这两个直角三角形相

似．

6

AC2－AD2 2

ACAD

ABAC

AC2

AD 62

2

规范解答　 解：在 Rt△ADC中， ∵AC＝ ， AD＝ 2 ， ∴CD＝ ＝ . 要使这两个三角形相似， 有 ＝ 或 ＝ ， ∴AB＝ ＝ ＝ 3 ，或 AB＝ ＝ ＝ 3 .

故当 AB的长为 3 或 3 时，这两个直角三角形相似．

6

AC2－AD2 2

ACAD

ABAC

ACCD

ABAC

AC2

AD 62

2 AC2

CD 62

2 2

2

老师忠告　 1 ．此题中，两个直角三角形 Rt△ABC与 Rt△ADC中，∠ ACB＝∠ ADC＝ 90° ，∠ B可能与∠ ACD相等，或者∠ B与∠ CAD相等，三角形△ ABC与△ ADC相似可能是△ ABC∽△ACD或△ ABC∽△CAD. 根据对应边成比例，有两种情况需要分类讨论． 2 ．分类讨论在几何中的应用也很广泛，可以说整个平面几何的知识结构贯穿了分类讨论的思想方法． 3 ．在解题过程中，不仅要掌握问题中的条件与结论，还要在推理的过程中不断地发现题目中的隐含条件，以便全面、正确、迅速地解决问题．忽视已知条件，实质上是对概念理解不详、把握不准的表现．

方法与技巧 1. 在平面几何的学习中，“相似是关键”，为了学好相似形，要随时与全等形做比较，寻找它们之间的联系与区别．因此，全等形是相似比为“ 1” 的特殊相似形，相似形则是全等形的推广． 2. 从一般和特殊的关系角度，在与全等三角形 ( 相似三角形的特例 ) 的对比中，掌握相似三角形的性质与判定．

思想方法 感悟提高

3. 判定三角形相似的基本思路： (1) 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理； (2) 条件中若有一对等角，可再找一对等角 ( 用判定定理 1) 或再找夹边成比例 ( 用判定定理 2) ； (3) 条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等； (4) 条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； (5) 条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例． 4. 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．

失误与防范 1 ．在判别两个多边形相似的时候，不能仅凭直观感觉，而应该使用准确的判别方法．在确定多边形的对应边时，常根据图形的大致形状，长边对长边，短边对短边，当发现有一组对应边的比与其他对应边的比不相等时，即可说明对应边不成比例，则两个多边形不相似． 2 ．证明比例式或等积式的方法主要有“三点定型”法． (1)横向定形：欲证 ＝ ，横向观察，比例式中分子的两条线段是 AB和 BC，三个字母 A、 B、 C恰为△ ABC的顶点；分母的两条线段是 DE和 EF，三个字母 D、 E、 F恰为△ DEF的三个顶点．因此只需证△ ABC∽△DEF；

ABDE

BCEF

(2)纵向定形：欲证 ＝ ，纵向观察，比例式中左边的比AB和 BC中的三个字母 A、 B、 C恰为△ ABC的顶点；右边的比两条线段 DE和 EF中的三个字母 D、 E、 F恰为△ DEF的三个顶点．因此只需证△ ABC∽△DEF； (3) 由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线、等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形，这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常常要用到中间比．

ABBC

DEEF

完成考点跟踪训练 34