Upload
benard
View
94
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ. Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором излагается движение точек и тел без учета их масс и действующих на них сил. Основные задачи кинематики. Задать закон движения тела. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
КИНЕМАТИКА ТОЧКИКИНЕМАТИКА ТОЧКИ
Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором излагается движение точек и тел без учета их масс и действующих на них сил.
Основные задачи кинематики
Задать закон движения тела.
По этому закону найти основные кинематические характеристики (траекторию, скорость, ускорение).
Способы задания движения точки
1) Векторный.
2) Координатный.
3) Естественный.
)tΔt( +r
)t(r
MV
rΔ M1срV
X
Х
Z
Скорость точки при векторном способе задания движения
Скорость точки при векторном способе задания движения
Δt
Δr=Vср
• Средней скоростью точки называется отношения приращения радиуса вектора точки к промежутку времени, за который произошло это перемещение .
Скорость точки при векторном способе задания движения
Скоростью в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени, за который произошло это перемещение, когда этот промежуток времени стремиться к нулю, т.е.
•
→=== r
rrV
dt
d
Δt
Δlim
0Δt
Скорость точки при координатном Скорость точки при координатном способе задания движенияспособе задания движения
kjir zyx ++=
kjiVdt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
dr++==
dt
dxVx =
dt
dyVy =
dt
dzVz =
=> проекция скорости точки на координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей этой оси координате
Направление вектора скорости определяется Направление вектора скорости определяется
направляющими косинусами:направляющими косинусами:
2222
z2y
2x zyxVVVV
•••
++=++=
=V
V)v,xcos( x
V
V)v,ycos(
y=
V
V)v,zcos( z=
Модуль скорости:Модуль скорости:
Скорость точки при естественном способе задания движения
•
→=== r
rrV
dt
d
Δt
Δlim
0Δt
tΔσΔ
limσΔ
Δlim)
tΔσΔ
σΔΔ
(lim0tΔ0tΔ0tΔ →→→
•==rr
V
σΔДОМНОЖИМ ЧИСЛИТЕЛЬ И ЗНАМЕНАТЕЛЬ НАВЕЛИЧИНУ ДУГИ
0σΔ >
τσ
υ
σΔΔr rΔ
M
)t(r )tΔt( +r
O
σΔ
0M
1M
τrr
==→ σd
d
σΔ
Δlim
0tΔ
•
→== σ
dt
σd
tΔ
σΔlim
0tΔ
dt
σdυτ =
τV τυ=
τVdt
σd=
Ускорение точки при координатном Ускорение точки при координатном способе задания движенияспособе задания движения
2222z
2y
2x zyxaaaa
••••••
++=++=
;a
a)a,ycos(
y=;
aa
)a,xcos( x= =aa
)a,zcos( z
Модуль ускорения:Модуль ускорения:
Ускорение точки при векторном Ускорение точки при векторном способе задания движенияспособе задания движения
Средним ускорением точки называется предел отношения приращение вектора скорости к промежутку времени, за который произошло это приращение.
Δср =
Δt
va
1M
2M
tΔ
Δv
υΔ2υ
2υ
1υ
Ускорение точки при векторном Ускорение точки при векторном способе задания движенияспособе задания движения
Ускорением в данный момент времени называется предел отношения приращение вектора скорости к промежутку времени, за который произошло это приращение, когда этот промежуток времени стремиться к нулю, т.е.
••
→=== r
vva
dt
d
Δt
Δlim
0Δt
Ускорение точки при координатном Ускорение точки при координатном способе задания движенияспособе задания движения
kjir zyx ++=
kjirv
a 2
2
2
2
2
2
2
2
dt
zd
dt
yd
dt
xd
dt
d
dt
d++===
2
2
x dt
xda =
2
2
y dt
yda =2
2
z dt
zda =
=> проекция ускорения точки на координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей этой оси координате
Ускорение точки при координатном Ускорение точки при координатном способе задания движенияспособе задания движения
2222z
2y
2x zyxaaaa
••••••
++=++=
;a
a)a,ycos(
y=;
aa
)a,xcos( x= =aa
)a,zcos( z
Модуль ускорения:Модуль ускорения:
Ускорение точки при естественным Ускорение точки при естественным способе задания движенияспособе задания движения
1τ
M τ
1M1τ
τV τυ=
( )dt
dυ
dt
υdυ
dt
d
dt
dτ
ττ
τττ
Va +===
M
n
τb
III
III
IIIIII
Соприкасающаяся плоскостьНормальная плоскость
Спрямляющая плоскость
ε
1τ
M
0M
A
BτΔ
σΔσ1τ
σΔΔτ
0σΔMM1 >=
τ
τττ -= 1Δ
,σd
d
,0σd
d
ττ
ττ
⊥
=•
2ε
sin2|Δ|AB == τ
σd
dυ
tΔ
σΔlim
σΔ
Δlim]
tΔ
σΔ
σΔ
Δ[lim
tΔ
Δlim
dt
dτ
0σΔ0tΔ0tΔ0tΔ
τττττ=•===
→→→→
ρ
1k
|σΔ|
ε
2ε
2ε
sinlim|
σΔ
Δ|lim|
σd
d|
0σΔ0σΔ====
→→
ττ
Скалярное произведение равно нулю когда вектора перпендикулярны.
σ τd
d
1τ 2 =
направлен по нормали
Ускорение точки при естественном способе задания движения
nτ
ρ1
vdtd
τ=
( ) nττV
aρ1
υdtυd
υdtd
dtd 2τ
τ τ+===
τadtυd τ
τ = naρ1
υ2n τ
=
nτ aaa +=
Поступательное движение твердого тела
Поступательное движение твердого тела – это такое движение тела, при котором любая прямая проведенная в теле перемещается параллельно самой себе.
B
ρ
Ar
Вr АrΔ
ВrΔ0B
1X
Y
1Z
O
ρ
1AA
Поступательное движение твердого тела
Поступательное движение твердого тела
dtd
dtd
ΔΔ
AB
AВ
rr
rr
=
=
dt
d
dt
d AB vv=
AВ vv =
одинаковытела точек всех ускорения и скорости
я,перемещенитела движении ьномпоступател При
AВ aa =
Вращательное движение твердого тела
• Вращательное движение твердого тела – это такое движение при котором какие - нибудь две точки остаются неподвижными.
• Проходящая через эти точки прямая называется осью вращения.
Z 1Z
X
1Y
φΔ
Y
1X φ
A
Вращательное движение твердого тела
( )tΔ
φΔω
срz =
( ) ( )tφtΔtφφΔ -+=
•
→=== φ
dt
φd
tΔ
φΔlimω
0tΔz
средняя угловая скорость
угловая скорость
Вращательное движение твердого тела
)t(ω)tΔt(ωωΔ zzz -+=
( )tΔ
ωΔε z
срz =
••
→==== φ
dt
φddtωd
tΔωΔ
limε 2
2zz
0tΔz
среднее угловое ускорение
угловое ускорение
Вектор угловой скорости
kkω zωdtφd
==
Вектор угловой скорости- это вектор численно равный первой производной по времени от закона изменения угла поворота, направленный по оси вращения в ту сторону, чтобы глядя с конца вектора угловой скорости вращение происходило бы против часовой стрелки.
Вектор углового ускорения
kkω
ε zz
z εdtωd
dtd
===
Вектор углового ускорения- это вектор численно равный первой производной по времени от закона изменения угловой скорости, направленный по оси вращения. При ускоренном вращении направления векторов углового ускорения и угловой скорости совпадают.
Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
– неподвижная система координат
Axyz – подвижная система координат
(вращается вокруг оси Аz)
111 zyAx
kjir zyx ++=
Y
X
φ1Y
1X
1ZZ
k
Ai
j
r
φ
М
dtd
zdtd
ydtd
xdtd kjir
V ++==
==+=•••
z11 ωφφφcosφφsin- dt
djjji
i
+cos= φsinφ 11 jii
cos= φsin-φ 11 ijj
-===•••
z11 ωφ-φφcos-φφsin- dtd
iiijj
= 0dt
dk
Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
zy x= ωV
0V =z
zx -y= ωV
ijV zz -x= ωyω
Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Рассмотрим векторное произведение
zzzzyx ωxωy-
z y x
ω 0 0
z y x
ω ω ω
ji
kjikji
r×ω +===
r×ωV = Формула Эйлера
υ
ρ
α
ω
r
C
M
1X
1Y
1Z
O
Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
ρωαsinr=ωV •=••Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси равна произведению модуля угловой скорости вращения и кратчайшего расстояния от точки до оси вращения.
Ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Тело вращается вокруг оси z угловой скоростью и угловым ускорением .
Скорость точки определяется по формуле
ωε
r×ωV =
( )dtd
dtd
dtd
dtd r
ωrω
rωV
a ×+×=×==
a = ε × r + ω×V
врa = ε × r
( )= , =врa εrsin r ε ερ
осa = ω×V2= =осa ωv ω ρ
( ) ( )2 2 2 4= + = +ос врa a a ρ ε ω
2= =вр
ос
a εtgβ
a ω
υ
ρ
ε a
осa
врaβ
ω
r
C
M
1X
1Y
1Z
O
Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным (плоским) движением твердого тела называется такое движение тела при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях.
A
B
C
1Z
1X
1Y
M
Z
XY
Аr r
Aρ
O
1Y
1X
2j
2i
B
A
O
2X
X
A1X B1X
A1Y
B1Y
Y 2Y
BY
BX
Ar
Brφ
φ
ρ
Скорость точки при плоскопараллельном движении тела
ρrr += AB
dt
d
dt
d
dt
d AB ρrr+=
BAAB vvυ +=
ρωυ ×=BA
Aυ
Bυ
A
BAυ B
0ωz >
Aυ
BAAB vvυ +=
Aυ
Bυ
A
BAυB
0ωz <
Aυ
Теореме о проекции скоростей двух точек тела
Проекции скоростей двух точек тела на прямую соединяющую эти точки равны.
A Bα
βBAυ
Bυ
Aυα Aυ
BAAB VVV +=
( ) ( ) ( )ABBAABAABB VVV +=
( ) ABVV ⊥= BAABBA т.к ,0
( ) ( )ABAABB VV =
Мгновенный центр скоростей
• Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.
• Теорема: Если угловая скорость плоской фигуры не равна нулю, то мгновенный центр скоростей существует.
2
π
Aυ
A
PAυP
zω
Aυ
Определение положения мгновенного цента скоростей
1. Известно направление скоростей двух точек тела
Aυ
Bυ
P
B
A
Aυ
Bυ
P
B
Относительно МЦС тело совершает вращательное движение
Определение положения мгновенного цента скоростей
2. Скорости двух точек тела параллельны друг другу, не равны между собой и перпендикулярны прямой соединяющей эти точки.
Aυ
Bυ
P
B
A
Aυ
Bυ
P
B
A
Определение положения мгновенного цента скоростей
3. Скорости двух точек параллельны, но не перпендикулярны прямой соединяющей эти точки.
α
α
Aυ
Bυ
P
B
A
Определение положения мгновенного цента скоростей
Тело катиться без скольжения по неподвижной поверхности. Точка касания имеет в данный момент скорость равную нулю и является мгновенным центром скоростей.
Oυ
P
O
0p =υ
Ускорение точек тела при плоскопараллельном движении
BAAB vvυ +=
ρωvυ ×+= AB
dtd
dtd
dtd
dtd AB ρ
ωρωvv
×+×+=
BAAB vωρεaa ×+×+=
αAa
Ba
BAa
врBAa B
A
Aa
осBAa
Ускорение точек тела при плоскопараллельном движении
ρεa ×=врВА
BAосВА vωa ×=
осВА
врBABА aaa +=
осВА
врBAAB аaaa ++=
Ускорение точек тела при плоскопараллельном движении
АВερεaврВА =•=
AB
vАВωvωa
22
BAосВА
BA==•=
( ) ( )2осВА
2врBA
2 аaaBА
+=
42BА ωε=ABa +
( ) ( )2осВА
2врBA
2 аaaBА
+=
Продолжение