1

КИНЕМАТИКА ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ

Методическое пособие для самостоятельной работы студентов.

Авторы д.т.н., профессор Гриб В.В. к.т.н., доцент Самылин Е.А. профессор Балдин В. А. ОГЛАВЛЕНИЕ

ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ

Передачи это устройства, служащие для передачи энергии и механического движения на расстояние и преобразования параметров движения.

При этом передачи производят распределение энергии, понижение и повышение скорости движения, взаимное преобразование видов движения , например вращательное в поступательное и наоборот. Передачи производят регулирование скорости, пуск, остановку, реверсирование.

Зубчатые механизмы-передачи. Они предназначены для передачи вращения от одного вала к другому, при этом происходит изменение величины и направления угловой скорости с одновременным изменением величины вращающего момента.

Потребности увеличения скорости появились в глубокой древности, когда источниками движения были ветер, вода. Тогда и появились зубчатые механизмы.

С появлением электропривода появилась необходимость уменьшать обороты. Компактные двигатели получались при больших оборотах.

В настоящее время зубчатые передачи имеют огромное распространение. В двигателях- передача от коленвала к другим валам (клапанный механизм, магнето. генератор). В станках – коробки скоростей. Во всех трансмиссиях строительных и подъемных машин кранах, экскаваторах, погрузчиках – это механизмы поворота, передвижения, привода ковшевых цепей, роторов, фрез.

Различные мотор-редукторы и приводы механизированного инструмента имеют зубчатые передачи. В подобных передачах осуществляется контакт боковых поверхностей специально

профилированных зубьев. Давление зубьев вращающегося ведущего колеса передается зубьям ведомого колеса, осуществляя вращение.

Зубчатые механизмы бывают плоскими и пространственными. Плоские – все оси параллельны и все звенья вращаются в параллельных плоскостях. Пространственные- оси вращения звеньев пересекаются или перекрещиваются. Основными параметрами кинематики зубчатых передач являются передаточное число и

передаточное отношение.

ПЕРЕДАТОЧНОЕ ОТНОШЕНИЕ

Передаточное отношение является важной кинематической характеристикой зубчатого механизма. Приведем комплексное, для пространственных и для плоских механизмов, определение передаточного отношения в соответствии с рекомендациями Комитета по терминологии.

Передаточным отношением от звена i к звену j зубчатого механизма называется отношение модуля угловых скоростей звена i |ϖi| к модулю угловой скорости звена j |ϖi|, если зубчатая передача пространственная

Если зубчатая передача плоская, то передаточным отношением u ij от звена i к звену j

зубчатого механизма называется отношение вектора угловой скоростей звена i ϖi к вектору угловой скорости звена j ϖj , либо отношение модулей угловых скоростей со знаком. Передаточное отношение берется со знаком плюс , если вектора угловых скоростей и соответственно направление вращение звеньев направлены в одну сторону. Минус, если в разные стороны.

Пространственная передача u nnij

i

j

i

j

= =ωω

2

Обращаем внимание , что деление векторов допустимо и отношение векторов определено лишь в

плоской передаче, когда эти вектора колинеарны . Тогда, в плоской передаче, отношение векторов угловых скоростей есть отношение модулей со знаком плюс, когда вектора направлены в одну сторону , и минус - в разные.

В случае пространственного расположения осей отношения векторов не определено и можно говорить только об отношении модулей угловых скоростей или оборотов.

В плоских механизмах знак несет важную информацию о направлении вращения и он всегда указывается , то есть передаточное отношение есть всегда число со знаком + или - .

В пространственных передачах знак не имеет смысла и передаточное отношение всегда положительное число.

Такое определение передаточного отношения соответствует ранее определённым кинематическим соотношениям в механизмах, в частности рычажных механизмов, таким как передаточные функции угловых скоростей или аналоги угловых скоростей.

Употребляемый иногда термин передаточное число i 12 следует употреблять только в прочностном расчете зубчатых передач при расчете на контактную или изгибную прочность. Там этим термином обозначают отношение числа зубьев колеса к числу зубьев шестерни.

ТРЕХЗВЕННЫЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ Трехзвенные зубчатые передачи- простейшие, они состоят из стойки и дух зубчатых колес. В основу получения трехзвенных зубчатых передач положены три линейчатые поверхности

вращения: круговой цилиндр, коническая поверхность с круговой направляющей , и гиперболоид вращения .

Плоские трехзвенные передачи Трехзвенная плоская передача получится если на двух цилиндрах, соприкасающихся по

образующей выбрать два участка и нарезать на них зубья. Плоской передача будет потому, что при движении точки звеньев будут перемещаться в параллельных плоскостях.

При использовании для образования передачи круговых цилиндров может получиться какцилиндрическая зубчатая передача с внешним зацеплением , так и с внутренним зацеплением.

Условные обозначения на схемах кинематических пар регламентируются ГОСТ 2.770-68. Трехзвенная зубчатая передача внешнего зацепления изображается так: На рисунке изображены две проекции этой передачи, причем вид с боку показан в двух вариантах с

прямоугольным изображением зубчатых колес и в виде профиля. На рисунке на двух проекция изображена картина скоростей двух зубчатых колес и показаны направление вращения двух звеньев 1 и 2 в виде круглых стрелок угловых скоростей ω1 и ω2 и в виде векторов оборотов n1 и n1. Как видно из рисунка , направление вращения двух звеньев противоположное, наклон эпюр скоростей на картине скоростей противоположный. Очевидно передаточное отношение будет отрицательным.

1

2

ω1

ω2

×

×

1

2

n1

n2

×

×

1

2

n1

n2 Общая окружная скорость в зацеплении

i zz12

2

1

=

Плоская передача u nn

nnij

i

j

i

j

i

j

i

j

= ± = ± = =ωω

ωω

3

В добавлении к ГОСТа здесь изображена не кинематическая пара, а трехзвенная передача. Поэтому

показана стойка и соответствующие кинематические пары. Неподвижное крепление колес на валах показывают крестиками.

Изображение зубчатых колес перпендикулярные осям выполняются штрих-пунктирными линиями. Изображения параллельные осям могут быть трех видов. Цилиндрические зубчатые передачи могут

иметь: а\ прямые зубья, б\ косые зубья, в\ шевронные зубья. На схемах это показывается тремя соответствующими линиями по одну сторону от контактной линии зубчатых колес.

Для цилиндрической передачи внешнего зацепления передаточное отношение в соответствии с

определением запишется как:

Выведем передаточное отношение через числа зубьев колес. Поскольку в полюсе зацепления

окружная скорость колес одинакова, за одну минуту через полюс пройдет одинаковое число шагов pz1n1= pz2n2

Шаги на начальных окружностях одинаковые , поэтому Необходимо запомнить , что передаточное отношение u12 через числа зубьев подсчитывается прямо

как -n1 /n2 , а через числе зубьев наоборот как -z2/z1

Трехзвенная цилиндрическая зубчатая передача с внутренним зацеплением

×

×

1

2

×

×

1

2

×

×

1

2

Поэтому передаточное отношение запишется как

nn

zz

1

2

2

1

= u nn

zz12

1

2

1

2

2

1

= − = − = −ωω

Берется знак минус, так как зубчатые колеса вращаются в разные стороны.

u nn

nn12

1

2

1

2

1

2

1

2

= − = − = =ωω

ωω

4

Нарисуем картину скоростей и покажем направление вращения звеньев Как показывает картина скоростей в такой передаче, направление вращения звеньев будет

одинаковым , так как наклон эпюр скоростей одинаков. Передаточное отношение для такой передачи Обращаем еще раз внимание на то, что при передаче движения от звена 1 к звену 2 числа зубьев в

передаточное отношение u12 подставляются наоборот , как z2/z1. Еще одним видом плоской зубчатой передачи является реечная передача Реечная зубчатая передача Реечные зубчатые передачи изображаются так

ω1

ω2

n2

n1

Знак плюс берется потому, что зубчатые колеса вращаются в одну сторону.

u nn

zz12

1

2

1

2

2

1

= = =ωω

5

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПЕРЕДАЧИ

Передачи с пересекающимися осями. Трехзвенная передача с пересекающимися осями – коническая передача. Для того чтобы ее

получить надо взять два конуса, обкатывающихся друг по другу без скольжения, выбрать небольшие участки и нарезать на них зубья. Движение будет передаваться за счет взаимодействия боковых поверхностей зубьев.

Крестик на схеме обозначает неподвижное соединение с осью

6

Зубья . нарезанные на конусах могут быть прямые(изображаются тремя прямыми линиями),

тангенциальными( тремя параллельными линиями) и круговыми( тремя дугами).

7

Для конических передач передаточное отношение имеет знак только плюс.

Пространственные трехзвенные зубчатые передачи со скрещивающимися осями.

Пространственные передачи со скрещивающимися осями есть передачи с винтовыми, гипоидными колесами, и червячные передачи. Чтобы получить эти передачи надо взять две линейчатые поверхности вращения , два гиперболоида вращения. Введем их в соприкосновение по образующей линии, межосевой угол равен α . Если гиперболоиды прижать друг к другу и заставить один вращаться , то начнет вращаться за счет сил трения и другой. На рисунке ω1 , ω2 – угловые скорости гиперболоидов, V1,V2-окружные скорости, V12-скорость скольжения вдоль линии контакта одного гиперболоида по другому

Направления вращения зубчатых колес конической зубчатой передачи определяются стрелками, идущими одна за другой, в ту или другую сторону. Это можно проверить, представив вращение колеса по стрелке: смотрим из конца и видим вращение, происходящее против часовой стрелки.

n1

n2

2

1

z1

z2

u nn

zz12

1

2

1

2

2

1

= = =ωω

8

Вырежем в центральной, горловой части два соприкасающихся участка, заменим их цилиндрами и

нарежем зубья с направлением, совпадающим с направлением образующей прямой , то есть спиральные зубья. Получаются два винтовых зубчатых колеса.

Зубья гипоидных колес нарезают на конических поверхностях, которые заменяют участки гиперболоида, удаленные от горлового сечения.

Обозначения в соответствии с ГОСТ 2.770-68

9

Передаточное отношение в таких передачах

Червячные передачи Червячная передача являются разновидностью передачи с винтовыми колесами с углом

скрещивания 900. Зубья нарезаются у червяка на цилиндре – цилиндрическая червячная передача ; на торе – глобоидная червячная передача.

На червячном колеса зубья в обоих случаях нарезаны на торовой поверхности. Изображение на схемах в соответствии с ГОСТ в трех проекциях показаны на рисунке

Передаточное отношение ищется по формуле

Число зубьев червяка z1 равно числу заходов червяка. Чтобы его определить надо посмотреть в торец червяка.

СЛОЖНЫЕ ЗУБЧАТЫЕ МЕХАНИЗМЫ

Одноступенчатые передача, состоящие из двух сопряженных зубчатых колес не позволяют

осуществлять большое передаточное отношение. Оно может колебаться от 3 до 7. С точки зрения уменьшения габаритов, повышения долговечности и улучшения условий непринудительной смазки , делать в одной паре колес передаточное отношение больше 6-8 нецелесообразно.

В таких случаях используют сложные зубчатые механизмы, состоящие из нескольких параллельно или последовательно соединенных друг с другом зубчатых колес.

Различают два таких механизма: сложные зубчатые механизмы с неподвижными осями (многократные зубчатые передачи) и планетарные (эпициклические механизмы) оси отдельных зубчатых колес в которых могут перемещаться относительно стойки.

z2 – число зубьев колеса z1 – число зубьев червяка

u zz12

1

2

2

1

= =ωω

u nn

zz12

1

2

1

2

2

1

= = =ωω

10

ТЕОРЕМА О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ.

Общее передаточное число любого сложного зубчатого механизма, включающего несколько последовательно соединенных друг с другом простых механизмов (не планетарных ступеней, планетарных или их комбинаций) равно произведению передаточных отношений простых механизмов ( ступеней).

Рассмотрим несколько последовательно соединенных ступеней зубчатых механизмов . Их число q-1.

Докажем, что общее передаточное отношение то есть от звена 1 к звену q равно произведению

передаточных отношений ступеней. u1q=u12*u23*u34*u45…uq-1q

По определению передаточного отношения

Что и требовалось доказать

СЛОЖНЫЕ ЗУБЧАТЫЕ МЕХАНИЗМЫ

Последовательные ряды зубчатых колес

Последовательный, паразитный ряд это такой ряд в котором выполнено соединение зубчатых колес, при котором каждое ведомое колесо одновременно является ведущим по отношению к следующему, т.е. каждое промежуточное колесо ряда одновременно входит в два зацепления.

2 1 3 4 q-1 q U12 U23 U34 Uq-1 q

1 2 3 4

z2

z1

z4

z3

ω1

ω2 ω3

ω4

n1 n2 n3 n4

А В С

z1 z2 z3 z4

u u u u uqq

q

q q

q

qq q1

1 1 2 3 4 1

2 3 4 1

1

2

2

3

3

4

112 23 34 1= =

⋅

⋅= • • • = • • •••• −

••• −

−−

ωω

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ωωω

ωω

ωω

ω

ω

u qq

11=

ωω

Умножая числитель и знаменатель на одно и то же произведение, получим

11

Есть четыре способа показать направления вращения зубчатых колес

Если задано вращение первого колеса ряда (круглая стрелка), то можно расставить стрелки

вращения других колес и звеньев по правилу что внешнее зацепление меняет направление вращения, внутреннее нет.

Вращение можно показать и на другой проекции прямыми стрелками, обозначающими скорость движения точек на периферии зубчатых колес. Точки первой пары входят внутрь, у второй пары выходят, у следующей пары снова входят.

Третий способ показать вращение это перечеркивание стрелкой валов. Стрелка показывает направление скоростей видимых наружных волокон.

Четвертый способ показа направления вращения на второй проекции с помощью векторов оборотов или угловых скоростей.

На первой проекции схемы показана также картина скоростей различных точек зубчатых колес. Построение картины скоростей начинается с построения скорости точки А. Скорость точек одинаковы. Изменение скоростей по радиусу линейно. Скорости точек также одинаковы. Аналогично в точке С. Разный наклон эпюр скоростей соответствует разному направлению вращения валов или колес. Тангенсы углов наклона эпюр пропорциональны угловым скоростям.

Это плоский механизм . Для него по определению передаточное отношение имеет знак.

В общем случае передаточное отношение последовательного ряда можно выразить как

Где n -номер колеса последнего в ряду k - число внешних зацеплений Если сформулировать словами то передаточное отношение паразитного ряда равно отношению

числа зубьев последнего колеса к первому и знак будет определяться числом внешних зацеплений. Эта формула показывает, что не величину передаточного отношения в таком ряду промежуточные

зубчатые колеса влияния не оказывают. Они называются поэтому паразитными. Но на направление вращения они влияют.

Такие ряды применяются : а) для передачи движения между удаленными валами и в) в реверсивных механизмах.

Ступенчатые ряды зубчатых механизмов.

Ступенчатым рядом называется такой, когда ведомый вал предыдущего зубчатого механизма

становится ведущим валом последующего механизма.

3 31 2 2 4 414 12 23 34

2 3 4 1 2 3 1

zz z zu u u uz z z z

ωω ωω ω ω

= = − − − = − − − = −

( )11

1 k nn

zuz

= −

12

+ На рис. Изображен трехступенчатый ряд. В первой ступени движение передается от вала 1 к валу

2 посредством зубчатых колес Z1 u Z2. Во второй ступени передача движения от звена 2 к звену 3 (валам) осуществляется парой колес Z3 u Z4. В третей ступени передача движения от звена 3 к звену 4 (валам) осуществляется парой колес Z5 u Z6.

Общее передаточное отношение есть произведение передаточных отношений ступеней. Записывая каждое передаточное отношение через числа зубьев получим:

Как видим, в определении передаточного отношения участвуют числа зубьев всех колес. Такие механизмы имеют широкое применение. Например, редуктор механизма поворота крана

МКГ-25 использует редуктор, составленный из трех ступеней и открытую передачу. Общее передаточное число редуктора 11(6,3 3,3 5,9) . Открытая передача имеет передаточное

число 14.3 . Общее передаточное отношение 1590.

1 2 3

4

z2 z1

ω1

ω2 ω3 ω4

n1 n2 n3 n4

А В С z3

z4

z5

z6

z1 z2

z3 z4

z5 z6

VA

VB VC

3 6 2 4 61 1 2 2 414 12 23 34

2 3 4 1 3 5 1 3 54

z z z zz zu u u uz z z z z z

ωω ω ωω ω ωω

= = = − − − = − − − = −

( ) 2 4 614

1 3 5

1 k z z zuz z z

= −

13

Последовательно , в виде ступенчатого ряда можно соединять любые трехзвенные зубчатые механизмы. Решим задачу : соединить последовательно 1 цилиндрическую зубчатую передачу внешнего зацепления; 2 цилиндрическую передачу внутреннего зацепления ; 3 червячную передачу; 4 коническую передачу; 5 цилиндрическую передачу внешнего зацепления. Общее передаточное отношение равно

ПЛАНЕТРАНЫЕ ПЕРЕДАЧИ

Планетарными механизмами называются зубчатые механизмы, у которых есть зубчатые колеса , оси которых подвижны. Это более сложные механизмы, чем рассмотренные ранее последовательные и ступенчатые ряды. В этих механизмах имеются зубчатые колеса, оси вращения которых перемещаются в прострнстве.

Рассмотрим схему одного из таких механизмов и его работу.

×

×

1

2 z3

z4

×

× 2

zчерв

zкол

z1

z2

z7

z8 z6

z5

3

4

5

6

6 8 2 4 6 81 2 416 12 23 34 45 56

6 1 3 5 7 1 3 5 7

кол кол

черв черв

z z z z z z z zz zu u u u u uz z z z z z z z z z

ωω

= = == =

H

b

a

c c b

a

H 1 1

2 4

1 32

4

14

Название звеньев: Звено ось которого подвижна в планетарном механизме называется сателлитом с- сателлит В планетарном механизме есть центральные звенья, оси которых совпадают с осью редуктора. К ним относятся а - солнечное колеса в- эпициклическое колесо , коронное, венцовое колеса ( эпицикл, коронка, венец) Н- водило . На водиле расположены оси вращения сателлитов У планетарного механизма 4 звена. n=4 Число пар 5 го класса 4 . р5=4 Число пар 4 го класса 2. р4=2

Степень подвижности механизма по формуле Чебышева П.Л. W=3n-2p5-p4=3*4-2*4-2=2 То есть степень подвижности планетарного механизма с четырьмя подвижными звеньями равна двум. Такой планетарный механизм называется дифференциальный. Он работает от двух двигателей , содержит два механизма первого класса.

Если одно из звеньев затормозить, связать со стойкой, то получим следующее соотношение

звеньев и кинематических пар. Число подвижных звеньев n=4 Число пар 5 го класса 3 . р5=3 Число пар 4 го класса 2. р4=2 Степень подвижности механизма по формуле Чебышева П.Л. W=3n-2p5-p4=3*3-2*3-2=1 То есть степень подвижности планетарного механизма с тремя подвижными звеньями равна 1. Планетарный механизм с одной степенью подвижности называется планетарной передачей.

Планетарные передачи имеют широкое применение в качестве силовых и кинематических передач. Они конкуренты многоступенчатых передач с неподвижными осями

Еще одной областью применения планетарных механизмов являются так называемые замкнутые

планетарные передачи. В этих механизмах составной частью используется планетарный ряд у которого все 4 звена подвижны. Но , движение двух звеньев кинематически связаны друг с другом, наложено условие связи. В результате получим, что общий, более сложный механизм, так называемая замкнутая планетарная передача, имеет степень подвижности единица. W=1. Планетарные механизмы имеют широкие области применения. • Редуцирование скорости вращения При этом достигаются: малые габариты и вес в многосателлитных передачах получение в одной ступени больших передаточных отношений, используется в не силовых приборных передачах. • Сложение движений от двух двигателей с помощью дифференциальных механизмов • Многоступенчатые планетарные коробки скоростей, управляемые поочередным торможением звеньев • Лёгкое управление и регулирование скорости с помощью замкнутых планетарных передач.

Основные достоинства планетарных механизмов это малые габариты и вес при высокой несущей

способности и КПД. Это происходит из за 1. Распределения нагрузки между многими сателлитами, число сателлитов бывает от 2 до 20. 2. Большим передаточным отношение в одной ступени 3. Широкое применение в передаче внутренних зацеплений, обладающий высоким КПД. Ограничимся рассмотрением планетарных передач и несколькими примерами замкнутых планетарных передач.

15

Построим картину скоростей планетарной передачи при заторможенном эпицикле. В этом варианте планетарный редуктор часто используется в силовых передачах. На входе солнце а, на выходе водило Н. Общая последовательность построения картины скоростей. Сначала строим треугольник скоростей для входа, затем для сателлита или блока сателлитов и

последним для выхода. Вот последовательность : вход , сателлиты, выход. Когда строим картину скоростей для сателлита всегда ищем две точки: общую со

стойкой, скорость которой равна нулю и общую с входом. В нашем случае входным звеном является солнце, проводим линию , относящуюся к солнце под

любым углом. Далее строим сателлит. Точка А будет общая точка сателлита с нулем, со стойкой, нулевым звеном. Скорость этой точки равна нулю, сносим ее на вертикальную ось. Точка В будет общая у сателлита со входом. Сносим ее на линию солнца. У сателлита известны две точки , через них проводим линию, являющуюся картиной скоростей для сателлита, это вторая линия. Наконец последняя линия для выходного звена, то есть для водила. Выходное звено всегда центральное, поэтому скорость его на оси равна нулю. Вторая точка с известной уже скоростью это точка на водиле общая с сателлитом . Это точка D. Сносим ее на линию сателлита. В результате построили три линии, которые образуют картину скоростей для планетарного ряда..

По картине скоростей расставим направление вращение звеньев. Вход и выход, солнце и водило

вращаются в одну сторону. Сателлиты в другую, так как наклон эпюры скоростей сателлитов будет другой чем у солнца и водила. Это можно показать с помощью векторов оборотов na , nH ,nc , а также с помощью круглых стрелок угловых скоростей ωc , ωH, ωa

С помощью картины скоростей, если по всем осям выдержан масштаб, можно определить любые передаточные отношения. Например, передаточное отношение от солнца к водилу при заторможенном эпицикле. Отрезки mt и mn можно взять на отрезке прямой, проведенной на любом радиусе.

H

a

c c

b

a

H ωa na

nH

nc

H

c

a a H

c

b

ωH ωc

А

В В

А

m n t

δ

β

u tgtg

mtmnaH

b = =δβ

16

КИНЕМАТИКА ПЛАНЕТАРНЫХ ПЕРЕДАЧ. Вывод общего уравнения кинематики планетаных передач. Покажем универсальный способ определения различных передаточных отношений в

планетарной передаче с помощью всего лишь одного уравнения- общего уравнения кинематики планетарной передачи. Для вывода этого уравнения воспользуемся методом инверсии или методом остановленного водила , методом Виллиса.

В планетарной передаче конструктора могут интересовать различные передаточные отношения. Напрмер при заторможенном эпицикле uaH

b, ucHb , uHa

b, При заторможенном солнечном колесе ubH

a, ucHa , uHb

a и другие. Самые простые передаточные отношения с точки зрения простоты их получения через числа

зубьев, являются передаточные отношения при заторможенном водиле Н. При заторможенном водиле любой планетарный механизм превращается в паразитный или ступенчатый ряд. Как записать такие передаточные отношения через числа зубьев мы уже знаем. Например для нашего планетарного ряда

Оказывается ,что все другие передаточные отношения легко выражаются через эти, для этого

выведем основное уравнение кинематики. Для этого рассмотрим два движения. Первое основное движение . когда заторможенным является

например эпицикл. Второе рассматриваемое движение это обращенное движение, когда всему механизму сообщается движение с угловой скоростью равной ω H но в противоположную сторону . При этом водило окажется неподвижным, при этом угловые скорости всех звеньев изменяться на величину -ω H.

Основное движение Обращенное движение

u zzab

H b

a

= −

u zzcb

H b

c

=

Паразитный ряд как отношение числа зубьев последнего колеса к первому. Знак минус потому, что одно внешнее зацепление

Здесь передаточное отношение трехзвенного цилиндрического зубчатого механизма с внутренним зацеплением. Поэтому знак плюс.

32

32 b

a

H 1 4

c b

a

H 1 4

ωc ωc

ωa ωa

ωH ωH -ω H

17

Угловые скорости в основном и обращенном движении Основное движение Обращенное движение Это два равноправных движения, в каждом из них можем записывать передаточные

отношения. Запишем в обращенном движении передаточное отношение от солнца к эпициклу и

немного преобразуем его

Итак получаем общее уравнение кинематики

Либо в общем виде

Это уравнение необходимо запомнить Оно читается как : передаточное отношение от

какого-то звена m к водилу H при остановленном звене n равно единице минус передаточное отношение от m к n при остановленном H , при это во втором передаточном отношении надо просто поменять индексы местами по диагонали.

Рассмотрим различные примеры использования общего уравнения кинематики при

определении передаточных отношений различных схем планетарных передач.

ω

ω

ω

a

b

H

= 0

ω ω

ω ω

ω ω

a H

b H

H H

−

−

− = 0

u uabH a H

b H

a H

H

a

HaHb=

−−

=−

−= − + = − +

ω ωω ω

ω ωω

ωω

1 1

uaHb a

H

=ωω

Здесь это передаточное отношение есть отношение угловых скоростей солнца и водила в основном движении

u uaHb

abH= −1

u umHn

mnH= −1

18

РЯД ДЖЕМСА. Этот ряд называют еще простой планетарный ряд, эпициклический ряд, ряд авН

Набольшее распространение этот ряд имеет в качестве силовой передачи, редуктора, при заторможенном эпицикле.

Строим картину скоростей. Вход –солнце, под любым углом. Сателлит- две точки: с нулём и со

входом. Выход – водило : ноль на оси и общая точка с сателлитом. Расставляем в соответствии с картиной и наклом эпюр скоростей вектора оборотов звеньев и круглые стрелки угловых скоростей .

Найдем различные передаточные отношения аналитическим методом с помощью общего

уравнения кинематики

От солнца к водилу, при этом меняем индексы по диагонали и для написания передаточного

отношения от солнца к эпициклу при заторможенном водиле смотрим на схему. Имеем паразитный ряд у которого одно внешнее зацепление, поэтому знак минус

От сателлита к водилу

1 1 1 ;b H b bcH cb

c c

z zu uz z

= − = − = −

Рассмотрим пример za=12 , zb=60, zc=24 , число оборотов солнца , звена на входе равно

na= 1000 об\.мин

nH

H

b

a

c c b

a

H 1 1

2 3

0

32

4

na

nc

H

a

c

0 t m n

u mtmnaH

b =Передаточное отношение от солнца к водилу при заторможенном эпицикле, определенное графическим способом по отрезка на картине скоростей.

u umHn

mnH= −1

1 1 1 ;b H b baH ab

a a

z zu uz z

= − = − − = +

19

Передаточные отношения нужны, чтобы определять частоту вращения звеньев и

направление вращения uaH

b=na/nH=1-zb/za=1+60/12=6 откуда nH=na/ uaHb=1000/6=166,7 об\мин

Обороты водила в 6 раз медленнее оборотов солнца и направлены в ту же строну. Найдем обороты сателлита из передаточного отношения ucH

b ucH

b=nc/nH=1-zb/zc=1- 60/24=-1,5 откуда nc=nH* ucHb=166,7*1,5=250,05 об\мин

Здесь знак в оборотах, при подстановке передаточного отношения, опущен ; мы

ищем модуль оборотов. Знание всех оборотов позволяет найти важное для конструктора число :

относительные обороты сателлита относительно водила. По относительным оборотам рассчитываются подшипники качения, на которыx сидит сателлит на оси водила.

nс(Н)= nc + nH=250,05+166,7=416,75 об\мин На эти обороты и необходимо рассчитывать подшипники качения. Общее замечание состоит в том, что если вектора абсолютных скоростей сателлитов и водила

направлены в разные стороны , то при подсчете относительных оборотов модули векторов складываются , если в одну, то вычитаются. В

В нашем варианте в разные , поэтому складываются. Часто отношение чисел зубьев zb/za равное |uab

H| обозначают через к и называют характеристикой планетарного ряда.

Передаточное отношение от солнца к водилу через характеристику планетарного ряда запишется

как Характеристика планетарного ряда характеризует габариты планетарной передачи. С ростом к, с

ростом передаточного отношения, растет радиус эпицикла и габариты передачи. Отсюда ограничение на конструктивно целесообразное максимальное передаточное отношение равное 8 в таком ряду.

__ __ __ nс(Н)= nc- nH

nH nc

nc(H)

Характеристика планетарного ряда

u zz

kaHb b

a

= + = +1 1

k u zz

rrab

H b

a

b

a

= = =

20

Минимальное передаточное отношение также ограничено , оно около 3. При уменьшении к сближаются значения радиусов rb и ra и не остается места сателлитам. Итак диапазон передаточных отношений и КПД равны.

uaН

в= 2,7….8 при этом КПД η= 0,98…0,97 Следующая схема это модифицированный рад ДЖЕМСА. В этой схеме сателлит заменен блоком

сателлитов.

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ РЯД ДЖЕМСА или эпициклический ряд с внешним и

внутренним зацеплением.

Строим картину скоростей. Вход –солнце, под любым углом. Сателлит- две точки: с нулём и со

входом. Выход – водило : ноль на оси и общая точка с сателлитом. Расставляем в соответствии с картиной и наклом эпюр скоростей вектора оборотов звеньев .

Найдем различные передаточные отношения аналитическим методом с помощью общего

уравнения кинематики

От солнца к водилу, при этом меняем индексы по диагонали и для написания передаточного

отношения от солнца к эпициклу при заторможенном водиле смотрим на схему. Имеем ступенчатый ряд у котрого одно внешнее зацепление и одно внутреннее, поэтому знак минус Движение передаем в ряду от а к с1 и от с2 к b.

u mtmnaH

b =Передаточное отношение от солнца a к водилу H при заторможенном эпицикле b, определенное графическим способом по отрезкам на картине скоростей.

c

a H

0

nH

а

Н

с1 с2

b

nc

na

m n t

u umHn

mnH= −1

21

1 1

2 2

1 1 1 ;b H c b c baH ab

a c a c

z z z zu uz z z z

= − = − − = +

От сателлита к водилу

2 2

1 1 1 ;b H b bcH cb

c c

z zu uz z

= − = − = −

За счет блока сателлитов расширяется диапазон допустимых передаточных

отношений uaH

b= 2…15 КПД высок η= 0,98…0,97 РЕДУКТРОР ДАВИДА С ДВУМЯ ВНУТРЕННИМИ ЗАЦЕПЛЕНИЯМИ

Строим картину скоростей. Вход –водило, под любым углом. Сателлит- две точки: с нулём и со

входом. Выход – эптцикл : ноль на оси и общая точка с сателлитом. Расставляем в соответствии с картиной и наклоном эпюр скоростей вектора оборотов звеньев .

Найдем различные передаточные отношения аналитическим методом с помощью общего

уравнения кинематики

u mtmnaH

b =Передаточное отношение от водила Н к эпициклу b2 при заторможенном эпицикле b1, определенное графическим способом по отрезкаv на картине скоростей.

u umHn

mnH= −1

nH

nb2

b2 b1

c

H

0

nc

b2

c1 c2

m n t

H

22

В этой схеме, чтобы получить редуктор ведущим должно быть водило, ведомым эпицикл. В этом

передаточном отношении неправильное расположение нижних индексов. Чтобы воспользоваться общим уравнением кинематики надо поменять нижние индексы. Для этого делим единицу на ub2H

b1. И дальше общее уравнение кинематики.

Передаточное отношение от сателлита к водиу.

В этой схеме диапазон допустимых передаточных отношений и КПД

uHb2

b1 = 30 … 1000 КПД η = 0,9 ….0,1 Эта схема используется, в основном, в качестве кинематических передач. u 30 50 100 200 500 100

0 η 0,9 0,75 0,6 0,45 0,25 0,12

РЕДУКТОР ДАВИДА С ДВУМЯ ВНЕШНИМИ ЗАЦЕПЛЕНИЯМИ

12 1

2 2 1 2 1

2 1

1 1 1 ;1

1

bHb b H

b H b b c b

b c

uu u z z

z z

= = =−

−

1 1 11

1 1

1 1 1 ;b H b bcH cb

c c

z zu uz z

= − = − = −

H nH

a1 a2

с1 c2

na2

nc

H

c

a2 m n t

23

Строим картину скоростей. Вход –водило, под любым углом. Сателлит- две точки: с нулём и со входом. Выход – солнечное колесо а2 : ноль на оси и общая точка с сателлитом. Расставляем в соответствии с картиной и наклоном эпюр скоростей вектора оборотов звеньев .

В этой схеме, чтобы получить редуктор, ведущим должно быть водило, ведомым солнце. В этом

передаточном отношении неправильное расположение нижних индексов. Чтобы воспользоваться общим уравнением кинематики надо поменять нижние индексы. Для этого делим единицу на uа2H

а1. И дальше общее уравнение кинематики.

Передаточное отношение от сателлита к водиу.

В этой схеме диапазон допустимых передаточных отношений

uHа2

а1 = 2 … 300 КПД значительно ниже чем в предыдущей схеме, так как здесь два внешних зацепления. Эта схема используется, в основном, в качестве кинематических передач. ПЛАНЕТАРНАЯ ПЕРЕДАЧА СО СВОБОДНЫМ ВОДИЛОМ

u mtmnaH

b =Передаточное отношение от водила Н к солнцу а2 при заторможенном солнце а1, определенное графическим способом по отрезкам на картине скоростей.

12 1

2 2 1 2 1

2 1

1 1 1 ;1

1

ЂHЂ Ђ H

Ђ H ЂЂ c Ђ

Ђ c

uu u z z

z z

= = =−

−

1 1 11

1 1

1 1 1 ;Ђ H Ђ ЂcH cЂ

c c

z zu uz z

= − = − = −

b1 b2

с1 с2

H

a na

вход вход

24

Планетарная ступень со свободным водилом на самом деле представляет собой две

последовательно соединенные ступени. Размеры звеньев таковы, что эти две ступени можно слить в одну и значительно уменьшить осевые габариты Свободное водило обозначает то что водило не является ни входным ни выходным звеном. Оно внутри, поддерживает сателлиты.

РАСШИФРОВКА СХЕМЫ И КАРТИНА СКОРОСТЕЙ На этом рисунке показано как расшифровывается схема со свободным водилом. В первой ступени

движение передается от входа , солнца к водилу. Во второй ступени об водила к выходу , которым в данной схеме является эпицикл b2. Сателлиты с1 и заторможенные эпициклы b1 одинаковы в обеих схемах . Если бы они были разными, это бы были чисто две планетарные ступени , соединённые последовательно. В нашем же случае , когда они одинаковы мы можем эти две ступени соединить в одну , при этом водило становится внутренним звеном , как бы свободным, не являющимся ни входным ни выходным.

Передаточное отношение в схеме со свободным водилом записывается также как и расшифровка то есть от входа к водилу и от водила к выходу при одном и том же заторможенном звене

u u uаbb

аHb

Hbb

21 1

21=

Выразим через числа зубьев., первая ступень планетарный ряд Джемса, вторая ступень

редуктор Давида с двумя внутренними зацеплениями.

u u u uu

zz z z

z z

аbb

аHb

Hbb

аbH

b bH

b

a c b

b c

21 1

21

12 1

1

2 1

2 1

1 11

1 1

1= = −

−= +ΦΗΓ

ΙΚϑ

−ΦΗΓ

ΙΚϑ

δ ι ;

с1 с1

с

b1 b1 b2

с2

na

nc

a

b1 b2

с1 с2

nH nb2

H H

H

a

b2

25

Эта схема может использоваться и в качестве силовой, так как довольно высок КПД и в качестве

кинематической, так как возможно большое передаточное отношение в одной ступени. u 15 50 100 200 500 150

0 η 0,95 0,9 0,85 0,75 0,6 0,35 Приведем итоговую таблицу по планетарным передачам

26

27

Рассмотрим несколько примеров кинематического анализа зубчатых передач. Последовательность анализа состоит из нескольких пунктов.

1. Проанализировать схему зубчатого механизма, определив сколько ступеней соединены последовательно

от входа к выходу, как называются эти ступени с неподвижными звеньями и планетарные, от какого к какому звену в ступени передается движение.

2. 3. Проверить правильность задания чисел зубьев через условие соосности в разных ступнях. Если

необходимо, определить неизвестное число зубьев. 4. Вычертить кинематическую схему зубчатой передачи в масштабе и отметить на ней выходное и

выходное звено с указанием направления вращения на входе. Модуль всех зубчатых колес принять равным m=1 мм.

5. Обозначить арабскими цифрами звенья передачи, при этом нужно отбросить, если они есть, параллельные ветви. Подсчитать степень подвижности механизма.

6. Построить картину скоростей для планетарных ступеней и определить и обозначить с помощью этой картины направление вращения звеньев планетарной ступени. Обозначить направление вращения и других звеньев.

7. По картине скоростей определить передаточное планетарной ступени, как отношение соответствующих отрезков.

8. Записать общее передаточное отношение зубчатого механизма, как произведение передаточного отношения ступеней.

9. Выразить через числа зубьев и, подставив значения чисел зубьев, численно подсчитать каждое передаточное отношение. Сравнить полученные значения передаточных отношения для планетарных ступеней со значениями, полученными с помощью картины скоростей.

10. Подсчитать численное значение общего передаточного отношения. Определить частоту вращения выходного звена.

11. Для планетарного механизма найти передаточное отношение от сателлита к водилу. 12. Зная частоту вращения входного звена, найти частоту вращения всех звеньев зубчатого механизма. Для

сателлита, кроме того, найти относительные обороты сателлита относительно водила. При этом проверить по знаку передаточного правильность направления вращения, найденного по картине скоростей.

Пример 1

z1

z2

z4

1

z3

z6

z5

z7

z8 n=1600 об/мин z1=25 z2= z3=20 z4=? z5=18 z6=28 z7=14 z8=? m=1 мм

n1

28

Решение

1. Кинематическая схема зубчатого механизма состоит из трех ступеней. Первая ступень - планетарная, простой планетарный ряд Джемса, движение передается от солнца z1 к водилу H . Вторая ступень - цилиндрическая зубчатая передача внешнего зацепления, движение передается от шестерни z5 к z6 . Третья ступень - цилиндрическая передача внутреннего зацепления, движение передается от шестерни z7 к зубчатому колесу с внутренними зубьями z8. Зубчатое колесо z8 является выходным звеном всего зубчатого механизма. 2. Можно записать два условия соосности: для планетарной ступени и для двух ступеней с неподвижными осями.

z4 - z2= z1 + z2 ; ? - 20 = 25 + 20 ; z4= 65 - z5+ z6= z8- z7 ; 18 + 28 = ? - 14 ; z8=60

Число звеньев, число кинематических пар

n=5; P5=5; P4=4 W= 3n – 2*P5 - P4= 3*5 - 2*5 – 4 = 1 Передаточное отношение планетарного ряда с помощью картины скоростей

uz1Hz4=tgδ /tgβ = mt/mn=22/6=3,66

Общее передаточное отношение

u15=u13u34u45= uz1Hz4 u34u45=3,6*1,55*4,29=23,94

Передаточное отношение планетарной ступени

u13 =uz1H

z4=1- uz1z4H=1-(-z4/z1)=1+z4/z1=1+65/25=3,6

H

H

c

a

А

m n t

δ

β n3

z1

z2

n1

z4

1

z3

n5

n4 2

3

4

5

n2

a

c

z5

z6 z8

z7

29

Передаточное отношение цилиндрической зубчатой передачи внешнего зацепления

u34=z6/z5=28/18=1,55 Передаточное отношение цилиндрической зубчатой передачи внутреннего зацепления

u45=z8/z7=60/14=4,29 Частота вращения выходного вала

n5=n1/ u15=1600/23,94=66,83 [об/мин] n3= nH =n1/ u13=1600 / 3,6=444,44 [об/мин] n4=n1/ (u13 u34)=1600/(3,6*1,55)=286,73 [об/мин] Передаточное отношение от сателлита к водилу, воспользуемся общим уравнением кинематики

uСHz4=1- uСz4

H=1-(z4/z2)=1-65/20=-2,25 Обороты сателлита определим как

nc/nH= uСHz4 nc= uСH

z4 nH=2,25*444,44= 999,999 [об/мин] Относительные обороты сателлита относительно водила ___ __ __

ncН= nc- nН ., в нашем случае угловые скорости сателлита и водила направлены в разные стороны. Следовательно при определении модуля угловой скорости сателлита в относительном движении относительно водила модули абсолютных скоростей необходимо складывать.

ncН= nc+ nН = 999,999 + 444,444 = 1445 [об/мин] Оценка работоспособности подшипников качения сателлитов будет производится именно по этим оборотам

nc nН

30

Пример 2

Решение

1. Кинематическая схема зубчатого механизма состоит из двух ступеней. Первая ступень планетарный ряд со свободным водилом; движение передается от солнца z1 эпициклу Z4 . Вторая ступень – червячная передача. Червячное зубчатое колесо zкол является выходным звеном всего зубчатого механизма.

z1

вход

zчерв zкол

z2 z5

z3 z4

z4 z3

выход

n= 2000 об/мин

z1=18; z2=?

z3=62; z4=?

z5=18;

z кол =80; z черв=2 m=1 мм

n1

n1

nc

nH n4

H

z1

вход

zчерв zкол

z2 z5

z3 z4

z4 z3

выход

1

2 4 3

5

n5

Н

С

Z1

Z4

m t n

δ

β

31

2. Можно записать два условия соосности для планетарной ступени .

z3 - z2= z1 + z2 ; 62 - ? = 18 + ? ; Z2 = 22 z1+ z2= z4- z5 ; 18 + 22 = ? - 18 ; z4=58

Число звеньев, число кинематических пар

n=5; P5=5; P4=4 W= 3n – 2*P5 - P4= 3*5 - 2*5 – 4 = 1 Передаточное отношение планетарного ряда с помощью картины скоростей

uz1Hz4=tgδ /tgβ = mt/mn=22/6=3,66

Общее передаточное отношение равно произведению передаточного отношения планетарной ступени на передаточное отношение червячной ступени.

u15=u14u45=35,44*40=1417,636 Передаточное отношение планетарной ступени со свободным водилом равно произведению двух передаточных отношений от входа к водилу и от водила к выходу.

u14= uz1z4z3= uz1H

z3 uHz4z3=(1- uz1z3

H)(1/(1- uz4z3H))=

=(1+Z3/Z1){1/[1-(Z5/Z4)(Z3/Z2)]}=(1+62/18){1/[1-(18/58)(62/22)]}=4,444*7,975=35,44 Передаточное отношение червячной передачи равно

u45=Zrкол / Zчерв= 80 / 2 = 40 Частота вращения выходного вала

n5=n1/ u15=2000/1417,636=1,41 [об/мин] n3= nH =n1/ uz1H

z3=20000 / 4,444=450,45 [об/мин] n4=n1/ u14 =2000/35,44=56,433 [об/мин] Передаточное отношение от сателлита к водилу, воспользуемся общим уравнением кинематики

uСHz3 = 1- uСz3

H = 1-(z3/z2) = 1- 62/22 = -1,82

32

Обороты сателлита определим как

nc/nH= uСHz3 nc= uСH

z3 nH=1,82*450,45= 818,82 [об/мин] Относительные обороты сателлита относительно водила ___ __ __

ncН= nc- nН ., в нашем случае угловые скорости сателлита и водила направлены в разные стороны. Следовательно при определении модуля угловой скорости сателлита в относительном движении относительно водила модули абсолютных скоростей необходимо складывать.

ncН= nc+ nН = 818,82 + 450,45 = 1269,27 [об/мин] Оценка работоспособности подшипников качения сателлитов будет производится именно по этим оборотам

nc nН