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i. +. N 2. u. -. i. +. N 1. u. -. 第二章 电阻电路分析. 线性电路（ linear circuit ）：由非时变线性无源元件、线性受控源和独立电源组成的电路称为非时变线性电路，简称线性电路。 电阻电路 (resistive circuit) ：电路中没有电容、电感元件的线性电路。. 简单电路（局部变量）： 等效变换法 （改变电路结构）. 二端 （一端口）网络： N 1 端口的 VAR 与另一个二端网络 N 2 端口的 VAR 相同，则 N 1 与 N 2 等效。. 多端网络：等效是指端钮 VAR 方程组不变。. - PowerPoint PPT Presentation
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第二章 电阻电路分析• 线性电路（ linear circuit ）：由非时变线性无源元件、线性受控源和独立电源组成的电路称为非时变线性电路，简称线性电路。
• 电阻电路 (resistive circuit) ：电路中没有电容、电感元件的线性电路。
简单电路（局部变量）：等效变换法（改变电路结构）
复杂电路（多个变量）：独立变量法（不改变电路的结构，选择完备的独立变量，利用 KL 列写方程组求解）
二端 （一端口）网络： N1 端口的VAR 与另一个二端网络 N2 端口的VAR 相同，则 N1 与 N2 等效。
N2
+
-u
i
N1
+
-u
i
多端网络：等效是指端钮 VAR 方程组不变。 端口对外呈现一致的 VAR ( 因而不会影响求解外电路各部分的 u 、 i 、 p) 。但是等效前后 N1 、 N2 内部的情况很可能不等效。
第一节 电阻的联接 电阻的串并联：电阻的 Y ← → △变换：
第二节电源的等效变换 无伴电源的等效变换：有伴电源的等效变换：
第三节 含受控源的一端口网络的等效
等效变换法
独立变量法
第四节 支路法
第五节 回路法、网孔法
第六节 节点法
串 联
并 联
电 阻
n
kkeq RR
1
n
k keq GG 1
11
n
k keq RR 1
11
n
kkeq GG
1
电 导
分压公 或分流公式
eq
keqk R
Ruu
k
eqeqk G
Guu
eq
keqk G
Gii
k
eqeqk R
Rii
电阻的串联、并联
功 率
n
1kkkeq22 iRuGuip
吸
n
1kkk
22 iRiRuip eq吸
形 式
Y→△ △→Y
ZR
RRR 1231
1
ZR
RRR 2312
2
ZR
RRR 3123
3
312312 RRRRZ 其中
ZG
GGG 1231
1
ZG
GGG 2312
2
ZG
GGG 3123
3
312312 GGGGZ 其中
一 般形 式
321 RRR RRY 3
1YRR 3
电阻的 Y ← → △变换
例题 1 求图 A 电路的 ⑴ R ab ；⑵ R ac a
4Ω
b
3Ω
8Ω2Ω
6Ω
6Ω
c
图A
a
4Ωb
3Ω
8Ω2Ω
6Ω
6Ω
c
图B
a
4Ω
b
3Ω -Ω
c
(2//8)Ω
6
2
图
C解： ⑴ 求 R ab 时可画成右边的图 B ．此时左下角的 2Ω 和8Ω 电阻被短路 ， 6Ω 与 6Ω 的电阻并联，再与 3Ω 电阻串联故： R ab= 4∥[3+(6∥6)]=4∥[3+(6 ／ 2)]=(4×6) ／ (4+6)=2.4Ω
⑵ 求 R ac 时由于 2Ω 与 8Ω 电阻一端接 b ，另一端接 c ，它们为并联关系，故可画成图 C ． 于是 R ac={4∥[3 ＋ (6 ／ 2)]}+(2∥8) = 2.4 ＋ 1.6 = 4 Ω
判断电阻的联接关系一般从端口开始，从最远处向端口看起。
例题 2 对图 A 示桥形电路，试求 I 、I1
I
1Ω
①
②
③
1.4Ω
5Ω3Ω
2Ω ④+
-10V
I1
图A
I
1Ω
①
②
③
1.4Ω
1Ω
④
+
-
10V
I1
1.5Ω
0.6Ω
图B
I①
②
③
1.4Ω
+
-10V
I1
3Ω17Ω
8.5Ω3.4Ω
图C
解 1 ）将上方的△→ Y, 得图B
.A222
2
A45.1
10
1
2222
II
I从而
2 ）节点④所接 Y 电阻→△ , 得图C ∵3∥17=2.55Ω, 1.4∥3.4=0.99167Ω,
(0.99167+2.55)∥8.5=2.5Ω ，
∴ I =10 ／ 2.5 = 4A ，
连接情况 等效结果或计算公式 说 明
n 个 电压源的串联
n
ksks uu
1
us 为等效电压源，当 usk
与 us 的参考方向相同时， usk 取“＋”，反之取“－”n 个 电流
源的并联
n
ksks ii
1
is 为等效电流源当 isk 与 i
s 的参考方向相同时， isk
取“＋”，反之取“－”电压源与非电压源支路并联
对外电路可以等效为该电压源 us
⑴与电压源并联的可以是电阻、电流源，也可以是较复杂的支路。 ⑵仅是对外电路等效。电流源与
非电流源支路串联
对外电路可以等效为该电流源 is
⑴与电流源串联的可以是电阻、电压源，也可以是较复杂的支路。 ⑵仅是对外电路等效。
无伴电源的等效变换
例题 1 求图示电路的 I1 、 I2 、 I3 ．
+
-
1
1V
I
1Ω
2Ω
2A
2I 3I
+
-5V
+
-
1
1V
I
1Ω
2Ω2I
+
-5V
1I
1Ω
2Ω2I+
-4V→
解：对原图作如右等效得：∴ I1 = - 4/2= -2A,I2 = I1-(4/1) = - 6A ;
回到原图，有 I3 = I2+2 = - 4A ．由此例可见等效“对外”的含义，即对于求 2A 电流源以及 5V 电压源以外的 I1 与 I2 来说，题中三个电路是等效的，但原图中 5V 电压源中的电流已不再等于新图中 5V 电压源中的电流。 例题 2 将上例图中的 1V 电压源换为6A 的电流源（方向向上），再求 I1 、 I2 、 I
3 ．此时电路可等效为右图，∴ I2 = 6A , I1=1×
6/(1+2) = 2A ; 回到新原图，有 I3 = I2 + 2 = 8
A ．
1I
1Ω
2Ω2I
6A
有伴电源的等效变换有伴电压源：有电阻与之串联理想电压源（实际电源的电压源模型）有伴电流源：有电阻与之并联理想电流源（实际电源的电流源模型）
IS +
U-
I
RS
+
-US
RS
+
U
-
I
对外
I R U US S I R I R I I R US S S S S ) (
等效条件为：大小关系： Us=Rs Is
方向关系： IS 由 US 的“－”指向“＋”
有源二端网络最终可以化简为有伴电压源或有伴电流源。
例题 2 求图 A 电路中的 i1 与 i2 ．
i1
i2
a
b
2A 8Ω
+6V -
2Ω
2Ω 7Ω6A 2Ω
i2
a
b
2A
2Ω 7Ω3A 2Ωi16A
2Ω
解：图 A → 图 B → 图 C → 图 D
对已是单回路的 D 图列写 KVL 得： (1+2+7)i2 =9-4
→ i2 =0.5A ； 为了求 i1 ，先求 uab ： uab = － 1×i2 ＋9=8.5V → i1 =uab ／ 2 = 4.25A (B 图 ) ．
i2
+4V－
2Ω1Ω
7Ω+ 9V-
a
b
图 Di2
+4V －9A
2Ω1Ω
7Ω
a
b图 C
例２．化简右图所示有源二端网络
a
b
+5V－
2A
9Ω4Ω 4Ω10A
3A
a
b 2Ω － 1.5V +
a
b
+5V － 2A
4Ω 4Ω
a
b4Ω 4Ω
＋ 5-8V －
a
b2Ω 3/4A
第三节含受控源一端口网络的等效电阻
有关独立电源等效变换的结论对受控源也是成立的，但在变换过程中，要注意：控制量（或者控制支路）必须保持完整而不被改变，否则，控制量变没了或被改变了，受控源也就不成立了。等效变换 后：
1) 当二端网络 N 内部只含电阻和线性受控源时，其端口可等效为电阻 (u 、 i 成正比 ) ，在少数情形下，可能为一个负的电阻； 2) 当 N 内部还含有独立电源时，则其端口可等效为有伴电压源或有伴电流源（在少数情形下，有伴电阻可能为负值）。
1 ）外施电源法：在端口人为作用独立电源（或标出端口变量u 、 i ），对电路列写 KCL 、 KVL 方程（同时代入各元件的 VAR ），然后消去非端口变量，可得端口 VAR 。2 ）控制量为“ 1” 法：令控制量为“ 1” ，则得到受控源的值，进一步求解端口的 VAR
对于第一种电路（不含独立源）常用以下方法求解
对于第二种电路（含独立源）待戴维南定理或诺顿定理介绍以后再讨论
例１．求图 A 电路的电流i .
+ 9V-
1Ω
0.5ii
4Ω 1Ω
2Ω
图 A
解：利用有伴受控电源等效变换，可得图B 、图 C 与图 D （即化成关于所求 i 的单回路）：
当电路中含有受控源时，由于受控源一方面与电阻不同，不能作串联等效，另一方面又与独立源不同，不是激励。所以仅通过等效变换还得不到最后结果，还必须列写 KCL 、 KVL 方程以及元件的 VAR 关系式，才能最终解决问题。
+ 9V-
2Ω
－ 0.5i ＋i 2Ω
4Ω
图 B
+ 9V-
-i/3 ＋i 10/3Ω
图 D
+ 9V-
4/3Ω
i/4
i 2Ω
图 C
.A 3 933
10KVL i
ii得：由
例题 2 求图示一端口网络的入端电阻 R
ab
a + u -b
αi
i1i
R1i2
R2 Ro
a + u -b
i
R1 +R2 RO
-αR1i ＋ a + u -b
i
RO∥(R1 +R2 )
αR1 i R1 +R2
a + u -b
i
－ ＋
αRO R1 iRO +R1+R2
RO (R1+R2)
RO +R1+R2
iRRR
RRRi
RRR
RRu
21o
21o
21o
2o )(
解：先用等效变换法化简，再据KVL 写出端口的 VAR
21o
2o 1o ab
)1(
RRR
RRRR
i
uR
或者设控制量 i=1 则有
得出 Rab 有相同的结果21o
21o
21o
2o )(
RRR
RRR
RRR
RRu
上题若不化简写端口的 VAR 则有下列过程
a + u -b
αi
i1i
R1i2
R2 Ro
KCL ： i1 =i -αi - (u ／ Ro )
i2 =i1 +αi =i -(u ／ Ro )
( 其它变量尽量用端口变量表示 )
uRR
iRuRR
iRO
22
O
11 )1(
KVL ： u =R1i1 +R2i2
( 消去非端口变量，从而解出端口 VAR 。 )
21O
2O1O )1(
RRR
RRRR
i
uRab
由此可见先等效化简再求解要简单方便些，化简时需要注意的地方不能忘记。
例题 3 ．⑴ 求 ab 以左的最简等效电路；⑵ 求 RL =2.5kΩ 及 3.5kΩ 时的I1 ．
a
+U1
-
b
0.5I1
10mA1kΩ
I1
RL
1kΩ
a
+U1
-
b
+ 10V-
1000Ω
I11000Ω
－ 500I1 ＋
a
+U1
-
b
+ 10V-
RL
1.5kΩ I1
先化简再由 KVL 得 U1 = 10–1500I
1
当 RL =2.5kΩ
时，;mA 5.2
5.25.110
1
I
;mA 25.35.1
101
I
由此例不难看出，若待求量集中在某一支路，尤其是该支路有几种变化情况，则先求出该支路以外二端网络的最简等效电路，就会避免重复的与计算。
当 RL =3.5kΩ 时，
即 有 RL I1 = 10–1500I1
第四节 支路法
我们已经解决了本章的第一个内容──电阻电路的等效变换，这种方法可用于：①分析简单电路；②使复杂电路的局部得到简化。而对于一般的复杂电路，要用“系统化”的“普遍性”的方法：①系统化──便于编制计算机程序；②普遍性──适用于任何线性电路。与等效变换法不同，系统化的普遍性方法不改变电路的结构，其步骤大致为①：选择一组完备的独立变量（电压或电流）；②由 KCL 、 KVL 及 VAR建立独立变量的方程 ( 必为线性方程组 ) ；③由方程解出独立变量，进而解出其它待求量。这类方法亦称为独立变量法，包括支路 ( 电流 ) 法、回路 ( 电流 ) 法、网孔 ( 电流 ) 法、节点 ( 电压 ) 法。
其中：独立性──各变量不能相互表示；完备性──其它电压、电流可由它们所表示。下面先研究支路法：
一、 支路法的基本思路a
I2 I3
+ US2
- R3
R2
b
I1
+ US1
- R1
支路 ( 电流 ) 法以支路电流为电路变量电路如图所示，支路数 b=3 ；节点数 n=2 ；回路数 L=3. ，图中 I1 ，
I2 ， I3 为各支路电流，参考方向如图。它们彼此不同，求解之再由各支路VAR 求出支路或元件的电压，因而支路电流可作为一组完备的独立变量。列写 KCL ：节点 a ： -I1 -I2 +I3 =0 ⑴ 节点 b ： I1 +I2 -I3 =0
⑵ 显然，对所有 n 个节点列写 KCL ，每一支路电流将一次正、一次负地出现两次，所有 KCL 方程相加必等于 0 ，故 n 个节点的电路至多只有 (n-1) 个独立的 KCL 方程；而且独立方程数恰好是 (n-1) 个，这是由于去掉一个方程后，至少有一个支路电流在留下的 (n-1) 个方程中只出现一次，方程系数行列式必不等于0 。故对上面的电路只要列写 (2-1)=1 个 KCL 方程 ( 不妨取⑴式 ) 。 列写 KVL ：回路的绕行方向如图，左回路： R1 I1 -R2 I2 =US1 -US2
⑶ 右回路： R2 I2 +R3 I3 =US2 ⑷ 外回路： R1 I1 +R3 I3 =US1 ⑸
接第四节易见，⑶、⑷、⑸ 中的任一式可由另二式导出，同样可以证明，
对于 b 条支路、 n 个节点的电路，独立 KVL 方程的个数为 (b-n+1) 个，对平面电路，即等于网孔数 m 。∴ 独立方程总数 =(n-1)+(b-n+1)=b, 正好等于独立变量数 ( 支路数 ) ，因而所得的线性方程组是可解的。任选 n-1 个节点列写 KCL 可保证其独立性。因每个网孔不可能由别的网孔来合成得到，所以 (b-n+1) 个网孔可以作为一组独立的回路。选择 (b-n+1) 个独立回路的另一方法是每选一个回路，至少增加一条新的支路。本例中可以取⑶、⑷两式
１．选定各支路电流的参考方向；至此可见支路法的基本步骤为
２．列出 n-1 个独立节点的 KCL 方程；３．选取 (b-n+1) 个独立回路及其绕行方向，列写 KVL 方程；４．联立求解这 b 个独立方程 , 得各支路电流，进而解出其它待求量；５．对所得的结果进行验算。可选一个未用过的回路，代入数据校验 KVL ，或用功率平衡进行验算。
例：按以上步骤求电路中的 Uab 、 PUS2 产 a
I2 I3
+ US2
- R3
R2
b
I1
+ US1
- R1
①见右图；
②KCL 取节点 a ： – I1 –I2 +I3 =0
③取两网孔： R1 I1 -R2 I2 =US1 -US2
R1 I1 +R3 I3 =US2
④联立求解。可用消元法或克莱姆法则解之，结果为
. ; )(
; )(
133221
21123
133221
132312
133221
231321 RRRRRR
URURI
RRRRRR
URURRI
RRRRRR
URURRI SSSSSS
再由支路 VAR 可求出其它待求量
. )(
; )(
133221
2S1S322S31
22S2s
133221
2S11S2333ab
RRRRRR
UURURRIUP
RRRRRR
URURRIRU
U
产
⑤验算：由于此题非数值题，故从略。
二、 支路法的特例情况
特例１：含电流源 is ．
i1
+ 4V-
10Ω 10Ω
20Ω 0.1A＋ 2V－
a
b i2
i3
处理方法一： ①含 is 的支路电流不再作变量 ( 是已知量 ) ；②选取独立回路时绕过 is 即选择不包含 is 支路的回路，从而可少列与 is 关联的回路的 KVL 方程。
处理方法二： ①增设 is 上电压 uIs 为变量，代入相应回路的 KVL 方程； ②该支路电流变量写为已知量 is . 处理方法三（为有伴电流源时）： 先将有伴电流源等效成有伴电压源，再按基本步骤列写支路法方程。
例：求图示电路各支路电流，并校验功率平衡。
解方法一：按图示选择的回路少一变量、少一方程 (巧选回路 ) 就无需再列写中间网孔回路的 KVL 方程，从而支路法方程为：：
i1
+ 4V-
10Ω 10Ω
20Ω 0.1A＋ 2V－
a
b i2
i3
例题
.A14.0
,A08.0
,A12.0
:
22010
42010
1.0
3
2
1
32
31
321
i
i
i
ii
ii
iii
可得
方法二：少一电流变量，多一电压变量（图中的 u ），方程数仍等于总变量数：
i1
+ 4V-
10Ω 10Ω
20Ω 0.1A＋ 2V－
a
b i2
i3
＋u－
.V8.2
,A14.0
,A08.0
,A12.0
:
210
020
42010
1.0
3
2
1
2
3
31
321
u
i
i
i
iu
iu
ii
iii
可得
方法三：将 20Ω 电阻看成 is 的有伴电阻，并等效成有伴电压源，如下图( 注意 iK=i3 – is ) ，此时支路法方程为：
i1
+ 4V-
10Ω 10Ω＋ 2V－20Ω ＋
2V－
.A04.0
,A08.0
,A12.0
:
222010
242010
0
K
2
1
K2
K1
K21
i
i
i
ii
ii
iii
可得 再回到原电路，有： .A14.0KS3 iii
特例２：含受控电源的处理方法：i1 25Ω 110Ω
100Ω
+ 5V-
i2 － 50u1
＋
＋ u1
－i3
①先将控制量用独立变量 ( 支路电流 )表示； ②将受控源看作独立电源，按上述方法列写支路法方程； ③将①的表示式代入②的方程，移项整理后即得独立变量 ( 支路电流 ) 的方程组。
11 25iu
132
21
321
50110100
510025
0
uii
ii
iii
③ 将①式代入②，消去控制量 u1 并整理得
01101001250
510025
0
321
21
321
iii
ii
iii
解：①
②
例题：求图示电路的各支路电流
进一步求解方程组得到所需要的结果
网络的线图和独立变量 一、图的基本概念：将电路中的每个元件（支路）用一线段表示，则这些线段通过节点连接成一个几何结构图，称之 为网络的线图或拓扑图，简称图，对图中的每一支路规定一个方向，则称为有向图。
1. 连通图：任意两节点间至少存在一条通路 ( 路径 ) ，如GA 即为连通图；而 GB 为非连通图。
网络 A
* M *
网络 B
GA
GB
2. 子图：是图 G 的一个子集。 3 . 路径：由 G的某点出发，沿某些支路连续移动，到达另一指定节点( 或原来的节点 ) 所形成的通路。
二．树、树支、连支、割集树 T ：是连接所有节点但是不构成回路的支路的集合。即连通图 G 的一个子图，该子图满足
①是连通的； ②包含 G 的全部节点； ③不包含回路。
1
3
2
4 5
树支 (Tree branches) ：构成某个树的支路。恒有：树支数 t=n-1 . 连支 (Link branches) ：某个树树支之外的支路为连支，对某一确定的树 每增加一个连支，就和树支构成一个回路。 l=b–n+1 . 割集 Q ：是连通图 G 的某个支路的集合，它满足： i)若将这些支路全部移去， G 就分离为两个连通子图（其中一个子图可以为孤立节点）； ii)若少移去一条这样的支路， G 就仍然连通。即某一闭合面切割到的支路的集合 ( 注意每条支路只能切割一次 )
T1={1,2,3},T2={1,2,4},T3={1,2,5},T4={1,3,5},T5={1,4,5}
Q1={1,3}, Q2={1,4,5}, Q3={1,4,2}, Q4={2,5}
T1
1 2
3
T2
1 2
4
T3
1 2
5
T4
1
3 5
T5
1
54
第五节 回路法、网孔法
+ US1
-
+ US2
- R1 R2
R3
I1 I2 I3
一、回路电流（网孔电流）
Il1 Il2
在右图中假定有 Il1 、 Il2 两个电流沿各个独立回路的边界流动，则所有的支路电流均可用此电流线性表示，所有电压亦能由此电流线性表示。此电流称之为回路电流。
23
212
11
l
ll
l
II
III
II 式中隐含了 KCL ，沿回路绕行方向列写 KVL得
2S3322
2S1S2211
UIRIR
UUIRIR
2S322
2S1S221
221
211
UIRIRIR
UUIRIRIR
lll
lll将回路电流代入得：
解方程组求得回路电流，进一步求得支路电流，各元件电压。此例可知以回路电流为变量求解比支路法解的方程数要少
二、回路法、网孔法回路电流可以表示出电路所有支路的电流和电压，所以具有完备性，所取的回路是相互独立的，回路电流不可以相互表示，因此又具有独立性。选择 (b–n+1) 个独立回路（每选一个回路，至少增加一条新的支路）电流为变量列写方程求解的方法称为回路法，。选 (b–n+1) 个网孔电流为变量列写方程求解的方法称为网孔法。
2S32
2S1S21
221
211
)(
)(
UIRIIR
UUIIRIR
lll
lll+ US1
-
+ US2
- R1 R2
R3
I1 I2 I3
Il1 Il2
式中方程（ 1 ） Il1 前的系数为回路 l1 的所有电阻之和， Il2 前的系数为两回路的公有电阻，方程（ 2 ） Il2 前的系数为回路 l2
的所有电阻之和， Il1 前的系数为两回路的公有电阻，右边为各回路沿绕行方向上的电压源电位升的代数和。
)(
S2322
S2S12)21(
21
21
UIRRIR
UUIRIRR
ll
ll （ 1）（ 2）
三、回路法方程的一般形式
m m Sm m m2m1m
S22m m22221
S11m m11211
21
21
21
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
l
l
l
ll
ll
ll
其系数规律为：
有了这些规律，就可以由电路直接列写出回路方程，而不必象上面那样分好几步
（ 2 ） R12 、 R21 ─ 回路 1 、 2 的公有电阻之“代数和”，称为互电阻；仅当 Il1 、 Il2 在此互电阻上同方向时取正号；反之取负号。无受控源时有 R12 =R21 ， R13 =R31 ，……；（ 3 ） US11 ─ 回路 l1沿 Il1 方向上的电压源电位升的代数和 (U
S22 、 USmm 同理 ) 。
（ 1 ） R11 ─ 回路 l1 的所有电阻之和，称为该回路的自电阻(恒 正 )(R22 、 Rmm 同理 ) ；
四、回路法 ( 网孔法 ) 的基本步骤
1 、选定一组 (m=b–n+1 个 ) 独立回路，假定其绕行方向 (常常选网孔 ) ； 2 、运用“自电阻 ,互电阻及回路电压源的电位升代数和”等概念直接列写回路电流方程；
3 、联立求解这 m 个独立方程，得各回路电流，进而解出其它待求量；
Il1
Il3
Il2
6Ω
6Ω 2Ω4Ω
+ 50V -
+ 12V -
+ 12V －
+ 36V － I1 I2
I3
I4
I5
I612Ω 4Ω
例：用回路法求各支路电流。 解：方法一网孔法：选择网孔列写方程
243622412
36124)442(2
1250122)2126(
321
321
321
3
2
1
lll
lll
lll
III
III
III
l
l
l
Il3‘
Il1' Il2'
26'16'4'6
24'4'10'2
38'6'2'20
321
321
321
'
'
'
3
2
1
lll
lll
lll
III
III
III
l
l
l方法二：回路法选所示独立回路：
.A3 ,A2
,A4 ,A1
,A1 ,A3
32
21
31
63
52
41
ll
ll
ll
IIII
IIII
IIII
2
1
3
3
2
1
l
l
l
I
I
I
五、回路法的特例情况
1A 2A
Il
特例１：含电流源 iS ． 处理方法一，先选择一个树，将电压源支路放在树支上，将电流源放连支上，选择树支和连支构成回路，从而 i
S 仅与其中的一个回路关联，可少列写该回路的 KVL 方程 ( 少 1 变量少 1 方程 ) 。处理方法二：① 增设 iS 上电压 uIS
为变量，代入相应回路的 KVL 方程；② 补充该 iS 与有关回路电流的关系式 ( 多一变量、多一方程 ) 。 处理方法三：为有伴电流源时，先将有伴电流源等效成有伴电压源，再按基本步骤列写回路法方程。例：用回路法求 U1 解：方法一：“巧选回路”法，如图， 1A 回路不列写方程， 2A 回路不列写方
程， l 回路： 1×1–4×2+(5+3+1)Il =20 得： Il =3A U1 =3(2–Il )=3(2–3)= –3V ；
5Ω
+ 20V - 1Ω
3Ω1A
2A
＋ U1－
＋ Ua－ ＋
Ub－
方法二：增设变量法，选择网孔如右图 5Ω
+ 20V - 1Ω
3Ω1A
2A
＋ U1－
＋ Ua－
＋Ub－
a
a
'8'3
'3'3'
20'1'1
'
'
'
32
321
21
b
3
2
1
UII
UIII
UII
l
l
l
ll
lll
ll
Il1' Il2'
Il3'
2'
1''
2
31
l
ll
I
II补充
可得：
,V5 ,V18
,A 3' ,A2' ,A 4'
ba
321
UU
III lll
,1 V3)32(3)''(3 32 ll IIU
即电路中无伴电源等效要注意对外等效，对内不等效的问题。
此例中若有电阻等元件与电压源并联，处理方法与上述过程完全相同，但要注意此时所求的 Il1‘ 不是电压源上的电流。若有电阻等元件与电流源串联，要注意相类似的问题。
特例２：含受控电源的处理方法：①先将控制量用独立变量 ( 回路电流 )表示先将控制量用独立变量 ( 回路电流 )表示 （控制量最好放连支上） ②将受控源看着独立电源，按上述方法列写回路法方程；③将①中的表示式代入②中的方程，移项整理后即得独立变量 ( 回路电流 ) 的方程组。
Il1 Il2
例 1 ：试列写图示电路的回路方程u1 =25Il1
150210100
5100125
21
21
uII
II
ll
ll
将①式代入②，消去控制量 u1 并整理得：
02101350
5100125
21
21
ll
ll
II
II
这里由于有受控源， 100=R12 ≠R21 = –1350 ！所以有受控源的电路不可以用互电阻概念直接写回路方程
①②
③
25Ω 100Ω 10Ω
+ 5V -
－ 50u1
+
i3
i1
+ u1 -
100Ω
例 2 ．求 uA 、iB
3Ω
4Ω 6Ω
2Ω
+ 20V -
6A
－ 6iB ＋
2uA
iB
+ u A -
ab c
d
o
ab
c
do解：选择树与连支，回路取为 lbodb(2uA) 、 labdoa(iB) 、 lbcd(uA ／ 6) ， lacdoa(6A) 、
对不是电流源的回路写方程：labdoa 7iB +3×6 ＝ 6iB -20
Lbcd 8(uA ／ 6)+2×6 = 20iB = -38A uA = 6V 解得：
第六节 节点法一、节点电压的独立性与完备性 节点电压─节点与零电位参考点间的电压。数目为 (n-1) 个。如图： un1 ， un2 ，数目为 (3-
1) 个。各支路电压分别为： u1 = un1 ，A u2 = un1 - un2 ， u3 = un2
支路电压与节点电压之间的关系隐含了 KVL ，故上写方程时只要列写 KCL 。
所有电流亦能由节点电压线性表示i1 =G1 un1 ， i2 =G2 (un1 - un2 ) ， i3 =G3 (un2 – uS3 ) （ * ）
从某一节点到参考节点的路径不同于其它节点到参考节点的路径，其又具有独立性。
2S32
1S21
2
1 :
:
iii
iii
n
n
节点电压可线性表示所有支路电压和电流，其具有完备性 ;
将（ * ）式代入
+ u2 -① ②
iS1
iS2
G1
G2
G3
+
uS3
-
+
u1
-
+
u3
-
i1
i2
i3
二、节点法方程的规律
2S3S323212
1S22121
2S3S23212
1S21211
)(
)(
)()(
)(
iuGuGGuG
iuGuGG
iuuGuuG
iuuGuG
nn
nn
nnn
nnn
nnnnnnnnnn
nnnnn
nnnnn
iuGuGuG
iuGuGuG
iuGuGuG
S)1( )1( )1(2211
22S)1( )1( 2222121
11S)1( )1( 1212111
+ u2 -① ②
iS1
iS2
G1
G2
G3
+
uS3
-
+
u1
-
+
u3
-
i1
i2
i3
①G11 ─ 节点①的所有电导之和，称为该节点的自电导 ( 恒正 )(G22 、 G33 同理 ) ； ②G12 、 G21 ─ 节点①、②的公有电导之和的负值，称为互
电阻 (恒负 ) ；无受控源时有 G12 = G21 ， G23 = G32 ，…… ③ iS11─ 注入节点①的电流源 ( 含由有伴电压源等效来的电流源 ) 的代数和 (iS22 、 iS33 同理 ) 。
系数规律：
三、节点法的基本步骤 １．选定参考节点，并标出其余 (n-1) 个节点的节点序号； ２．运用“自电导 , 互电导及注入节点电流源（含由有伴电压源等效来的电流源）的代数和”等概念直接列写节点法方程；３．联立求解这 (n-1) 个独立方程 , 得各节点电压，进而解出其它待求量。 ( 注意与电流源串联的电阻不得计入自电导 , 互电导 )四、节点法的特例情况 ① I
1
IS3
＋US1
－
＋US2
－
R1 R2
R3
特例１节点数 n=2 独立节点数 =1 ）．如右图：可先将有伴电压源等效成有伴电流源（熟练之后这一步就不需要了） , 按节点法的基本步骤，有：
321
3S2
2S
1
1S
1
3S2
2S
1
1S1
321
111
111 )(
RRR
IR
U
R
U
U
IR
U
R
UU
RRR
n
n
即对 n=2 的电路有
G
IGUU SS
n1
此式称为弥尔曼定理
特例２：含无伴电压源 uS 处理方法一：将 uS 的一个极选作参考节点，则另一个极所在节点的电位就已知了，从而少了一个节点电压变量，可少列写该节点的 KCL 方程 ( 少 1 变量少 1 方程 ) 。 处理方法二（改进节点法）：① 增设 uS 上电流 iUs 为变量，代入相应节点的 KCL 方程（好比电流源 iUs ）；② 补充该 uS 与两端节点电压的关系式 ( 多一变量、多一方程 ) 。
2Ω 1Ω
2Ω
1Ω
+ 7V -
+ 4V -
I
1.5A
① ② ③
例：求右图的 Un2 、 Un3 及 I ．解：显然，对 7V 电压源可用方法一， 而对 4V 电压源则要用方法二：
A5.0
V2
V6
4
)1
1
2
1(7
2
1
5.1)1
1
2
1(7
3
2
32
3
2
I
U
U
UU
IU
IU
n
n
nn
n
n
不列写
补充
③
②
①
特例 3 ：含受控电源的处理方法：① 先将控制量用独立变量 ( 节点电压 )表示；
③ 将①中的表示式代入②中的方程，移项整理后即得独立变量( 节点电压 ) 的方程组。
② 将受控源看着独立电源，按上述方法列写节点法方程；
3Ω
4Ω 6Ω
2Ω
+20V -
6A
－6iB
＋
2uA
iB
+ u A -1
32
4
o
例．求 uA 、 iB ． 解：节点③、④的电位分别为(20-6iB) 和 -6iB ，因此，只要对节点①、② 列写方程：
4)620(
62
6
6
6202
)2
1
6
1(
6)620(4
1)
4
1
3
1(
B1B
BB
B1
iui
iin
u
iu
n
n
补
②
①
所得节点方程由于有受控源，同样会造成 G12 ≠G21 ．
.V6)620( 2BA nuiu
A38
V242
V96
B
2
1
i
u
u
n
n
特例 4 具有运算放大器的电阻电路 一、利用运放特性及 KCL 、 KVL 分析 分析时用理想运算放大器代替实际运算放大器，带来的计算误差很小，所以通常可利用理想运放的“虚断”、“虚短”以及KCL 、 KVL 来分析含运放的电路 例 1 ：倒向比例运算电路如图，
i
o
u
u
解：由虚短 → 0ba uu
;,
2
o 2
1
i1 R
ui
R
ui
, 0 21 iii 由虚断
1
2
i
o
2
o
1
i R
R
u
u
R
u
R
u
1
2
i
o
2
io
1
i 1 R
R
u
u
R
uu
R
u
-+
R1
R2
i1
i2
i’
i”＋ui
－ _
＋uo
－
a
b ∞
倒向比例运算电路
+-
＋
ui
－
＋
uo
－
∞
i1 i2
i’i”
R1
R2
非倒向比例运算电路
例 2 ：倒向比例运算电路如图，i
o
u
u
解 :
例 3 已知2
1
4
3
R
R
R
R 试求 uo 的表达式
2
oa
1
a1210
R
uu
R
uuiii
4
b
3
b2430
R
u
R
uuiii
②式解出 ub ，因虚短 ua = ub 代入①式得
)( :
1 1
121
2o
4
32
1
2
1
21
1
2o
uuR
Ru
R
Ru
R
R
R
Ru
R
Ru
由题中条件得可见输出与两输入之差成正比，因而被称作差动运算电路。
解： ①
②
i2
-+
i1
i3
i4
R1
R3
R2
R4
＋
u1
－
＋
u2
－
＋
uo
－
b a
∞
i'
i"
差动运算电路
二、含理想运放的节点法1 ．列写运放两输入端节点方程时考虑到“虚断”特性； 2 ．不列写其输出端节点方程；既是输入端又是输出端，按输出端处理3 ．补充“虚短”方程。
例 4. （ P.49 例 2-17 ）试求 uo ／ ui .
解：节点①和②的方程分别为：
1
i
3
o
2
31
321
)111(Ru
Ru
Ru
uRRR
nn
01)11(5
254
on uR
uRR
节点③和④：不列写！
32
1 0
nn
n
uu
u
)()(
5242431
5432
RRRRRRRRRRR
uu
i
o
由虚短得
于是可得：
＋
ui
－
＋uo
－
-+ +
-∞
∞
R1
R4
R2
R3
R5
①
②
③ ④
