**第一节  线性规划问题及其数学模型第一节  线性规划问题及其数学模型**第二节  线性规划问题的图解法第二节  线性规划问题的图解法**第三节  单纯形法第三节  单纯形法

第四节  线性规划的对偶问题第四节  线性规划的对偶问题

**第五节 第五节 线性规划在卫生管理中的应用线性规划在卫生管理中的应用

第二章  线性规划

标准的线性规划模型不含有明显的单位基标准的线性规划模型不含有明显的单位基        ——        ——人工变量法人工变量法

引入人工变量 xn+i ≥ 0 ， i = 1 ,…, m；

x1, x2 ... xn , xn+1, …, xn+m ≥ 0

a11 x1+ a12 x2+ … + a1n xn+ xn+1 = b1

a21 x1+ a22 x2+ … + a2n xn + xn+2 = b2

am1 x1+ am2 x2+ … + amn xn + xn+m = bm ... ...

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大 大  M M 法法：：

引入充分大正数 M  ，改造目标函数

Max Max ZZ = c1 x1 + c2 x2 + cn xn - M xn+1 - … - M xn+m

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a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn + xn+1 = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn + xn+2 = b2

.

.

.

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn + xn+m = bm

x1 ,x2 ，… ， xn ， xn+1 ，… ， xn+m ≥0

         在用大法求解时，如果得到人工变量不为人工变量不为零零的最优解，则说明原问题不可行，即原问题原问题无解无解．另外，若极小比值相等，则人工变量先出基． 

注意注意

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     第四节   线性规划的对偶问题第四节   线性规划的对偶问题

   线性规划对偶问题的概念

    线性规划的对偶单纯形法    线性规划的灵敏度分析

                  （一）对偶问题的提出对偶问题的提出

                  （二）对偶规划的形式对偶规划的形式

1. . 对称形式的对偶问题对称形式的对偶问题 2. . 非对称形式的对偶问题非对称形式的对偶问题 3. . 一般形式对偶问题一般形式对偶问题                     （三）对偶规划的基本性质（三）对偶规划的基本性质

小结

     一、 线性规划对偶问题的概念一、 线性规划对偶问题的概念

（一）对偶问题的提出（一）对偶问题的提出

线性规划线性规划（研究资源最优利用）（研究资源最优利用）

在一定资源条件下在一定资源条件下完成最多的任务完成最多的任务

完成给定的任务完成给定的任务使用的资源最小使用的资源最小

     任何一个求极大值的规划问题任何一个求极大值的规划问题必存在一个与其匹配的求极小值的规划问题必存在一个与其匹配的求极小值的规划问题

对偶性

原问题原问题 对偶问题对偶问题对偶性

     例例 11   某医院营养科用糖、蛋白质和脂肪生产四种食品 A、 B、 C、 D, 一个人每月各种营养成分的最低需求量、不同食品的营养成分含量及其单价如表 1-8 所示。问某人每月怎样购买这些食品，才能既满足营养要求，又可以花钱最少？              表表 1-8  1-8   食品营养成分含量及单价食品营养成分含量及单价

A B C D最低需求量（单位）      含量（单位 /公斤）

糖蛋白质脂肪

5

3

3

2

2

1

4

1

2

2

4

5

60

40

35

单价（元 /公斤） 1.5 0.7 0.9 1.2

解：解：设某人每月购买食品A、B、 C、D各为 x1、     x2、 x3、 x4 公斤，共花费  Z 元，于是它的     数学模型为：

4321 2.19.07.05.1 xxxxMinZ

0,,,

3552 3

404 23

602425

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

   例例 22   假设营养科不安排生产食品 A、 B、C 、 D ，而出售单一营养成分的糖、蛋白质和脂肪。仍用例 1 中的数据，问该营养科如何确定糖、蛋白质和脂肪的单价，才能在市场竟争中立于不败之地，并可获得利润最多？

现在从另一个角度来讨论该问题。

     同理有：      2y1 + 2y2 + y3 ≤ 0.7

                 4y1 + y2 + 2y3 ≤ 0.9

2y1 + 4y2 + 5y3 ≤ 1.2

解：解：设糖、蛋白质和脂肪的单价分别为 y1元 /单位、y2 元 /单位和 y3 元 /单位，某人每月购买单一营养成分食品共花费 W  元。

 W = 60y1 + 40y2 + 35y3 达到最大值    以单一营养成分合成食品  A  单价不得超过 1.5元 /公斤，即   5y1 + 3y2 + 3y3 ≤ 1.5

321 354060 yyyMaxW

0,,

2.1542

9.02 4

7.0 22

5.1335

321

321

321

321

321

yyy

yyy

yyy

yyy

yyy例 1是例 2的对偶问题

     这里  y1， y2 和  y3 称为单一营养成分食品的影子价格，

影子价格并不是单一营养成分食品的实际成本或价格，而是从生产活动的反面来分析问题，即从出售合成食品的收益来估计所利用的单一营养成分食品的价值。

4321 2.19.07.05.1 xxxxMinZ

0,,,

3552 3

404 23

602425

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

321 354060 yyyMaxW

0,

2.1542

9.02 4

7.0 22

5.1335

3,21

321

321

321

321

yyy

yyy

yyy

yyy

yyy

例 1与例2互为对偶线性规划

       我们应用单纯形法求解例 1 和例 2 ，将会发现原规划的最后单纯形表不仅给出了原规划的最优解，而且它的对应的检验行 Cj-Zj也给出了对应的对偶规划的最优解（符号相反）。     所以两个规划问题，互相对偶时，只要解一个就够了。对偶规划的解，就是原规划中的影子价格，也就是资源的拥有者宁愿停止生产活动而将资源转让出去的最低价格。

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((二二 ) ) 对偶规划的形式对偶规划的形式

              对于一般的线性规划模型可以直接给出其对偶规划模型，并不需要像上面那样经过一番讨论。为此，我们需要分析原规划与对偶规划之间的关系。对偶规划的形式分为对称形式对称形式和非对称形式非对称形式。

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m, 2, ,1 0

n, 2, ,1 1

iy

jcya

i

m

ijiij

m

iii ybMinW

1

n

jjj xcMaxZ

1

n, 2, ,1 0

m, 2, ,1 1

jx

ibxa

j

n

jijij

1. 1. 对称形式的对偶问题   对称形式的对偶问题         

称具有下面形式的一对规划是对称形式对称形式的对偶规划：

它的对偶规

划

y1 ,y2 ,… ,ym称为对偶变量

      例例 11和例和例 22中的一对规划就是对称形式的中的一对规划就是对称形式的

4321 2.19.07.05.1 xxxxMinZ

0,,,

3552 3

404 23

602425

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

321 354060 yyyMaxW

0,

2.1542

9.02 4

7.0 22

5.1335

3,21

321

321

321

321

yyy

yyy

yyy

yyy

yyy

3

2

1

y

y

y

4

3

2

1

x

x

x

x

系数矩阵互为转置

   一对对称形式的对偶问题的对应关系一对对称形式的对偶问题的对应关系

MaxMax，≤，，≤，变量皆非负变量皆非负   MinMin，≥ ，，≥ ，变量皆非负变量皆非负

变  量变  量约束条件约束条件

价值系数价值系数 右端常数右端常数

系数矩阵为 系数矩阵为  AA A A 转置矩阵 转置矩阵  AATT

（ 1）若一个模型目标函数是求“极大极大”，约束条件为“小于小于等于等于”的不等式，则对偶模型的目标函数是求“极小极小”，约束是“大于等于大于等于”的不等式 ；

   即 “  MaxMax，≤，≤ ”  ⇔ “  MinMin， ≥， ≥ ”（ 2）若一个模型有 nn个变量个变量， ，  mm个约束条件个约束条件 ,则对偶模型有

nn个约束条件；个约束条件； mm个变量个变量； ； （ 3 ）一个模型目标函数中价值系数价值系数等于对偶模型中相应约束条件的右端常数右端常数；一个模型约束条件中的右端常数右端常数等于对偶模型目标函数中相应的价值系数价值系数；

（ 4 ）若一个模型约束条件中的系数矩阵为  AA，则对偶模型约束条件中的系数矩阵为A转置矩阵  AATT；

（ 5）两个规划模型中的变量皆非负变量皆非负。

一对对称形式的对偶规划之间具有的对应关系一对对称形式的对偶规划之间具有的对应关系

nxxx 21

my

y

y

2

1

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

nccc 21

     原变量  xj

对偶变量  y¡

  产品类别            资源类别 

      ≤  b1    ≤  b2          ≤  bm 

资源价格          产品价值

\∨  \∨         \∨         Мin W

Мax Z

表表 1-10  1-10   线性规划原问题与对偶问题间变换关系线性规划原问题与对偶问题间变换关系

例例 33  求下列线性规划的对偶规划（书中例15） 321 321 xxxMinZ

21 30702 xxMaxZ

1 2 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 1

2 3 4 6

5 8

, , 0

x x x

x x x

x x x

x x x

0 ,

72039

45055

54093

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

对偶变量

对偶变量

y1

y2

y3

y1

y2

y3

解：这两个模型都是对称形式的规划模型，它们的对偶规划分别为：

321 86 yyyMaxW

321 720450540 yyyMinW

0 , ,

354

2 32

1 2

321

321

321

321

yyy

yyy

yyy

yyy

0 , ,

303 59

709 5 3

321

321

321

yyy

yyy

yyy

对偶变量

对偶变量

x1

x2

x3

x1

x2

返回

2. 2. 非对称形式的对偶问非对称形式的对偶问题题

            对于非对称形式的规划，可以按照下面的对应关系直接给出其对偶规划。      （（ 11 ））将模型统一为“ maxmax ，≤，≤”或“ min，≥”  的形式，对于其中的等式约束按下面（ 2）、（ 3）中的方法处理；      （（ 22 ））若原规划的某个约束条件为等式约束某个约束条件为等式约束，则在对偶规划中与此约束对应的那个变量取值对应的那个变量取值没有非负限制没有非负限制；

         一般称不具有对称形式的一对线性规划为非对称形式非对称形式的对偶规划。 

含有等式约束和变量无符号限制含有等式约束和变量无符号限制

    （（ 33 ））若原规划某个变量的值没有非负限制，则在对偶问题中与此变量对应的那个约束为等式。

例如：例如：设原规划中第一个约束为等式    

a11 x1 + … + a1n xn = b1

那么，这个等式与下面两个不等式等价

统一成≤≤

这样，原规划模型可以写成

对偶变量

对偶变量

1y

1y

my

    于是  y1 没有非负限制，即

    此时已转化为对称形式，直接写出对偶规划

111 yyy 这里，把  y1 看作是

,0,,,,

)(

)(

)(

211

22111n

222221112

112211111

m

nmmnn

mm

mm

yyyy

cyayayya

cyayayya

cyayayya

mm ybybyybMinF 22111 )(

,0,,

12

2211n

22222112

11221111

无符号限制yyy

cyayaya

cyayaya

cyayaya

m

nmmnn

mm

mm

mm ybybybMinF 2211

a11 x1 + … + a1n xn = b1

111 yyy 设

  例例 44  写出下面线性规划的对偶规划模型

解解  先将约束条件变形为“≤”形式

对偶变量

对偶变量

yy11

yy22

yy3 3

yy44

yy55

          再根据非对称形式的对应关系，直接写出对偶规划

对偶变量

对偶变量

xx11

xx22

xx33

xx44

例例 55  设有线性规划问题（书中例 16 ）321 4125 xxxMaxZ

0 , ,

23 2

5 2

321

321

321

xxx

xxx

xxx

21 25 yyMinW

无符号限制 ,0

43

12 2

52

21

21

21

21

yy

yy

yy

yy

试写出它的对偶问题。解：解：对偶规划为：

对偶变量

对偶变量

y1

y2

21 89 yyMinW

无符号限制 ,

428

23

124

525

21

21

21

21

21

yy

yy

yy

yy

yy

例例 66 设有线性规划问题（书中例 17 ）4321 4235 xxxxMaxZ

0,,,

82342

985

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

试写出它的对偶问题。

解：解：所求的对偶问题是：

对偶变量

对偶变量

y1

y2

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3. 3.  一般形式的对偶关系一般形式的对偶关系

见下表所示  

          对于一般形式的对偶问题 ,也可以不考虑对称形式的转化 ,而直接遵循如下对偶关系进行转化。

表 3-2

原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）

目标函数 Max Z 目标函数 Mi n W

约束条件数：m个 对偶变量数：m个

第 i “ ≤ ”个约束条件为 对偶变量 yi ≥ 0

第 i “ ≥ ”个约束条件为 对偶变量 yi ≤ 0

第 i “个约束条件为 =” 对偶变量 yi 无非负条件

变量 xj 的数目：n个 约束条件数：n个

变量 xj ≥ 0 第 j “ ≥ ”个约束条件为

变量 xj ≤ 0 第 j “ ≤ ”个约束条件为

变量 xj 无非负条件 第 j “ ”个约束条件为 ＝

限定向量 b 成本或利润向量 C

成本或利润向量 C 限定向量 b

系数矩阵 A 系数矩阵 AT

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小     结小     结

   对称形式的对偶问题对称形式的对偶问题

MaxMax，≤，，≤，变量皆非负变量皆非负   MinMin，≥ ，，≥ ，变量皆非负变量皆非负

变  量变  量约束条件约束条件

价值系数价值系数 右端常数右端常数

系数矩阵为 系数矩阵为  AA A A 转置矩阵 转置矩阵  AATT

   对偶问题的对应关系对偶问题的对应关系

小     结小     结

   一般形式的对偶关系一般形式的对偶关系

   非对称形式的对偶规划的对应关系非对称形式的对偶规划的对应关系

   非对称形式非对称形式

含有等式约束和变量无符号限制含有等式约束和变量无符号限制

变量无符号限制变量无符号限制等式约束等式约束

见下表所示  

表 3-2

原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）

目标函数 Max Z 目标函数 Mi n W

约束条件数：m个 对偶变量数：m个

第 i “ ≤ ”个约束条件为 对偶变量 yi ≥ 0

第 i “ ≥ ”个约束条件为 对偶变量 yi ≤ 0

第 i “个约束条件为 =” 对偶变量 yi 无非负条件

变量 xj 的数目：n个 约束条件数：n个

变量 xj ≥ 0 第 j “ ≥ ”个约束条件为

变量 xj ≤ 0 第 j “ ≤ ”个约束条件为

变量 xj 无非负条件 第 j “ ”个约束条件为 ＝

限定向量 b 成本或利润向量 C

成本或利润向量 C 限定向量 b

系数矩阵 A 系数矩阵 AT

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