• 请同学们画一个四边形，要求它既是矩形又是菱形。

矩 形

菱 形

--- 正方形

正方形的定义 正方形的定义

有一组邻边相等有一组邻边相等并且并且有一有一个角是直角的个角是直角的平行四边形平行四边形叫做正方形。叫做正方形。

合作探究：

根据前面学习的总结特殊四边形的性质的方法，每个小组画出一个正方形，从边，角，对角线，对称性等方面通过度量，证明等手段探究总结正方形的性质。然后小组汇报交流。

正方形的性质边

角

对角线

对称性

四边都相等对边平行，

四个角都是直角

并且互相垂直

既是轴对称图形又是中心对称图形

对角线相等，每条对角线平分一组对角

平分，

正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。

正方形的性质 =

１．正方形具有而菱形不一定有的性质是（　）

Ａ．四条边相等．

Ｂ．对角线互相垂直平分．

Ｃ．对角线平分一组对角．

Ｄ．对角线相等．

２．正方形具有而矩形不一定有的性质是（　）

Ａ．四个角相等．

Ｂ．对角线互相垂直平分．

Ｃ．对角线相等．

Ｄ．对角互补．

Ｂ

Ｄ

如图，正方形ＡＢＣＤ的周长为１５ｃｍ，则矩形ＥＦＣＧ的周长为＿＿＿＿＿．

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｅ

Ｆ

Ｇ

７．５ｃｍ

想一想？

3 怎么判定一个平行四边形是正方形？

1 怎么判定一个矩形形是正方形？

2 怎么判定一个菱形是正方形？

4 怎么判定一个四边形是正方形？

已知 : 平行四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 交于点 O ，从下列条件中取出哪些条件后，可使平行四边形 ABCD 成为正方形。

（１）　ＡＢ＝ＡＤ；　　　　（２）　ＡＣ＝ＢＤ；（３）　∠ＢＡＤ＝９０；　　（４）　ＡＣ⊥ＢＤ。

A

B C

D

O

合作探究合作探究

你认为判定一个图形是正方形有哪些方法？　１ .有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形　．

３ . 有一个角是直角的菱形是正方形．２ . 一组邻边相等的矩形是正方形．

对角线相等的菱形是正方形．对角线互相垂直的矩形是正方形．

平行四边形

矩形 菱形正

方

形

例 .已知 :如图 , ABC△ 中 . ACB=90°,CD∠ 是角平分线 ,DE AC,DF BC,⊥ ⊥ 垂足分别是 E、F.

F

A

C B

DE

求证：四边形 DECF是正方形 .

练习：如图，已知正方形 ABCD 中， E、Ｆ分别是ＢＣ，ＣＤ上的点，ＡＥ⊥ＢＦ．

求证：ＡＥ＝ＢＦ．

Ａ

Ｂ

Ｄ

ＣＥ

Ｆ

　　今有一块正方形土地，要在其上

修筑两条笔直的道路，使道路把这块土地分成形状相同且面积相等的四部分．若道路宽度忽略不计，请你设计三种不同的修路方案．

性 质边 角 对角线 对称性

图形语言

文字语言

A

C

D\

B

A

C

D

B

A

C

D

B

\

\

\

∟

∟

∟

∟

O

\ \

\\

∟对边平行四条边都相等

四个角都是直角

对角线相等且互相垂直平分每条对角线平分一组对角

轴对称图形

中心对称图形

判定正方形的主要方法？

　１ .有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形　．

３ . 有一个角是直角的菱形是正方形．２ . 一组邻边相等的矩形是正方形．

根据图形所具有的性质 , 在下表相应的空格中打 ”√”

平行四边形 矩形 菱形 正方形

对边平行且相等

四边都相等

四个角都是直角

对角线互相平分

对角线互相垂直

对角线相等

√

√

√ √

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

例已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB=90° ，CD 是∠ ACB 的平分线，过点 D作DE‖AC ， DF‖BC 分别交 BC 、 AC 于点 E、 F。

求证：四边形 CFDE 是正方形。

FE

D

C

BA

如图，四边形 ABCD 是正方形， G是 CD 边上的一个动点（点 G与 C、 D不重合），以 CG为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG ，连结 BG ， DE 。试猜想 BG 与 DE 的关系。

G F

E

D

CB

A

M

矩形

菱形

(2)

(1)

平行四边形 正方形

A

B C

D

O

(1) AB ＝ AD (2) AC=BD

(3) BAD=90° (4)AC∠ ⊥BD

DA

B C

O

(3)

(4)

矩形

菱形

(2)

(1)

平行四边形 正方形

A

B C

D

O

(1) AB ＝ AD (2) AC=BD

(3) BAD=90° (4)AC∠ ⊥BD

DA

B C

O

(3)

(4)

性 质边 角 对角线 对称性

图形语言

文字语言

符号语言

A

C

D\

B

A

C

D

B

A

C

D

B

\

\

\

∟

∟

∟

∟

O

\ \

\\

∟对边平行四条边都相等

四个角都是直角

对角线互相垂直平分且相等每条对角线平分一组对角

∵ 四边形 ABCD是正方形

∴AB CD A∥D BC, AB=BC∥=CD=AD

∵ 四边形 ABCD是正方形

∴∠A= B= C∠ ∠= D∠ =90°

∵ 四边形 ABCD 是正方形

∴AC BD,AC=BD,⊥OA=OB=OC=OD

轴对称图形

中心对称图形

正方形的特征正方形的特征

11 、正方形是特殊的平行四边形，具备平行、正方形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有特征。四边形的所有特征。22 、正方形是特殊的矩形和菱形，具备它们、正方形是特殊的矩形和菱形，具备它们的所有特征。的所有特征。33 、正方形的四条边都相等。、正方形的四条边都相等。

44 、正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，、正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，并且分别平分每一组对角。并且分别平分每一组对角。55 、正方形即是轴对称图形、又是中心对称图、正方形即是轴对称图形、又是中心对称图形。形。

平行四边形

矩形

有一个角是直角

正方形

有一组邻边相等对角线互相垂直对角线相等

菱形

一组邻边相等对角线互相垂直有一个角是直角

对 角 线 相 等

３．判断题：

１）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；

２）正方形是轴对称图形，一共有两条对称轴；

３）对角线相等的菱形是正方形．

４）对角线互相垂直的矩形是正方形．

５）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形．

××

√

√

√