Сборник занимательных задач

«Пляшущие человечки»

Составитель: Шабанова Алина ученица 7 «А» класса

Консультант: Прокудина Вита Борисовна учитель математики

2012 год

Ребята! Вы уже ученики начальной школы и, конечно, изучаете математику. В средней школе вы познакомитесь с разделом математики, который называется геометрия. Геометрия – это наука, изучающая геометрические фигуры. С некоторыми из них вы уже знакомы. Это прямая, треугольник, квадрат, прямоугольник, круг и другие. Мы предлагаем Вашему вниманию занимательные задачи, в которых вы встретитесь со знакомыми вам фигурами. Сборник задач разделен на две части. В первую часть вошли головоломки – танграм и полимино. Во вторую – задачи на поиск геометрических фигур и разрезание. Решение задач требует сообразительности и умения логически мыслить. Мы надеемся, что вам, вашим друзьям, а может быть, и родителям будет интересно.

I

Головоломки

Танграм Танграм (буквально «семь дощечек мастерства») — головоломка, состоящая из семи плоских фигур, которые складывают определённым образом для получения другой, более сложной, фигуры (изображающей человека, животное, предмет домашнего обихода, букву или цифру и т. д.). Фигура, которую необходимо получить, при этом обычно задаётся в виде силуэта или внешнего контура. При решении головоломки требуется соблюдать два условия: Первое — необходимо использовать все семь фигур танграма, и второе — фигуры не должны перекрываться между собой.

Танграм, происходит от яньцзиту — вида мебели, который превратилась в набор деревянныхфигурок для игры. Хотя танграм часто считают изобретением глубокой древности, первое упоминание о нём встречается в китайской книге, изданной в 1813 году.

Появление танграма на западе относят к началу 19 века, когда эти головоломки попали в Америку на китайских и американских судах. Старейший такой экземпляр, подаренный сыну американского судовладельца в 1802 году, сделан из слоновой кости и хранится в шёлковом футляре.

Слово «танграм» впервые было использовано в 1848 году Томасом Хиллом, президентом Гарвардского университета, в его брошюре «Головоломки для обучения геометрии».

Как разрезать квадрат для получения фигур танграма:

Парадоксы Парадокс Дьюдени: две похожие фигуры изображают монахов, но у одной из них при этом есть нога, а у другой фигуры её нет.

Другой парадокс предлагается Лойдом : эти фигуры изображают загадочный квадрат, составленный из семи частей. Затем угол квадрата срезали, но при этом всё равно используются те же семь частей.

Интересные факты

Писатель и математик Льюис Кэролл (автор «Алисы в Стране чудес») считается гением танграма. У него хранилась китайская книга с 323 задачами. У Наполеона во время его изгнания на остров Святой Елены был набор для танграма и книга, содержащая задачи и решения.

Фигуры, которые можно собрать из частей

танграма.

Было предложено приблизительно 6,13 миллиона возможных положений в каждой из которых при этом хотя бы одна вершина и хотябы одна сторона любой части совпадают с вершиной и стороной другой части. Эти изображения напоминают животных, виды транспорта, людей, буквы и цифры.

Полимино

Полимино использовались в занимательной математике с 1907 года, а известны были ещё в древности. Название «полимино» или «полиомино» было придумано Соломоном Голомбом в 1953 году. Фигуры данные в головоломке напоминают буквы английского алфавита и названы по числу квадратов, из которого они состоят:1 — мономино 6 — гексамино2 — домино 7 — гептамино3 — тримино 8 — октамино4 — тетрамино 9 — нонамино 5 — пентамино 10 — декамино

http://webmaths.files.wordpress.com/2009/08/pentominoes.gif

IIЗадачи на

разрезание

1. Парадокс с разрезанием ковра.

Один фокусник (имя его за давностью забылось) нашел способ, как разрезать квадратный ковер на 4 части, а затем сложить из этих частей прямоугольный ковер

большей площади.

2. Одеяло для ГулливераЖители страны Лиллипутия сделали одеяло для Гулливера из разных кусков материала, который был у них под рукой.Чему равна площадь одеяла прямоугольной формы ABCD если:• площадь куска квадратной формы AEFK - 4

единицы площади,• площадь куска квадратной формы GHCL - 9

единиц площади,• точки E, F, G, и H лежат на одной прямой,• длина отрезка FG равна 5-ти единицам

длины.

3. На четыре части Этот участок земли составлен из пяти квадратных участков одинаковой величины. Можете ли вы разрезать его не на пять, а только на четыре тоже одинаковых участка?Начертите участок на отдельном листке бумаги и отыщите решение.

4. Перед вами два квадрата, один из которых уже разделен на четыре одинаковых треугольника. Как при помощи этих треугольников и маленького квадрата сложить один большой квадрат? Ничего больше разрезать не требуется.

5. Праздничный пирог разрезан на шестнадцать одинаковых квадратных кусков. Возможно ли было разрезать пирог на шесть квадратных кусков (можно даже различных размеров)? Если возможно - то каким образом это  сделать?

6. Разрежьте фигуру на четыре одинаковых многоугольника отличающихся по своей форме от исходной фигуры.

7. Крест внутри квадрата

Каким образом необходимо разрезать данный крест, чтобы из полученных кусков можно было собрать квадрат с пустотой внутри него в виде такого же по форме и размерам креста.

8. Попробуйте разделить данную фигуру ломаными линиями на три одинаковые части.

9. Разделите представленный на рисунке равносторонний треугольник следующим образом:1) Тремя линиями на четыре равные части.2) Тремя линиями на шесть равных частей.3) Тремя линиями на три равные части.4) Одной линией на четыре произвольные части.

10. Две фигуры

Разделите любым способом данную фигуру на две маленьких одинаковых фигуры.

11.Разрежьте шестиугольник на три части, и из них сложите

ромб.

III

Задачи на поиск

геометрических фигур

1.Сколько треугольников можно выделить в составе данной

фигуры?

2. Мечта пирата

О чем может мечтать старый морской волк, давно отошедший от дел? Да все о том же: морских далях и

экзотических островах. А что еще ему осталось?И вот, сидит наш мечтательный пират в своем кресле и старательно вяжет – петелька к петельке – воздушного

змея. Такого змея, который сможет унести его на просторы милых сердцу южных морей. А мы тем временем можем

присмотреться к этой конструкции и попытаться сосчитать, из скольких квадратов и треугольников состоит

воздушный змей пирата?

3.Сколько треугольников, считая все возможные

размеры, вы можете найти на рисунке? 

4. Сколько прямоугольников на рисунке ?

5. Сколько прямоугольников ты видишь не картинке?

6. Сколько квадратов вы видите?

а) б)

7. Сколько треугольников изображено?

Ответы

II 1. Способ этот такой: разобьем каждую

сторону квадрата (квадратного ковра) на 8 равных частей, проведем прямые линии, как указано на рис. 1 и разрежем по ним квадрат на 4 части.

Затем сложим эти части так, как показано на рис. 2, получим прямоугольный ковер. Площадь прямоугольного ковра больше площади квадратного ковра, т. к. 13 х 5 = 65, а 8 х 8 = 64. В чем же дело? Почему увеличилась площадь?

Вы сможете ответить на этот вопрос самостоятельно, если нарисуете большой квадрат (чем больше, тем лучше), разрежете его по «выкройке» рис.1 и сложите по «выкройке» рис. 2.

II 2. 50единиц площади

II 3. Как нужно разделить участок, показано пунктирными линиями

II 4.

II 5.

II 6.

II.7

II.8

II.9

II.10

II.11

III.1. 35 треугольников

III.2. 112треугольников, 34 квадрата

III.3. 40 треугольников

III.4. 22 прямоугольника

III.5. 13 прямоугольников

III.6. а) 6 квадратов б) 19 квадратов

III.7. 14 треугольников

Источники

1. Н Лэнгдон, Ч. Снейп С математикой в путь М.:Педагогика, 19872. www.posnovatelno.ru3. www.PotecheChas.ru4. www.fomuvi.ru5. www.classmag.ru6. www.allforchildren.ru