Моделювання систем

МІНІСТЕРСТВО КУЛЬТУРИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ КУЛЬТУРИ І МИСТЕЦТВ

МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ

Робоча навчальна програмадля студентів напряму підготовки

6.050101 «Комп’ютерні науки»

КИЇВ – 2012

Укладач:Корнійчук М. Т., доктор технічних наук, професор

Затверджено на засіданні кафедри комп’ютерних наукПротокол № 19 від 19 травня 2010 р.

Рекомендовано до видання Головною вченою радою університетуПротокол № 14 від 24 червня 2010 р.

2

ВСТУП

Опис дисципліни та її предмета. «Моделювання систем» належить до циклу професійної та практичної підготовки напряму «Комп’ютерні науки» освітньо-кваліфікаційного рівня «бакалавр». Викладається на четвертому курсі в обсязі 144 год. (4 кредитів), підсумковим контролем знань є іспит.

Метою курсу є ознайомлення студентів із теоретичними основами і практикою:

- використання інформаційних, включаючи комп’ютерні, технологій у прикладній математиці;

- використання інструментарію;- оптимізації методів та засобів при розв'язку теоретичних і практичних

завдань, що передбачає аналіз і синтез психолого-педагогічних методів та навчально-інформаційних умов використання комп’ютерних технологій.Завданням курсу є набуття теоретичних знань, вмінь та навичок практичної

експертно-конструкторської роботи моделювання систем з різними типами постановки завдань, експертизи задач теорії моделювання систем і практики моделювання систем, їх лаконічності (коректній постановці) та адекватності (скоріше економічній відповідності).

Предмет курсу – набір інструментів разом з методологічним розмаїттям, адаптивним до стохастичного (часто ризикового) середовища сучасного буття, взагалі, і, зокрема, етапу економіки.

У процесі вивчення курсу студенти оволодівають теоретичними основами прикладного програмного забезпечення діяльності, що передбачає роботу із замовником, тобто особою, що приймає рішення, знайомляться із засобами обробки статичної та динамічної, включаючи стохастичної інформації, а також програмно-алгоритмічними моделями їх реалізації.

Програма курсу побудована так, що теоретичні питання є основою і забезпеченням для практичного освоєння студентом конкретних завдань.

В результаті вивчення дисципліни студент має фахово володіти знаннями на рівні:

- знати-пам’ятати основні дефініції, принципи (закони), постулати, твердження, теореми, за якими можна приймати рішення, щодо середовища моделі, ідентифікувати пріоритети у використанні світоглядних позицій формування моделей, пам’ятати схеми-алгоритми одержання розв’язків основних завдань моделювання системи разом з їх відповідною класифікацією;

- знати-пам’ятати-розуміти завдання моделювання системи в аспекті попереднього рівня, разом з розумінням процедури розв’язування і розв’язку більшості задач курсу та вмінням-розумінням суті та послідовності їх разом з можливими похибками та помилками;

- розуміти і знати основні принципи математичного моделювання систем і об’єктів, його переваги над іншими системами моделювання систем;

- знати-пам’ятати-розуміти і володіти тими теоретичними твердженнями, аж до практичних навиків їх якісного застосування, знаннями, які кількісно-інформаційно здобуті в межах пройденого курсу (навчальної дисципліни), в аспекті попередніх рівнів.

3

Володіти знаннями – це значить вміти шукати і знаходити розв’язок завдання моделювання системи, зокрема провести його теоретичний і практичний аналіз, оцінити його можливості в аспектах: варіабельність, адекватність і застосування.

Студенти повинні вміти:- знаходити розв’язок задач прийняття рішень; - провести теоретичний і практичний аналіз розв’язку задач прийняття рішень, - оцінити варіантність, адекватність і застосування розв’язку задач прийняття

рішень.Для якісного засвоєння матеріалу даного курсу необхідні базові знання з теорії

математичного аналізу, теорії ймовірностей, основ вищої і прикладної математики, зокрема теорії інформації, теоретичних основ дисциплін «Вища математика», «Теорія ймовірності, імовірнісні процеси та математична статистика», «Системний аналіз» тощо у поєднанні з відповідними практичними навичками.

СИСТЕМА ОЦІНЮВАННЯ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ

Навчальна дисципліна «Моделювання систем» оцінюється за модульно-рейтинговою системою. Вона складається з двох модулів.

Результати навчальної діяльності студентів оцінюються за 100-бальною шкалою за накопичувальною системою.

Форми поточного контролю:- виконання лабораторного завдання;- письмові роботи;- реферати.Модульний контроль: результат вивчення кожного модуля складає підсумок

всіх форм поточного контролю та виконання модульної контрольної роботи.Підсумковий контроль знань: іспит - проводиться у формі усної відповіді на

питання та виконання практичного завдання.

Умови допуску студента до іспиту: - відсутність заборгованостей з лабораторних занять;- відсутність заборгованостей з модульних контрольних робіт;- позитивні рейтингові бали за кожний модуль.

Підсумкова оцінкаЗа результатами вивчення курсу студент отримує підсумкову оцінку за 100-

бальною системою, яка розраховується як сума оцінок з двох модулів (стартовий рейтинг) та оцінки за іспит за такою шкалою оцінювання:

Курс ІV, семестр 8Змістовий модуль 1

(ЗМ1)

Змістовий модуль 2

(ЗМ2)Іспит (КІ)

Разом(підсумкова оцінка -

ПО)Максимальна оцінка в балах 35 35 30 100

Максимальна кількість балів за 1–2 модулі (стартовий рейтинг) – 70 балів.Розрахунок підсумкової оцінки:ПО = ЗМ1 + ЗМ2 + КІ

4

Студент має можливість накопичити максимальну кількість балів у межах кожного модуля, використовуючи різні способи набуття знань.

Бальна система оцінювання різних форм навчання студента в межах кожного модуля

№ з/п

Назви виду роботи,способи набуття знань

Бали за 1 заняття

Бали за всі заняття (максимальні)

Модуль 1 Модуль 2

1. Лекційні заняття:- відвідування, конспектування до 1 1х6=6 1х6=6

2.Лабораторні заняття:- виконання лабораторного завдання

до 3 3х5=15 3х5=15

3.

Самостійна робота:- звіт з виконання лабораторного завдання- реферат

до 3до 3

3х2=63х1=3

3х2=63х1=3

4. Модульна контрольна робота до 5 5х1=5 5х1=5Всього за модуль 35 35Іспит до 30 30Разом з дисципліни 35 + 35 + 30 = 100 балів

Трансформація рейтингової оцінкиСума набраних рейтингових балів при семестровому контролі переводиться в

оцінки системи оцінювання ECTS. Система передбачає семибальну шкалу (A, B, C, D, E, FX, F) та подвійне (описове та статистичне) визначення цих оцінок.

Підсумковий рейтинговий бал

Підсумкова оцінка за шкалою ECTS

Традиційна екзаменаційна

оцінка

Традиційна залікова оцінка

91 – 100 A – відмінно відмінно

зараховано

84 – 90 B – дуже добре добре76 – 83 C – добре66 – 75 D – задовільно

задовільно61 – 65E – достатньо (задовольняє мінімальні критерії)

21 – 60 FХ – незадовільно незадовільно не зараховано

0 – 20F – незадовільно (потрібна додаткова робота)

не допущено не допущено

5

ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАНдля студентів денної форми навчання

№з/п Назви тем Всього

годин

Види занять і розподіл годин ФормиконтролюЛекції Лабор. Сам.

роботаМод.конт.

МОДУЛЬ 1. МОДЕЛЬ ОБ’ЄКТА. МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СИСТЕМИ1.1. Теорія моделювання системи

як предмет і як світогляд 18 4 14

Конспект, перевірка звітів лабораторних робіт, реферат

1.2. Складність як об’єкт дослідження систем. Моделі відносної складності 24 4 6 14

Конспект, перевірка

лабораторних робіт, реферат

1.3. Закони математичного моделювання. 28 4 4 20



Модульна контрольна робота № 1 2 2 МКР

Всього 72 12 10 48 2 Модульнийконтроль

МОДУЛЬ 2. МОДЕЛЬ ОБСЛУГОВУВАННЯ ТА ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ (КРИТЕРІЇ) СИСТЕМ І ПРОЦЕСІВ

2.1. Математичне моделювання 20 4 2 14



2.2.Моделі обслуговування (теорія масового обслуговування)

22 4 4 14


2.3. Економіко-математичне моделювання 28 4 4 20


Модульна контрольна робота № 2 2 2 МКР

Всього 72 12 10 48 2 Модульнийконтроль

Разом з дисципліни 144 24 20 96 4 ІСПИТ

6

ЗМІСТ ДИСЦИПЛІНИ ЗА МОДУЛЯМИ

МОДУЛЬ 1. МОДЕЛЬ ОБ’ЄКТА. МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СИСТЕМИ

ТЕМА 1.1. ТЕОРІЯ МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМИ ЯК ПРЕДМЕТ І ЯК СВІТОГЛЯД

ЛекціяОб’єкт і модель. Образ і прообраз. Моделювання. Віртуальність моделей і

моделювання. Сутність задач математичної моделі системи. Історичні аспекти задач прийняття рішень. Математична модель системи. Рівень адекватності моделі. Стохастика в моделі. Аспекти викладу (трактування).

Принципи стохастичності середовища і моделей. Ризик і надійність реального і віртуального. Невизначеність – безодня; віра, надія і числення. Ризик. Індекс ризику моделі. Ентропія джерела ризиків моделі. Модель: стохастика, подія, випадкова величина, розподіл числової характеристики ризику. Варіабельність та умовність трактування. Форма і суть моделі – продукт світогляду.

Завдання для самостійної роботи1. Розглянути особливості досліджуваного інструментарію моделювання

систем, проілюструвати їх знання і примітивне володіння на виборі кращого проекту.

2. За зразком, вибрати критерій та один з кращих проектів шоу (індивідуальне завдання), що задані таблицею вхідних-вихідних параметрів та, враховуючи можливі прибутки та імовірнісний розподіл ризикового середовища.

3. Написати реферат на одну із тем:«Моделі менеджменту в інформаційних технологіях: прийняття управлінських рішень (лінійні моделі, оптимізація)»;«Моделі орбіти вимог»

Запитання для самоперевірки1. Визначення понять «об’єкт» і «модель».2. Визначення понять «образ» і «прообраз».3. Сутність поняття моделювання.4. В чому полягає віртуальність моделей і моделювання?5. В чому сутність задач математичної моделі системи?6. Які ви знаєте історичні аспекти задач прийняття рішень?7. Які існують математичні моделі систем?8. Визначення понять «рівень адекватності моделі» та «стохастика в

моделі». Які їх аспекти викладу (трактування)?9. Які є принципи стохастичності середовища і моделей?10. В чому полягає ризик і надійність реального і віртуального?11. Сутність понять: «невизначеність – безодня», «віра, надія і числення».12. Визначення поняття «ризик». Що визначається індексом ризику

моделі?13. Що таке ентропія джерела ризиків моделі?

7

14. Визначення компонентів поняття моделі: стохастика, подія, випадкова величина, розподіл числових характеристик ризику.

15. Що таке варіабельність та умовність трактування?16. В чому полягає форма і суть моделі – продукт світогляду?

Література: 1–3.

ТЕМА 1.2. СКЛАДНІСТЬ ЯК ОБ’ЄКТ ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ. МОДЕЛІ ВІДНОСНОЇ СКЛАДНОСТІ

ЛекціяНатуральні елементи в складі систем. Відносна складність системи і

моделювання систем.Зв'язок і вплив складності системи (матеріальними) натуральними елементами

та віртуальними. Складність системи і елементів. Складність системи і зв’язків, функціональних і віртуальних.

Складність системи і її вимірність та числення: експертизи і експерти.Алгоритм числення складності системи за складність інградієнтів.

Невизначеність, неоднозначність, ентропія.

Лабораторне заняттяПлан

1. Перевірка достовірності розподілів характеристик.2. Обчислення величини критерію якості проектів.3. Визначення індексу сподіваної величини прибутку показника критерію.4. Підсумки дослідження.5. Висновки та рекомендації.6. Прийняття рішення про якість моделі та вибір проекту.

ЗавданняЗадано три проекти систем. Емпірична оцінка складності системи при

функціонуванні певного проекту в можливому стані середовища процесу функціонуванні задані таблицею емпіричних вимірів або спостережень відносно трьох систем: А, В і С, де в першій колонці маємо кожну із складностей системи; в другій – типові елементи-складові складності системи; в третій – кількість кожного типу. Далі в колонках результат експертних оцінок кожного з елементів і зв’язку, а також характеристики цих експертів. Отож, вхідні дані:

8

Система Тип елементів

Кількість елементів

Експертні оцінки складності

1 2 3 4 5 6 7 8

А

1 95 2 6 4 4 5 5 6 42 48 8 7 7 7 8 8 6 93 39 5 7 5 6 6 4 3 64 116 8 7 8 8 7 6 9 65 95 3 2 2 3 3 1 4 36 83 5 5 8 6 7 7 5 57 77 2 1 4 1 4 2 4 3

Зв’язки 1150 0,8 1 0,9 1 0,

9 1 0,9 0,7

В

1 104 5 6 5 6 5 5 5 42 118 7 3 7 7 5 6 6 33 123 4 2 6 4 5 4 5 54 96 2 1 3 2 1 4 5 5

Зв’язки 993 0,8 0,9 1 1,1 1,

1 1 1,2 0,9

С

1 140 7 8 7 6 9 8 7 52 96 9 8 9 9 8 7 7 73 135 4 5 6 5 6 4 4 64 106 3 2 5 5 6 6 4 4

Зв’язки 902 1,3 1,3 1,4 1 1 1,

2 1,3 1

Стаж експерта 15 8 7 6 5 10 21 10

В цих даних побудувати модель зв’язку складності системи та її елементів і: - обчислити рівень складності кожної із трьох систем згідно моделі;

- вибрати за обраною моделлю кращий (оптимальний) варіант системи за певним критерієм;- виконати самостійно вибір категорії і обґрунтувати його доцільність; - провести системний аналіз середовища та вибрати кращий проект, використавши наступний.

Завдання для самостійної роботи1. Прозоро проілюструвати трьома розглянутими складностями системи прикладний аспект моделювання систем.2. Написати реферат на одну із тем:«Показник ризику як критерій прийняття рішення щодо моделі»;«Моделі вихід з орбіти без післядії».

Запитання для самоперевірки1. Які елементи є натуральними у складі систем?2. В чому полягає відносна складність системи і моделювання систем?3. Яким є зв'язок і вплив складності системи?

9

4. В чому полягає складність системи і елементів?5. В чому полягає складність системи і зв’язків, функціональних і віртуальних?6. В чому полягає складність системи і її вимірність та числення: експертизи і

експерти?7. Яким є алгоритм числення складності системи за складності інгредієнтів?8. Визначення понять «невизначеність», «неоднозначність», «ентропія»?

Література: 2–3, 6–7.

ТЕМА 1.3. ЗАКОНИ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ. ОСНОВИ

ЛекціяПоняття математичної моделі системи. Лінійність як принцип математичної

моделі системи. Різновиди лінійної математичної моделі системи.Визначення детермінованості норми траєкторії математичної моделі системи. Обґрунтування математичної моделі системи, ймовірність. Детермінованість математичної моделі системи. Моделі порівняння якості.

Лабораторне заняттяПлан

1. Фіксація величини математичного сподівання доходу в кожному з проектів та напруженості РС, що генерує ризик-фактор недосягнення сподіваної величини (використати СІР №1).

2. Визначення модального значення фактор-прибутку.3. Оцінка середньозваженої геометричної величини фактор-прибутку.4. Оцінка варіації фактор-прибутку та його середньоквадратичне відхилення.5. Оцінювання семіваріації фактор-прибутку та семіквадратичного відхилення.6. Підсумки дослідження.7. Висновки та рекомендації.

Завдання1. Задано три бізнес-проекти побудови комплексної системи захисту

інформації розподілами залежно від стану середовища.Таблиця для лінійної моделі математичної моделі системи:Емпірична оцінка

стану економічного середовища

проектів

Проект А Проект В Проект СДохід Р Дохід Р Дохід Р

Оптимальний 1156 0,2 1356 0,1 1156 0,1Добрий 956 0,175 1156 0,075 956 0,275Стриманий 756 0,325 956 0,225 756 0,325Посередній 556 0,1 756 0,2 556 0,2Песимістичний 356 0,2 456 0,4 356 0,1Вибрати найбільш привабливий модель-проект для бізнесу на основі оцінок

математичної моделі системи в натуральному вигляді, використавши наступний.2. Спостереження на протязі 10 числових періодів за акцією А0, задані

таблицею 1.

10

Період Ціна акції Девідентиt c(t) D(t)0 160 –1 175 52 168 33 170 4,54 162 55 154 4,56 160 57 145 4,58 155 39 165 410 170 4,5

Провести дослідження поведінки моделі в ризиковому середовищі щодо її якості (привабливості), використовуючи наступний план:

- визначення проектів; - визначення ліквідності проекту;- визначення норми доходу;- визначення сподіваної норми доходу;- обчислення сподіваної норми доходу;- підсумки дослідження;- висновки та рекомендації щодо математичної моделі системи.

Завдання для самостійної роботи1. Зробити звіт, який складається з двох частин: перша - канонічна, розглядається в навчальній аудиторії у вигляді лабораторного заняття, одного завдання для всіх студентів; друга – частинно-індивідуальна, для кожного студента окремо, виконується в позааудиторний час.

Звіт подається у формі проведеного дослідження, оформленого на папері у відповідності з встановленими вимогами, і зараховується після обґрунтування всіх термінів і операцій.2. Написати реферат на одну із тем:

«Моделі багатокрокового обслуговування»;«Повернення вимог на орбіту чекання обслуговування».

Запитання для самоперевірки1. Визначення поняття «математичної моделі системи».2. В чому полягає лінійність як принцип математичної моделі системи?3. Які є різновиди лінійної математичної моделі системи?4. Визначення детермінованості норми траєкторії математичної моделі

системи.5. Обґрунтування математичної моделі системи та його ймовірності.6. В чому полягає детермінованість математичної моделі системи?7. Які є моделі порівняння якості?

Література: 5–8.

11

МОДУЛЬНА КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 1

ЗавданняЗадано три проекти систем. Емпірична оцінка складності системи при

функціонуванні певного проекту у можливому стані середовища процесу функціонуванні задані таблицею емпіричних вимірів або спостережень відносно трьох систем: А, В і С, де в першій колонці маємо кожну із складностей системи; в другій – типові елементи-складові складності системи; в третій – кількість кожного типу. Далі в колонках результат експертних оцінок кожного з елементів і зв’язку, а також характеристики цих експертів. Отож, вхідні дані:

Система Тип елементів

Кількість елементів

Експертні оцінки складності

1 2 3 4 5 6 7 8

А

1 95 2 6 4 4 5 5 6 42 48 8 7 7 7 8 8 6 93 39 5 7 5 6 6 4 3 64 116 8 7 8 8 7 6 9 65 95 3 2 2 3 3 1 4 36 83 5 5 8 6 7 7 5 57 77 2 1 4 1 4 2 4 3

Зв’язки 1150 0,8 1 0,9 1 0,

9 1 0,9 0,7

В

1 104 5 6 5 6 5 5 5 42 118 7 3 7 7 5 6 6 33 123 4 2 6 4 5 4 5 54 96 2 1 3 2 1 4 5 5

Зв’язки 993 0,8 0,9 1 1,1 1,

1 1 1,2 0,9

С

1 140 7 8 7 6 9 8 7 52 96 9 8 9 9 8 7 7 73 135 4 5 6 5 6 4 4 64 106 3 2 5 5 6 6 4 4

Зв’язки 902 1,3 1,3 1,4 1 1 1,

2 1,3 1

Стаж експерта 15 8 7 6 5 10 21 10

В цих даних побудувати модель зв’язку складності системи та її елементів і: - обчислити рівень складності кожної із трьох систем згідно моделі;- обрати за обраною моделлю кращий (оптимальний) варіант системи за певним критерієм;- виконати самостійно вибір категорії і обґрунтувати його доцільність; - провести системний аналіз середовища та вибрати кращий проект.

План1. Перевірка достовірності розподілів характеристик.2. Обчислення величини критерію якості проектів.3. Визначення індексу сподіваної величини прибутку показника критерію.4. Підсумки дослідження.

12

5. Висновки та рекомендації.6. Прийняття рішення про якість моделі та вибір проекту.

МОДУЛЬ 2. МОДЕЛЬ ОБСЛУГОВУВАННЯ ТА ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ (КРИТЕРІЇ) СИСТЕМ І ПРОЦЕСІВ

ТЕМА 2.1. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

ЛекціяОзначення математичної моделі системи. Визначення математичної моделі

системи. Натуральні моделі систем. Відносні моделі систем. Коефіцієнти як моделі систем. Мінливості моделі систем. Спеціальні моделі мінливості моделювання систем.

Варіація (дисперсія) як міра адекватності. Середньоквадратичне відхилення. Семіквадратичне відхилення. Варіація від інерційного центру. Середньоквадратичне відхилення.

Лабораторне заняттяЗавдання

Розглянути акції виду А і В і їх розподілення норми прибутку в залежності від стану економічного середовища. Результати розгляду задані таблицею №1:

Таблиця №1Акція Акція

0,1 0,3 0,2 0,3 0,1 1 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1 120 10 2 -2 -10 - 10 5 2 1 -5 -5 5 5 5 5 - 5 5 5 5 5 -0 0 1 1 1 - 0 0 1 1 1 -1 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 -0 0 0,2 0,3 0,1 0,6 0 0 0,2 0,3 0,1 0,60,1 0,3 0 0 0 0,4 0,1 0,3 0 0 0 0,40 0 0,4 -0,6 -1 1,2 0 0 0,4 0,2 -0,5 0,22 3 0 0 0 5 1 1,5 0 0 0 2,5

Оцінити ризиковість кожної з акцій і побудувати алгоритм прийняття рішень на предмет використання портфелю цінних паперів, використовуючи наступний план:

- розглянути запланований дохід Z – норма прибутку 5%;- будувати розрахункову таблицю для майбутнього визначення сподіваних

доходу і збитку;- розрахувати коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході 5% для

акції А;- розрахувати коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході 5% для

акції В;- порівняти коефіцієнт сподіваних збитків акції А і В при запланованому

доході 5%;- підвести підсумки моделювання дослідження;- зробити висновки та прийняти рішення щодо якості моделі.

13

Завдання для самостійної роботи1. Опанувати і засвоїти математичну модель системи для аналізу структур

різної природи.2. Написати реферат на тему: «Оцінка якості задачі моделювання та її

оптимізація за побудованими критеріями».

Запитання для самоперевірки1. Визначення «математичної моделі системи».2. Визначення «натуральних моделей систем».3. Визначення «відносних моделей систем».4. В чому сутність коефіцієнтів як моделей систем?5. Визначення «мінливості моделей систем».6. Визначення «спеціальних моделей мінливості моделей систем».7. Визначення варіації (дисперсії) як міри адекватності.8. Що таке середньоквадратичне відхилення?9. Що таке семіквадратичне відхилення?

Література: 2, 5, 6, 7.

ТЕМА 2.2. МОДЕЛІ ОБСЛУГОВУВАННЯ (ТЕОРІЯ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ)

ЛекціяВідносні числові характеристики ризику. Критерії привабливості цінних

паперів. Віртуальна універсальність, віртуальні числові характеристики ризику. Коефіцієнт ризику: означення і модель. Коефіцієнт варіації: означення і модель.

Коефіцієнт семіваріації: означення і модель. Коефіцієнт іневаріації: означення і модель. Коефіцієнт турбулентності ризику. Область значення коефіцієнту турбулентності. Коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході.

Зміна Кz в залежності від запланованого доходу Z.


Побудувати залежність коефіцієнта сподіваних збитків в залежності від плану Z, в шести точках, рівномірно розбивши можливі досягнення (значення). Результати розгляду задані Таблицею №1

Таблиця №1Стан економічного середовища

Ймовірність Норма прибутку акції

PЗначне піднесення 0,1 20 10Незначне піднесення 0,3 10 5Стагнація 0,2 2 2Незначна рецесія 0,3 -2 1Значна рецесія 0,1 -10 -5

14

План- коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході Z =min акцій A i B;- коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході Z = 2%;- коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході Z = 4%;- коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході Z = 6%;- коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході Z = 8%;- коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході Z = max акцій А і В;- побудувати графік траєкторії всіх А і В в залежності від запланованих прибутків;- підсумки дослідження;- висновки, прийняття рішення.

Завдання для самостійної роботи1. Засвоїти алгоритм розрахунку коефіцієнту сподіваних збитків при запланованому доході.2. Написати реферат на одну із тем:«Розвиток і удосконалення лінійного і нелінійного економіко-математичного інструментарію з метою раціоналізації та оптимізації розв’язку задач теорії масового обслуговування. Теорії масового обслуговування»;«Теорія масового обслуговування як наука та інструментарій».

Запитання для самоперевірки1. Що таке відносні числові характеристики ризику? Які є критерії

привабливості цінних паперів.2. В чому полягає віртуальна універсальність віртуальних числових

характеристик ризику?3. Що таке коефіцієнт ризику: означення і модель?4. Що таке коефіцієнт варіації: означення і модель?5. Що таке коефіцієнт семіваріації: означення і модель?6. Що таке коефіцієнт іневаріації: означення і модель?7. Що таке коефіцієнт турбулентності ризику?8. Якою є область значення коефіцієнту турбулентності?9. Яким є коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході?10. Характеристика зміни Кz в залежності від запланованого доходу Z.

Література: 2, 3, 7, 8.

ТЕМА 2.3. ЕКОНОМІЧНО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

ЛекціяПортфель цінних паперів, його числові характеристики ризику, а також

натуральні числові характеристики ризику та віртуальні числові характеристики ризику. Коефіцієнт турбулентності ризику. Портфель цінних паперів з турбулентними (вихровими) цінними паперами. Резонуючі інградієнти турбулентності цінних паперів. Напруженість ризикового середовища. Торсіонні поля.

15


Дослідити структуру портфелю цінних паперів з двох цінних паперів і дати рекомендацію по їх застосуванню, притримуючись плану.

План1. Структуризація портфелю цінних паперів (Теоретичні замітки).2. Обчислити сподівану норму прибутку та ризик портфелю цінних паперів при

двох варіантах структури (згідно умови).3. Розробити оптимальний план структуризації портфелю цінних паперів (такий,

що має мінімальну вібрацію цінних паперів).4. Підсумувати дослідження.5. Висновки.6. Рекомендації.

Завдання для самостійної роботи1. Дослідити структуру портфелю цінних паперів з двох цінних паперів і дати

рекомендацію по їх застосуванню.2. Написати реферат на одну із тем: «Моделі Ерланга в теорії масового обслуговування»; «Кратне обслуговування».

Запитання для самоперевірки1. Що називається портфелем цінних паперів? Його числові характеристики

ризику, а також натуральні числові характеристики ризику та віртуальні числові характеристики ризику.

2. В чому полягає коефіцієнт турбулентності ризику?3. Зміст портфеля цінних паперів з турбулентними (вихровими) цінними

паперами.4. Які є резонуючі інгредієнти турбулентності цінних паперів.

Література: 3, 4, 7.

МОДУЛЬНА КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 2

ЗавданняРозглянути акції виду А і В і їх розподілення норми прибутку в залежності від

стану економічного середовища. Результати розгляду задані Таблицею №1.Таблиця №1

Акція Акція 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1 1 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1 120 10 2 -2 -10 - 10 5 2 1 -5 -5 5 5 5 5 - 5 5 5 5 5 -0 0 1 1 1 - 0 0 1 1 1 -1 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 -

16

0 0 0,2 0,3 0,1 0,6 0 0 0,2 0,3 0,1 0,60,1 0,3 0 0 0 0,4 0,1 0,3 0 0 0 0,40 0 0,4 -0,6 -1 1,2 0 0 0,4 0,2 -0,5 0,22 3 0 0 0 5 1 1,5 0 0 0 2,5

Оцінити ризиковість кожної з акцій і побудувати алгоритм прийняття рішень на предмет використання портфелю цінних паперів, використовуючи наступний план:

- розглянути запланований дохід Z – норма прибутку 5%;- побудувати розрахункову таблицю для майбутнього визначення сподіваних доходу і збитку;- розрахувати коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході 5% для акції А;- розрахувати коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході 5% для акції В;- порівняти коефіцієнт сподіваних збитків акції А і В при запланованому доході 5%.- підсумки моделювання дослідження;- висновки, прийняття рішення щодо якості моделі.

ПИТАННЯ ДО ІСПИТУ 1. Сутність моделі. Історичні аспекти моделювання.2. Математичні моделі.3. Рівень адекватності моделі. Стохастика в моделі. Аспекти викладу

(трактування) теорій.4. Принципи стохастичності моделей.5. Ризик і надійність реального і віртуального (моделі).6. Ризик. Індекс ризику.7. Ентропія джерела ризику в задачах прийняття рішень.8. Індекси та індикатори.9. Показник моделі.10. Стохастика, подія, випадкова величина.11. Умовність трактування.12. Числові характеристики ризику – числові характеристики ризику

(Означення).13. Натуральні числові характеристики ризику.14. Відносні числові характеристики ризику. Визначення і моделі числових

характеристик ризиків.15. Натуральні числові характеристики ризику: центр групування Х.

Усереднений і механічний.16. Натуральні числові характеристики ризику: варіація (дисперсія),

семіваріація, середньо-, семі-, квадратичне відхилення натуральних числових характеристик ризику, варіація інерційності.

17. Натуральні числові характеристики ризику в аспекті зовнішньо-економічної діяльності.

18. Трактування Х як можливий прибуток.19. х є Х можливий прибуток.20. Сподівана величина прибутку МХ. Модальне значення.

17

21. Апріорі та апостеріорі напруженості: ризик-середовища.22. Невизначеність, неоднозначність, ентропія.23. Поняття цінного паперу.24. Ліквідність цінних паперів.25. Акція як різновид цінних паперів.26. Визначення сподіваної норми доходу.27. Натуральні числові характеристики ризику акції28. Обгрунтування ПР, ймовірність цінних паперів.29. Моделі порівняння якості цінних паперів.30. Означення цінних паперів.31. Визначення цінних паперів.32. Портфель цінних паперів.33. Числові характеристики ризику портфеля.34. Коефіцієнт ризику.35. Норма прибутку.36. Сподівана норма прибутку.37. Натуральні числові характеристики ризику мінливості.38. Спеціальні моделі мінливості.39. Варіація (дисперсія) норми прибутку.40. Варіація від інерційного центру.41. Кореляція в портфелі цінних паперів.42. Відносні числові характеристики ризику. Критерії привабливості цінних

паперів.43. Віртуальна універсальність віртуальних числових характеристик ризику.44. Коефіцієнт ризику: означення і модель.45. Коефіцієнт варіації: означення і модель.46. Коефіцієнт семіваріації: означення і модель.47. Коефіцієнт іневаріації: означення і модель.48. Коефіцієнт турбулентності ризику.49. Область значення коефіцієнту турбулентності.50. Економіко-математична модель: коефіцієнт сподіваних збитків при

запланованому доході.51. Економіко-математична модель: портфель цінних паперів, його числові

характеристики ризику, а також натуральні числові характеристики ризику та віртуальні числові характеристики ризику.

52. Економіко-математична модель: коефіцієнт турбулентності ризику.53. Моделі портфелю цінних паперів з турбулентними (вихровими) цінними

паперами.54. Резонуючі інгредієнти турбулентності моделей.55. Модель напруженості середовища, обслуговування.56. Марківські моделі теорії масового обслуговування.57. Ерлангівські моделі теорії масового обслуговування.58. Моделі теорії масового обслуговування без післядії.59. Моделі теорії масового обслуговування з обмеженою післядією.60. Моделі вимог на орбіті і многократність.

ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ ДО ІСПИТУ

18

1. Побудувати залежність коефіцієнта сподіваних збитків в залежності від плану Z, в шести точках, рівномірно розбивши можливі досягнення (значення). Результати розгляду задані таблицею:

Стан економічного середовища

Ймовірність Норма прибутку акціїP

Значне піднесення 0,1 20 10Незначне піднесення 0,3 10 5Стагнація 0,2 2 2Незначна рецесія 0,3 -2 1Значна рецесія 0,1 -10 -5

- коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході Z =min акцій A i B.





- коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході Z = 2%.






19










- коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході Z = 8%.6. Побудувати залежність коефіцієнта сподіваних збитків в залежності від плану

Z, в шести точках, рівномірно розбивши можливі досягнення (значення). Результати розгляду задані таблицею:




- коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході Z = max акцій А і В.

7. Розглянути акції виду А і В і їх розподілення норми прибутку в залежності від стану економічного середовища. Результати розгляду задані таблицею:

Акція Акція 20

0,1 0,3 0,2 0,3 0,1 1 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1 120 10 2 -2 -10 - 10 5 2 1 -5 -5 5 5 5 5 - 5 5 5 5 5 -0 0 1 1 1 - 0 0 1 1 1 -1 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 -0 0 0,2 0,3 0,1 0,6 0 0 0,2 0,3 0,1 0,60,1 0,3 0 0 0 0,4 0,1 0,3 0 0 0 0,40 0 0,4 -0,6 -1 1,2 0 0 0,4 0,2 -0,5 0,22 3 0 0 0 5 1 1,5 0 0 0 2,5

Оцінити ризиковість кожної з акцій і побудувати алгоритм прийняття рішень на предмет використання портфелю цінних паперів:

- розглянути запланований дохід Z – норма прибутку 5%.


Акція Акція 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1 1 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1 120 10 2 -2 -10 - 10 5 2 1 -5 -5 5 5 5 5 - 5 5 5 5 5 -0 0 1 1 1 - 0 0 1 1 1 -1 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 -0 0 0,2 0,3 0,1 0,6 0 0 0,2 0,3 0,1 0,60,1 0,3 0 0 0 0,4 0,1 0,3 0 0 0 0,40 0 0,4 -0,6 -1 1,2 0 0 0,4 0,2 -0,5 0,22 3 0 0 0 5 1 1,5 0 0 0 2,5


- побудувати розрахункову таблицю для майбутнього визначення сподіваних доходу і збитку;


Акція Акція 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1 1 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1 120 10 2 -2 -10 - 10 5 2 1 -5 -5 5 5 5 5 - 5 5 5 5 5 -0 0 1 1 1 - 0 0 1 1 1 -1 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 -0 0 0,2 0,3 0,1 0,6 0 0 0,2 0,3 0,1 0,60,1 0,3 0 0 0 0,4 0,1 0,3 0 0 0 0,40 0 0,4 -0,6 -1 1,2 0 0 0,4 0,2 -0,5 0,22 3 0 0 0 5 1 1,5 0 0 0 2,5

21


- розрахувати коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході 5% для акції А;


Акція Акція 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1 1 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1 120 10 2 -2 -10 - 10 5 2 1 -5 -5 5 5 5 5 - 5 5 5 5 5 -0 0 1 1 1 - 0 0 1 1 1 -1 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 -0 0 0,2 0,3 0,1 0,6 0 0 0,2 0,3 0,1 0,60,1 0,3 0 0 0 0,4 0,1 0,3 0 0 0 0,40 0 0,4 -0,6 -1 1,2 0 0 0,4 0,2 -0,5 0,22 3 0 0 0 5 1 1,5 0 0 0 2,5


- розрахувати коефіцієнт сподіваних збитків при запланованому доході 5% для акції В.

ПЕРЕЛІК СКОРОЧЕНЬМС – моделювання системВЧХР – віртуальні числові характеристики ризикуЕМК – економіко-математичний критерійЕММ – економіко-математична модельЗМС – завдання моделювання системиЗПР – задачі прийняття рішеньММО – математичне моделювання об’єктівММС – математична модель системиМО – модель обслуговуванняНЧХР – натуральні числові характеристики ризикуОПР – особа, що приймає рішенняПМС – практика моделювання системПЦП – портфель цінних паперівСС – складність системиТМО – теорія масового обслуговуванняТМС – теорія моделювання системЦП – цінні папериЧХР – числові характеристики ризику.

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ПІДГОТОВКИ ЛАБОРАТОРНОГО ЗАНЯТТЯ

Лабораторне заняття, як одна із форм навчальних занять, розраховане на виконання студентами певної задачі практичної роботи з використанням сучасних

22

інформаційних технологій. На лабораторному занятті вони глибше, у порівнянні з лекцією, опановують складні питання, беруть участь в їх колективному творчому осмисленні, знайомляться окремими можливостями, науковими методами аналізу певних явищ і процесів. Під час виконання лабораторної роботи створюються умови для перевірки та володіння ознайомленим інструментарієм розв’язку.

Навчальні програми з переліком тем та питань дисципліни студенти отримують на занятті по лабораторно-практичній роботі. Кожна лабораторно-практична робота (ЛбПР) для кожного окремого студента є творчою, індивідуальною, з окремою вихідною базою числових даних, з єдиним для всієї групи планом проведення досліджень. Відступ від єдиного плану допускається при наявності чіткого обґрунтування такого відступу, але з обов’язковим збереженням обсягу і форми вхідної інформації (даних), критерію ПР. Для самостійного опанування тем предмету студенти можуть використовувати не тільки зазначений список літератури, а також інші джерела інформації, можливості Internet та додаткову літературу.

На першому практичному занятті викладач вказує на основні теми предмета для практичного засвоєння, роз’яснює загальні положення, надає рекомендації по вивченню та опануванню всіх розділів, загострює увагу на найбільш важливих «вузлових» питаннях. На заключній лабораторній роботі розглядаються теми, які стали найбільш важкими для самостійного опанування.

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Самостійна робота є однією із складових навчального процесу, на яку припадає значний обсяг навчального часу. При цьому студент є активним учасником навчального процесу, набуває навичок самоорганізації, самостійного пошуку інформації, прийняття рішень і т. ін. Правильна організація самостійної роботи дозволяє максимально індивідуалізувати навчання, підвищити ефективність навчального процесу в цілому.

Самостійна робота студентів складається з роботи з літературою (доповнення конспектів лекцій, написання рефератів, ознайомлення з додатковою інформацією в мережі Інтернет) та роботи на персональному комп’ютері з певними програмними продуктами. Кожен студент повинен написати реферат або виконати індивідуальне завдання за погодженням із викладачем. Теми для самостійної роботи студентів (у тому числі, рефератів) та їх обсяг визначаються даною робочою програмою.

Одним із видів самостійної роботи є опрацювання лекційного матеріалу, визначення головного у змісті лекції, засвоєння її основних моментів. Щоб зрозуміти і добре засвоїти лекційний матеріал, до кожної наступної теми слід ретельно готуватись: систематично опрацьовувати матеріал попередньої лекції, і, якщо це необхідно, опрацювати рекомендовану літературу, повторювати пройдений матеріал, на який лектор посилається при викладанні нового, якщо з певних причин лекція пропущена, її необхідно законспектувати і опрацювати самостійно, незрозумілі питання з’ясувати на консультації.

Для ґрунтовного засвоєння першоджерел необхідно вдумливо конспектувати їх, вдаючись до різних видів запису (витяги, тези, цитати і т.ін.). Готуючись до відповіді, важливо, в першу чергу, визначити напрями наукових досліджень з певної проблеми та впровадження їх результатів у практику. Доцільно підготувати власні

23

спостереження та висновки, обґрунтовуючи їх теоретичними положеннями та рекомендаціями.

Особлива увага під час самостійної роботи повинна приділятись набуттю навичок практичної роботи на комп’ютерах з тими програмними продуктами, що вивчаються. Потрібно ознайомитись із основними теоретичними відомостями про програмний продукт за допомогою спеціальної літератури, лекційного та методичного матеріалу або довідкової системи програми. Після цього можна виконувати конкретні практичні завдання.

Викладач систематично контролює самостійну роботу студентів: перевіряє конспекти першоджерел, виконання завдань практичних завдань, надає необхідну допомогу для активізації навчальної діяльності студентів.

При вивченні дисципліни студенти можуть застосовувати наступні форми самостійної роботи:

- самостійне поглиблене вивчення матеріалу на основі конспекту лекцій, їхніх презентацій, рекомендованої й учбово-методичної літератури, періодичних видань по темах лекцій;

- написання рефератів за переліком тем, запропонованих викладачем;- самостійна підготовка до практичних занять з використанням навчальних

комп’ютерних програм;- самостійна підготовка до іспиту, у тому числі з використанням навчальних

комп’ютерних програм.Методи контролю:

- опитування студентів під час захисту звітів по лабораторних роботах і на консультаціях,

- проведення атестаційного контролю знань студентів під час іспиту.Необхідним елементом для самостійної роботи студентів є користування

електронною бібліотекою університету на сайті КНУКіМ www.knukim.edu.ua.Окремою формою самостійної роботи студента є написання реферату.

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО НАПИСАННЯ РЕФЕРАТУ

Реферат (лат. referre - доповідати, повідомляти) підводить підсумок вивчення студентами як окремої теми, так і дисципліни в цілому.

Обсяг реферату визначається специфікою досліджуваного питання і змістом матеріалів (документів), їх науковою цінністю та практичним значенням. Оптимальний обсяг реферату складає 10 -15 сторінок. Реферат має відповідати вимогам до оформлення рукопису кваліфікаційної роботи: вступ і висновки в сумі не повинні перевищувати 20% від її загального обсягу; текст друкується через 1,5 інтервали на одній сторінці стандартного аркуша з такими полями: ліве - 30 мм, праве - 15 мм, верхнє - 20 мм, нижнє - 20 мм; всі сторінки нумеруються: загальна нумерація починається з титульного листа, проте порядковий номер на ньому не ставиться.

На титульному листі реферату вказуються: офіційна назва навчального закладу, факультету і кафедри; прізвище та ініціали автора реферату (абревіатура навчальної групи); повна назва теми; прізвище та ініціали наукового керівника, його науковий ступінь і вчене звання; місто, де знаходиться навчальний заклад та рік написання реферату. Після титульного листа подається зміст реферату з точною назвою кожного розділу (параграфу) і вказуванням його сторінок.

24

http://www.knukim.edu.ua/

Список використаних джерел складається з дотриманням загальновизнаних вимог до робіт, що готуються до друку. До списку використаних джерел мають бути включені лише безпосередньо використані в рефераті праці в алфавітному порядку авторів. Монографії і збірники, що не мають на титульному аркуші прізвища автора (авторів), включаються до загального списку за алфавітним розміщенням заголовку.

Тема реферату - це не просто повторення засвоєного матеріалу лекції або семінарського заняття. Вона повинна являти собою самостійне розроблення проблеми, достатньо чітко окресленої від інших. Неприпустиме поєднання декількох проблем або, навпаки, штучне виокремлення певної частини єдиного питання.

Важливими критеріями при доборі теми реферату, є її актуальність, широка джерельна база, наявність необхідного фактичного матеріалу, а також достатнє її висвітлення в науково-методичній літературі, що передбачає, в першу чергу, ознайомлення із загальною концепцією автора праці та його висновками.

Структура реферату: - титульний аркуш; - зміст (план); - вступ; - розділи (вони часто поділяються на параграфи); - висновки; - список використаних джерел; - додатки (у яких наводяться таблиці, схеми, діаграми тощо); - перелік умовних позначень.У вступі реферату обґрунтовується актуальність теми, її особливості,

значущість з огляду на розвиток науки та практики або науково-методичної діяльності у сфері освіти. У вступі необхідно подати аналіз використаних джерел, назвавши при цьому авторів, які вивчали дану тематику, визначити сутність основних чинників, що вплинули та розвиток явища або процесу, що досліджується, на недостатньо досліджені питання, з’ясувавши причини їх слабкої аргументації.

Основну частину реферату складають кілька розділів (що можуть бути розбиті на параграфи), логічно поєднані між собою.

Виклад матеріалу в рефераті має бути логічним, послідовним, без повторень. Слід використовувати синтаксичні конструкції, характерні для стилю наукових документів, уникати складних граматичних зворотів, незвичних термінів і символів або пояснювати їх відразу, при першому згадуванні в тексті реферату. Терміни, окремі слова і словосполучення можна замінювати абревіатурами і сприйнятливими текстовими скороченнями, значення яких зрозуміле з контексту реферату.

Неприпустимо використовувати цитати без посилання на автора. При цитуванні будь-якого фрагменту джерела недопустимі неточності. Взагалі, цитатами не слід зловживати. Якщо якийсь важливий документ потребує наведення його в тексті реферату в повному обсязі, то краще винести його в додатки.

У рефераті необхідно визначити і викласти основні тенденції дослідження, підтвердити їх найтиповішими прикладами, відобразити сучасні ідеї та гіпотези, методики та методичні підходи до вивчення проблеми. Доцільно зупинитися на якомусь дискусійному моменті і спробувати проаналізувати позиції сторін, приєднавшись до однієї з них, чи висловити власну думку на певну проблему та визначити перспективи її вирішення.

25

Кожен розділ реферату повинен завершуватись короткими висновками, чіткими і лаконічними, де узагальнено оцінки та практичні рекомендації. Можна стисло вказати на перспективи подальшого дослідження даної проблеми.

Реферат оцінюється за такими критеріями: актуальність; наукова та практична цінність; глибина розкриття теми, вирішення поставлених завдань; повнота використання рекомендованої літератури; обґрунтування висновків; стиль викладу; оформлення реферату; обсяг виконаної роботи; завершеність реферативного дослідження.

26

ЛІТЕРАТУРА

1. Волошин О. Ф. Моделі та методи прийняття рішень / О. Ф. Волошин, С. О. Мащенко. – К.: Київський університет, 2010. – 336 с.

2. Гнатієнко Г. М. Експертні технології прийняття рішень: монографія / Г. М. Гнатієнко, В. Є. Снитюк. – К.: ТОВ «Маклаут», 2008. – 444 с.

3. Кігель В. Р. Методи і моделі підтримки прийняття рішень у ринковій економіці / В. Р. Кігель / / Київ. екон. ін-т менеджменту. – К.: Цул, 2003. –200 с.

4. Корнійчук М. Т. Ризик і надійність. Економіко-стохастичні методи і моделі побудови систем / М. Т. Корнійчук. – К.: КНЕУ, 2000. – 212 с.

5. Корнійчук М. Т. Складні системи з випадковою зв'язністю: ймовірне моделювання та оптимізація / М. Корнійчук, І. Совтус. – К.: КНЕУ, 2003. – 374 с.

6. Кузьменко Б. В. Моделювання систем: навчальний посібник / Б. В. Кузьменко, О. А. Чайковська. – К.: Видавничий відділ КНУКІМ, 2009. – 135 с.

7. Снитюк В. Є. Прогнозування. Моделі, методи, алгоритми / В. Є. Снитюк. − К.: Маклаут, 2008. − 364 с.

8. Терещенко М. О. Методи і моделі прийняття рішень в менеджменті персоналу / М. О. Терещенко. – К.: КНЕУ, 1997. – 80 с.

27

Documents

Моделювання систем