Embed Size (px)
DESCRIPTION
123
Citation preview
1
Федеральное агентство связи
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики» (ГОУ ВПО «СибГУГИ»)
Н.А. ЛОГИНОВА
Непрерывные случайные процессы в непрерывном времени
Учебное пособие
Новосибирск 2009
2
УДК 519.21 Н.А.Логинова. Непрерывные случайные процессы в непрерывном времени: Учебное пособие / СибГУТИ. – Новосибирск, 2009, 60 стр. Учебное пособие содержит основополагающие сведения по теории непре-рывных случайных процессов и методам их преобразований, примеры решения типовых задач, задания для самостоятельного решения. Рассмотрены свойства некоторых случайных процессов, часто встречающихся в радиотехнике и тео-рии связи. Оно предназначено для студентов технических специальностей дневной и заочной форм обучения. Кафедра высшей математики Ил. 26, список лит. - 9 наим. Для направлений: 210400, 210300, 210200 Рецензенты: дф-мн, профессор Б.П.Сибиряков кф-мн, доцент Ю.В.Кривцов Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ в качестве учебного пособия.
© Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2009
3
ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
1.1. Основные определения и классификация случайных процессов……..……..……..……..……..……..……..……..……..……..4
1.2. Законы распределения и числовые характеристики случайных процессов.……..……..……..……..……..……..……..……..……..…….5
1.3. Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства…..…...7 1.4. Взаимная корреляционная функция двух случайных процессов……10
ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
2.1. Прибавление к случайной функции неслучайного слагаемого……...11 2.2. Умножение случайной функции на неслучайный множитель………12 2.3. Сложение случайных процессов……..……..……..……..……..……..13 2.4. Дифференцирование случайного процесса……..……..……..……….15 2.5. Интегрирование случайного процесса……..……..……..……..……...19 2.6. Каноническое разложение случайного процесса……..……..……..…22
ГЛАВА 3. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
3.1. Определение и свойства стационарного случайного процесса……...25 3.2. Дифференцирование и интегрирование стационарных случайных процессов……..……..……..……..……..……..……..……..……..……28 3.3. Спектральное разложение стационарного случайного процесса на конечном временнóм интервале…..……..……..……..……..…….…..31 3.4. Спектральное разложение стационарного случайного процесса на бесконечном временном интервале……..……..……..……..……..33 3.5. Понятие эргодического случайного процесса……..……..……..…….39
ГЛАВА 4. ПРИМЕРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАДИОТЕХНИКЕ
4.1. Гармонический сигнал со случайной амплитудой……..……..……...42 4.2. Гармонический сигнал со случайными амплитудой и фазой……….43 4.3. Гармонический сигнал со случайной амплитудой и случайной частотой ……..……..……..……..……..……..……..……..48 4.4. Нормальный случайный процесс……..……..……..……..……..……..49 4.5. Белый шум……..……..……..……..……..……..……..……..……..…..53
ГЛАВА 5. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ…..……..……..……..……..……..…...56
ОТВЕТЫ …..……..……..……..……..……..……..……..……..……..……..…...58
ЛИТЕРАТУРА......……..……..……..……..……..……..………..………….……59
4
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
1.1. Основные определения и классификация случайных процессов Случайным процессом (случайной функцией) )(tX называется функция
неслучайного аргумента t , значения которой для любого фиксированного зна-чения t являются случайными величинами. В отличие от детерминированных процессов, течение которых определено единственным образом, случайный процесс описывает изменения во времени (или в пространстве) физической системы, которые заранее предсказать нельзя. Хорошо известными примерами случайных процессов являются: бро-уновское движение частицы, взвешенной в однородной жидкости или газе, слу-чайные ошибки измерения непрерывно изменяющихся величин, а также флюк-туационные шумы в радиотехнических устройствах (помехи), присутствие ко-торых приводит к тому, что реальные электрические сигналы являются, как правило, случайными функциями времени. Примерами случайных функций, ар-гументом которых является не время, а пространственная переменная, могут быть: характеристика прочности неоднородного стержня в зависимости от его длины, высота профиля шероховатой поверхности вдоль выбранного направле-ния, скорость ветра над заданной точкой земной поверхности как функция вы-соты и т.д. Без нарушения общности аргумент случайной функции обычно на-зывают временем и обозначают t. Пусть для изучения какой-либо физической закономерности, описывае-мой случайной функцией )(tX , произведено n опытов. В каждом i - том опыте
будет получена вполне определенная, то есть неслучайная функция )(txi , назы-
ваемая реализацией случайного процесса )(tX . Совокупность всех реализаций
)(),...,(),( 21 txtxtx n образует так называемое “семейство” (или “пучок”) кривых,
статистические свойства которого и определяют свойства изучаемого процесса )(tX .
Если аргумент t может принимать любые значения на заданном интерва-ле (конечном или бесконечном), а реализации )(txi - непрерывные функции
времени, то )(tX называют непрерывным случайным процессом в непрерыв-
ном времени (или просто непрерывным случайным процессом). Если же при непрерывном t значения )(tX дискретны, )(tX называют дискретным слу-
чайным процессом.
Рис. 1.
5
На рис.1 и рис.2 приведены примеры реализаций непрерывного и дис-кретного случайных процессов в непрерывном времени, соответственно.
Рис. 2.
В случае, когда аргумент t может принимать только определенные дис-кретные значения ,...,...,, 21 kttt , а значения )(tX могут быть любыми, случай-
ный процесс представляет собой случайную последовательность этих значе-ний )( 1tX , ),..,( 2tX ),...(
ktX . Такую последовательность образуют, например,
координаты броуновской частицы в дискретные моменты времени tktk ,
кратные t . Если значения случайной последовательности образуют лишь дискретное множество, то реализуется дискретная случайная последовательность. При-мером дискретной случайной последовательности является простая цепь Мар-кова, которая представляет собой такую последовательность состояний систе-мы, в которой вероятность перехода в одно из возможных состояний в момент времени kt зависит только от предшествующего состояния в момент времени
1kt и не зависит от того, какие состояния принимались в моменты 22,1 ,...,, kttt .
Особым классом случайных процессов являются так называемые эле-ментарные (квазидетерминированные) случайные функции, для которых зави-симость от t задана неслучайной функцией S, содержащей один или несколько случайных параметров 21, ,… не зависящих от времени:
,...),;()( 21 tStX (1.1)
В данном пособии будут рассмотрены основные закономерности, прису-щие лишь непрерывным процессам в непрерывном времени, далее именуемыми просто случайными процессами (или случайными функциями).
1.2. Законы распределения и числовые характеристики случайных процессов.
Пусть в результате n независимых опытов получено n реализаций слу-чайного процесса )(tX , которые представлены на рис.3 в виде семейства кри-
вых )(),...,(),( 21 txtxtx n .
Каждая из них является неслучайной (детерминированной) функцией ар-гумента t . Но если зафиксировать значение аргумента, например, в точке 1tt ,
6
случайная функция )(tX становится случайной величиной )( 11 tXX , значе-
ния которой равны )(),...,(),( 11211 txtxtx n . Случайная величина 1X называется
сечением случайного процесса )(tX в момент времени 1t . Она полностью ха-
рактеризуется своим одномерным законом распределения, то есть функцией распределения })({);( 1111 xtXPtxF и плотностью распределения
1
1111
);();(
x
txFtxf
, зависящими от 1t как от параметра.
Рис.3
Знание одномерного закона распределения для сечения случайного про-цесса позволяет определить такие важные для практики числовые характери-стики, как математическое ожидание )]([ 1tXM и дисперсию )( 1tXD слу-
чайного процесса )(tX для рассматриваемого момента времени 1t . При этом,
поскольку момент времени 1t выбран произвольно, индекс 1 можно опустить и
записать:
dxtxfxtmtXM x );()()]([
(1.2)
dxtxftmtXtmtXMtDtXD xxx );()]()([)]()([)()]([ 22 (1.3)
Таким образом, математическое ожидание )(tmx и дисперсия )(tDx
случайного процесса )(tX являются не числами, а функциями неслучайного
аргумента t . При этом математическое ожидание )(tmx представляет собой
некоторую среднюю линию для пучка всех возможных реализаций случайного
7
процесса (на рис.3 она выделена пунктирной линией), а дисперсия )(tDx ха-
рактеризует разброс реализаций относительно средней линии )(tmx .
Среднее квадратическое отклонение )(tx , получаемое по формуле
)()( tDt xx , (1.4)
также является функцией аргумента t . 1.3. Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства Одномерный закон распределения для сечений случайного процесса и получаемые с его помощью математическое ожидание и дисперсия являются весьма важными, но далеко не полными характеристиками случайного процес-са )(tX , так как они не отражают его внутреннюю структуру, не содержат ин-
формации о взаимосвязи между значениями процесса в различные моменты времени. Так, например, две случайные функции )(1 tX и )(2 tX , представлен-
ные на рис.4 и рис.5 семействами своих реализаций, имеют примерно одинако-вые математические ожидания и дисперсии, но совершенно различны по харак-теру изменения во времени. Очевидно, что в первом случае зависимость между значениями случайного процесса гораздо слабее, чем во втором.
Рис.4 Рис.5 Для того чтобы учесть связь между значениями процесса )(tX в различ-
ные моменты времени 1t и 2t (рис.3), необходимо знание двумерной плотно-
сти совместного распределения двух его сечений )(),( 2211 tXXtXX
),;,( 2121 ttxxf , которая позволяет определить корреляционный момент для сис-
темы случайных величин 21, XX по известной формуле теории вероятностей:
212121221121 ),;,())())(((),(21
dxdxttxxftmxtmxttK xxXX
(1.5)
Таким образом, корреляционный момент сечений случайного процесса зависит от значений аргумента 1t и 2t , то есть является неслучайной функцией
двух переменных. Эта функция называется корреляционной функцией ( иногда
8
автокорреляционной функцией) случайного процесса )(tX и обозначается
),( 21 ttK x .
Формула (1.5) может быть записана в виде:
)()()()()()(),( 21221121 tXtXMtmtXtmtXMttK xxx
, (1.6)
где )()()(),()()( 222111 tmtXtXtmtXtX xx
- центрированные сечения слу-
чайного процесса )(tX для моментов 1t и 2t .
При ttt 21 получаем:
)()()(),(
2
tDtmtXMttK xxx
, (1.7)
то есть корреляционная функция обращается в дисперсию случайного процес-са. Таким образом, понятие корреляционной функции включает в себя и поня-тие дисперсии.
Основными свойствами корреляционной функции являются: 1. ),(),( 1221 ttKttK xx - свойство симметрии относительно своих аргу-
ментов.
Рис. 6.
Геометрически это означает, что поверхность, изображающая корреляци-онную функцию, симметрична относительно плоскости, проходящей через биссектрису координатного угла плоскости 21, tt и ось аппликат (рис.6). Значе-
9
ния ),( 21 ttK x для точек биссектрисы, на которой ttt 21 , равны значениям
дисперсии )(),( tDttK xx для момента t .
2. ),(),(),( ttKttKttK xxx -
свойство, означающее, что значение корреляционной функции в любой точке ),( tt не может превышать по
модулю среднее геометрическое ее значений на главной диагонали в точках ее пересечения с прямыми, параллельными осям 21, tt (рис.7).
Оно непосредственно вытекает из аналогичного неравенства для кор-реляционного момента двух слу-чайных величин.
Рис 7.
3. 0)()(),( 212121 dtdtttttKB B
x для любой функции )(t и любой об-
ласти интегрирования B (свойство положительной определенности корреля-ционной функции).
Вместо корреляционной функции ),( 21 ttKx , имеющей размерность квад-
рата единицы измерения )(tX , удобно использовать безразмерную нормиро-
ванную корреляционную функцию (коэффициент корреляции) ),( 21 ttrx :
)()(
),(
),(),(
),(),(
21
21
2211
2121
tt
ttK
ttKttK
ttKttr
xx
x
xx
xx
, (1.8)
модуль которой не превосходит 1, то есть 11 xr .
Для решения задач, в которых необходимо учитывать значения случайно-го процесса )(tX одновременно для 2n значений аргумента t , требуется
знание совместного закона распределения n ее сечений )(),...,(),( 21 ntXtXtX ,
то есть n -мерной плотности распределения ),...,,;,...,,( 2121 nn tttxxxf , зави-
сящей от n значений аргумента nttt ,...,, 21 как от параметров. Однако во многих
практически важных случаях оказывается достаточным знание корреляционной функции, математического ожидания и дисперсии.
Раздел теории случайных процессов, в котором описание их свойств стро-ится на основе не более чем двумерных законов распределения, называется корреляционной теорией.
10
1.4. Взаимная корреляционная функция двух случайных процессов Взаимной корреляционной функцией двух случайных процессов )(tX и
)(tY называется корреляционный момент сечений этих процессов для произ-
вольных значений их аргументов 1t и 2t :
dxdyttyxftmytmxttK yxyx ),;,()()(),( 212121
=
)()()()()()( 212211 tYtXMtmtYtmtXM yx
, (1.9)
где )(),( 21 tmtm yx - математические ожидания процессов )(tX и )(tY в моменты
времени 1t и 2t ; ),;,( 21 ttyxf - двумерная плотность совместного распределения
сечений )( 1tX и )( 2tY случайных процессов )(tX и )(tY в моменты 1t и 2t , соот-
ветственно; )()()(),()()( 222111 tmtYtYtmtXtX yx
- центрированные се-
чения процессов )(tX и )(tY для моментов 1t и 2t .
Случайные процессы )(tX и )(tY называются коррелированными, если
их взаимная корреляционная функция не равна тождественно нулю. Случайные процессы )(tX и )(tY называются некоррелированными, если
их взаимная корреляционная функция ),( 21 ttK yx равна нулю при любых зна-
чениях 1t и 2t : ),( 21 ttK yx 0 .
Нормированной взаимной корреляционной функцией двух случайных процессов )(tX и )(tY называется коэффициент корреляции их сечений при
произвольных значениях их аргументов 1t и 2t :
)()(
),(
),(),(
),(),(
21
21
2211
2121
tt
ttK
ttKttK
ttKttr
yx
yx
yx
yxyx
, (1.10)
где )(),( 21 tt yx - средние квадратические отклонения процессов )(tX и )(tY
для моментов 1t и 2t , соответственно; 1),( 21 ttr yx .
В соответствии с (1.9), при изменении порядка, в котором берутся слу-чайные процессы, аргументы взаимной корреляционной функции меняются местами: ),( 21 ttK xy = ),( 12 ttK yx .
В частном случае, если )(tY представляет собой не случайную функцию,
а случайную величину V , формула (1.9) определяет взаимную корреляционную функцию случайной функции )(tX и случайной величины V , которая будет
зависеть только от t :
vxxvvx mVtmtXMtKtK )()()()( . (1.11)
11
ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 2.1. Прибавление к случайной функции неслучайного слагаемого
Рассмотрим случайную функцию )(tY , полученную путем прибавления к
случайной функции )(tX неслучайной функции )(t :
)(tY = )(tX + )(t (2.1)
По теореме сложения математических ожиданий случайных величин [2] , математическое ожидание процесса )(tY для произвольного момента времени
t равно: )()()()()( tMtXMttXMtYM .
С учетом того, что )()( ttM для неслучайной функции )(t , окон-
чательно получаем: )()()()()( ttmttXMtm xy . (2.2)
Итак, добавление неслучайной функции изменяет величину матема-тического ожидания случайной функции на величину неслучайного слагае-мого.
В частности, для центрированной случайной функции )()()( tmtXtX x
получаем:
0)()()()()(
tmtmtmtXMtXM xxx
Найдем корреляционную функцию случайной функции )(tY :
)()()()(),( 221121 tmtYtmtYMttK yyy
= )()()()()()()()( 22221111 ttmttXttmttXM xx =
= ),()()()()( 212211 ttKtmtXtmtXM xxx . (2.3)
Таким образом, корреляционная функция случайного процесса не изме-няется от прибавления к нему неслучайной функции. Как следствие, не изменяется также и дисперсия исходного процесса: )(),(),()( tDttKttKtD xxyy . (2.4)
В частности, центрирование случайной функции не изменяет ни ее корре-ляционной функции, ни дисперсии:
).()(,),(),( 2121 tDtDttKttK xX
XX
Взаимная корреляционная функция также не изменяется при прибавлении к случайным функциям любых неслучайных слагаемых, а следовательно, и при центрировании случайных функций.
12
Пример 1. Случайный процесс )(tX имеет нормальный одномерный за-
кон распределения с математическим ожиданием ttmx )( , дисперсией 22 )()( tttD xx :
e t
tx
ttxf 2
2
22
1);(
Найти одномерную плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайного процесса )()()( ttXtY , где tt 2)( .
Р е ш е н и е. В соответствии с формулами (2.2) и (2.4),
ttttmy 32)( , tttttDtD yyxy )();()()( 22 .
Поскольку линейное преобразование не изменяет вида распределения, случайная функция )(tY также имеет нормальное распределение, и ее одномер-
ная плотность распределения имеет вид:
e t
ty
ttyf 2
2
2
3
2
1);(
2.2. Умножение случайной функции на неслучайный множитель
Умножим случайную функцию )(tX на неслучайную функцию )(t :
)()()( ttXtY (2.5)
Найдем математическое ожидание, корреляционную функцию и диспер-сию для процесса )(tY , используя известные из теории вероятностей свойства
математического ожидания для случайных величин. )()()()()()()( tmttXMtttXMtm xy , (2.6)
поскольку )(t для любого фиксированного момента времени является неслу-
чайной величиной (числом) и может быть вынесена за знак математического ожидания. Итак, умножение случайной функции на неслучайную функцию приво-дит к умножению на эту функцию ее математического ожидания.
)()()()(),( 221121 tmtYtmtYMttK yyy
= 22221111 ()()()()()()()( tmttXttmttXtM xx =
= )()())()()( 221121 tmtXtmtXttM xx ),()()( 2121 ttKtt x (2.7)
Таким образом, умножение на неслучайную функцию приводит к ум-ножению корреляционной функции на произведение значений этой функ-ции в моменты времени 1t и 2t .
Соответственно, дисперсия умножается на квадрат неслучайной функции в момент t :
)()(),()( 22 ttttKtD xyy (2.8)
13
В частном случае, если )(tX не зависит от t , то есть является случайной
величиной V с математическим ожиданием vm и дисперсией vD , функция
)(tY принимает вид:
)()( tVtY , (2.9)
то есть становится элементарной случайной функцией с характеристиками:
);()();()( 2 tDtDtmtm vyvy
)()()()(),(),( 21212121 ttDttttKttK vvy . (2.10)
При этом учтено то обстоятельство, что корреляционная функция для случайной величины равна ее дисперсии:
vv DVMtVtVMttK
2
2121 )()(),(
. (2.11)
Пример 2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной функции )()()()( tbtXtatY , где )(),( tbta - неслучайные функции, а
),( 21 ttK x и )(tmx известны.
Р е ш е н и е. На основании формул (2.1)-(2.8) получаем: )()()()()()()()()()( tbtmtatbMtXtaMtbtXtaMtm xy
MttK y ),( 21 )()()()()()( 111111 tbtmtatbtXta x
)()()()()()( 222222 tbtmtatbtXta x =
)()()()()()( 221121 tmtXtmtXtataM xx =
)()()()( 2121 tXtXMtata
=
);,()()( 2121 ttKtata x ).()(),()( 2 tDtattKtD xyy
Пример 3. Случайная функция )(tX задана выражением tVtX cos)( ,
где V - случайная величина с характеристиками ,3;2 vvm - неслучайная
величина. Найти характеристики случайной функции )(tX .
Р е ш е н и е. )(tX является элементарной случайной функцией вида (2.9),
где tt cos)( . В соответствии с формулами (2.10) получаем:
21212 coscos9),(;cos9)(;cos2)( ttttKttDttm xxx .
2.3. Сложение случайных процессов
Рассмотрим сумму двух случайных процессов )(tX и )(tY , зависящих
от одного и того же аргумента t : )()()( tYtXtZ (2.12)
Пусть известны математические ожидания )(),( tmtm yx , корреляционные
функции ),(),,( 2121 ttKttK yx и взаимная корреляционная функция ),( 21 ttK xy
случайных функций )(tX и )(tY . Найдем математическое ожидание )(tmz и
корреляционную функцию ),( 21 ttK z случайного процесса ).(tZ
14
По теореме сложения математических ожиданий, )(tmz = )()( tmtm yx , (2.13)
то есть при сложении двух случайных функций их математические ожида-ния складываются.
Вычитая это равенство почленно из (2.12), получим соотношение для
центрированных случайных функций )(,)(,)( tYtXtZ
:
),()()()()()( tmtYtmtXtmtZ yxx )()()( tYtXtZ
.
По определению корреляционной функции,
)()()()()()(),( 22112121 tYtXtYtXMtZtZMttK z
=
)()()()()()()()( 21212121 tXtYMtYtXMtYtYMtXtXM
= ).,(),(),(),( 21212121 ttKttKttKttK yxyxyx (2.14)
Поскольку ),( 21 ttK xy = ),( 12 ttK yx , дисперсия процесса )(tZ равна:
),(2)()(),()( ttKtDtDttKtD yxyxzz (2.15)
Для некоррелированных случайных процессов )(tX и )(tY , поскольку
0),( 21 ttK yx , получаем:
)()()();,(),(),( 212121 tDtDtDttKttKttK yxzyxz . (2.16)
Итак, при сложении некоррелированных случайных функций их корре-
ляционные функции и дисперсии складываются.
Частным случаем сложения случайных функций является сложение слу-чайной функции )(tX и случайной величины V :
VtXtZ )()(
Определим характеристики процесса )(tZ через характеристики )(tX и
V . Очевидно, что для математического ожидания )(tZ получим:
vxz mtmtm )()(
Используя формулы (2.14) и (2.11), получаем для корреляционной функ-ции )(tZ :
)(2),(),( 2121 tKDttKttK vxvxz .
Дисперсия процесса )(tZ равна:
)(2)(),()( tKDtDttKtD vxvxzz .
Если случайная функция )(tX и случайная величина V некоррелирова-
ны, то есть при любом значении t 0)( tK vx ,
.)()(;),(),( 2121 vxzvxz DtDtDDttKttK
15
Пример 4. Случайный процесс имеет вид: tt eVeUtZ )( . Слу-
чайные величины U и V имеют характеристики ;;;; pDbmam uvu
,; rKqD vuv и - вещественные числа. Найти характеристики процесса
)(tZ : ),(),(),( 21 ttKtDtm zzz .
Р е ш е н и е. )(tZ является суммой двух элементарных случайных про-
цессов )(tX = teU и teVtY )( . В соответствии с формулами (2.13), (2.14) и
(2.10) получаем:
VMeUMeeVMeUMtmtmtm tttt
yxz
)()()(
= ;tttv
tu ebeaemem
),(),(),(),(),( 1221212121 ttKttKttKttKttK xyxyyxz ;
)()(21
2121),( ttttux peeDttK ;
)()(21
2121),( ttttvy qeeDttK ;
)()()()(
)()()()(),(
212211
1 22121
vt
utt
vtt
ut
yxxy
mVemUeMemVeemUeM
tmtYtmtXMttK
= )()( 212121 ttvu
ttvu
tt erKemVmUMee ;
),( 12 ttK xy)( 12 tter .
)(
)()()(
2112
21
2121),( tttt
ttttz eereqepttK
tttzz ereqepttKtD )(22 2),()( .
2.4.Дифференцирование случайного процесса
Определение производной к случайным функциям в обычном смысле, вообще говоря, неприменимо, так как для каждого момента времени t отноше-ние приращения случайной функции )(tX к приращению аргумента t явля-
ется случайной величиной t
tXttX
)()(, о пределе которой при 0 t
можно говорить только в вероятностном смысле [1]. Для определения производной случайной функции используют понятие вероятностной сходимости в среднем квадратическом, в соответствии с кото-рым случайная функция )(tY называется производной случайной функции
)(tX , если она удовлетворяет условию:
:
16
0)()()(
lim2
0
tY
t
tXttXM
t (2.17)
Иначе говоря, производная случайной функции )(tX определяется как
предел в среднем квадратическом (limit in mean) отношения приращения случайной функции к приращению аргумента:
t
tXttXmiltY
t
)()(...)(
0.
При этом используется обычное обозначение для производной:
).()(
)( tXdt
tdXtY (2.18)
Как строго доказано в [1], математическое ожидание )(tmy и корреляци-
онная функция ),( 21 ttK y для производной случайной функции )(tX , удовле-
творяющей условию (2.17), определяются формулами:
)()()( tmtmtm xyx ; 21
212
2121
),(),(),(
tt
ttKttKttK x
yx
. (2.19)
Эти формулы могут быть получены чисто формально, если допустить, что операции дифференцирования случайных функций и нахождения матема-тического ожидания можно менять местами. В этом случае
)()()()( tmtXMdt
dtXMtYM x ,
то есть )()( tmtm xy .
Вычитая последнее равенство почленно из (2.18), получим:
)()( tXdt
dtY
(2.20)
По определению, корреляционная функция процесса )(tY равна:
)()(),( 2121 tYtYMttK y
.
Подставив вместо )( 1tY
и )( 2tY
их выражения для моментов 21,tt в со-
ответствии с формулой (2.20) и меняя местами операции дифференцирования и математического ожидания, получим:
)()(
)()()()(),( 21
21
2
21
212
2
2
1
121 tXtXM
tttt
tXtXM
dt
tXd
dt
tXdMttK y
= ).,( 2121
2
ttKtt
x
17
Полученные таким образом формулы для математического ожидания и корреляционной функции производной случайного процесса тождественны формулам (2.19), доказанным строго, что подтверждает правомерность пере-становочности операций дифференцирования и математического ожидания.
Итак, математическое ожидание производной случайного процесса равно производной его математического ожидания, а корреляционная функция производной равна второй смешанной производной корреляцион-ной функции этого процесса. Необходимыми и достаточными условиями дифференцируемости непре-рывного случайного процесса )(tX являются:
1) существование и дифференцируемость математического ожидания )(tmx
случайной функции )(tX ;
2) существование второй смешанной производной ее корреляционной функции
21
212 ),(
tt
ttK x
при любых значениях аргументов 21,tt .
При этом достаточным условием дифференцируемости случайной функ-ции является существование второй смешанной производной при равных зна-чениях аргументов: 21 tt .
Пример 5. Найти математическое ожидание, дисперсию и корреля-ционную функцию для производной элементарной случайной функции
)()( tVtX , где V - случайная величина с характеристиками vv Dm , , )(t - не-
случайная функция. Р е ш е н и е. Согласно формулам (2.19), математическое ожидание и кор-реляционная функция процесса )()( tXtY равны:
);()( tmtm xy 21
212
21
),(),(
tt
ttKttK x
y
.
Для нахождения характеристик элементарной случайной функции )(tX
воспользуемся формулами (2.10): );()( tmtm vx )()(),( 2121 ttDttK vx .
Тогда )()()( tmtmtm vvy ,
2
2
1
121
21
2
21
)()()()(),(
t
t
t
tDttD
ttttK vvy
,
2)(
),()(
t
tDttKtD vyy
. (2.21)
Те же результаты могли быть получены, если допустить, что при диффе-ренцировании элементарной случайной функции )()( tVtX случайная вели-
чина V может быть вынесена за знак производной как обычная константа, то есть, если записать: )()()( tVtXtY .
18
Действительно, и в этом случае имеем:
),()()()( tmVMttVMtm vy
)()()()()()(),( 22112121 tmtVtmtVMtYtYMttK vvy
2
2
1
1221
)()()()(
t
t
t
tDmVMtt vv
.
В частности, для случайной функции ,)( btVtX где V - случайная ве-
личина, b - вещественное число, .,,)()( constDDconstmmVtXtY vyvy
Пример 6. Для случайной функции tVtX cos)( , где V - случайная ве-
личина с характеристиками 3;2 vvm , найти характеристики случайного
процесса )()( tXtY .
Р е ш е н и е. Способ 1. Воспользуемся результатами примера 3 и форму-лами (2.19):
.sin9),()(
sinsin9coscos9
),(
;sin2cos2
22
;212
21
212
21
tttKtD
tttt
ttttK
ttm
yy
y
y
Способ 2. Те же результаты могли быть получены по формулам (2.21) для элементарной случайной функции вида )()( tVtX , где tt cos)( :
;sin2cos)( ttmtm vy
.sin9
cos)(
;sinsin9sinsincoscos),(
22
2
212
2122/
2/
121 21
tt
tDtD
ttttttDttK
vy
vttvy
Пример 7. На вход дифференцирующего устройства поступает случай-
ный процесс )(tX с математическим ожиданием 13)( 2 ttmx и корреляцион-
ной функцией 2
121
)(2 ),( tt
x ettK . Найти математическое ожидание, корре-
ляционную функцию и дисперсию случайного процесса )()( tXtY на выходе
дифференцирующего устройства.
Р е ш е н и е . ;613 2 ttmy
)(2
),(),( 12
)(
2
)(
21
2
21
212
21
212
212 tte
te
tttt
ttKttK ttttx
y
19
.2),(
;)(212)(22 212
)()(212
)( 212
212
212
ttKD
tteette
yy
tttttt
2.5. Интегрирование случайного процесса
Интегралом от случайной функции )(tX называется случайная функ-
ция t
dXtY0
)()( , определяемая как предел в среднем квадратическом со-
ответствующей интегральной суммы:
t n
kkk
nXmildXtY
k0 1
)(...)()(
0max
(2.22)
Определенная таким образом функция )(tY должна удовлетворять условию:
0)()(lim2
10max
n
kkk
ntYXM
k
(2.23)
Как доказано в [1], для выполнения условия (2.23), то есть для интегри-руемости случайной функции )(tX , необходимыми и достаточными условиями
являются: 1) существование интеграла от математического ожидания )(tmx случай-
ной функции )(tX ,
2) существование двойного интеграла от корреляционной функции ),( 21 ttK x процесса )(tX .
При этом математическое ожидание )(tmy , корреляционная функция
),( 21 ttK y и дисперсия )(tDy процесса t
dXtY
0
)()( определяются по форму-
лам:
t
xy dmtm0
)()( ,
1 2
0 0212121 ),(),(
t t
xy ddKttK ,
t t
xyy ddKttKtD0 0
2121 ),(),()( . (2.24)
Формально формулы (2.24) могут быть получены, если допустить, что операции интегрирования случайной функции и математического ожидания можно менять местами. Действительно, в этом случае имеем:
20
t
x
tt
dmdXMdXMtYM000
)()()()( ,
то есть:
t
xy dmtm0
)()(
1 21 2
2 21 1
0 02121
0222
0111
0 02222
0 01111
22112121
)()()()()()(
)()()()(
)()()()()()(),(
t tt
x
t
x
t t
x
t t
x
yyy
ddXXMdmXdmXM
dmdXdmdXM
tmtYtmtYMtYtYMttK
.),()()(1 21 2
0 0212121
0 021
t t
x
t t
ddKddXXM
Таким образом, и в этом случае
1 2
0 0212121 ),(),(
t t
xy ddKttK
Полученные для математического ожидания и корреляционной функции формулы тождественны доказанным математически строго в [1] формулам (2.24), что подтверждает правомерность перестановки операций интегрирова-ния случайного процесса и нахождения его математического ожидания.
Пример 8. Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляцион-ную функцию интеграла от элементарной случайной функции )()( tVtX , где
V - случайная величина с характеристиками vv Dm , , )(t - неслучайная функ-
ция. Р е ш е н и е. Воспользуемся формулами (2.24) и (2.10):
1 21 21 2
0 02121
0 02121
0 0212121
0 00
;)()()()(),(),(
;)()()()(
t tt t
vv
t t
xy
t t
vv
t
xy
ddDddDddKttK
dmdmdmtm
2
0
)(),()(
t
vyy dDttKtD (2.25)
Те же выражения были бы получены, если допустить, что случайная ве-личина V может быть вынесена за знак интеграла как обычная константа, то есть, если записать:
21
t t
dVdVtY0 0
.)()()( (2.26)
Интеграл t
d0
)( является интегралом с переменным верхним пределом
от неслучайной функции и сам является неслучайной функцией, поэтому его можно выносить за знак математического ожидания. В этом случае
t
v
t t
y dmVMddVMtm00 0
,)()())(()(
)()(),( 2121 tYtYMttK y
.)())()(
)()()()(
1 21 2
2 21 1
0 02121
0 02211
2
0 02222
0 01111
t t
v
t t
v
t t
v
t t
v
ddDddmVM
dmdVdmdVM
Пример 9. На вход интегрирующего устройства поступает случайный
процесс )(tX = teU , где U - случайная величина с характеристиками uu Dm , ,
- вещественное число. Найти характеристики процесса t
dXtY0
)()( на вы-
ходе интегратора. Р е ш е н и е. В соответствии с формулами (2.25) для элементарной слу-чайной функции получаем:
)1()(0
0
tutt
uuy e
me
mdemtm
,
),1()1(),( 212
21
122
00121
ttutt
uy eeD
dedeDttK
.)1(),()( 2
2 tu
yy eD
ttKtD
Пример 10. Случайная функция )(tX имеет характеристики: ;0)( tmx
.)(1
1),(
212
21tt
ttK x
Найти характеристики случайной функции
t
dXtY0
)()( .
Р е ш е н и е. t
xy dmtm0
0)()(
10
212
2
00 0 0 02211212121
1 21 2 1 2
)(1),(),(),(
d
ddKddKttK
t tt t t t
xxy
22
;)(1
)1()1(ln
2
1
)()()()(
221
22
21
21212210
11112
1
tt
tt
ttarctgtttarctgttarctgtdarctgarctgt
).1ln(2),()( 2tarctgttttKtD yy
2.6. Каноническое разложение случайного процесса.
Каноническим разложением случайного процесса )(tX называется его
представление в виде
1
)()()(k
kkx tVtmtX , (2.27)
где )()( tXMtmx - математическое ожидание случайного процесса )(tX ,
,...,...,, 21 kVVV - некоррелированные, центрированные случайные величины с
равными нулю математическими ожиданиями 0ivm и дисперсиями
;,...,,21 kvvv DDD )(),...(),( 21 ttt k - неслучайные функции аргумента t :
jikjiVVMKDVDmVM jivvvkvk jikk
,...,,...,2,1,;0,,0
Таким образом, каноническим разложением случайного процесса являет-ся представление его в виде суммы его математического ожидания и некорре-лированных элементарных случайных функций )()( tYtV kkk .
Поскольку )()()()()()( tXtmtmtXtmtX xxx
, из
выражения (2.27) следует каноническое разложение для центрированного слу-
чайного процесса )(tX
:
1
)()(k
kk tVtX
. (2.28)
Случайные величины ,...,...,, 21 kVVV называются коэффициентами
канонического разложения, а неслучайные функции )(),...(),( 21 ttt k - коор-
динатными функциями канонического разложения. Каноническое разложе-ние может содержать как конечное, так и бесконечное число членов разложе-ния.
Найдем характеристики случайного процесса )(tX , заданного своим ка-
ноническим разложением (2.27). Для фиксированного значения аргумента t выражение (2.27) представляет собой линейную функцию центрированных случайных величин ,...,...,, 21 kVVV , поэтому математическое ожидание )(tX
остается прежним:
1
)()()()(k
xkkx tmtVMtmtXM . (2.29)
23
Найдем корреляционную функцию для )(tX :
,)()()()(
)()()()(),(
1 121
1 121
1 1212121
i jjiji
i jjiji
i jjjiix
VVMttttVVM
tVtVMtXtXMttK
где суммирование распространяется на все пары значений ),( ji .
Но при ji 0ji VVM , в силу некоррелированности iV и jV .
При ji iviji DVMVVM 2 . Следовательно, корреляционная функ-
ция случайного процесса )(tX , заданного своим каноническим разложением
(2.27), имеет вид:
1
2121 )()(),(i
viix iDttttK (2.30)
При 21 tt получаем выражение для дисперсии )(tX :
iv
iixx DtttKtD
1
2 )(),()( . (2.31)
Нормированная корреляционная функция случайного процесса )(tX ,
представленного своим каноническим разложением (2.27), будет иметь вид:
12
2
11
2
121
21
2121
)()(
)()(
)()(
),(),(
jvj
ivi
ivii
xx
xx
ji
i
DtDt
Dtt
tDtD
ttKttr
(2.32)
Выражения (2.30) и (2.31) называются каноническим разложением кор-реляционной функции случайного процесса )(tX и каноническим разложе-
нием дисперсии случайного процесса )(tX , соответственно. Доказано [1], что
если корреляционная функция случайного процесса )(tX представлена своим
каноническим разложением (2.30), то центрированный случайный процесс
)(tX
может быть представлен каноническим разложением (2.28).
Канонические разложения оказываются очень удобными для анализа слу-чайных процессов, так как зависимость от аргумента t выражается в них при помощи неслучайных координатных функций )(tk , что во многих случаях по-
зволяет свести операции над случайными функциями к соответствующим опе-рациям над неслучайными координатными функциями.
Так, например, дифференцирование (интегрирование) случайного про-цесса )(tX , заданного каноническим разложением, сводится к дифференциро-
ванию (интегрированию) математического ожидания и всех его координатных функций:
24
),()()()(1
tVtmtXtYk
kkx
1 000
.)()()()(k
t
kk
t
x
t
dVdmdXtZ
При этом, в соответствии с формулами (2.19),(2.24),(2.29-2.31), получаем для характеристик процессов )(tY и )(tZ :
1
2121 ;)()(),();()()(k
vkkyxy kDttttKtmtXMtm
kv
kky DttD
1
2)()( ; (2.33)
20 0 0
2111
210
1 2
)()(),(,)()()( ddDttKdmdXMtmt t t
kkk
vzx
t
z k
;
2
1 0
)()(
k
t
kvz dDtDk
. (2.34)
Пример 11. Дана случайная функция ,sincos)( 21 tVtVttX где 1V
и 2V - некоррелированные случайные величины с математическими ожидания-
ми, равными нулю, и с дисперсиями 2)()( 21 VDVD . Найти характеристики
случайной функции )(tX .
Р е ш е н и е. Очевидно, что ttMtXM )( . Для нахождения корре-
ляционной функции ),( 21 ttK x заметим, что )(tX представлена своим канони-
ческим разложением, так как является суммой математического ожидания и двух некоррелированных элементарных случайных функций с нулевыми мате-матическими ожиданиями. Согласно формуле (2.30)
)()()()()()(),( 222121211121 VDttVDttttK x
);(cos2)sinsincos(cos2 222121 tttttt
.2),()( ttKtD xx
Пример 12. Для функции )(tX Примера 11 найти характеристики про-
цессов )()( tXtY и t
dXtZ0
)()( .
Р е ш е н и е. Согласно формулам (2.33), ;1)( ttm y
25
212121 coscos2)sin(sin2),( ttttttK y
);(cos2)coscossin(sin2 122
21212 tttttt
.2),()( 2 ttKtD yy
По формулам (2.34),
;2
)(0
2
t
z
tdtm
1 21 2
0 021211
0 022211121 sinsin)(coscos)(),(
t tt t
z ddVDddVDttK
);(cos2
coscossinsin2
12221212tttttt
.2
),()(2
ttKtD xz
ГЛАВА 3. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
3.1. Определение и свойства стационарного случайного процесса
На практике очень часто встречаются случайные процессы, вероятност-ные характеристики которых обладают устойчивостью во времени и не зависят от начала его отсчета. Реализации таких процессов имеют вид непрерывных колебаний относительно некоторого постоянного среднего значения и не обна-руживают тенденции к изменению ни по частотному составу, ни по амплитуде колебаний. Такие процессы называются стационарными (или однородными) случайными процессами. В качестве примеров таких процессов можно привес-ти: 1) вертикальные перемещения самолета на установившемся режиме гори-зонтального полета; 2) случайные колебания напряжения в электрических це-пях; 3) шумы радиотехнических устройств; 3) шероховатость обработанной поверхности и т.д. Семейство реализаций такого процесса приведено на рис. 8а. На рис.8б приведена совокупность реализаций явно нестационарного процесса, который характеризуется значительным ростом его дисперсии во времени.
Рис.8а
26
Рис.8б
В рамках корреляционной теории стационарным называется случайный процесс )(tX , одномерная плотность распределения которого );( txf не зависит
от рассматриваемого момента времени t , а двумерный закон распределения ),;,( 2121 ttxxf зависит только от разности моментов времени 12 tt :
);,();,(),;,(
);(),(
2112212121 xxfttxxfttxxf
xftxf
(3.1)
С учетом (3.1) выражения для математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции 1.2-1.5 принимают вид:
constmdxxfxtmtXM xx
)()()]([ , (3.2)
constDdxxfmtXtmtXMtXD xxx )(])([)]()([)]([ 22 ; (3.3)
)()();,())((),( 122112212121 xxxxx KttKdxdxttxxfmxmxttK
(3.4)
Таким образом, математическое ожидание и дисперсия стационар-ного случайного процесса являются постоянными величинами, а его корре-ляционная функция зависит только от разности моментов времени
12 tt , то есть является функцией одной переменной . Значение дис-
персии, как и ранее, может быть получено из выражения для корреляционной функции: xxxx DKttKtD )0(),()( .
В силу общего свойства симметрии корреляционной функции ),(),( 1221 ttKttK xx для стационарного процесса )(tX получаем: )( 12 ttKx
)( 21 ttK x , )()( xx KK , то есть корреляционная функция стационарного
процесса является четной функцией от (рис.9а). Вместо )(xK на практике
часто используют коэффициент корреляции (нормированную корреляционную
27
функцию) x
xx
D
Kr
)()(
, максимальное значение которого, равное 1, достига-
ется при 0 .
Из-за четности обеих функций обычно рассматривают их только при 0 (сплошная линия на рис.9б).
Рис.9а
Рис.9б
Пример 13. Является ли стационарным случайный процесс tVtVttX sincos)( 21 в примере 11? Является ли стационарным центри-
рованный случайный процесс )(tX
?
Р е ш е н и е. Случайный процесс )(tX стационарным не является, так как
условию стационарности удовлетворяют только корреляционная функция cos2)(cos2),( 2221 ttttK x и дисперсия consttDx 2)( , а математи-
ческое ожидание tmx зависит от времени . Для центрированного случайного
процесса tVtVtmtXtX x sincos)()()( 21
условия стационарности вы-
полнены: 2,cos2)(,0 XXX
DKm .
28
Пример 14. Является ли стационарным случайный процесс VtXtY )()( , где V - случайная величина с математическим ожиданием Vm ,
дисперсией VD , а )(tX - стационарный случайный процесс, не зависящий от V ,
с характеристиками )(,, xxx KDm ?
Р е ш е н и е. Проверим условия стационарности процесса )(tY :
,)( constmmtm Vxy
constDDKtDKDKttK vxyyyVxy )0()(),()(),( 21
Поскольку математическое ожидание и дисперсия процесса )(tY являют-
ся постоянными величинами, а его корреляционная функция зависит только от разности аргументов 12 tt , )(tY является стационарным случайным про-
цессом.
3.2. Дифференцирование и интегрирование стационарных случай-ных процессов.
Рассмотрим производную стационарной случайной функции )(tX :
)()( tXtY
Применяя формулы (2.19) к выражениям (3.1), получим для математиче-ского ожидания и корреляционной функции производной стационарного слу-чайного процесса )(tX :
;0)()( xX mtmtYM (3.5)
22
2
212
221
122
21)(
)()()(
)()(),(
1 t
KK
ttt
K
ttt
ttKttK
xxt
xxX
.)()()(
2
2
2
12
2
2
xx K
t
ttK (3.6)
.)(
)0()(02
2
constDK
KtD Xx
XX
(3.7)
Таким образом, производная стационарного случайного процесса так-же является стационарным случайным процессом, при этом его матема-тическое ожидание тождественно равно нулю.
Для того чтобы стационарная случайная функция )(tX была дифферен-
цируемой, необходимо и достаточно существования второй производной от
29
корреляционной функции процесса )(tX при 0 , что, согласно формуле
(3.7), равносильно условию конечности дисперсии процесса )(tX . Очевидно,
что первая производная от корреляционной функции должна быть непрерыв-ной.
Получим выражения для характеристик интеграла t
tdtXtZ0
)()( от ста-
ционарного случайного процесса )(tX .
В соответствии с формулами (2.24) применительно к выражениям (3.1) получаем для математического ожидания и корреляционной функции процесса
)(tZ :
t
xxz tmtdmtmtZM0
;)()]([ (3.8)
,)()(),(1 21 2
0 '0 0
21
t tt
t
x
t t
xz dKtdtdtdttKttK
где dtdtt , .
Изменим порядок интегрирования и выполним интегрирование по t , раз-
бив область интегрирования по );( 21 tt на три интервала ),0;( 1t
);(),;0( 21212 ttttt (рис.10):
Рис.10
30
tdKtdKdtdKdttKt
t tt t t
ttxxxz
0
0 021
1
1 12 1 2
12
)()()(),(
2
121
12
)()()())(( 2
0
011
t
ttx
t
tt
xx dKtdKtdtK
121 2
012
0 021 )()()()()(
tt
x
t t
x dttdKtdKt .
Используя свойство четности корреляционной функции )()( xx KK ,
получаем окончательное выражение для корреляционной функции интеграла от стационарного случайного процесса:
121 2
012
0 02121 )()()()()(),(
tt
x
t t
xz dttdKtdKtttK (3.9)
Полагаем в этом равенстве ttt 21 , получаем выражение для диспер-
сии )(tZ :
t
xzz dKtttKtD0
)()(2),()( , (3.10)
которое, как и математическое ожидание, зависит от t . При этом корреляцион-ная функция )(tZ зависит от обоих аргументов 1t и 2t . Итак, интеграл от
стационарного случайного процесса не является стационарным, так как свойствами стационарности не обладает.
Пример 15. Дана корреляционная функция стационарного случайного
процесса )(tX : 222)( eK xx . Найти корреляционную функцию и диспер-
сию для процесса dt
tdXtY
)()( .
Р е ш е н и е . По формулам (3.6) и (3.7) получаем:
;212)2(2
)2()(
),(
2222222
222
2
2
2
2
21
222222
2222
eee
eeK
ttK
xx
xxx
y
.2)0( 22xy KD
Пример 16. Найти дисперсию интеграла от стационарного случайного
процесса t
dXtZ0
)()( при ct 20 , если
.1
1,0,10,)(2
222
сс
смeK x
31
Р е ш е н и е. В соответствии с формулой (3.10), при 0
).1(2
)(
12
2)(2)(
2
2
020
2
0 00
22
ttt
t tt
z
eeet
dedtedettD
Подставляя данные задачи, получим:
.2270)1(80)1(1
01,0
102)20( 222
201
1,0
2
2
2
смecмe
c
с
см
сtDс
сz
3.3. Спектральное разложение стационарного случайного процесса на конечном временном интервале.
Корреляционную функцию стационарного случайного процесса )(xK ,
как любую непрерывную четную функцию своего аргумента, можно разложить по четным (косинусным) гармоникам на симметричном интервале TT , :
1 0
0 coscos2
)(k k
kkkkx Daa
K , (3.11)
где ,T
kk
а коэффициенты kD определяются формулами:
0,cos)(2
;)(1
2 00
00 kdK
TaDdK
T
aD k
t
x
t
kkx . (3.12)
Возвращаясь в выражении (3.11) от аргумента 12 tt к двум аргумен-
там 1t и 2t , получим:
).sinsincoscos(),(
;sinsincoscos)(coscos
12120
12
121212
ttttDttK
tttttt
kkkkk
kx
kkkkkk
(3.13)
Сравнивая формулу (3.13) с (2.30), можно убедиться, что выражение (3.13) является каноническим разложением корреляционной функции ),( 12 ttK x ,
координатными функциями которого являются попеременно tkcos и tksin ,
частоты которых кратны .1T
Как показано в [1], существование канонического разложения корреляци-онной функции случайного процесса )(tX означает, что для самого случайного
процесса справедливо каноническое разложение вида (2.27) с теми же коорди-натными функциями и случайными величинами kk VU , , дисперсии которых
32
равны коэффициентам kD в каноническом разложении для корреляционной
функции (3.13). Таким образом, можно записать:
0
)sincos()()(k
kkkkx tVtUtmtX , (3.14)
где kk VU , - некоррелированные случайные величины с равными нулю матема-
тическими ожиданиями и дисперсиями, одинаковыми для каждой пары случай-ных величин с одним и тем же индексом k :
.kkk DVDUD
Дисперсии kD определяются формулами (3.12).
Каноническое разложение (3.14) называется спектральным разложени-ем стационарного случайного процесса )(tX на интервале ),0( T . Оно харак-
теризует частотный состав случайного процесса, при этом амплитуды kk VU ,
гармонических колебаний с частотами T
kk
являются случайными величи-
нами. Наглядной иллюстрацией вклада различных частотных составляющих
для процесса )(tX является
график зависимости диспер-сий kD от частот k соответ-
ствующих гармоник. Спектр дисперсий, представленный в виде отдельных линий, раз-деленных промежутками
T
(рис.11), называется
линейчатым.
Рис. 11.
Для дисперсии случайного процесса )(tX , заданного спектральным раз-
ложением (3.13), получаем в соответствии с формулой (2.31):
0 0
22 )sin(cos)(k k
kkkkx DDtttD (3.15)
Таким образом, дисперсия стационарного случайного процесса равна сумме дисперсий всех гармоник ее спектрального разложения.
33
3.4. Спектральное разложение стационарного случайного процесса на бесконечном временном интервале.
Поскольку в общем случае корреляционная функция стационарного слу-чайного процесса определена на бесконечном интервале значений аргумента t , естественной является попытка перехода в разложении (3.11) к пределу при
T . При этом интервал между соседними частотами будет стремиться к
нулю: 01 T
, линии спектра дисперсий будут сближаться, вследст-
вие чего дискретный спектр будет приближаться к непрерывному.
Вместо значений дисперсий
kD для отдельных гармоник
спектра вводится функция )( kxS :
1
)(
kkkx
DDS
, (3.16)
имеющая смысл некоторой средней плотности дисперсии на интервале k (рис. 12а).
Рис.12а
С увеличением периода разло-жения T ( )0 ступенчатая
функция )( kxS будет неограничен-
но приближаться к плавной кривой )(xS (рис 12б):
)(lim0
xk S
D
(3.17)
Рис. 12б
При этом выражение (3.11) с учетом (3.16) и (3.17) принимает вид:
000cos)()(coslim)(
dSk
DK x
k
kx (3.18)
34
Функция )(xS называется спектральной плотностью стационарного
случайного процесса )(tX . Как следует из формулы (3.18), спектральная плот-
ность связана с корреляционной функцией косинус-преобразованием Фурье. Действительно, с учетом формул (3.16) и (3.12), имеем:
dKTDD
ST
kxkk
kx
0
cos)(2
)( .
После предельного перехода T ( ) k получаем для )(xS :
0
cos)(2
lim)(
dKTD
S xk
Tx . (3.19)
Итак, спектральная плотность стационарного случайного процесса с непрерывным спектром )(xS и его корреляционная функция )(xK связа-
ны друг с другом взаимно обратными косинус-преобразованиями Фурье.
Спектральная плотность )(xS стационарного случайного процесса обла-
дает следующими свойствами:
1. 0)( xS ;
2.
0
)()0 dSKD xxx , то есть, дисперсия стационарного случайного
процесса равна площади под кривой его спектральной плотности.
На практике вместо спектральной плотности )(xS часто пользуются
нормированной спектральной плотностью x
xx
D
Ss
)()(
, где xD - дисперсия
случайного процесса )(tX .
В этом случае нормированная корреляционная функция x
xx
D
Kr
)()(
и
нормированная спектральная плотность )(xs также связаны преобразованиями
Фурье:
00
cos)(2
)(;cos)()(
drsdsr xxxx (3.20)
При 0 с учетом того, что 1)0( xr , имеем:
0
1)( dsx , то есть, пло-
щадь под кривой нормированной спектральной плотности равна 1.
35
Если формально распространить понятие спектральной плотности на все действительные частоты от до (помня, что физический смысл имеют только неотрицательные частоты 0 ), формулы (3.18) и (3.19) мож-но записать также в комплексной форме:
deKSdeSK ixx
ixx )(
1)(,)(
2
1)( . (3.21)
Действительно, по формулам Эйлера, sincos ie i . Тогда, в силу четности функций )(xK , )(xS и подынтегральных функций в формулах
(3.18) и (3.19), получаем:
0
cos)(2sin)(cos)()( dSdSidSdeS xxxi
x ,
0
cos)(2sin)(cos)( dKdKidKdeK xxxi
x ,
откуда непосредственно следуют формулы (3.21), известные как интегральные формулы Винера-Хинчина. Чтобы получить из них вещественные значения
)(xK и )(xS , следует определять вещественные части выражений, получен-
ных в результате вычислений по формулам (3.21).
Иногда вместо )(xS вводят функцию
)(2
1)(* xx SS , разби-
вая каждую спектраль-ную компоненту на две части равной, но поло-винной интенсивности так, чтобы площадь под
кривой )(* xS , имеющая
смысл дисперсии xD , ос-
талась прежней (рис.13).
Рис 13.
Полезными характеристиками стационарных случайных процессов с не-прерывным спектром является эффективная ширина спектра э и ин-
тервал корреляции k , определяемые формулами:
36
)(max
2
)(max
)(2
)(max
)(0
S
D
S
dS
S
dSx
xx
э
, (3.22)
drD
dK
D
dK
xx
x
x
xэ
k
0
0 )(
)(
2
)(
2, (3.23)
где э - средний интервал корреляции (эффективная длительность корреляци-
онной функции), геометрически равный основанию прямоугольника, площадь которого равна площади под кривой )(xK при , а высота равна
дисперсии )0(xx KD (рис.14). Эффективная ширина спектра э равна осно-
ванию прямоугольника с площадью, равной площади под кривой )(xS при
и высотой, равной максимальному значению спектральной плот-ности )(max
xS .
Рис.14
Величины э и э связаны между собой неравенством 2 ээ
(«соотношение неопределенности»). Смысл его можно выразить в виде сле-дующего правила: чем уже ширина спектра стационарного процесса, тем боль-ше интервал корреляции его сечений.
Пример 17. Найти спектральную плотность и эффективные характери-стики стационарной случайной функции )(tX , корреляционная функция кото-
рой задана выражением 0,)(
eDK xx .
Р е ш е н и е. Для нахождения спектральной плотности )(xS здесь удоб-
но воспользоваться формулой (3.21):
deD
deKSixi
xx )(1
)( (3.24)
37
Так как при 0 и при 0 , разбиваем интеграл (3.24) на
сумму двух интегралов:
.211
)(
22
0
)(0)(
0
)(0
)(
xx
iixixix
x
D
ii
D
i
e
i
eDde
Dde
DS
На рис.15 и 16 приведены графики функций )(xK и )(xS для различных
значений параметра , который служит характеристикой скорости убывания корреляционной функции. С увеличением )(xK убывает быстрее, вместе с
тем начальное значение спектральной плотности, равное
xx
DS
2)0( , умень-
шается. Однако, поскольку площадь под кривой )(xS всегда равна дисперсии
xD , то график функции )(xS с ростом становится более пологим, но одно-
временно и более протяженным.
Рис.15
Рис.16
Эффективная ширина спектра э будет зависеть от прямо пропор-
ционально, в то время как средний интервал корреляции э связан с обрат-
но пропорциональной зависимостью:
.22
2
;2
2
)(max
2
0
0
e
D
deD
D
D
S
D
x
x
эx
x
x
xэ
38
Пример 18. Нормированная корреляционная функция )(xr случайной
функции )(tX задана выражением (рис.17):
0
0
0
,0
0,1)(
xr
Определить нормированную спектральную плотность случайной функции )(tX .
Р е ш е н и е. Согласно формулам (3.20),
.
4
2sin
)cos1(2cossin
sin12
)( 0
00
02
02
0
02
02
000
00
0
xs
График нормированной спектральной плотности )(xs представлен на
рис.18.
Рис. 17. Рис.18
Пример 19. Найти спектральную плотность производной )(tX стацио-
нарного случайного процесса )(tX с корреляционной функцией )(xK и спек-
тральной плотностью )(xS .
Р е ш е н и е. Как показано в п.3.2, корреляционная функция производ-ной стационарного случайного процесса )(tX также является стационарным
случайным процессом и определяется по формуле (3.6):
.)(
),(2
2
21
xX
KttK
Найдем спектральную плотность процесса )(tX в соответствии с форму-
лами (3.18), (3.19) и (3.6):
39
d
KdKS x
XX cos))(
(2
cos)(2
)(0
2
2
0
0
2
2
00 0
2
2 cos)(cos
2cos)(cos
2
ddSddS xx
0
22
0 0
2 ).(cos)(2
cos)(cos2
xxx SdKddS
Таким образом, )()( 2 xX SS .
3.5. Понятие эргодического случайного процесса
В некоторых случаях при анализе стационарных случайных процессов, вероятностные характеристики которых остаются неизменными во времени, оказывается возможным заменить исследование совокупности реализаций изу-чением единственной, но достаточно протяженной реализации процесса, что особенно важно для практики. Такие процессы называются эргодическими. Если случайный процесс )(tX - эргодический, то любая его реализация
представляет свойства всей совокупности и поэтому результат усреднения по достаточно большому промежутку времени, выполненному над одной реализа-цией, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, совпадает с результатом усреднения по всей совокупности реализаций для любого момента времени. Средним по конечному промежутку времени T от реализации )(tx слу-
чайного процесса )(tX называется число (вообще говоря, случайное), опреде-
ляемое соотношением:
T
T dttxT
tx0
0 )(1
)( . (3.25)
Для математического ожидания эргодического случайного процесса )(tX , строго говоря, должно выполняться следующее соотношение:
T
Tx dttx
Tdxxfxm
0
,)(1
lim)(
где предел понимается в обычном смысле, а реализация может быть любой. Это весьма жесткое условие на практике заменяют условием сходимости среднего по времени от любой реализации )(tx к математическому ожиданию
xm в среднем квадратическом:
x
T
T
T
Tmdttx
Tmiltxmil 0
0 )(1
..)(... (3.26)
На основании общей эргодической теоремы, доказанной в [1], для ста-ционарного случайного процесса )(tX условие (3.26) выполняется, если его
корреляционная функция удовлетворяет условию:
t
xT
dKTT 0
0)()1(1
lim
, (3.27)
40
которое принимается в качестве необходимого и достаточного условия эрго-дичности процесса )(tX относительно математического ожидания.
При этом достаточным условием эргодичности стационарного случайно-го процесса )(tX относительно математического ожидания является неограни-
ченное убывание его корреляционной функции при :
0)(
xK (3.28)
Так как дисперсия стационарного случайного процесса )(tX определяет-
ся как математическое ожидание от квадрата центрированного случайного про-
цесса )(tX
:
)()]([])([)( 22 tUMtXMmtXMtXD x
, где 2)]([)( tXtU
а его корреляционная функция является математическим ожиданием произве-
дения значений )(tX
для моментов времени t и t :
)]([)]()([)( tVMtXtXMK x
,
где
)()()( tXtXtV
,
то необходимыми и достаточными условиями эргодичности )(tX по дисперсии
и корреляционной функции являются условия (3.27), где вместо )(xK следует
поставить )(uK (или )(vK ), если, конечно, процессы )(tU и )(tV окажутся
стационарными.
На практике здесь, как и ранее, прибегают к более простому достаточному условию эргодичности (3.28):
0)(lim,0)(lim
vu KK
Следует отметить, что стационарность случайного процесса является не-обходимым, но не достаточным условием его эргодичности. Отметим также, что случайный процесс может оказаться эргодическим по математическому ожиданию, но неэргодическим по дисперсии или корреляционной функции.
Математическое ожидание эргодического случайного процесса оценива-ется по формуле (3.27), оценка дисперсии эргодического случайного процесса выполняется по формуле:
T
Tx dttxtx
TtxtxD
0
20
2 ))()((1
))()((
Корреляционная функция эргодического случайного процесса определя-ется формулой:
41
Tx txtxtxtxK 0))()()()()(()(
.])()()()()([1
0
T
dttxtxtxtxT
Пример 20. Дана случайная функция tVtUtX sincos)( , где U и
V - некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями,
равными нулю, и с одинаковыми дисперсиями, равными :D
,0 vu mm .][][ DVDUD Является ли эта функция эргодической относи-
тельно математического ожидания?
Р е ш е н и е. В соответствии с формулами (2.10), (2.13)-(2.15) для харак-теристик суммы двух элементарных некоррелированных случайных функций, которой является функция )(tX , получаем:
;0sincos tmtmm vux
;cos)(cossinsincoscos),( 12212121 DttDttDttDttK x
.)0( DKD xx
Таким образом, функция )(tX удовлетворяет условиям стационарности.
Проверим выполнение условия ее эргодичности по математическому ожиданию (3.30):
02sin2
)cos1(cos)1()()1(1
22
2
022
0
T
T
x
T
T
TD
TT
Dd
TT
DdK
TT
Так как условие (3.30) выполнено, функция )(tX является эргодической
относительно математического ожидания.
Пример 21. Установить, является ли эргодическим по математическому ожиданию процесс VtXtY )()( в примере 14, где процесс )(tX является эр-
годическим.
Р е ш е н и е. Как было показано в примере 14, процесс )(tY является ста-
ционарным и его корреляционная функция равна vxy DKK )()( .
dTT
DdK
TTdDK
TTdK
TT
Tv
T T
xvx
t
x )1()()1(1
))()(1(1
)()1(1
00 00
В силу эргодичности )(tX , для первого слагаемого
t
xT
dKTT 0
0)()1(1
lim
.
022
lim2
lim)1(lim2
0
2
0
vv
T
T
v
T
Tv
T
D
T
TT
T
D
TT
Dd
TT
D
.
Так как необходимое и достаточное условие эргодичности (3.30) не вы-полняется, процесс )(tY эргодическим не является.
42
ГЛАВА 4. ПРИМЕРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАДИОТЕХНИКЕ
В радиотехнике из непрерывных (аналоговых) сигналов, используемых для передачи информации, наиболее широко представлены периодические функции времени для тока или напряжения.
Простейшим периодическим детерминированным сигналом является гармоническое колебание
)cos()( 00 tAtS , (4.1)
где амплитуда A , частота T
20 , 0 -начальная фаза колебания - являются
постоянными неслучайными величинами.
Реальные радиотехнические сигналы являются, как правило, случайными функциями времени, прежде всего, потому что детерминированные, заранее «известные» сигналы информации не несут, а передаваемая ими информация вкладывается в них путем амплитудной, фазовой, частотной модуляции или их комбинации, чаще всего носящей случайный характер. Кроме того, случай-ность радиотехнических сигналов обусловлена наличием случайных помех (шумов) в электрических цепях, приводящих к искажению полезных сигналов. 4.1. Гармонический сигнал со случайной амплитудой
Простейший случайный гармонический сигнал, у которого амплитуда яв-ляется случайной величиной, а частота и фаза остаются неслучайными, отно-сится к классу элементарных (квазидетерминированных) случайных функций времени вида (2.9):
)(cos)()( 00 tVtVtY , (4.2)
где амплитуда V - случайная величина с произвольным законом распределения, )(cos)( 00 tt - неслучайная функция времени. На рис.19 приведена сово-
купность нескольких реализаций такого случайного процесса при 00 . Она
представляет собой пучок косинусоид tvty ii 0cos)( с различными значения-
ми амплитуды iv и узловыми «точками зануления» Nkktk ,2
.
Вероятностные характеристики случайной функции )(tY выражаются
через характеристики случайной величины V (см. пример 3): );();(cos 2100 ttKtmm yvy
tDtDttD vyv 02
020010 cos)();(cos)(cos .
43
Рис.19
Таким образом, случайный процесс (4.2) не является стационарным. 4.2. Гармонический сигнал со случайными амплитудой и фазой
Рассмотрим случайный процесс
),(cos)( 0 tVtY (4.3)
где V и - независимые случайные величины, V имеет характеристики vm и
vD , а случайная фаза распределена равномерно в интервале 2;0 . Семейст-
во реализаций этого процесса представлено на рис.20.
Рис. 20.
Каждая реализация )(tyi представляет собой гармоническое колебание с
амплитудой iv , фазой i и частотой 0 .
Представим случайную функцию (4.3) в виде:
tVtVtY 00 sinsincoscos)( (4.4)
44
Найдем вероятностные характеристики для неслучайных функций cosU и sinW от случайной величины , распределенной равномерно в
интервале 2;0 .
Из теории вероятностей известно, что одномерная плотность случайной величины X , распределенной равномерно на интервале ];[ ba , равна
abxf
1)( , а числовые характеристики функции )(X от случайной величи-
ны X с плотностью распределения )(xf определяются формулами:
b
a
b
a
dxxfmxxDDdxxfxtMm )(])([)]([;)()()]([ 2 . (4.5)
В соответствии с формулами (4.5) для характеристик функций cosU и
sinW получаем: ;2
1)(
xf
;0sin2
1cos
2
1][cos][
2
0
2
0
dMUMmu
;0cos2
1sin
2
1][sin][
2
0
2
0
dMWMmw
.2
12sin
4
1
2
1
2
1
2
2cos1
2
1cos
2
1][
2
0
2
0
22
0
ddUD
.2
12sin
4
1
2
1
2
1
2
2cos1
2
1sin
2
1][
2
0
2
0
22
0
ddWD
Получим вероятностные характеристики для случайного процесса )(tY
tVtVMtYM 00 sinsincoscos)(
,0sincossinsincoscos 0000 vuv mtmtmVMtVMt
так как, в силу независимости V и ,
0][sin]sin[,0][cos]cos[ MmVMMmVM vv ;
)]()([),( 2121 tYtYMttK y
20201010 sinsincoscossinsincoscos tVtVtVtVM
212122 cossin]cos[sincoscos][cos][ ttMttMVM
212
1 sinsin][sinsincos]sin[cos ttMtM ;
45
;2
1][][][sin;
2
1][][][cos 222222 vu mVDVMMmUDUMM
;02cos8
12sin
4
1cossin
2
1]cos[sin]sin[cos
2
0
2
0
2
0
ddMM
2222 ][][ vvv mmVDVM ;
0
22
12022
21 cos2
)(cos)(2
1),( vv
vvy
mttmttK
; (4.6)
yvv
y Dm
ttKtD
2
),()(22
. (4.7)
Для случая 0vm формулы (4.6) и (4.7) принимают вид:
2
;cos2
)( 0v
yv
y
DD
DK
Таким образом, гармонический сигнал со случайными независимыми амплитудой и фазой (4.3) является стационарным, так как его математиче-ское ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, а корреляци-онная функция зависит только от разности аргументов 12 tt . Отметим, что
корреляционная функция при этом пропорциональна дисперсии амплитуды, но не зависит от закона ее распределения.
Выражение (4.4) можно представить в виде: tVtVtY 0201 sincos)( , (4.8)
где sin,cos 21 VVVV - некоррелированные случайные величины с рав-
ными нулю математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями, рав-
ными 2
22vv m
. Действительно, в силу независимости V и , и с учетом пре-
дыдущих вычислений,
0][sin][]sin[][,0][cos][]cos[][ 21 MVMVMVMMVMVMVM ;
2
][cos][cos][)cos()cos(][22
2222221
vvv
mMmMVMVMVMVD
;
2
][sin][sin][)sin()sin(][22
2222222
vvv
mMmMVMVMVMVD
;
0]cos[sin][]sincos[][][][ 2212121
MVMVVMVMVMVVMK VV .
46
Выражение (4.8) является и каноническим, и спектральным разложением процесса (4.3). Из него следует, что процесс (4.3) обладает дискретным спек-тром с единственной спектральной линией на частоте 0 и соответствующим
значением дисперсии 2
22vv
y
mD
(рис.21):
Рис.21 Рис.22 Рис.23
Для случайного процесса )(tY с корреляционной функцией вида (4.6)
можно ввести спектральную плотность )(yS , если воспользоваться так назы-
ваемой «дельта-функцией», определяемой следующими соотношениями:
.,0
;,)(
0
00
xx
xxxx
;1)( 0 dxxx
)()()( 00 xfdxxxxf (4.9)
для любой ограниченной и непрерывной в точке 0xx функции ).(xf
В этом случае можно записать для спектральной плотности )(yS :
.0),()( 0 yy DS
Корреляционная функция процесса с такой спектральной плотностью, действительно, в соответствии с формулами (3.18) и (4.9), имеет вид (4.6):
0 0
00 coscos)(cos)()( yyyy DdDdSK .
Спектр случайного процесса )(tY и в этом случае представляет собой од-
ну спектральную линию, но с бесконечной дисперсией (рис.22).
При переходе к комплексной форме и распространению частоты на отри-
цательную область спектральная плотность )(yS приобретает
вид:
)]()([2
)( 00 yy
DS (4.10)
47
Этот спектр представляет собой две дискретные линии для частот 0
и 0 с бесконечной дисперсией для каждой из них (рис.23).
Можно показать, что случайному процессу со спектральной плотностью вида (4.10) также соответствует корреляционная функция (4.6). Действительно, в соответствии с формулами (3.21),
deSdeSK tiy
tiyy )()(
2
1)(
deD
deD
tiytiy
)(22
00 .
По свойству (4.9) для функции
titititi edeede 00 )(;)( 00
.
Таким образом, для корреляционной функции снова получаем выражение (4.6):
tDeeD
K ytitiy
y 0cos)(2
)( 00 .
Как показано в Примере 20, случайный процесс вида (4.8) (а значит, и (4.3)) является не только стационарным, но и эргодическим относительно сво-его математического ожидания.
Можно показать, что для математического ожидания процесса (4.3) вы-полняется также условие строгой эргодичности (3.26). Действительно, времен-ное среднее по конечному промежутку времени от любой его i - ой реализации
)cos()( 0 iii tvty равно:
iii
i
T
i
T
iT
i TT
vdttv
Tdtty
Tty
sin)sin()cos(
1)(
1)( 0
00
000
Отсюда 0)(lim 0
Ti
Tty , что совпадает с действительным значением матема-
тического ожидания 0)]([ tYM , полученным выше.
Следует отметить, что ни по дисперсии, ни по корреляционной функции процесс (4.3) эргодическим не является.
48
4.3. Гармонический сигнал со случайной амплитудой и случайной частотой.
Рассмотрим случайное гармоническое колебание
)cos()( 0 tVtY , (4.11)
где случайная амплитуда V имеет характеристики ,0][ vmVM vDVD ][ ,
частота - случайная величина с плотностью 0),( f , V и независимы;
0 - неслучайная величина.
Представим )(tY следующим образом:
tVtVtVtVtY sincossinsincoscos)( 2100 ,
где 01 cosVV и 02 sinVV - зависимые случайные величины.
С учетом независимости V и получаем для математического ожидания )(tY :
0][sin][][cos][)]([ 21 tMVMtMVMtYM , (4.12)
поскольку 0sin][,0cos][ 0201 vv mVMmVM .
Корреляционная функция процесса )(tY с учетом (4.12) будет равна:
)]()([)]()([),( 212121 tYtYMtYtYMttK y
)]sincos}(sincos[( 22211211 tVtVtVtVM
]cossin[]coscos[ 2112212
1 ttVVMttVM
]sinsin[]sincos[ 212
22121 ttVMttVVM
Так как
][2sin2
1][sincos]sincos[][ 120
2000021 VVMDVMVVMVVM v ,
а ,sinsin][][,coscos][][ 02
0222
202
0222
1 vv DVMVMDVMVM
]cos[coscos),( 2102
21 ttMDttK vy
]sin[sinsin]sincoscos[sin2sin2
12 210
221210 ttMDttttMD vv
]}sin[sinsin)]([sin2sin]cos[cos{cos 2102
2102102 ttMttMttMDv
(4.13) Для дисперсии )(tY получаем
]}[sinsin]2[sin2sin][cos{cos),()( 20
20
20
2 tMtMtMDttKtD vyy
(4.14) Таким образом, гармонический процесс со случайными амплитудой и частотой не является стационарным, а его вероятностные характеристики зависят не только от дисперсии амплитуды, но и от закона распределения час-тоты.
49
4.4. Нормальный случайный процесс
Случайный процесс )(tX называется нормальным (или гауссовым), если
плотность распределения любого n -го порядка ),...,,;,...,,( 2121 nn tttxxxf для
любых n сечений )(),...,(),( 21 ntXtXtX случайного процесса )(tX подчиняется
n -мерному нормальному закону распределения. Однако, поскольку нормаль-ный закон любого порядка полностью выражается через математические ожи-дания величин )(),...,(),( 21 ntXtXtX и их корреляционные моменты для любых
двух сечений )(),( ji tXtX в произвольные моменты времени ji tt , , для нор-
мальности случайного процесса достаточно, чтобы нормальными были одномерный и двумерный законы распределения для любых пар его сечений.
Одномерная плотность распределения нормального случайного процесса )(tX имеет вид:
)(2
))((2
2
)(2
1);( t
tmx
x
x
x
et
txf
, (4.15)
где )(),( 2 ttm xx - значения математического ожидания и дисперсии для сечения
процесса )(tX в момент t .
Двумерная плотность распределения нормального случайного процесса имеет вид:
22
222
21
221112
21
211
212
)())((2)(
12
1
21221
212112
1),;,(
mxmxmxrmx
re
rttxxf (4.16)
где )(),( 222
2122
1 21tt xx - дисперсии сечений )(),( 21 tXtX процесса )(tX в
моменты времени 21,tt ; )(),( 2211 21tmmtmm xx - математические ожидания
этих сечений; ),( 2112 21ttrr xx - коэффициент корреляции этих сечений.
Если все сечения нормального случайного процесса попарно некоррели-рованы в несовпадающие моменты времени, то есть jirij ,0 , тогда
);();(2
1
2
1),;,( 2211
2
)(
2
2
)(
12121
22
222
21
211
txftxfeettxxf
mxmx
, (4.17)
откуда следует, что все сечения )(),( ji tXtX случайного процесса )(tX явля-
ются независимыми (процесс с независимыми значениями).
Если нормальный процесс )(tX является стационарным, его математиче-
ское ожидание и дисперсия являются постоянными величинами: 22 )(;)( ixix tatm
ii.
50
При этом одномерная плотность распределения также не зависит от времени:
2
2
2
)(
2
1)(
ax
exf
, (4.18)
а двумерная плотность распределения и коэффициент корреляции зависят толь-ко от разности аргументов 12 tt :
2221
2122
)()())((2)()](1[2
1
2221
)(12
1);,(
axaxaxraxre
rxxf
(4.19)
Многие реальные процессы, встречающиеся в физике и технике, могут быть отнесены к нормальным случайным процессам, что существенно облегча-ет их изучение. Так, как известно из теории вероятностей, сумма нормально распределенных случайных величин также имеет нормальное распределение, а линейное преобразование не меняет характера распределения. Поэтому любая линейная комбинация нормальных случайных процессов )(tX i
n
iiii tbtXtatY
1
)()()()( , (4.20)
где )(),( tbta ii - неслучайные функции времени, также является нормальным
cлучайным процессом. Так как операции дифференцирования и интегрирования случайных функций сводятся к суммированию ординат случайной функции с последую-щим переходом к пределу (формулы (2.17) и (2.23)), а сумма любого числа нормальных случайных величин также является нормальной величиной, то можно утверждать, что как производная, так и интеграл от нормального случайного процесса также являются нормальными случайными процесса-ми, которые могут быть полностью охарактеризованы их математическими ожиданиями и корреляционными функциями. В соответствии с (2.19), математическое ожидание и дисперсия произ-водной случайного процесса )()( tXtY определяются формулами:
)()()( tmtmtm xxy ; )(),(
)( 2
21
212
21t
tt
ttKtD xttt
xx
. (4.21)
Одномерная плотность распределения для производной нормального слу-чайного процесса равна:
)(2
))((
2
2
)(2
1);(
t
tmy
y
y
y
et
tyf
(4.22)
Для интеграла от нормального случайного процесса t
dXtZ0
)()( ма-
тематическое ожидание и дисперсия в соответствии с формулами (2.24) равны:
t
xz dmtm0
)()( ; t t
zz ddXXttKtD0 0
2121 )()(),()( ,
51
а одномерная плотность распределения имеет вид:
)(2
))((2
2
)(2
1);(
t
tmz
z
z
z
et
tzf
(4.23)
Для стационарного нормального случайного процесса зависимость от t для математического ожидания и дисперсии отсутствует:
,)(;)(;)(;)( 2222zzzzyyyy tmtmtmtm
поэтому формулы (4.22) и (4.23) принимают вид:
2
2
2
)(
2
1)( y
ymy
y
eyf
; 2
2
2
)(
2
1)( z
zmz
z
ezf
для любого момента времени t .
Пример 22. Для нормальной стационарной функции )(tX найти вероят-
ность того, что ее значения не превышают величины ,50 x если ее математи-
ческое ожидание и дисперсия равны: 20;10 2 xxm .
Р е ш е н и е. Так как случайная функция )(tX стационарна и имеет нор-
мальное распределение, ее одномерная плотность распределения для любого момента времени имеет вид:
2
2
2
)(
2
1)( x
xymx
x
exf
,
а искомая вероятность будет равна
,134,05,0366,05,0)11,1(20
105)()5( 000
5
dxxfXP
где
x t
dtex0
20
2
2
1)(
- функция Лапласа.
Пример 23. Случайный процесс )(tY имеет вид: )()()( tbttXtY , где
)(tX - нормальный случайный процесс с характеристиками ),(),( 2 ttm xx
),,( 21 ttK x а )(tb - неслучайная функция времени. Найти одномерную плотность
распределения процесса )(tY и его характеристики.
Р е ш е н и е. )()()]()([)( tbttmtbttXMtm xy ;
)]()([),( 2121 tYtYMttK y
)()()()()()()()( 222222111111 tbttmtbttXtbttmtbttXM xx
52
)()()()( 222111 tmtXttmtXtM xx ).,()]()([ 21212121 ttKtttXtXMtt x
);(),(),()( 22 tDtttKtttKtD xxyy
)(2
)]()([
)(2
))((
22
2
2
2
)(2
1
)(2
1);( tt
tbttmy
x
t
tmy
y
x
x
y
y
ett
et
tyf
.
В частном случае, если VtX )( - случайная величина, распределенная по
нормальному закону с параметрами 2, vvm , а btb )( - неслучайная величина, то
;)()(;),(,)( 22222121 xyyvyvy tttDttttKbtmtm
22
2
2
)]([
2
1);( v
x
t
btmy
v
et
tyf
.
Пример 24. Найти характеристики yyy DKm ),(, и одномерную плот-
ность распределения производной )()( tXtY стационарного нормального слу-
чайного процесса )(tX , если его корреляционная функция задана выражением:
cos)(222 eK xx ,
где 0, - неслучайные числа.
Р е ш е н и е. ,0 xy mm так как математическое ожидание стационар-
ного случайного процесса не зависит от времени;
cos
)()(
222
2
2
eK
K xx
y
sincos2
2222 222 ee xx
)cossin2(sincos)21(2 22222 22
ex
);44(cos 24222 22
ex
.4);4()0( 22222 xyxyy KD
Одномерная плотность распределения для процесса )()( tXtY равна:
222
2
2
2
)4(2
22
2
)4(2
1
2
1)( xy
y
x
y
y
eeyf
.
53
4.5. « Белый шум»
Белым шумом называется стационарный случайный процесс )(t , спек-
тральная плотность которого )(S является постоянной величиной для всех
частот в диапазоне :
constSS 0)( (4.24)
Такой спектр называется равномерным, а 0S называется интенсивно-
стью белого шума. (Слово «белый» заимствовано из понятия «белый свет» в оптике, для которого интенсивность всех спектральных компонент считается одинаковой). Дисперсия такого процесса должна быть бесконечной, поэтому белый шум является идеализацией, никогда не реализуемой в действительно-сти. Однако использование белого шума в качестве модели шумовой компонен-ты на входе радиотехнических устройств бывает весьма полезным в тех случа-ях, когда в рассматриваемом диапазоне частот спектральную плотность можно
считать постоянной. Корреляционная функция идеального белого шума должна быть пропорциональна - функции от и отлична от нуля только при 0 (рис.24).
0,0
0,)()(
CK (4.25)
Рис. 24.
Действительно, только в этом случае, в соответствии со свойствами - функции и формулой (3.21),
00)(1
)( SC
eC
deCS ii
.
Отсюда следует, что 0SC , а )()( 0 SK .
Коэффициент корреляции для белого шума равен:
0,0
,0,1)(
r (4.26)
Процессы с корреляционной функцией вида (4.25) называют дельта-коррелированными. Они характеризуются тем, что их значения в любые мо-менты времени, даже сколь угодно близкие, некоррелированы, что также явля-ется идеализацией, так как достаточно близкие значения случайных функций
54
практически всегда зависимы. Однако, вследствие ограниченности полос про-пускания реальных радиотехнических устройств, использование белого шума в качестве модели процессов на входе не вносит сколько-нибудь существенных погрешностей, значительно упрощая математический анализ на выходе этих устройств.
Рассмотрим стационарный случайный процесс )(tX со спектром, равно-
мерным в ограниченном интервале частот 21 (полосовой белый шум).
Спектральная плотность такого процесса постоянна внутри заданного интерва-ла и равна нулю вне его (рис.25):
).,(,0
),,(,)(
21
210
SSx
Корреляционная функция процесса )(tX в соот-
ветствии с формулой (3.18) будет равна:
)sin(sincos)( 120
0
2
1
SdSK x
2cos
2sin
2 12120
S. (4.27)
Рис. 25.
Дисперсия процесса )(tX равна:
)(2sin
2lim)0( 120
12
00
SSKD xx (4.28)
Тот же результат может быть получен в соответствии со свойством 2 для спектральной плотности:
)()( 1200
0
2
1
SdSdSD xx .
При 21 ,0 получаем из (4.27) и (4.28):
.;sin)( 00
SDS
K xx (4.29).
График корреляционной функции (4.29) представлен на рис.26. Он на-глядно демонстрирует, что, чем шире спектр стационарной случайной функции, тем быстрее затухает ее корреляционная функция с ростом .
55
Рис. 26
Известно, что возникающие в каналах связи многочисленные внутренние помехи (шумы), обусловленные тепловым движением электронов в проводни-ках, дробовым эффектом в электронных приборах и т.д. могут быть отнесены к классу нормальных стационарных случайных процессов. Поэтому в технике под белым шумом часто подразумевают гауссов шум со спектром, равномер-ным в заданной (ограниченной) полосе частот с использованием математиче-ского аппарата, разработанного для анализа нормальных случайных процессов.
56
ГЛАВА 5. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ.
1 [3]. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию суммы двух некоррелированных случайных функций )(tX и )(tY с характеристиками:
.),(;)(;),(;)( )( ttyyxx ettttKttmttttKttm
2 [3]. Случайная функция )(tX имеет характеристики:
2)(1
1),(;0)(
ttttKtm xx
Найти характеристики случайной функции t
dXtY0
)()( . Определить,
стационарны ли случайные функции )(tX и )(tY .
3 [3]. Случайная функция )(tX представляет собой случайную величину
UtXU )(: с заданными числовыми характеристиками ., uu Dm Определить,
является ли случайная функция )(tX стационарной. Если она стационарна,
найти ее спектральную плотность. (Указание. Рассмотреть случайную величину U как частный случай процесса (4.8) при 00 ).
4 [7]. Дифференцируем ли стационарный случайный процесс с корреляци-
онной функцией
eK xx2)( ?
5 [7]. Найти спектральную плотность, эффективную ширину спектра и сред-ний интервал корреляции стационарного случайного процесса )(tX с корреля-
ционной функцией 0,)(22
eDK xx .
6 [7]. Найти спектральную плотность и эффективную ширину спектра ста-ционарного случайного процесса )(tX с корреляционной функцией )(xK
cos)(
eDK xx .
7 [7]. Найти спектральную плотность и интервал корреляции стационарного
случайного процесса )(tX с корреляционной функцией 0),1(
eDx .
8 [7]. Стационарный случайный процесс )(tX имеет спектральную плот-
ность 0,0,)(
)(222
b
bSx . Найти дисперсию процесса
dt
tdXtY
)()( . У к а з а н и е . Воспользоваться результатами примера 19.
9 [7]. Является ли полосовой белый шум эргодическим случайным процес-сом относительно математического ожидания? Дифференцируем ли он?
57
10 [5]. Найти дисперсию случайного процесса dt
tdXtY
)()( при сt 20 , ес-
ли ./15,0,/10),1()( 2222 ccсмeK xxx
11 [6]. Определить вероятность того, что производная dt
tdXtY
)()( от нор-
мальной стационарной функции )(tX будет иметь значение, большее, чем
см /5 , если )sin(cos)(
eaK x , где ,4 2мa сс
12,
11 .
У к а з а н и е. Воспользоваться формулами (4.21). 12 [7]. Случайный процесс )(tX задан следующим каноническим разложени-
ем:
n
kkkkkx tVtUmtX
1
sincos)( ,
где kU и kV - центрированные попарно некоррелированные случайные величи-
ны с дисперсиями kkkk nkDVDUD ;,...,1,][][ неслучайные числа. По-
казать, что данный процесс является стационарным и найти его корреляцион-ную функцию и дисперсию. 13 [7]. Случайное гармоническое колебание задано в виде
tBtAtX sincos)( , где - неслучайная частота, а случайные амплитуды
A и B независимы и имеют нормальные распределения с параметрами
,0 BA mm 2][][ BDAD . Найти одномерную плотность распределения
процесса )(tX .
14 [7]. Найти одномерную плотность распределения, математическое ожида-ние и дисперсию случайного гармонического колебания )cos()( tatX с
постоянными амплитудой a и частотой и случайной фазой , распределен-ной равномерно на отрезке , .
15 [7]. Корреляционная функция случайного процесса )(tX имеет вид:
0,0),(cos),( 12)(
21
212 tteDttK tt
XX . Определить дисперсию
производной процесса )(tX .
16 [7]. Известны характеристики случайного процесса )(tX : 2
12 )(21
2 2),(,123)( ttxx ettKtttm . Найти математическое ожидание и
дисперсию процесса 2)()( t
dt
tdXttY .
17 [7]. Случайная функция )(tX задана каноническим разложением
.2][,1][,sincos)( 2121 VDVDtVtVttX Вычислить математические
ожидания, дисперсии и корреляционные функции следующих случайных
функций: )(tX , dt
tdXtY
)()( ,
t
dXtZ0
)()( .
58
18 [7]. На вход интегратора t
dssxtY0
)()( , где )(sx - произвольная реализа-
ция случайного процесса на входе, поступает случайный процесс )(tX с кор-
реляционной функцией 2121 coscos4),( ttttK x и математическим ожида-
нием ttmx 2sin1)( . Найти математическое ожидание и дисперсию слу-
чайного процесса )(tY на выходе интегратора.
19[7]. Корреляционная функция случайного процесса )(tX задана в виде 2221
2121 2),( ttttttK x . Найти корреляционную функцию процесса
t
dXtY0
)()( .
20 [7]. Задана корреляционная функция ),( 21 ttK X случайного процесса
)(tX . Показать, что взаимная корреляционная функция процессов )(tX и
dt
tdXtY
)()( может быть представлена в виде ),(),( 21
221 ttK
tttK XXY
а
взаимная корреляционная функция случайных процессов )(tX и
t
dXtZ0
)()( может быть представлена в виде 2
0121 ),(),(
t
XXZ dtKttK .
ОТВЕТЫ
1. ].1[),(;0)();()()( )( ttzz ettttKtmtYtXtZ
2. ).1(ln2)(;0)( 2ttarctgttDtm yy Случайная функция )(tX стационар-
на, случайная функция )(tY нестационарна. 3. )(tX стационарна,
).()( 0 uy DS
4. Не дифференцируем. 5. .;2;)(2
2
4
eD
S xx
6. .2,)(
1
)(
1)(
2222
x
x
DS
7. .4
,)(
4)(
222
3
x
x
DS 8. .
4
bDy
9. Да, является. Дифференцируем. 10. 1366 2см .
11. 3085,0)5(,/20,0 222 YPсмm yy .
59
12.
n
kkkx DK
1
cos)( . 13. 2
2
2
)(
2
1);(
tx
etxf
, где
tbtatx sincos)( - реализация случайного процесса.
14. ;,11
,,0
);(
22
ax
xa
ax
txf
.2
;0)(2a
Dtm xx
15. .)2()( 2
xDdt
tdXD
16. .8)(,27)( 22 ttDtttm yy 17. ,)( ttmx .
,2coscos2coscos2sinsin),(
,2
)(;cos1)(,coscos2sinsin),(
,1)(;sin1)(,sinsin2coscos),(
21212121
22
212121
2212121
ttttttttK
ttmttDttttttK
tmttDttttttK
z
zyy
yxx
).cos1(2)cos1()( 2 tttDz
18. .sin4
)(,2sin4
1
2
3)( 2
2ttDtttm yy
19. 321
22
212
3121
3
2
4
1
3
1),( ttttttttK y .
ЛИТЕРАТУРА
1. Пугачев В.С. Теория случайных функций.- М.: Физматгиз, 1960. 2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей.- М.: Наука, 1964-69,1998. 3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей.- М.: Наука, 1973. 4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные
приложения.- М.:Высшая школа, 2000. 5. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций.- М.: Нау-
ка, 1968. 6. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных функций. Под общей ред. А.А.Свешникова. М.:Наука,1970. 7. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Под общей
ред. А.В.Ефимова.-М.:Наука,1984. 8. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - М.:
Сов.радио, 1969. 9. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы.- М.: Высшая школа, 2003.
60
Наталья Анатольевна Логинова
НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕПРЕРЫВНОМ ВРЕМЕНИ
учебное пособие Редактор: Б.П.Зеленцов
