ГЕНЕРАТОРЫ РАВНОВЕРОЯТНОСТНЫХ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НА РЕГИСТРАХ СДВИГА

№ 1 (21), 2012 Технические науки. Информатика, вычислительная техника

21

УДК 681.513.3 В. М. Кузнецов, В. А. Песошин

ГЕНЕРАТОРЫ РАВНОВЕРОЯТНОСТНЫХ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

НА РЕГИСТРАХ СДВИГА Аннотация. Проведен анализ генераторов псевдослучайных последовательно-стей на регистрах сдвига с линейной обратной связью. Исследованы статисти-ческие свойства периодических неоднородных линейных рекуррентных по-следовательностей.

Ключевые слова: генератор псевдослучайных последовательностей, регистр сдвига, (M – 1)-последовательность, (M – 3)-последовательность, статистиче-ские свойства. Abstract. Pseudorandom number generators based on linear feedback shift registers were analyzed. Statistical properties of periodical heterogeneous linear recurrent se-quences were researched.

Key words: Pseudorandom generators number, shift register, (M – 1)-sequence, (M – 3)-sequence, statistical properties.

Введение

В технических приложениях широко распространены генераторы псев-дослучайных последовательностей (ГПСП) на регистрах сдвига с линейной обратной связью (с сумматорами по модулю два в цепи обратной связи) [1]. В иностранной литературе такие ГПСП называют «генераторами Фибоначчи» [2] (рис. 1).

Рис. 1. Функциональное представление ГПСП схемой генератора Фибоначчи

Функционирование генератора происходит в дискретном времени i и

определяется сигналами возбуждения триггеров, которые зависят от их со-стояний, коэффициентов С и константы 0a . Выходной сигнал выражается

двоичной последовательностью ( )a i m-го порядка.

1. Общие свойства псевдослучайных последовательностей

Генераторы формируют периодические линейные рекуррентные после-довательности (ЛРП), удовлетворяющие уравнению

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

22

( ) ( ) 01

m

jj

a i C a i j a=

= − ⊕ ,

где jC – коэффициенты линейной формы; 1, ...,j m= – дискретный сдвиг во

времени; 0 0,1a = – константы; 0 1C = , 1mC = ; ⊕ – суммирование проводит-ся по модулю два.

При константе 0 0a = ЛРП называется однородной, при 0 1a = – неод-нородной [3].

ГПСП могут формировать М-последовательность. Длина ее периода

как ЛРП m-го порядка равна 2 1mmM = − . Необходимым и достаточным

условием для формирования этой последовательности является неприводи-мость и примитивность характеристического многочлена ( )xψ вида

1

1

( ) 1m

m j mj

j

x C x x−

−

=ψ = ⊕ ⊕ , (1)

где x – формальная переменная поля Галуа. Рабочий режим формирования М-последовательности ( )a i допускает

любое ненулевое начальное состояние регистра. В этом случае вероятности появления символа 1 и символа 0 определяются следующим образом:

}{12

( ) 12 1

m

M ma i

−= =

−P

и

}{12 1

( ) 02 1

m

M ma i

− −= =−

P .

При 0 1a = запрещенным состоянием регистра является 111 1 . Если многочлен (1) неприводим и примитивен, то генератор формирует неодно-родную ЛРП, которая является инверсной М-последовательностью того же порядка. Обозначим ее как M -последовательность. При этом

{ } }{( ) 1 ( ) 0MMa i a i= = =P P и { } }{( ) 0 ( ) 1MM

a i a i= = =P P .

Нормированная периодическая автокорреляционная функция (ПАКФ) зависит от временного аргумента nτ следующим образом [4]:

( ) ( )1 при =0 (mod ),

1 при 0 (mod ).

1

m

M Mm

m

n M

n nn M

M

τ

τ ττ

= = − ≠ −

R R (2)

Она имеет одно реперное значение 1, когда 0 (mod )mn Mτ = .

Периодическую структуру М- и M -последовательностей m-го порядка

символически записывают в виде ( ) ( ){ }1 1 , 1 2 1m − .


23

2. Статистические свойства некоторых двоичных линейных рекуррентных последовательностей

Анализ ГПСП с использованием производящей функции дал возмож-ность связать циклические свойства неоднородных ЛРП m-го порядка (при

0 1a = ) с соответствующими свойствами однородных ЛРП ( )1m + -го порядка

(при 0 0a∗ = ) следующим образом: множество циклов ЛРП ( )1m + -го порядка

при 0 0a∗ = состоит из объединения множеств циклов ЛРП m-го порядка при

0 0a = и при 0 1a = . Индексом «*» обозначены константы, характерные для

ЛРП ( )1m + -го порядка. Фрагмент вхождения циклов представлен на рис. 2

для 1, 5m = .

Рис. 2. Диаграмма вхождения циклов ЛРП младших порядков в старшие Рассмотрим некоторые характерные двоичные ЛРП и их статистиче-

ские свойства.

2.1. (М – 1)-последовательность

Пусть 0 1a = , многочлен ( )xψ степени 3m ≥ приводим в следующем виде:

( ) (1 ) ( )x x x′ψ = ⊕ ψ , (3)

где многочлен ( )x′ψ степени 1m m′ = − неприводим и примитивен; двучлену

(1 )x⊕ при 0 1a = соответствует периодическая структура {1(2)}.

.


24

Тогда периодическая структура последовательностей, порождаемых

многочленом (3), имеет вид ( ) ( ){ }1 2 , 1 2 2m − .

Так, ГПСП по схеме на рис. 3,а соответствует характеристический мно-

гочлен ( )( )2 4 5 4( ) 1 1 1х х х х x x хψ = ⊕ ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ ⊕ , причем сомножитель

4( ) 1x х х′ψ = ⊕ ⊕ неприводим и примитивен, а 5m = . В этом случае при

( )0 00000=Q формируются последовательности ( )a i

...,101101110011111010010001100000,101101110011111010010001100000,...

с периодом 2 2 30m − = и ...,10,10,... с периодом 2 (бицикл). Циклические фрагменты выделены запятыми. На диаграмме (рис. 2) это соответствует

восьмеричному набору коэффициентов 65 с множеством циклов { }2, 30 .

Граф переходов состояний регистра ( )iQ приведен на рис. 3,б.

а)

б)

Рис. 3. ГПСП, формирующая (М – 1)-последовательность (а) и граф переходов состояний (б)

2.2. Структурные свойства (М – 1)-последовательности

ЛРП с длиной цикла 2 2 1mmM− = − назовем (M – 1)-последователь-

ностью m-го порядка [5].

Рассмотрим структурные свойства ( 1)М − -последовательности ( )a i .

1. ( 1)М − -последовательность m-го порядка является периодической,

состоящей из 1 2 2 1mM mL M− = − = − символов. Период последовательности –

четное число. В последовательности отсутствуют два m-разрядных набора, состоящих из чередующихся символов 0 и 1: это 0101 ... и 1010 ... .


25

2. Число единичных символов в периоде ( 1)М − -последовательности

совпадает с числом нулевых символов и равно 12 1m− − , поэтому вероятность появления символа 1 равна вероятности появления символа 0 и равна 0,5.

3. Если в ( 1)М − -последовательности некоторый символ ( )a i a= , то

символ ( )10,5 Ma i L a−+ = . В результате одна половина периода инверсна по

отношению к другой, что определяет ( 1)М − -последовательность как ин-версно-сегментную последовательность. Так, при 5m = период из 30 симво-лов разбивается на две инверсные половины по 15 символов:

…,111110100100011 и 000001011011100,…

4. Нормированную ПАКФ ( 1)М − -последовательности достаточно определить только на четверти цикла:

( )

( )

( )

( )

1

1 11

1

11

1

1 при =0 mod ,

2 при нечетном 0,5 mod ,

2 при четном 0 mod ,

1 при 0,5 m

M

M MM

M

MM

M

n L

n L LL

n

n LL

n L

τ −

τ − −−

− τ

τ −−

τ −

≠=

− ≠

− =

R

( )1od .ML −

(4)

Нормированная ПАКФ имеет знакопеременный характер и дополни-тельную реперную точку –1 для значений аргумента, равных половинным величинам цикла, т.е. ( )1 10,5 mod M Mn L Lτ − −= . Абсолютные значения

ПАКФ ( 1)М − -последовательности m-го порядка сравнимы с аналогичными

значениями для М-последовательности ( 1)m − -го порядка.

2.3. (М – 3)-последовательность

Рассмотрим приводимый многочлен степени 4m ≥

2( ) (1 ) ( )x х х′′ψ = ⊕ ψ , (5)

содержащий сомножитель ( )х′′ψ в виде неприводимого и примитивного мно-

гочлена степени 2m m′′ = − . Как видно из диаграммы (см. рис. 2), при 0 1a = второму сомножителю 2 2(1 ) 1х x⊕ = ⊕ (восьмеричный набор 5 ) соответствует периодическая

структура {1(4)}. Тогда периодическая структура последовательностей, по-

рождаемых многочленом (5), имеет вид ( ) ( ){ }1 4 , 1 2 4m − .

2.4. Пример реализации генератора псевдослучайной последовательности

В качестве примера рассмотрим ГПСП, схема которого изображена на рис. 4,а. Его характеристический многочлен степени 5m =

( ) ( )23 4 5 2 3( ) 1 1 1х х х х x x хψ = ⊕ ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ ⊕


26

содержит в качестве сомножителя неприводимый и примитивный многочлен 2 3( ) 1x х х′′ψ = ⊕ ⊕ .

а)

б)

Рис. 4. ГПСП, формирующая (М – 3)-последовательность (а) и граф переходов состояний (б)

В случае ( )0 00000=Q формируются последовательности ( )a i

...,1001010001111101101011100000, 1001010001111101101011100000,...

с периодом 2 4 28m − = и ...,1100,1100,... с периодом 4 (тетрацикл). На рис. 2

множество циклов { }4, 28 соответствует восьмеричному набору коэффици-

ентов 71 .

Граф переходов состояний регистра ( )iQ приведен на рис. 4,б.

ЛРП с длиной цикла 2 4 3mmM− = − назовем (M – 3)-последователь-

ностью m-го порядка [5].

2.5. Структурные свойства (M – 3)-последовательности

Рассмотрим структурные свойства ( 3)М − -последовательности.

1. ( 3)М − -последовательность m-го порядка является периодической,

состоящей из 3 2 4 3mM mL M− = − = − символов. Период ( 3)М − -последова-

тельности – число, делящееся на 4. В последовательности отсутствуют m-разрядные наборы, состоящие из чередующихся пар символов 00 и 11.

2. Число единичных символов в периоде ( 3)М − -последовательности

совпадает с числом нулевых символов и равно 12 2m− − , поэтому вероятность появления символа 1 равна вероятности появления символа 0 и равна 0,5.


27

3. Если в ( 3)М − -последовательности некоторый символ ( )a i a= , то

символ ( )10,5 Ma i L a−+ = , что определяет ее как инверсно-сегментную по-

следовательность. Например, при 5m = период из 28 символов разбивается на две инверсные половины по 14 символов: …,11111011010111 и 00000100101000,…

4. ПАКФ ( )3M n− τR ( 3)М − -последовательности определится по ана-

логии с ( 1)М − -последовательностью следующим образом:

( )3M n− τ =R

( )

( )

( )

( )

3

3 33

33

3 3

1 при =0 mod ,

4 при =2 (mod 4), кроме =0,5 mod ,

0 при нечетном ,

4 при =0 (mod 4), кроме =0 mod ,

1 при =0,5 mod .

M

M MM

MM

M M

n L

n n L LL

n

n n LL

n L L

τ −

τ τ − −−

τ

τ τ −−

τ − −

=−

−

(6)

Подобно рассмотренному выше случаю для ( 1)М − -последовательнос-

ти эта ПАКФ также имеет знакопеременный характер, два реперных значения 1 и –1. Кроме этого, возникают дополнительные нулевые реперные точки для значений nτ , равных четвертичным величинам цикла. По абсолютным значе-

ниям ПАКФ ( 3)М − -последовательности m-го порядка сравнимы

с М-последовательностью ( 2)m − -го порядка и ( 1)М − -последовательностью

( 1)m − -го порядка.

При аппаратной реализации ГПСП генерирование неоднородных ЛРП осуществляется за счет использования инверсного сигнала с выхода m-го элемента памяти. К аналогичному результату приводит использование боль-шего количества инверсных выходов элементов памяти, причем общее коли-чество задействованных инверсных выходов должно быть нечетным.

Исследование приводимых многочленов при 0 1a = , отличающихся по

отмеченным свойствам от многочленов (3) и (5), показало, что во всех случа-ях они порождают ЛРП, имеющие более двух периодов (см. диаграмму на рис. 2). Это так называемые последовательности комбинационных циклов.

Таким образом, использование приводимых многочленов вида (3) и (5) при 0 1a = позволяет получать ( 1)М − - и ( 3)М − -последовательности с рав-

новероятными символами 0 и 1 и знакопеременными ПАКФ, причем у ( 3)М − -последовательности отсутствует автокорреляция при нечетных зна-

чениях аргумента.

Список литературы

1. Иванов , М . А . Теория, применение и оценка качества генераторов псевдослу-чайных последовательностей / М. А. Иванов, И. В. Чугунков. – М. : КУДИЦ-ОБРАЗ, 2003. – 240 с.


28

2. Шнайер , Б . Прикладная криптография / Б. Шнайер. – М. : Триумф, 2002. – 816 с. 3. Лидл , Р . Конечные поля / Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. – М. : Мир, 1988. – Т. 2. –

822 с. 4. Кирьянов , Б . Ф . Основы теории стохастических вычислительных машин /

Б. Ф. Кирьянов ; Каз. авиац. ин-т.- Казань, 1975. – 186 с. – Деп. в ЦНИИТЭИ при-боростроения 21.05.76, № 524.

5. Песошин , В . А . Генераторы псевдослучайных и случайных чисел на регистрах сдвига : моногр. / В. А. Песошин, В. М. Кузнецов. – Казань : Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2007. – 296 с.

Кузнецов Валерий Михайлович кандидат технических наук, профессор, кафедра компьютерных систем, Казанский национальный исследовательский технический университет имени А. Н. Туполева

Kuznetsov Valery Mikhaylovich Candidate of engineering sciences, professor, sub-department of computer systems, Kazan national research engineering university named after A. N. Tupolev

E-mail: [email protected] Песошин Валерий Андреевич доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой компьютерных систем, Казанский национальный исследовательский технический университет имени А. Н. Туполева

Pesoshin Valery Andreevich Doctor of engineering sciences, professor, head of sub-department of computer systems, Kazan national research engineering university named after A. N. Tupolev

E-mail: [email protected]

УДК 681.513.3

Кузнецов, В. М. Генераторы равновероятностных псевдослучайных последова-

тельностей на регистрах сдвига / В. М. Кузнецов, В. А. Песошин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. – 2012. – № 1 (21). – С. 21–28.

Documents

ГЕНЕРАТОРЫ РАВНОВЕРОЯТНОСТНЫХ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НА РЕГИСТРАХ СДВИГА