_ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΤΑΞΗ: Γ’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Α΄ ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1Ο :

α) Ποια μονώνυμα λέγονται αντίθετα; Γράψτε ένα παράδειγμα δύο αντίθετων μονωνύμων.

β) Ποια αλγεβρική παράσταση λέγεται πολυώνυμο; Από τις παρακάτω αλγεβρικές

παραστάσεις να βρείτε αυτές που είναι πολυώνυμα:

1) 3 2 14 5 2x x xx

− + − 2) 4 23 5 1x x 2− −

3) 2 12 53

x y xy y− + +2 4) 3 2 2 32 3x x y x y y+ − +

γ) Τι λέγεται ταυτότητα; Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες. 1) 2) ( )2 ....................a β− = ( )3 ....................α β− =

3) ( ) ( ) ....................α β α β+ ⋅ − = 4) 3 3 ....................α β+ =

ΘΕΜΑ 2Ο :

ρω

y

xΟ

α) Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος να αποδείξετε ότι : 2 2 1ημ ω συν ω+ =

β) Να μεταφέρετε συμπληρωμένες στο γραπτό σας τις παρακάτω προτάσεις:

1. , 00 ........συν = 0180 .......ημ = 2. Για δυο παραπληρωματικές γωνίες ω και 180ο – ω ισχύουν: , 0(180 ) ............ημ ω− = 0(180 ) ............συν ω− =

3. Αν για τη γωνία ω ισχύει 0 και 0 180ω≤ ≤• 060 τότε ημω ημ= ..........................................ω = • 020 τότε συνω συν= − ........................ω =

M(x,y)

ρω

y

xΟ

M(x,y)

ω

y

x

M(

Ο

x,y)

Β΄ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η : Δίνεται η εξίσωση 2x2+x-1=0 και το κλάσμα

2

22x +x-1K=

x -1

α) Να λύσετε την εξίσωση και να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 2x2+x-1. β) Να απλοποιήσετε το κλάσμα. γ) Να κάνετε τις πράξεις:

2

2

2 1 2:1 3 3 2

x x x 3x x x

⎛ ⎞⎜ ⎟ + −

+− −⎝ ⎠

ΑΣΚΗΣΗ 2η : Θεωρούμε τις παραστάσεις:

Α= ( ) ( ) ( ) ( )2 2x-3y + 2y+3x 3x-2y - 3x-y⋅ και Β= 2x-y-x2-4y2 α) Nα αποδείξετε ότι Α+Β= 2x-y. β) Nα λύσετε το σύστημα: A+B=5

3x+y=1⎧⎨⎩

ΑΣΚΗΣΗ 3η : Στο διπλανό σχήμα η ΔΕ//BΓ. Αν ΑΔ = 2, ΑΕ = 3, ΔΒ =x-1, ΕΓ=2x-4, ΔΕ=y και ΒΓ=12, τότε: y 2x-4x-1

12

32

ΓΒ

A

∆ Ε

α) Να υπολογίσετε το x. β) Αφού αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και

ΑΒΓ είναι όμοια να γράψετε τους ίσους λόγους που προκύπτουν από την ομοιότητα των τριγώνων αυτών.

γ) Να υπολογίσετε το y.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Από τα δύο θέματα θεωρίας να απαντήσετε στο ένα και από τις τρεις ασκήσεις να λύσετε τις δύο .





ΘΕΩΡΙΑ: Επιλέγετε και απαντάτε σε ένα από τα δύο θέματα θεωρίας ΘΕΜΑ 1ο Α) Μεταφέρετε στην κόλλα σας και συμπληρώστε την παρακάτω πρόταση: (1 μονάδα)

• Η μετατροπή μιας παράστασης από άθροισμα σε …………….. λέγεται ………. Β) Μεταφέρετε στην κόλλα σας και συμπληρώστε τις παρακάτω ταυτότητες: (3,6 μονάδες)

1 . (α -β ) 2 = … … … … … … …

2 . α 3 +β 3 = … … … … … … … .

Γ) Να αποδείξετε την παρακάτω ταυτότητα : (2 μονάδες)

( α - β ) ( α + β ) = α 2 - β 2 ΘΕΜΑ 2ο Γενικά ισχύει ότι : «αν δύο τρίγωνα έχουν όλες τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες είναι ίσα». Α) Για να αποδείξουμε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, είναι απαραίτητο να αποδείξουμε ότι έχουν

όλες τις πλευρές τους και τις αντίστοιχες γωνίες ίσες μια προς μία;

Πως ονομάζονται οι προτάσεις που μας βοηθούν να διακρίνουμε αν δύο τρίγωνα είναι ίσα συγκρίνοντας λιγότερα στοιχεία; (1,1 μονάδες)

Β) Να διατυπώσετε ένα από τα κριτήρια ισότητας τριγώνων και ένα από τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. (4 μονάδες)

Γ) Συμπληρώστε την παρακάτω πρόταση:

Αν από …………… μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία …………… προς μία άλλη πλευρά του, τότε ……………………………………….. . (1,5 μονάδες)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Επιλέγετε και απαντάτε σε δύο από τις τρεις ασκήσεις. ΑΣΚΗΣΗ 1η ∆ίνεται η εξίσωση: χ - 2 = 3 χ ( 2 - χ )

Α) Αφού φέρετε την παραπάνω εξίσωση στην μορφή α χ 2 + β χ + γ = 0 βρείτε

τους συντελεστές της α , β , γ και την ∆ιακρίνουσά της ∆ . (2 μονάδες)

Β) Να λύσετε την εξίσωση 3 χ 2 - 5 χ - 2 = 0 . και να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 3 χ 2 - 5 χ - 2 . (4,6 μονάδες) ΑΣΚΗΣΗ 2η

Α) Να χαρακτηρίσετε Σωστές ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις μεταφέροντας τους αριθμούς στην κόλλα σας

1. Η ευθεία ε2:3χ+ψ=2 τέμνει τον ψ΄ψ στο σημείο (0,2) . 2. Το σημείο (1,-3) ανήκει στην ευθεία ε1:χ+2ψ=-1 . 3. Το σύστημα (Σ) είναι αδύνατο . 4. Η ευθεία ε1:χ+2ψ=-1 τέμνει τον χ΄χ στο σημείο (-1,0) 5. Το ζεύγος (1,-1) είναι η μοναδική λύση του συστήματος (Σ) Β) Να λύσετε αλγεβρικά με όποια μέθοδο θέλετε το παραπάνω σύστημα (Σ) ΑΣΚΗΣΗ 3η Στο διπλανό σχήμα η ΑΒ είναι παράλληλη προς τη ∆Γ. Α) Να εξηγήσετε γιατί τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓ∆ είναι

όμοια. Β) Αν ΑΒ=4 cm, ΟΒ=3 cm, ∆Γ=6 cm και η περίμετρoς

του τριγώνου ΟΑΒ είναι 9 cm να βρείτε τον λόγο ομοιότητας λ του τριγώνου Ο∆Γ προς το τρίγωνο ΟΑΒ

καθώς και το μήκος των πλευρών ΟΓ και Ο∆ του Ο∆Γ.

Γ) Αν το εμβαδόν του τριγώνου (Ο∆Γ)=6,75 cm2 να

βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου (ΟΑΒ) .

Στο διπλανό σχήμα παριστάνεται η γραφική επίλυση

του γραμμικού συστήματος

Καλή Επιτυχία ! ! !

2 1( ) :

3 2χ + ψ = −⎧ ⎫

Σ ⎨ ⎬χ + ψ =⎩ ⎭





ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο α) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες, ώστε να εκφράζουν αξιοσημείωτες

ταυτότητες:

1. (α + β)2 = ..................................................................................

2. (α + β)(α – β) = ...............................................................................

3. (α - β)3 = ........................................................................................

β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ)

1. Τα μονώνυμα 25 x3yω2 και -5x3yω2 είναι όμοια ...............................

2. Τα μονώνυμα 3x3y2 και -3x2y3 είναι αντίθετα ...................................

3. Κάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί και ως πολυώνυμο ......................

4. Το μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0 ............................................

ΘΕΜΑ 2ο α) Πότε δύο τρίγωνα λέγονται ίσα;

β) Πότε δύο πολύγωνα λέγονται όμοια;

γ) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά:

1. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μια προς μια και ………………….

……………………………, τότε είναι ίσα.

2. Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν μια αντίστοιχη πλευρά ίση και μια

……………………………………………… ίση.

3. Δύο κανονικά πολύγωνα που έχουν ………………………………………. είναι

όμοια.

4. Ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων είναι ίσος με

…………………………………………. του λόγου ομοιότητάς τους.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η Δίνονται οι εξισώσεις : 2x2 – 9x – 5 = 0 και 4x2 + 4x + 1 = 0. α) Να λύσετε τις παραπάνω εξισώσεις.

β) Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα 2x2 – 9x – 5 και 4x2 + 4x + 1.

γ) Να απλοποιήσετε το κλάσμα: 2

2

2x 9x 54x 4x 1

− −+ +

.

ΑΣΚΗΣΗ 2η

Να αποδείξετε ότι τα συστήματα:

+ −⎧ − = +⎪⎪⎨ −⎪ − = − +⎪⎩

7x y y 1 x 33 2

x 9y 1 x 12 4

και 8x y 152x 3y 1

− =⎧⎨ − =⎩

έχουν

την ίδια λύση.

ΑΣΚΗΣΗ 3η Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 12, ΒΓ = 13, ΑΓ = 5, ΔΕ = 4 και ΒΔΕ 90= ° .

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.

β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ είναι όμοια.

γ) Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΒΕ. δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΒΔΕ.

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ: ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο

Α. Τι λέγεται ταυτότητα; (Μονάδες 2,22)

Β. Να γράψετε στην κόλλα σας συμπληρωμένες τις παρακάτω ισότητες ώστε να

εκφράζουν αξιοσημείωτες ταυτότητες:

α) (α – β)2 = ……………………..

β) α2 – β2 = ………………………

γ) (α – β)3 = ……………………..

δ) α3 + β3 = ……………………… (Μονάδες 4,44)

ΘΕΜΑ 2ο

Nα διατυπώσετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων και να κατασκευάσετε και

στις τρεις περιπτώσεις τα αντίστοιχα σχήματα στα οποία να φαίνονται τα

κριτήρια που περιγράφετε.

Να επιλέξετε ΜΟΝΟ ΕΝΑ από τα παραπάνω θέματα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η Δίνονται οι παραστάσεις: Α = x3 – 5x2 + 2x – 10 και B = 2x2 – 50. α) Nα γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις Α και Β. β) 1. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται το κλάσμα

ΒΑ .

2. Να αποδειχθεί ότι ΒΑ =

2x 22(x 5)

++

για x≠5 και x≠ -5.

γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει ΒΑ =1.

ΑΣΚΗΣΗ 2η

Να λυθεί το σύστημα: 3x+2y=12x-y 2x y 43 7 3

⎧⎪

+⎨= −⎪⎩

ΑΣΚΗΣΗ 3η Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι:

ΑΒ/ /ΚΜ//ΓΔ, ΑΚ = 6m, KΔ=4m, BΛ=α,

ΛΕ=β, BM=3m και BE=9m.

Να υπολογίσετε τα α, β και ΒΓ.

Να επιλέξετε ΜΟΝΟ ΔΥΟ από τις παραπάνω ασκήσεις

ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2009


ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1Ο

Α. Τι ονομάζουμε ταυτότητα ; Β. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά , ώστε οι ισότητες που θα προκύ-ψουν να εκφράζουν αξιοσημείωτες ταυτότητες: α) ( α – β )2 = α2 ………………… β) ( α – β )( α + β ) = ……………. γ) ( α + β )3 = α3…………………. δ) α3 – β3 = ………………………

Θέμα 2ο

Α. Για τη γωνία ω του διπλανού σχήματος ισχύει συνω ≠ 0. Να αποδείξτε ότι:

εφω = συνωημω

Β . Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμέ-νες.

i. ημ0ο = 1 ii. εφ180ο = 1

iii. συν90ο = - 1 iv. Για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει ημω + συνω = 1.

ρ

Μ(x,y) y

x Ο

ω

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1η Δίνονται τα πολυώνυμα :

Α(χ) = ( χ +3 )2 – 4χ2 – 3χ και Β(χ) = ( 2χ – 1 )( 2χ + 1 ) – 8( χ + 1 ) + 6 α) Να βρεθούν τα αναπτύγματα των πολυωνύμων Α(χ) και Β(χ) , να γίνουν οι αναγωγές ομοίων όρων και να γραφούν κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του χ.

β) Να αποδείξετε ότι Α(χ) +Β(χ) = χ2 – 5χ + 6. γ) Να λύσετε την εξίσωση Α(χ) +Β(χ) = 0 .

Άσκηση 2η Δίνεται η εξίσωση χ2 – κχ + λ = 1 και η παραβολή ψ = χ2 –λχ + κ. α. Να αποδείξετε ότι το 2 είναι λύση της εξίσωσης χ2 – κχ + λ = 1 μόνο όταν λ-2κ = -3.

β. Να αποδείξετε ότι η παραβολή ψ = χ2–λχ+κ διέρχεται από το σημείο Α( 1, 3) μόνο όταν κ-λ = 2.

γ. Να βρείτε για ποιες τιμές των κ και λ το 2 είναι λύση της εξίσωσης χ2 – κχ + λ = 1 και το σημείο Α( 1 , 3 ) ανήκει στην παραβολή ψ = χ2 –λχ+κ.

Άσκηση 3η Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισο-σκελές με (ΑΒ = ΑΓ) και το τμήμα ΑΜ είναι ύ-ψος του. Δίνεται επίσης ότι ΒΔ = ΓΕ. Να αποδεί-ξετε ότι: α. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. β. Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές . γ. Το τμήμα ΑΜ είναι διχοτόμος του τριγώνου ΔΑΕ.

Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δυο ασκήσεις.


Μ Γ Β Ε Δ

Α



ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1O (α) Τι ονομάζουμε αλγεβρικές παραστάσεις, μονώνυμα, βαθμό ενός πολυωνύμου, ταυτότητα; (β) Να αποδειχθούν οι ταυτότητες:

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3

(γ) Να συμπληρώσετε στην κόλλα σας τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε αλγεβρική παράσταση της στήλης Α την ίση της από τη στήλη Β

στήλη Α στήλη Β α. (α - β)2 1. (α – β)( α2 + αβ + β2) β. (α - β)3 2. α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3

γ. (α + β)(α – β) 3. α2 + 2αβ + β2 δ. α3 – β3 4. α3 -3α2β + 3αβ2 - β3

ε. α3 + β3 5. α2 - 2αβ + β2

6. (α +β)( α2 – αβ + β2) 7. α2 – β2 α β γ δ ε

ΘΕΜΑ 2O (α) Με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων και ενός σημείου Μ(x, y) να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας ω. (β) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύουν οι σχέσεις:

ημ2ω + συν2ω = 1 και εφω = ημωσυνω

(συνω≠0)

(γ) Να συμπληρώσετε στην κόλλα σας τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε τριγωνομετρικό αριθμό της στήλης Α τον ίσο του από τη στήλη Β

στήλη Α στήλη Β α. ημ(180ο – ω) 1. συνω β. συν(180ο – ω) 2. 0 γ. εφ180ο 3. -1 δ. ημ90ο 4. ημω ε. συν0ο 5. 1 6. δεν ορίζεται 7. - συνω 8. - ημω

α β γ δ ε

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η (α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις και να βρείτε το Ε.Κ.Π. τους: 2χ2 - 4χ, χ2 - 4, χ3 + 8, χ2 + 4χ + 4

(β) Δίνονται οι παραστάσεις: Α = 2

2

2 44

χ χχ

−−

και Β = 3

2

84 4

χχ χ

++ +

.

Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζονται οι δύο παραστάσεις και στη συνέχεια να τις απλοποιήσετε. (γ) Να αποδείξετε ότι: 3Α + Β = χ+2 ΑΣΚΗΣΗ 2η

Δίνεται το σύστημα : χ(ψ - 4) = ψ(χ - 6) - 15 + 3χ

2χ - 3 ψ - 2 - = 23 4

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα μετά από πράξεις παίρνει τη μορφή : 8χ – 3ψ = 30 7χ – 6ψ = 15 (β) Να λύσετε το παραπάνω σύστημα, με οποιαδήποτε αλγεβρική μέθοδο θέλετε και στη συνέχεια να κάνετε επαλήθευση. ΑΣΚΗΣΗ 3η

Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΚΛ // ΒΓ, ΑΒ=10, ΑΚ=x, ΑΛ=x+3 και ΛΓ=x. (α) Να υπολογισθούν τα μήκη ΑΚ, ΑΓ και ΑΛ . (β) Αν είναι χ = 6 και ΚΛ = 8 να υπολογισθεί η πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ.

ΠΡΟΣΟΧΗ! ΝΑ ΓΡΑΨΕΤΕ ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ




ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1Ο : ψ α) Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος να Μ(x,ψ) να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ρ

της γωνίας ω. ω x

β) Να αποδείξετε ότι : ημωεφωσυνω

= Ο

γ) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση:

1. συν(180ο - ω) = - συνω . 2. εφ150ο > 0 . 3. Αν ημω = ημ60ο τότε ω = 60ο . 4. Αν εφω = - εφ30ο τότε ω = 150ο. 5. Αν ημ2ω = 3

5 τότε συν2ω = 2

5.

ΘΕΜΑ 2Ο : α) Τι λέγεται μονώνυμο; Να γράψετε δύο αντίθετα μονώνυμα 3ου βαθμού ως προς x και y.

β) Τι λέγεται ταυτότητα; Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε οι ισότητες να εκφράζουν αξιοσημείωτες ταυτότητες: i) (α-β)(α2+αβ+β2) = .............................. ii) (α-β)3 = .......................................... iii) (α+β)(α-β) = ...................................... γ) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση: 1. Κάθε αριθμός λέγεται μηδενικό μονώνυμο.

2. Το γινόμενο ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο προς αυτά. 3. Το πολυώνυμο 3x-2x2+5-x λέγεται τριώνυμο. 4. Το πολυώνυμο 3x2-5x-3x2+1 είναι 2ου βαθμού.

5. (α+β)2 = α2+β2.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η : Δίνονται τα πολυώνυμα : P(x) = ( ) ( )( ) ( )22 1 2 2 2 3x x x x− − − + + − και Q(x) = ( ) ( )22 3 1x xα β α β− + + − α) Να αποδείξετε ότι: P(x) = 23 2 1x x− − β) Αν P(x) = Q(x) να υπολογίσετε τα α και β . ΑΣΚΗΣΗ 2η : Δίνεται η παράσταση :

2 2

2 2

2 3 2 2 1:13 3 2 1

x x x xAxx x x

⎛ ⎞− − − −= −⎜ ⎟ −− + +⎝ ⎠

α) Να λύσετε την εξίσωση: 22 3 2 0x x− − = β) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 22 3 2x x− − , 23 3x − , 2 2x x− − , 2 2 1x x+ + γ) Να αποδείξετε ότι: 2

3A =

ΑΣΚΗΣΗ 3η :

Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) και τα τμήματα ΓΕ , ΒΔ ύψη. α) Να εξηγήσετε γιατί τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΕΓ είναι ίσα και να συμπληρώσετε την ισότητα:

∧

ΑΒΔ=........... β) Να εξηγήσετε γιατί τα τρίγωνα ΕΒΗ και ΑΕΓ είναι όμοια και να συμπληρώσετε τις ισότητες:

.... .... ....ΕΒ ΕΗ ΒΗ

= =

Α Ε Η Δ Β Γ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Από τα δύο θέματα θεωρίας να απαντήσετε στο ένα και από τις τρεις ασκήσεις να λύσετε τις δύο .


( )2 2 22α β α αβ β− = − +

. . . . .. . . . . . . . . .Α Ο Α Δ

= =Ο Γ

ε3

ε2

ε1

∆

O

ΒΑ

Γ

Α Δ Α Ε=

Δ Β Ε Γ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2009 – 2010

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ : Γ΄

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο α. Τι λέγεται βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μια ή περισσότερες μεταβλητές του; (Μονάδες 1) β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (Μονάδες 3,3) γ. Να συμπληρώσετε στην κόλλα σας τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α το ανάπτυγμα της από τη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β

α. (α+β)3 1. α2 +β2

β. (α – β)(α + β) 2. α3 + β3

γ. (α + β)(α2 – αβ +β2) 3. α3 – β3

δ. (α + β)2 4. α2 – β2

5. α2 +2αβ+β2

6. α3 + 3α2 β + 3αβ2 +β3

(Μονάδες 2,4) ΘΕΜΑ 2Ο

α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. (Μονάδες 3) β. Στο διπλανό σχήμα είναι ε1 // ε2 // ε3. Να γράψετε στην κόλλα σας συμπληρωμένες τις ισότητες: (Μονάδες 2,3) γ. Να γράψετε στην κόλλα σας συμπληρωμένες τις παρακάτω προτάσεις:

i. Για δυο σημεία Δ , Ε των πλευρών ΑΒ , ΑΓ αντιστοίχως ενός τριγώνου ΑΒΓ

ισχύει: Aν τότε ΔΕ ….. ΒΓ.

ii. Αν από το μέσο μιας πλευράς τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μία

άλλη πλευρά του , τότε αυτή διέρχεται από ………………………………….

(Μονάδες 1,4)

α β γ δ

2 2

28 2

( 1) ( 2) ( 2) (3 ) 5

x y x y

x y x x y y

+ −− =

+ + − = − − − −

3 5 164 10

x yx y

− + =− =−

3 5 164 10

x yx y

− + =− =−

51 , 22

x xx

με−Α = − ≠

−

2 2

2

2 3:3 9

x x x xx x

+ +Β =

− −0, 3 3x x x≠ ≠ − και ≠

32x

Α =−

2 1xΒ = +

Η

Β Γ

Α

Ζ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η

Δίνεται το σύστημα:

α. Να αποδείξετε ότι το παραπάνω σύστημα , μετά από πράξεις ,

παίρνει τη μορφή: (Μονάδες 3,7) β. Να λύσετε το σύστημα : (Μονάδες 3)

ΑΣΚΗΣΗ 2η

Δίνονται οι παραστάσεις :

και , με

i. Να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 1,5)

ii. Να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 2,5)

iii. Να βρείτε τις τιμές του x ώστε να ισχύει: Α = Β. (Μονάδες 2,7)

ΑΣΚΗΣΗ 3η

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ , με ΑΒ = ΑΓ.

Πάνω στην πλευρά ΑΒ θεωρούμε σημείο Ζ και

πάνω στην πλευρά ΑΓ θεωρούμε σημείο Η ,

έτσι ώστε να είναι ΑΖ = ΑΗ.

α. Να αποδείξετε ότι : ˆ ˆΒΖΓ = ΓΗΒ . (Μονάδες 3,5)

β. Αν ˆ φΒΖΓ = , ˆ ωΑΗΒ = και ισχύει ότι συνφ = 35 , τότε να υπολογίσετε :

i. Το συνω. (Μονάδες 1)

ii. To ημω και την εφω. (Μονάδες 2,2)

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Να απαντήσεις σε ένα από τα δύο θέματα θεωρίας και σε δύο από τις

τρείς ασκήσεις.

ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

Γυµνάσιο Αγιάσου Τρίτη 29/5/2012 Απολυτήριε εξετάσει Γ΄ Τάξη Γυµνασίου Εξεταζόµενο µάθηµα: Μαθηµατικά Εξεταστική περίοδο: Μάιο – Ιούνιο 2012

Θεωρία

Θεωρία 1η

Α. Αφού γράψετε ποια ισότητα ονοµάζεται ταυτότητα στην συνέχεια να αποδείξετε την ταυτότητα (α – β)2 = α2 – 2αβ + β2.

Β. Να χαρακτηρίσετε τι προτάσει που ακολουθούν γράφοντα στην κόλλα σα δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθο αν η πρόταση είναι λάθο.

α) Ο βαθµό ενό σταθερού πολυωνύµου είναι 0. β) Το ΕΚΠ των πολυωνύµων x2 – 1 και x+1 είναι το x2 – 1. γ) Ισχύει (α – 1)(α + 1)=α2 + 1. δ) Για να πολλαπλασιάσουµε δύο µονώνυµα κάνουµε αναγωγή

οµοίων όρων. ε) Το πολυώνυµο Ρ(x)=3x2 – 2x+x3 – 1 είναι 2ου βαθµού.

Θεωρία 2η Α. Να διατυπώσετε δύο από τα τρία κριτήρια ισότητα τριγώνων. Β. Να δικαιολογήσετε γιατί τα παρακάτω τρίγωνα είναι όµοια και στην

συνέχεια να γράψετε του λόγου οµοιότητα που προκύπτουν από την παραπάνω οµοιότητα.

Να απαντήσετε µόνο σε ένα από τα δύο θέµατα θεωρία

Ασκήσεις

Άσκηση 1η

∆ίνεται το σύστηµα:

x 5y 1

2

y 1x 4

3

+= +

− = −

.

α) Να δείξετε ότι είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα: x 2y 3

y 3x 11

− = −

− = −.

β) Να λυθεί (µε όποια µέθοδο θέλετε).

Άσκηση 2η

Το διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελέ µε ΑΒ=ΑΓ.

Φέρνουµε τα ύψη Β∆ και ΓΕ του τριγώνου, τα οποία τέµνονται στο σηµείο Μ. α) Να δείξετε ότι Β∆=ΓΕ β) Να αποδείξετε ότι η ΑΜ διχοτοµεί την γωνία Α

του τριγώνου ΑΒΓ. (δηλ. η ΑΜ είναι διχοτόµο τη γωνία Α)

Άσκηση 3η

∆ίνεται η παράσταση: Α=(3x + 1)2 + (x – 3)2 – (3x – 1)(3x+1). α) Να αποδείξετε ότι Α = x² + 11. β) Να λύσετε την εξίσωση Α=12x.

γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση A 12

x 1

−

−.

Να λύσετε µόνο δύο από τι τρεί ασκήσει

Καλή Επιτυχία Ο ∆ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ

ΑΛΕΝΤΑΣ ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ ΜΠΑΜΠΟΥΡΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

Documents

_ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ