Лекція 6.

Кафедра інформатики та комп‘ютерних технологій доцент Бесклінська О.П.

Елементи векторної алгебри.

Зміст1.Поняття вектора. Основні означення.2. Лінійні операції над векторами.3. Проекція вектора на вісь. 4.Лінійна залежність і незалежність

векторів. Базис. 5. Прямокутна декартова система

координат.6. Вектори в ПДСК.7. Поділ відрізка у даному відношенні.

a

AB��������������

Геометрично вектор являє собою напрямлений відрізок і позначається

або

де точка А– початок вектора, а В– його кінець.

a

А

В

1.Поняття вектора. Основні означення.

| a | |AB

��������������

Відстань між початком вектора і його кінцем називають довжиною (або модулем) вектора і позначають

або

.

Вектори, які лежать на одній прямій або паралельних прямих, називають колінеарними

Вектори a

і b

рівні, якщо вони колінеарні, мають однакові модулі і однакові напрями

a

b

Два вектори називають протилежними, якщо вони колінеарні, мають однакові модулі і протилежні напрями.

Вектор, початок і кінець якого збігаються, називають нуль–вектором. Напрям його не визначений.Вектор, початок і кінець якого збігаються, називають нуль–вектором. Напрям його не визначений.

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці називають одиничним вектором. Вектор, довжина якого дорівнює одиниці називають одиничним вектором.

Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора називають ортом вектора і позначають

Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора називають ортом вектора і позначають

a

0a

Три вектори називають компланарними, якщо вони лежать в одній або паралельних площинах.Три вектори називають компланарними, якщо вони лежать в одній або паралельних площинах.

2. Лінійні операції над векторами.

1) додавання (віднімання) векторів; 2) множення вектора на число (скаляр).

a

b

Сумою векторів

і

називають вектор

який сполучає початок вектора з кінцем вектора

за умови, що вектор

Правило трикутника

і a

+ b

a

b

b

прикладений до кінця вектора a

a b

+a

b

Суму двох векторів можна будувати також за правилом паралелограма

a

ba

b

+

Віднімання векторів визначається як дія, обернена додаванню.

a

b

Різницею векторів і називають вектор –

який в сумі з вектором складає вектор

або, іншими словами, це вектор, що сполучає кінець вектора

з кінцем вектора за умови, що і

прикладені до спільного початку

a

b

b

a

b

a

a

b

a

b

a

– b

a

a

| | | || |a a

a

0 a

0

Добутком вектора на скаляр

називають вектор такий, що

і напрям якого збігається з напрямом вектора

якщо , або протилежний до напряму

якщо

a

a

a a

0 0

3. Проекція вектора на вісь.

Віссю називають напрямлену пряму, на якій вибрано початок відліку, додатний напрям і одиницю довжини.

Проекцією вектора на вісь u називають додатне число,

якщо вісь u і вектор однаково напрямлені, і від’ємне число , якщо вісь u і вектор протилежно напрямлені .

1 1| |A B��������������

1 1| |A B��������������

a

uВ1А1

А

В

φ

uВ1 А1

А

В

φ

А б

11BA

11BA

4. Лінійна залежність і незалежність векторів. Базис.

Застосовуючи лінійні операції над векторами, можна знаходити вирази вигляду

1 1 2 2 ... n nx a x a x a

які називають лінійними комбінаціями векторів 1 2, , ... , na a a

числа 1 2, , ..., nx x x -коефіцієнти.

Вектори називають лінійно залежними, якщо існують такі числа не всі рівні нулю, що лінійна комбінація

і лінійно незалежними, якщо ця рівність виконується лише за умови, коли всі числа рівні нулю.

1 2, , ..., nc c c1 2, , ... , na a a

1 1 2 2 ... 0n nc a c a c a

1 2, , ..., nc c c

1 2, , ... , na a a

nRnR

1 2, , ..., nx x x

Сукупність лінійно незалежних векторів

називають базисом простору

якщо для кожного вектора з

існують такі дійсні числа

що справедлива рівність:

1 1 2 2 ... n nb x a x a x a

b

1 2, , ... , na a a

Цю рівність називають розкладом вектора

у базисі

.

Базисом на площині називають довільну упорядковану пару неколінеарних векторів.

Базисом у просторі називають довільну упорядковану трійку некомпланарних векторів.

d a b c

d

Якщо вектори

,

– базис у просторі і вектор

розкладений за базисом, тобто

то числа називають координатами вектора

в даному базисі.

cba

і,

,, d

5. Прямокутна декартова система координат.

Точку О і упорядковану трійку некомпланарних векторів

1 2 3, ,e e e

(базис) називають декартовою системою координат у просторі.

Точка О – початок координат, а осі, які проходять через початок координат в напрямі базисних векторів, називають осями координат.

Упорядковану трійку одиничних попарно ортогональних векторів

, ,i j k

| | 1, | | 1, | | 1i j k

називають ортонормованим базисом.

Рене Декарт (1596-1650) – великий французький філософ, фізик, математик і фізіолог.

Математику називав як науку “ про порядок і міру”.

Вважав що математика більш ніж інші науки відповідає вимогам розуму.

Поклав в основу своєї наукової філософії поняття про рух матерії. Вніс рух у математику. Ввів поняття

змінної величини.

Рене Декарт (1596-1650) – великий французький філософ, фізик, математик і фізіолог.

Математику називав як науку “ про порядок і міру”.

Вважав що математика більш ніж інші науки відповідає вимогам розуму.

Поклав в основу своєї наукової філософії поняття про рух матерії. Вніс рух у математику. Ввів поняття

змінної величини.

Довільній точці М простору можна співставити у ПДСК вектор

який називають радіус-вектором точки М відносно точки О. Тоді існує єдина трійка чисел (x, y, z) така, що

r OM��������������

r xi yj zk

Координати x, y, z радіус - вектора OM��������������

називають координатами точки М і пишуть М (x, y, z)

х

z

О у

М(х, у, z)

k

i j

х

у

z

r xi yj zk

r OM��������������

6. Вектори в ПДСК.

Нехай в ПДСК Oxyz задано вектор a

Це означає, що в ортонормованому базисі , ,i j k

вектор a

можна подати у вигляді

x y za a i a j a k

де , ,x y za a a координати вектора a

у цьому базисі.

Ці координати – проекції вектора a

| | cosx xa np a a

| | cosy ya np a a

на координатні осі, тобто

| | cosz za np a a

де , , кути, які вектор a

утворює з осями координат x y zΟ , Ο , Ο

x

y

z r OM��������������

αβ

γ

O

Довжину (модуль) вектора a

знаходять за формулою

2 2 2| | x y za a a a

Напрямні косинуси :

cos| |

xa

a cos

| |ya

a cos

| |za

a

2 2 2cos cos cos 1.

Якщо відомі координати початку 1 1 1( , , )A x y z

та кінця 2 2 2( , , )B x y z вектора AB��������������

то його координати знаходять за формулою

2 1 2 1 2 1( , , )AB x x y y z z ��������������

Довжина вектора AB��������������

2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )AB x x y y z z

��������������

7. Поділ відрізка у даному відношенні.

A

B

M

1 1 1, ,A x y z

2 2 2, ,B x y z

М(x, y, z),

:AM MB ����������������������������

1 2

1

x xx

1 2

1

y yy

1 2

1

z zz

Координати точки, яка ділить відрізок навпіл (λ=1):

1 2

2

x xx

1 2

2

y yy

1 2

2

z zz