681.311

Определение временных характеристик линейных систем

с распределенными параметрами

И. В. БОЙКОВ, Н. П. КРИВУЛИН

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия, e-mail: boikov@pnzgu.ru

Предложен метод идентификации параметров, в частности импульс-

ных переходных функций, в линейных системах с распределенными пара-

метрами, представимых интегральными уравнениями первого рода.

Ключевые слова: динамические системы, импульсная переходная

функция, системы с распределенными параметрами, обобщенная теорема

Бореля.

The method of identification of parameters, particularly of impuls

transition functions, of the line systems with distributed parameters is offered.

Key words:dynamical system, impuls transition function, systems with

distributed parameters, generalized Borel theorem.

При анализе и синтезе динамических систем определяющую роль

играют их временные характеристики, идентификации которых посвящена

обширная литература [1 – 5].Особое внимание уделяется нахождению

импульсной переходной функции g(t) в линейных системах, описываемых

линейными уравнениями в свертках 0

( ) ( ) = ( )

t

g t x d f t , где x(t), f(t) –

входной и выходной сигналы; g(t) – импульсная переходная функция.

Методы определения g(t), как правило, являются приближенными за

исключением,насколько авторам известно, приведенного в [6, 7] метода

точного определения g(t) по двум входным сигналам.Для нелинейных

2

систем, описываемых нелинейными уравнениями в свертках

=10

( ) ( ) = ( ),

t nk

k

k

g t x d f t в [8] предложен метод точного определения

импульсной переходной функции по нескольким входным сигналам.

Значительно сложнее задача определения динамических

характеристик систем с распределенными параметрами, описываемых

уравнениями Вольтерра, на полуоси и оси, соответственно:

0

( , ) ( ) = ( );

t

g t x d f t (1)

0

( , ) ( ) = ( );g t x d f t

(2)

( , ) ( ) = ( ).g t x d f t

(3)

Уравнение (1) является частным случаем (2). Действительно, если

ввести функцию K(t, ) = 1 при t и K(t, ) = 0 при t < , то (1) можно

представить в виде 0

( , ) ( , ) ( ) = ( ).K t g t x d f t

Опишем несколько систем с распределенными параметрами, которые

приводят к уравнениям вида (2). Одна из них связана с распространением

теплоты на бесконечной прямой.

З а д а ч а К о ш и . Найти ограниченную функцию u(x, t), определен-

ную в области – < x < и удовлетворяющую уравнению

теплопроводности

2 2 2u t a u x , , 0x t (4)

с начальным условием

( ,0) ( ),u x x x . (5)

Известно [9] интегральное представление решения задачи Коши (4),

3

(5)

( , ) ( , , ) ( )u x t G x t d

, где 2

22

1 ( )( , , ) exp .

42

xG x t

a ta t

Рассмотрим случай, когда известно начальное условие

0 ( ), 0;( )

0, 0.

t tt

t

и решение задачи Коши (4), (5) в точке х = 0. Требуется найти коэффициент

a.

Задача сводится к уравнению0

0

(0, ) (0, , ) ( )

t

u t G t d , а если считать

0(), u(0, t) соответственно входным и выходным сигналами, – то к

нахождению функции G(0, , t). Таким образом, задача определения

коэффициента a уравнения теплопроводности (4) приводит к

интегральному уравнению (2). Аналогичная связь между краевыми

задачами и интегральными уравнениями (1), (2) наблюдается для

гиперболических и эллиптических уравнений.

Важный момент при создании систем автоматического управления

связан с исследованием следующих характеристик системы [10]: времени

перерегулирования (переходного процесса); частоты колебаний процесса и

времени его установления, декремента затухания. Для исследования этих

характеристик необходимо располагать методами нахождения переходных

функций или, что то же самое, импульсных переходных функций систем

управления. В [11] предложен алгоритм приближенного определения

функции g(t, ) при подаче на вход ступенчатых сигналов.

Аналитические методы нахождения импульсной переходной функции

g(t, ) в системах, описываемых (1) – (3), авторам неизвестны, поэтому их

разработка представляется актуальной. Данная статья посвящена

4

идентификации импульсной переходной функции g(t, ) в системах,

представляемых уравнениями (1), (2).

Ниже предлагается алгоритм восстановления импульсной

переходной функции в системе с распределенными параметрами,

обоснование которого опирается на обобщенную теорему Бореля [12].

Приведем формулировку этой теоремы в обозначениях, несколько

отличных от принятых в [12]. Пусть даны два интегральных уравнения

Карсона

0

e ( ) = ( )pt t dt p

; (6)

1 1

0

e ( ) = ( )pt t dt p

. (7)

и известно решение *(t) уравнения (6). Предположим, что существуют

аналитические функции q(p) и u(p) такие, что правые части уравнений (6),

(7) связаны формулой

1( ) ( ( )) ( ).p q p u p (8)

Тогда (7) имеет решение * *

1

0

( ) = ( , ) ( ) ,t t d

где функция (,t) –

решение интегрального уравнения

( )

0

( , )e = e ( ).pt q pt dt u p

(9)

Для применения этой теоремы к идентификации динамических

систем необходимо ее модифицировать.

Пусть даны два уравнения Карсона (6) и (7), *(t) – решение

уравнения (6), а правые части этих уравнений связаны формулой (8). Тогда

решение уравнения (7) можно выразить как

* *

1

0

( ) = ( , ) ( ) ,t t d

(10)

5

где функция (t, ) – решение интегрального уравнения

( )

0

( , )e = e ( ).pt q pt dt u p

Д о к а з а т е л ь с т в о . Решение (6) определяется формулой Бромвича

* 1( ) = e ( ) .

2

i

pt

i

t p dpi

Подставляя в (6) q(p) вместо p, имеем

( ) *

0

( ( )) = ( ) .tq pq p e t dt

(11)

Применяя к (7) формулу Бромвича, получаем

*

1

1( ) = e ( ( )) ( ) .

2

i

pt

i

t q p u p dpi

(12)

Подставляя (11) в (12) и меняя порядок интегрирования, находим

* * ( )

1

0

1( ) = ( ) e ( ) .

2

i

q p pt

i

t u p dp di

Положим ( )1e ( ) ( , )

2

i

q p pt

i

u p dp ti

,тогда ( )

0

e ( , ) = e ( ).pt q pt dt u p

Следо

вательно, (7) имеет решение * *

1

0

( ) = ( , ) ( )t t d

. Теорема доказана.

Отметим, что справедливо и обратное утверждение: если выполнено

условие (9) и функция *(t) – решение (6), то функция *

1 ( )t , определяемая

(10), является решением (7).В самом деле

* * * ( ) *

1

0 0 0 0

e ( ) e ( , ) ( ) ( ) ( )e ( ) ( ( ))pt pt q pt dt t d dt u p d u p q p

,

т.е. * *

1 ( ) ( ( )) ( )p q p u p ,где *( )p , *

1 ( )p – преобразования Лапласа

функций *( )t , *

1 ( )t . Аналогичные утверждения справедливы и для других

интегральных преобразований, в частности, преобразования Фурье.

Пусть даны два интегральных уравнения

6

0

1( )e = ( );

2

iztf t dt F z

(13)

1 1

0

1( )e = ( ),

2

iztf t dt F z

(14)

и пусть (13) имеет решение f*(t). Предположим, что существуют

аналитические функции q(z), u(z), такие что правые части (13), (14) связаны

формулой 1( ) ( ( )) ( )F z F q z u z . Тогда решение (14) имеет вид

* *

1 ( ) = ( , ) ( ) ,f t k t f d

где функция k(t, ) – решение интегрального уравне-

ния ( )( , )e = e ( ).izt q zk t dt u z

Докажем это утверждение.

Решение (13) можно представить формулой

i1( ) = ( )e .

2

ztf t z dz

Подставляя в (13) q(z) вместо z, получаем

( )1( ( )) = ( )e ,

2

tq zF q z f t dt

(15)

откуда

1

1( ) = ( ( )) ( )e

2

iztf t F q z u z dz

. (16)

Подставляя (15) в (16) и меняя порядок интегрирования, находим

i ( )

1

1( ) = ( ) ( )e .

2

q z ztf t f u z dz d

Положим i ( )1( )e ( , )

2

q z iztu z dz k t

, тогда i ( )1

( , )e = e ( )2

zt i q zk t dt u z

и,

следовательно, (14) имеет решение

1

1( ) = ( , ) ( )

2f t k t f d

. (17)

Отметим что определение коэффициента a параболического уравне-

7

ния (4) сводится к (2) при условии равенства нулю начального значения на

полуоси (–, 0). Если использовать (17), то можно показать, что определе-

ние коэффициента a сводится к (3) при любом начальном значении.

Применение обобщенной теоремы Бореля позволяет найти импульс-

ную переходную функцию для широкого класса устройств.

Рассмотрим динамическую систему, описываемую интегральным

уравнением

0

( , ) ( ) ( )g t x d f t

, (18)

где x(t), f(t) – входной и выходной сигналы.

Требуется восстановить функцию g(t, ). Пусть она удовлетворяет

следующему условию: существуют аналитические функции q(p) и u(p) в

полуплоскости Re ( const),z такие что

( )

0

e ( , ) e ( ),pt q pg t dt u p

Re z . (19)

Пусть Х(p), F(p) – преобразования Лапласа соответственно функции

x(t) и f(t), которые связаны формулой ( ) ( ( )) ( )F p X q p u p . Тогда

( )1( , ) e ( )e

2 i

i

q p pt

i

g t u p dp

. (20)

Вычисляя интеграл в правой части (20) по квадратурным формулам

[13], получаем приближенное значение импульсной переходной функции.

Отметим, что условие (19) выполняется для широкого класса импульсных

переходных функций. В частности, ему удовлетворяют ядра вида g(t

– ).Продемонстрируем эффективность этого алгоритма на примере класси-

ческого уравнения Абеля.

Пример 1. Рассмотрим систему, описываемую уравнением

8

0

( , ) ( ) = ( ),

t

g t x d f t

1, ;

( , ) =

0, < .

tg t t

t

В качестве входного сигнала примем

1/ 2, 0;( ) =

0, 0,

tx t

t

а выходного –

, 0;( ) =

0, 0.

t tf t

t

Преобразования Лапласа этих сигналов

1( ) =

2X p

p,

3 2

1( ) =

2 2F p

p p p

.

Так как )())(()( pupqXpF , то ( ( )) 1 2X q p p , т.е. )())(( pXpqX , и,

значит, ( ) , ( )q p p u p p . Отсюда ( , ) e pG p p , что соответствует

оригиналу ( , ) 1g t t , совпадающему с точным решением.

Пример 2. Рассмотрим систему, описываемую уравнением

0

( , ) ( ) = ( ),g t x d f t

2 4e , ;

( , ) =0, .

t t tg t

t

В качестве входного сигнала возьмем

cos , 0;( ) =

0, 0,

t tx t

t

а выходного –

e , 0;( ) =

0, 0.

t tf t

t

Преобразования Лапласа этих сигналов

2( ) = 1X p p p , ( ) =1 1F p p .

Так как )())(()( pupqXpF , нетрудно показать, что ppq )( , тогда

( ) 1u p p . Действительно,

2

( ) 1( ( )) ( ) ( )

1( ) 1 1

pq pX q p u p F p

pq p p p p

.

Таким образом, согласно обобщеной теореме Бореля ( , ) ep

G p p

,

где G(p, ) – преобразование Лапласа функции g(t, ) по первой

9

переменной. Оригинал функции G(p, ) имеет вид 2 4( , ) e

tg t t

, что

совпадает с точным решением.

Доказательство справедливости формулы )())(()( pupqXpF часто

оказывается сложной технической задачей. Поэтому на практике применим

следующий метод. Предположим, что преобразование Лапласа G(p, )

функции g(t, ) по переменной t выражается как

( )

1

( , ) e ( ).k

Nq p

k

k

G p u p

(21)

Отметим, что хотя функция g(t, ) и, следовательно, функция G(p, )

неизвестны, из характера задачи часто становится ясно, возможно ли

разложение в виде (21). В частности, оно имеется при решении обратных

задач, описываемых параболическими и гиперболическими уравнениями.

Применим преобразование Лапласа к (18). В результате находим

10 0

( ) e ( , ) ( ) ( ( )) ( ),N

pt

k k

k

x g t dt d u p X q p F p

откуда следует, что, подавая на вход динамической системы (18) 2N линей-

но независимых сигналов xi(t), i = 1, 2, ..., 2N, получаем систему из 2N нели-

нейных уравнений

1

( ) ( ( )) ( ), 1,2,...,2 .N

k i k i

k

u p X q p F p i N

(22)

Для ее решения можно воспользоваться известными в вычислитель-

ной математике методами [13]. Найдя функции uk(p), qk(p), функцию g(t, )

определим, применив интеграл Бромвича к функции G(p, ), представимой

в виде (21).

Пример 3. Рассмотрим систему, описываемую уравнением

10

0

( , ) ( ) = ( ),g t x d f t

2 4

e e , ;( , ) =

0, .

t tt tg t

t

В качестве входных сигналов примем (здесь N=2 в разложении (21))

1

1, 0;( ) =

0, 0,

tx t

t

2

, 0;( ) =

0, 0,

t tx t

t

2

3

2, 0;( ) =

0, 0,

t tx t

t

3

4

6, 0;( ) =

0, 0.

t tx t

t

Тогда изображения входных и выходных сигналов будут

1 2 3 4

1 2 3 4( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ;X p p X p p X p p X p p

1 2

2 3

3 42 2 2 3

1 2 1 8( ) ; ( ) ;

1 32 1 128( ) ; ( ) .

pF p F p

p p p p p

p pF p F p

p p p p p

В результате (22) примет вид

1 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2 2

3 3

1 1 2 2 3

4 4

1 1 2 2 4

;

;

;

,

u y u y F

u y u y F

u y u y F

u y u y F

где 1 1 2 21 ( ), 1 ( )y q p y q p , );(),( 2211 puupuu 1 1( ), F F p 2 2 ( ),F F p

3 3 4 4 ( ), ( )F F p F F p .

Решая полученную систему, получаем 1 1( ) ; ( ) 1 ;q p p u p p

2 3

2 2 ( ) 4 ; ( ) 2q p p u p p , откуда 1( , ) e ;p

G p p

4 3

2 ( , ) e 2p

G p a p

, обратные преобразования которых

2 4

1( , ) et

g t t

, 2 ( , ) e tg t . Искомая функция будет

1 2( , ) = , ,g t g t g t , что совпадает с точным решением.

Вернемся к случаю, когда функцию G(p, t) можно представить в виде

( )( , ) = e ( )tq pG p t G p . Выше было показано, что при этом функцию g(t, )

можно восстановить по одному входному сигналу. Однако часто

11

технически ее проще восстановить по двум входным сигналам.

Действительно,обозначим преобразования Лапласа функций x(t) f(t),

соответственно Х(p) и F(p). Будем полагать, что функции q(p), G(p) –

аналитические при p 0. Пусть x1(t), x2(t) – два линейно независимых

входных сигнала. Тогда

0

( , ) ( ) = ( ), =1,2.i ig t x d f t i

(23)

Изображение системы интегральных уравнений (23) по теореме

Бореля приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений

1 1

2 2

( ) ( ( )) = ( );

( ) ( ( )) = ( )

G p X q p F p

G p X q p F p

с неизвестными функциями G(p) и q(p) Решая эту систему относительно

указанных функций, находим G(p) и q(p), а по формуле Бромвича

определяем функцию

i0

i0

1( , ) = e ( , ) .

2 i

ptg t G p dp

Для вычисления интеграла, стоящего в правой части предыдущего

равенства, могут применяться различные квадратурные формулы [13].

Замечание. Выше были описаны , основанные на применении

преобразований Лапласа и Фурье к интегральным уравнениям первого рода,

алгоритмы восстановления аппаратных функций систем с распределенными

параметрами. Аналогичные алгоритмы, основанные на применении других

интегральных преобразований ( в частности, преобразования Меллина)

могут быть построены и для других классов интегральных уравнений,

описывающих функционирование систем с

распределенными параметрами.

Л и т е р а т у р а

12

1. Дейч А. М. Методы идентификации динамических объектов.М.:

Энергия, 1979.

2. Грановский В. А. Динамические измерения. Л.: Энергоатомизат,

1984.

3. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирова-

ния/ Под ред. В. В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1967. Кн.1.

4. Бутковский А. Г. Характеристики систем с распределенными па-

раметрами. М.: Наука, 1979.

5. Бойков И. В. Аналитические методы идентификации динамиче-

ских систем. Пенза: Изд-во Пенз. политех. ин-та, 1992.

6. Бойков И. В. Об одном методе определения динамических харак-

теристик при использовании реального испытательного сигнала

//Измерительная техника. 1991. № 1. С. 9 – 10; Boikov I. V. A method for de-

termination of dynamic characteristics with a real test signal //Measurement

Techniques. 1991. V. 34. N 1.P. 12 – 15.

7. Бойков И. В., Черушева Т. В. Об одном методе определения дина-

мических характеристик линейных систем // Измерительная техника. 1993.

№ 5. С. 13 – 16; Boikov I.V. , Cherusheva T.V. Method for determining the dy-

namical characteristics of linear systems //Measurement Techniques. 1993. V. 36.

N 5. P. 502 – 507.

8. Бойков И. В. Об идентификации нелинейных объектов // Измери-

тельная техника. 1994. № 9. С. 12 – 14; Boikov I. V. Identification of nonlin-

ear objects //Measurement Techniques. 1994. V. 37. N 9. P. 988 – 993.

9. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической фи-

зики. М.: Наука, 1972.

13

10. Егупов Н. Д., Пупков К. А., Баркин А. И. Методы классиче-

ской и современной теории автоматического управления. Т. 1. Математиче-

ские модели, динамические характеристики и анализ систем автоматиче-

ского управления. М.: Изд-во МВТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

11. Бойков И. В., Кривулин Н. П. Определение динамических ха-

рактеристик измерительных преобразователей с распределенными парамет-

рами //Измерительная техника. 2000. № 9. С. 29 – 32; Boikov I. V. , Krivulin

N. P. Determination of the Dynamic Characteristics of Measuring Transducers

with Distributed Parameters // Measurement Techniques. 2000. V. 43. N 9. P.

752 – 756.

12. Эфрос А. М., Данилевский А. М. Операционное исчисление и

контурные интегралы. Харьков: Гос. науч.-техн. изд-во Украины, 1937.

13. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные ме-

тоды. М.: Наука, 2009.

Дата принятия 28.11.2011 г.