УРОК-ЛЕКЦИЯ ДЛЯ 8-ГО КЛАССА

"ВЕРОЯТНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ

СОБЫТИЙ"

Цель: ознакомить учащихся с правилами сложения и умножения вероятностей, понятием противоположных событий на кругах Эйлера.

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по иному.

Для наглядного изображения событий используют диаграммы Эйлера

ЭЙЛЕР ЛЕОНАРД (1707-1783)

Задача о семи мостах Кенигсберга, Леонард Эйлер.С давних времен жители Кенигсберга бились над загадкой: можно ли пройти по всем мостам, пройдя по каждому только один раз? Эту задачу решали и теоретически, на бумаге, и на практике, на прогулках - проходя по этим самым мостам. Никому не удавалось доказать, что это неосуществимо, но и совершить такую «загадочную» прогулку по мостам никто не мог.

В 1736 году известный математик, член Петербургской академии наук Леонид Эйлер взялся решить задачу о семи мостах. В том же году он написал об этом инженеру и математику Мариони. Эйлер писал, что нашел правило, по которому нетрудно вычислить, можно ли пройти по всем мостам и при этом ни по одному не пройти дважды. На семи мостах Кенигсберга сделать это невозможно.

Рассмотрим наиболее важные свойства событий с помощью диаграмм Эйлера.

Объединением событий A и B называют событие C, состоящее из элементарных событий принадлежащих событию А или В (иногда объединения называют суммой).

Пересечением событий А и В называют событие С, которое благоприятствует и событию А, и событию В (иногда пересечения называют произведением).

Разностью событий А и В называют событие С, состоящее из элементарных событий А, которые не являются элементарными событиями В.

Событием, противоположным событию А называют событие, которому благоприятствуют все элементарные события, не благоприятствующие событию А. Событие, противоположное событию А, принято обозначать

.

Пример 1. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 10 билетов - выигрыши по 100 руб., на 50 билетов - выигрыши по 20 руб., на 100 - билетов - выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.

Решение. Рассмотрим события: А - выиграть не менее 20 руб., А1 - выиграть 20 руб., А2 - выиграть 100 руб., А3 - выиграть 500 руб. Очевидно, А= А1 +А2+А3.По правилу сложения вероятностей:Р (А) = Р (А1) + Р (А2) + Р (А3) = 0,050 + 0,010 + 0,001 = 0,061.

Пример 2. Производится бомбометание по трём складам боеприпасов, причём сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны. Решение. Рассмотрим события: А - взрыв складов, А1 - попадание в первый склад, А2 - попадание во второй склад, А3 - попадание в третий склад. Очевидно, А = А1 + А2 + А3. Так как при сбрасывании одной бомбы события А1, А2, А3 несовместны, то Р (А) = Р (A1) + Р(А2) +Р(А3) == 0,01 + 0,008 + 0,025 = 0,043.

Пример 3. Круговая мишень состоит из трёх зон: I, II и III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. Найти вероятность промаха. Решение. Обозначим А - промах,

- попадание.

Тогда =А1+ А2 + А3,

где А1, А2 , А3 - попадание соответственно в первую, вторую и третью зоны:Р ( ) = Р (A1) + Р (А2) + Р (А3) =

0,15 + 0,23 + 0,17 = =0,55,

откуда Р (А) =1 –Р( ) =0,45