第 8 章静电场

物理系：史彭物理系：史彭

大学物理：静电场大学物理：静电场

第第 88 章静电场章静电场

图为 1930 年 E.O. 劳伦斯制成的世界上第一台回旋加速器



相对观察者静止的电荷激发的电场相对观察者静止的电荷激发的电场————静电场静电场

电场是一种特殊的物质，具有物质的一般属性电场是一种特殊的物质，具有物质的一般属性质量、动量、能量等质量、动量、能量等

本章研究静电场的性质本章研究静电场的性质



静电场（一种特殊物质）知识结构

电场强度

静电场描述

相互作用

电势

能量导体电介质基本规律

高斯定理

环流定理

静电场的性质

基本规律

电容器

基本规律

高斯定理

本章主要内容本章主要内容



§8.1 电荷库仑定律一 . 电荷（ 1 ）基本性质：

A 正负性

B 同号相斥、异号相吸

C 可以分离、可以中和摩擦起电

静电复印机、静电除尘

D 剩余电荷显电性

（ 2 ）电量：物体携带电荷的多少，单位：库仑 C



C10)6004000.02189602.1(e 19

enQ

盖尔—曼提出夸克模型 : e31 e

32

（ 3 ）电荷守恒定律在一个孤立系统中总电荷量是不变的。即在任何时刻系统中的正电荷与负电荷的代数和保持不变，这称为电荷守恒定律。

（ 5 ）相对论不变性电荷的电量与它的运动状态无关

（ 4 ）电荷的量子性

说明电荷可以分离、中和，但是不能创造，不能被消灭。



二 . 库仑定律1. 点电荷

( 一种理想模型 )

当带电体的大小、形状与带电体间的距离相比可以忽略时 ,就可把带电体视为一个带电的几何点。2. 库仑定律处在静止状态的两个点电荷，在真空（空气）中的相互作用力的大小，与每个点电荷的电量成正比，与两个点电荷间距离的平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线。

1q 2qr21r

221

21 rqq

kF

0212

2121 r

rqq

kF

电荷 q1 对 q2 的作用力 F2

1

21F


大学物理：静电场大学物理：静电场电荷 q2 对 q1 的作用力 F12

0122

2112 r

rqq

kF

1q 2q

r 12r12F

041

k 真空中的电容率（介电常数） 0F/m1082187854.8 12

0

02

21

041

rrqq

F

讨论：

(1) 库仑定律适用于真空中的点电荷；(2) 库仑力满足牛顿第三定律；

万电 FF (3) 一般


大学物理：静电场大学物理：静电场三 . 电场力的叠加

21 ffF

1r 2r

1q

3q

2q

1f

2f

q3 受的力：

nFFFF

......21

020

041

ii

i

iii r

r

qqF

对 n 个点电荷：

对电荷连续分布的带电体0

2

0

0

4d

d rrqq

F

Q r

rqq

F 0

2

0

0

4d

Qr

qd

0q

F

d



已知两杆电荷线密度为，长度为 L ，相距 L

解qd

xx

xq dd

xq dd

qd

20 )(4

ddd

xxxx

F

L

L

L

xxx

xF3

2 0 20

2

)(4d

d

例

两带电直杆间的电场力。求

34

ln4 0

2

L 3L2L xO

不是点电荷库仑定理不能用！



§8.2 静电场电场强度

一 . 静电场

后来 : 法拉第提出场的概念早期：电磁理论是超距作用理论

电荷电荷电场激发

激发

施加力

施加力

静止电荷在其周围激发 —— 静电场

静电场是一种特殊物质，具有质量、动量、动能等



静电场的表征（ 1 ）对场内其它带电体有力的作用（ 2 ）使场内导体产生静电感应（ 3 ）使场内电介质产生极化现象（ 4 ）对场内运动带电体作功——表明静电场具有能量



二 . 电场强度

检验电荷带电量足够小点电荷

场源电荷在其周围产生电场

在电场中任一位置处的电场强度：

定量描述空间各点电场强弱的物理量——电场强度

电场中某点的电场强度的大小等于单位电荷在该点受力的大小，其方向为正电荷在该点受力的方向。电场强度的单位： N/C 或 V/m

0qF

E

q0qr

F

E

EqF

已知电场强度，可以求出 q 受力



三 . 电场强度叠加原理点电荷的电场

020

041

rr

qqF

0

200 4

1r

rq

qF

E

k k

k

k

rr

qEE 0

204

1kk

点电荷系的电场

点电荷系在某点 P 产生的电场强度等于各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。这称为电场强度叠加原理。

由多个点电荷组成的系统——系点电荷系

1r2r

1q

P

2q



连续分布带电体 02

0

d4

1d r

rq

E

0

204

dr

rq

E

qd: 线密度

: 面密度

: 体密度

qd

r

E

d

P

）线分布（ld（面分布）Sd（体分布）Vd



电场强度的计算（ 1 ）点电荷产生的电场

O x

y

z

r E

先计算大小

r

zEEE

r

yEEE

r

xEEE

z

y

x

cos

cos

cos

222zyx EEEE

q

三个分量

204

1

r

qE

矢量式

kEjEiEE zyx

...?方位角

02

04

1r

r

qE



iEE

（ 2）点电荷系产生的电场

一般计算过程

4. 得出总电场强度

3. 合成各分量

1. 计算各点电荷产生的电场强度的大小 ...21 、、EE

2. 计算各点电荷产生的电场强度各分量

...222111 、、、、、、 zyxzyx EEEEEE

xix EE yiy EE ziz EE

kEjEiEE zyx

222zyx EEEE

1r2r

1q2q

2E

1E p



坐标系（ 0 ， 0 ）处有

解

例

作图，

Cq 91 100.1

（ 0 ， 1 ）处有 Cq 92 100.2

求（ 2 ， 0 ）处的电场强度O

x

y

1E

1q

2q1

2

2E

q1 产生的电场强度

12

1

1

01 25.2

4

1

NCr

qE

1

1 25.2 NCiE

q2 产生的电场强度的大小 12

2

2

02 60.3

4

1

NCr

qE

122 61.1

5

160.3sin NCEE y

122 22.3

5

260.3cos NCEE x

E2 的分量


大学物理：静电场大学物理：静电场1

2 )61.122.3( NCjiE

合电场强度

121 )61.197.0( NCjiEEE

合电场强度的大小

122 89.161.197.0 NCE

合电场强度与 x 轴夹角的大小

1121970

611.

.

.arctg

E

Earctg

x

y

1E

2E

E



求电偶极子在延长线上和中垂线上一点产生的电场强度。

q ql

解E

E

ilx

qE

2

0 )2(4

例

O xP

ilx

qE

2

0 )2(4

EEE

ilx

xlq 222

0 )4(42

lqp

2220 )4(4

2

lx

pxE

令：电偶极矩

远场 lx 3

04

2

x

pE

臂 l

为由 – q 到 +q 的有向线段

在延长线上

掌握电偶极子、电偶极矩、臂等的概念



q ql

P

rE

E

E

)4(4 220 lr

qEE

在中垂线上

cos2 EEE x

30

30 44 r

pi

r

pE

0 yyy EEE

23220 )4(4 lr

p

远场 lr

x

y



qd : 电荷线密度 : 电荷面密度 : 电荷体密度

）线分布（ld（面分布）Sd（体分布）Vd

（ 3）连续分布带电体产生的电场

r

r

r

qE

20

d

4

1d

r

r

r

qE

2

04

d

特例：均匀带电V

Q

S

Q

L

Q ;;

一般先计算电场强度分量，再合成。特别注意对称性



a

P

x

y

O

它在空间一点 P 产生的电场强度（ P 点到杆的垂直距离为 a)

解

dq

xq dd 2

0

d4

1d

rx

E

r

sindd EEy cosdd EEx

由图上的几何关系 2

1

θaθax cot)2

tan(

θθax dcscd 2 22222 cscaxar

E

d

xEd

yEd

例长为 L 的均匀带电直杆，电荷线密度为求

dsin4

d0a

Ey

dcos4

d0a

Ex



yy EE d

xx EE d

(1) a >> L 杆可以看成点电荷

0xE2

04

aLλ

Ey

)sin(sin4 12

0

θθa

2

1

0

dcos4

θ

θθθ

a

)cos(cos4 21

0

θθa

2

1

0

dsin4

θ

θθθ

a

讨论

(2) 无限长直线

01 θ

2θaε

λEy

02

0xEa

P

x

y

Odq

r 2

1

E

d

xEd

yEd


大学物理：静电场大学物理：静电场例 : 一“无限长”均匀带电半园柱面 ,半径为 R ,设半园柱面沿轴线单位长度上的电量为 λ,试求轴线上一点的电场强度 . 解题思路：将模型离散成无数宽为 dl 的无限长直带电细线，积分各细线产生的场得出总场。 dl =Rd dl 不是点电荷！

Ed

横截面图

dl 线密度R

dl

dl 产生的场R

d

RdE

02

0 22

R

ddEdEx

022

sinsin

RR

ddEEE xx

02

0 022

sin



圆环轴线上任一点 P 的电场强度

R

P解

dq

lq dd

O

x

02

0

d4

1d r

rq

E

θEEx cosdd θEE sindd r

E

dxE

dE

d

例半径为 R 的均匀带电细圆环，带电量为 q

求

0E圆环上电荷分布关于 x 轴对称

θ

rq

Ex cosd

41

20

θrq

cos4

12

0

qr

θd

cos4

12

0

rx

θ cos 2/122 )( xRr 2/3220 )(4

1xR

qxE



(1) 当 x = 0 （即 P 点在圆环中心处）时，

0E

(2) 当 x>>R 时 2

041

xq

E

可以把带电圆环视为一个点电荷

讨论

R

P

dq

O

x

r



面密度为的圆板在轴线上任一点的电场强度解 rrq d2d

2/3220 )(

d4

1d

xrqx

E

EE d

ixR

xR

qE

]

)(1[

2 2/12220

P

r

x

O

E

d

2/3220 )(

d2 xr

rrx

])(

1[2 2/122

0 xRx

R

xrrrx

0 2/3220 )(

d2

例

R

rd



(1) 当 R >> x ，圆板可视为无限大薄板讨论

ixR

xR

qE

]

)(1[

2 2/12220

202 R

qE

2R

q

S

q

02E

方向垂直面，正电荷向外，负电荷向内大小与距离无关

请拿起书逐渐靠近眼睛



02E

(2)

E1 E1 E1

E2 E2E2021I EEE

021II

EEE

021III EEE

(3) 补偿法

ixRxR

x ]

)(1

)(1

[2 2/122

22/122

10

12 RR EEE

1R

2R

px

O



O x

杆对圆环的作用力

qL

解 xλq dd

2/3220 )(4

1xR

qxEx

xλEqEF xx ddd

L

xRxxqλ

F0 2322

0 )(4d

qd

xE

R

例已知圆环带电量为 q ，杆的线密度为，长为 L

求

)11

(4 22

0 LRRqλ

圆环在 dq 处产生的电场可以直接求吗 ?



例

解 EqF

EqF

相对于 O 点的力矩

θlFθlFM sin21

sin21

θqlE sin

EpElqM

(1) 力偶矩最大 2θ

力偶矩为零 ( 电偶极子处于稳定平衡 )0(2)

(3) 力偶矩为零 ( 电偶极子处于非稳定平衡 )

E

q

q

l

F

F θ P

求电偶极子在均匀电场中受到的力偶矩。

讨论

O



一 . 电场线（电力线）电场线的特点 :

(2) 反映电场强度的分布电场线上每一点的切线方向反映该点的场强方向 , 电场线的疏密反映场强大小。

SN

Edd

(3) 电场线是非闭合曲线

(4) 电场线不相交

(1) 由正电荷指向负电荷或无穷远处

§8.3 电通量高斯定理

+q

-q

A

AE



二 . 电通量

特例：对于均匀场中的平面

nSS dd

定义 cosdd EdSSEe

S

SEee

dd

在电场中穿过任意曲面 S 的电场线条数称为穿过该面的电通量。 e

E

dS

n

cosd ESSESEe

S

Sd Sd

n

E

En

ESEES n



闭合曲面向外为正，向内为负

(2) 电通量是代数量为正 ed

θ

2为负 ed

对闭合曲面 S

SEee

dd

20

θ

方向的规定：S

(1)

讨论

n



?d Se SE

S

SEe

d

SSE d

22

0

44

1r

rq

Ÿ 取任意闭合曲面时

以点电荷为例建立 e——q 关系 :

S

SEe

d q

0

1

结论 : e 与曲面的形状及 q 在曲面内的位置无关。

Ÿ 取球对称闭合曲面-q

+q

q0

1

+q

E 相同 ,=0

三 . 高斯定理



S

021 eee+q

S1 S2

Ÿ q 在闭合曲面外时：

Ÿ 当存在多个电荷时：

q1

q2

q3

q4

q5

521 ... EEEE

SEEESEe

d)...(d 521

0

3

0

2

0

1

qqq

是所有电荷产生的， e 只与内部电荷有关。E

SESESE

d...dd 521

结论 :



0

d内合Q

SEe S

Ve VSE d

1d

0

S

（不连续分布的源电荷）

（连续分布的源电荷）

反映静电场的性质—— 有源场

真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，在数值上等于该曲面内包围的电量的代数和乘以 01

高斯定理

意义

四 . 用高斯定理求特殊带电体的电场强度



均匀带电球面，总电量为 Q ，半径为 R

电场强度分布

Q

R解取过场点 P 的同心球面为高斯面

P

对球面外一点 P :r

S

SE

d S

SEd S

SE d 24 rE

根据高斯定理

0

24

i

iqrE

204 r

qE i

i

i

i QqRr2

04 rQ

E

++

+

+

++

例求

S

d

E

E 相同 ,=0



r

E

O

R+

+

+

+

++

对球面内一点 :

0 i

iqRr

E = 0

电场分布曲线

0E2

1r

E


大学物理：静电场大学物理：静电场例已知球体半径为 R ，带电量为 q （电荷体密度为）

R+

++

+解球外 )( Rr r

02

041

rrq

E

02

3

03r

rR

均匀带电球体的电场强度分布求

球内 ( )Rr

'1

341

0

3

0

qr

24 rE S

SE

d

r'

rE03

电场分布曲线R

E

Or

自己分析均匀带电有厚度球壳的电场强度分布



解电场强度分布具有面对称性选取一个圆柱形高斯面

Se SE

d

已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为

电场强度分布求

例

n

E

E

n

右底左底侧

SESESE

ddd

ESESES 20 根据高斯定理有

SES 0

12

02E

xO

Ex

n

与距离无关



III III

A B

设电场强度方向

E1E1 E1

E2 E2 E2

1 2两平行无限大均匀带电平面

21 EEE

I 区 0

21

0

2

0

1

222

IE

当 1 = - 2 时， EI = 0

II 区0

21

2

IIE

III 区0

21

2

IIIE

当 1 = - 2 或 1 = 2 时，分析各区电场强度

02E


大学物理：静电场大学物理：静电场例已知无限大板电荷体密度为，厚度为 d

板外：0

2Sd

ES

02d

E 外

板内：

0

22

xS

ES

0x

E 内

解选取如图的圆柱面为高斯面求电场场强分布

d

S

S

d

x

xO

Ex



已知“无限长”均匀带电直线的电荷线密度为 +

解电场分布具有轴对称性过 P 点作一个以带电直线为轴，以 l 为高的圆柱形闭合曲面 S 作为高斯面

下底上底侧

SESESE

ddd

Se SE

d

lrESESE 2dd侧侧

例距直线 r 处一点 P 的电场强度求

根据高斯定理得

r

l

S

d

E

P

S

d

E



llrE 0

12

rE

02

电场分布曲线总结用高斯定理求电场强度的步骤：(1) 分析电荷对称性； (2) 根据对称性取高斯面；

高斯面必须是闭合曲面高斯面必须通过所求的点

E

O r

(3) 根据高斯定理求电场强度。高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算

0

d内合Q

SEe S



自己计算上两种无限长模型的电场强度



§8.4 静电场的环路定理电势能一 . 静电力作功的特点• 单个点电荷产生的电场中

rr

qq b

a

r

rd

14 2

0

0

b

LalFA

)(d

)11

(4 0

0

ba rrqq

cosd )( 0

b

LalEq

b

a L

br

r

ar

l

d

rd

q

E

q0 b

LalEq

)( 0 d

( 与路径无关 )

O



b

La

b

Laab lEqlFA)( 0)(

dd

b

La

n

ii lEq

)(1

0 d)(

n

i

b

La i lEq1

)( 0 d

i biia

i

rrqq

)11

(4 0

0

结论电场力作功只与始末位置有关，与路径无关，所以静电力是保守力，静电场是保守力场。

• 任意带电体系产生的电场中电荷系 q1 、 q2 、…的电场中，移动 q0 ，有

nq1nqiq

2q1qa

b

L

•

•



在静电场中，沿闭合路径移动 q0 ，电场力作功

lEqlFAab

dd 0

b

La

b

LalEqlEq

)( 0)( 021

dd

L1

L2

a

Lb

b

LalEqlEq

)( 0)( 021

dd

0

二 . 静电场的环路定理

0d L lE

环路定理

a

b

电场力作功只与始末位置有关，与路径无关



静电场是无旋场0 E

0d L lE

SElEsL

d)(d

E

的旋度

(1) 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个电场是不是静电场。

E

a

d

d

c

c

b

b

alElElElElE

ddddd

d

c

b

alElE dd 21 0 不是静电场

a b

cd

讨论

(2) 环路定理要求电力线不能闭合。

(3) 静电场是有源、无旋场，可引进电势能。



三 . 电势能• 电势能的差

力学保守力场引入势能

静电场保守场引入静电势能

E

a

b

0q

定义： q0 在电场中 a 、 b 两点电势能之差等于把 q0 自 a 点移至 b 点过程中电场力所作的功。

ba

b

aab WWlEqA

d0



• 电势能取势能零点 W“0” = 0

"0"

0"0" daaa lEqAW

q0 在电场中某点 a 的电势能：

(1) 电势能应属于 q0 和产生电场的源电荷系统共有。

说明

(3) 选势能零点原则：

(2) 电荷在某点电势能的值与零点选取有关 ,而两点的差值与零点选取无关

• 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。

• 当 (源 )电荷分布在有限范围内时，势能零点一般选在　无穷远处。• 无限大带电体，势能零点一般选在有限远处一点。



如图所示 , 在带电量为 Q 的点电荷所产生的静电场中，有一带电量为 q 的点电荷

aaa rEqlEqW

dd

解选无穷远为电势能零点q 在 a 点和 b 点的电势能求

例

bb

b rqQ

lEqW04

d

b

a

Q

qar

br

aaaa r

qQ

r

rrEqW

02

0 44

qQdd

与路径无关，选径向 rdld



c

aca

a rrqQ

lEqW )11

(4

d0

选 C 点为电势能零点

c

bcb

b rrqQ

lEqW )11

(4

d0

b

aba

ba rrqQ

lEqWW )11

(4

d0

两点的电势能差：

b

a

cQ

qar

br

cr

与 C 点无关



单位正电荷自 ab 过程中电场力作的功。

b

a

abbaab lE

qA

qW

qW

u

d000

0qW

u aa

"0"

0

"0" da

aa lE

qA

u

电势定义

单位正电荷自该点“势能零点”过程中电场力作的功。

由于电势能不仅与电场有关，也与场内电荷有关，所以不能描述静电场，为描述静电场引入电势、电势差概念

电势单位： V 或 J/C

§8.5 电势电势差一 . 电势

aa uqW 0



点电荷的电势（选“”为电势零点）

aaa rElEu

dd

r

r

r

qE

20

1

4

rl

dd a

r

l

d

q

由于静电场力作功与路径无关，选

r

qua

04

r r

rq2

0

d

4



二 . 电势叠加原理

• 点电荷系的电势

pp lEu

d

1q

2q1E

2E

1r

2r P

p

lEE

d)( 21

21

d4

d4 2

20

22

10

1

rrr

r

qr

r

q

20

2

10

1

44 rq

rq

对 n 个点电荷

n

i i

in r

quuuu

1 021 4



在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。

对连续分布的带电体

QQ r

quu

04

dd

三 . 电势的计算

方法（ 1）已知电荷分布

Q r

qu

04d

（ 2）已知场强分布 "0"

dpp lEu



已知

解

（ 1 ）

例（ 1 ） O 点的电势求

mrCq 050.0,100.4 9

q

q q

q

r r

rr

,如图所示

（ 2 ）把 Cq 90 100.1 从无穷远搬到

O 点电场力作的功（ 3 ）电势能的增量

Vr

quu qO

3

0

1088.24

44

（ 2 ） JuqA OO639

0 1088.2)1088.20(100.1

（ 3 ） JAAWWW OOO61088.2

O



rq

u04

dd

2204

d

xR

l

R

pxR

lu

2

0 2204

d

2204

2

xR

R

均匀带电圆环半径为 R ，电荷线密度为。

解建立如图坐标系，选取电荷元 dq

例圆环轴线上一点的电势求

lq dd R

PO x

dqr



半径为 R ，带电量为 q 的均匀带电球体

解根据高斯定律可得：求带电球体的电势分布

例

++

++ +

+R

r P

Rr 30

1 4 Rqr

E

Rr 2

02 4 r

qE

对球外一点 P

对球内一点 P1

rEup

d

1

内

R

R

rrErE dd 21 )3(

822

30

rRR

q

rEup

d2

外

r rrq

204

d r

q

04

P1



半径为 R ，无限长带电圆柱面，电荷线密度求带电圆柱面的电势分布

例

R自己计算



§8.6 等势面电势与电场强度的微分关系一 . 等势面

电场中电势相等的点连成的面称为等势面。



等势面的性质 :(1) 等势面E

证明 :

lEqlEqA dcosdd 00

)(0 Qp uuq Qp uu

0dcos0 lEq 0cos

2

设等势面上 P 点的电场强度与等势面夹角为 ,把 q0 在等势面上移动 , 电场力作功为l

d

p

Ql

d

E

(2) 相邻两等势面间的电势差都相同等势面密 E

大等势面疏 E

小

(3) 电场强度的方向总是指向电势降落的方向

5V

3VE



二 . 电势与电场强度的微分关系取两个相邻的等势面，等势面法线方向为

nqEdlqElEqA dcosdd

uquuuqA d)]d([d

nu

Edd

unElE dddcos

任意一场点 P处电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方向上电势的变化率，负号表示电场强度的方向指向电势减小的方向。

把点电荷从 P移到 Q ，电场力作功为：n，设 E

的方向与

n相同，

u

u+du E

nd

n

P

Q

l

d



在直角坐标系中

unElθE dddcos 另一种理解

ulEl dd lu

El dd

nl dd nu

lu

dd

dd

xu

Ex

yu

Ey

zu

Ez

电势沿等势面法线方向的变化率最大

电场强度在 l 方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值

u

u+du E

nd

n

P

Q

l

d



某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就是电势与电场强度的微分关系。

)grad()( uukz

uj

y

ui

x

uE

例

求（ 2 ， 3 ， 0 ）点的电场强度。

已知 22 766 zyxxu

解 66)126( xy

xu

Ex

246 2 x

yu

Ey

jijEiEE yx

2466

014

zz

uEz


大学物理：静电场大学物理：静电场例由电势梯度求均匀带电圆盘轴线上的电场分布解

xr

dr R

p

y

zxxO

（ 1 ）求 p 点电势圆环在 p 点产生的电势

L22

00 4

2

4 xr

rdr

L

dqdu

][2

22

0

xxRduu

（ 2 ）求 p 点电场强度

0;0];1[2 22

0

zyx EExR

x

x

uE

ixR

xuE

]1[

2 220



1. 静电平衡

§8.7 静电场中的导体一 . 导体的静电平衡

导体导电能力极强的物体，如金属导体的电结构：导体由不动的带正电

无外场的不带电导体：

移动的自由电子组成导体中的自由电子均匀分布，对外不显电性

的晶格点阵和可自由



导体内部和表面上任何一部分都没有宏观电荷运动，我们就说导体处于静电平衡状态。

有外场时的导体：

在外电场作用下，导体中的自由电子重新分布，达到平衡——静电平衡。对外显电性——静电感应



2. 导体静电平衡的条件0 感外内 EEE

导体内部：

若导体内部某点有场强，该点上的自由电子将受力而移动

导体内部无电力线

0内E

导体表面表面 E

导体表面：

若导体表面某点有切向场强，该点上的自由电子将受切向力而沿导体表面移动



3. 静电平衡导体的电势

导体静电平衡时，导体上各点电势相等，即导体是等势体，表面是等势面。

0d b

aba lEUU



由导体的静电平衡条件和静电场的基本性质，可以得出导体上的电荷分布。

1. 静电平衡导体的内部处处不带电

0d s SE

0d Vi

i Vq

证明：在导体内任取体积元 Vd

由高斯定理

体积元任取

二 . 导体上电荷的分布

0导体中各处

0E

Vd



（ 1）导体内有空腔，且空腔中无电荷

电荷只分布在导体外表面

S

在空腔外附近导体内取高斯面

0d s SE 0内表q

（ 2）导体内有空腔，且空腔中电荷在导体内外表面都有电荷分布，内表面电荷与 q 等值异号

在空腔外附近导体内取高斯面

0d s SE qq 内表

Vd+q

---

----

-- -

----- S



2. 静电平衡导体表面附近的电场强度与导体表面电荷的关系),,( zyx

),,( zyxE表

S

SE

d

SESESESSS

ddddd

表表

0

d S

0表E

设导体表面电荷面密度为 P 是导体外紧靠导体表面的一点 , 相应的电场强度为

nE

0表

根据高斯定理 :

++++ds

E

0E

P

sdnE

+

++

+

+



孤立导体

+ +++++

+++++++

++++++

c导体球

孤立带电

由实验可得以下定性的结论：

在表面凸出的尖锐部分电荷面密度较大，在比较平坦部分电荷面密度较小，在表面凹进部分带电面密度最小。

R1

CBA A

B

C

3. 处于静电平衡的孤立带电导体电荷分布

处于静电平衡的孤立带电导体电荷表面分布问题是当今未完全解决的热门问题！



4. 静电屏蔽 (腔内、腔外的场互不影响 )

腔内

腔外

内表面

外表面导体


大学物理：静电场大学物理：静电场如图所示 , 导体球附近有一点电荷 q 。

解

接地即

044 00

l

qR

Q

qlR

Q

0u q

R

o

l

由导体是个等势体

O 点的电势为 0 则

接地后导体上感应电荷的电量

设感应电量为 Q

Qq

0 ？

例求

Q



两球半径分别为 R1 、 R2 ，带电量 q1 、 q2 ，设两球相距很远，当用导线将彼此连接时，电荷将如何分布？

解设用导线连接后，两球带电量为 21 qq

10

11 4 Rε

qu

20

22 4 Rε

qu

2121 qqqq

2

12

22

211

4

4RR

Rσ

Rσ

1

2

2

1

RR

σσ

1q 2q

R2R1

如果两球相距较近，结果怎样？

例

思考

21 uu



已知导体球壳 A 带电量为 Q ，导体球 B 带电量为 q (1) 将 A 接地后再断开，电荷和电势的分布；

解

Q

A 与地断开后 ,

100 441 R

q

r

qUUU RrB

A rR1

R2

B-q电荷分布不变

(2) 再将 B 接地，电荷和电势的分布。求三个表面电荷分布： B球外表面 q

A 壳内表面电荷 - q

例求

(1)

qA 接地时，外表面电荷为 0

求电势分布： A 点势为 0



(2) 再将 B 接地，电荷和电势的分布。

设 B上的电量为 q

qQ 内根据孤立导体（ A ）电荷守恒

A rR1

R2

BQ 内

Q 外

再将 B 接地，电荷重新分布

qQQ 外内 qqQ 外

0444 20100

R

qq

R

q

r

qU B

B 球圆心处的电势

2121

1

RRrRrRqrR

q

204 R

qqU A

qA 壳内表面电荷



总结 (有导体存在时静电场的计算方法 ) 1. 静电平衡的条件和性质 : 2. 电荷守恒定律3. 确定电荷分布 ,然后求解

0内E C导体U



电容只与导体的几何因素和介质有关，与导体是否带电无关

三 . 导体的电容电容器1. 孤立导体的电容

Qu 孤立导体的电势

u

QC 孤立导体的电容

单位 :法拉 ( F )

+

+

++

+

+

+

++

+

+

+

+

+

+

+

Q

u↑

E↑

求半径为 R 的孤立导体球的电容

电势为R

Qu

04

RC 04 电容为R


大学物理：静电场大学物理：静电场若 R = Re , 则 C = 714 F

若 C = 110 –3 F , 则 R = ?

C = 110 -3F

啊 , 体积还这么大 !

1.8m

9m通常，由彼此绝缘相距很近的两导体构成电容器。

极板

极板

+ Q- Q

u

Qu

使两导体极板带电 Q

两导体极板的电势差

2. 电容器的电容

电容器的电容

uQ

C



电容器电容的计算

设 Q E

uuQ

C

电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位置以及极板间介质，与是否带电无关。

0SQd

Edu

dS

uQ

C 0

(1) 平行板电容器

d u

S+Q

-Q

0

E



(2) 球形电容器

0

24Q

Er 204 r

QE

)11

(4 210 RR

QldEu

b

a

12

2104RRRR

uQ

C

R1

+Q

-QR2

ab

若 R1>>R2-R1 ,则 RRR 21 dRR 12

d

S

RR

RRC 0

12

2104

平行板电容器的电容



(3) 柱形电容器

)(2 210

RrRl

QhrhE

)(2 21

0

RrRrl

QE

R1

R2

lh

2

1

d2 0

R

Rr

lrQ

u

)ln(2

12

0

RRl

uQ

C

1

2

0

ln2 R

Rl

Q



1

12

1

12

1

2 )1ln(lnR

RR

R

RR

R

R

d

SC 0

)ln(2

12

0

RRl

uQ

C

若 R1>>R2-R1 ,则 RRR 21 dRR 12

R1

R2

lh

12

102

RR

lR

平行板电容器的电容



电容器的应用：储能、振荡、滤波、移相、旁路、耦合等。

电容器的分类

形状：平行板、柱形、球形电容器等

介质：空气、陶瓷、涤纶、云母、电解电容器等

用途：储能、振荡、滤波、移相、旁路、耦合电容器等。



2.5

厘米

高压电容器 (20kV 5~21F)( 提高功率因数 )

聚丙烯电容器( 单相电机起动和连续运

转 )

陶瓷电容器(20000V1000pF)

涤纶电容(250V0.47F)

电解电容器(160V470 F)

12

厘米

2.5

厘米

70

厘米



电容器的并联

C1 C2

U1 U2

C21 CCC

21 UUU

C1q1

C2q2

C

电容器的串联

21

111

CCC

21 qqq



A B

§8.8 电场能量以平行板电容器为例，来计算电场能量。

+

设在时间 t 内，从 B 板向 A 板迁移了电荷 )(tq

)(tq )(tqCtq

tu)(

)(

在将 dq 从 B 板迁移到 A 板需作功

qCtq

qtuA d)(

d)(d

CQ

qCtq

AAQ

2d

)(d

2

0

极板上电量从 0 —Q 作的总功为



CQ

AW2

2

CUQ

QUCU21

21 2

忽略边缘效应，对平行板电容器有

EdU ds

C 0

VEsdEW 20

20 2

121

202

1E

VW

w 能量密度

不均匀电场中 VwW dd

VEWWV V

d21

d 20

（适用于所有电场）



3 能量的携带者

CQ

AW2

2

说明能量由电荷携带

说明能量由电场携带

由电磁波传播实验表明能量由电场携带

VVEW d

2

1 2

+

-

电磁波



已知均匀带电的球体，半径为 R ，带电量为 Q

RQ

从球心到无穷远处的电场能量

解

1E2E

30

1 4 RQr

E

2

02 4 r

QE

r

rrV d4d 2

RQ

VEW R

0

22

1001 40d

21

RQ

VEW R

0

22

202 8d

21

R

QWWW

0

2

21 203

求

例

取体积元



平行板电容充电后拉开距离 1 倍

（ 1 ）外力作的功

解

求

例

（ 2 ）两板之间吸引力

d

Q Q

拉开前

S

dQ

C

QW

0

2

2

2

2 2 拉开后

S

dQ

C

QW

0

2

1

2

1 22

场AS

dQWW

0

2

21 2

S

dQWAA

0

2

2 场外

d



（ 2 ）两板之间吸引力

S

Q

d

AFF

0

2

2 外

外场

dFA 外外

另一法

02

AE

S

QQEQF AB

0

2

0 22

场

S

dQWAA

0

2

2 场外



一 . 电介质对电场的影响电介质 : （绝缘体）导电性质极差的物体，如云母片电介质的电结构：电介质中无自由电子，所有的电子都被

束缚在原子（分子）范围之内正电荷中心：电介质分子中的正电荷分布中心负电荷中心：电介质分子中的负电荷分布中心

+

-

无极分子电介质：无外场时，正负电荷中心在同一处

有极分子电介质：无外场时，正负电荷中心在不同一处

+ -

§8.9 静电场中的电介质



rr

uu

0

r

EE

0

r — 电介质的相对介电常数

电介质的实验 :

介质充满平行板电容器中间时+Q -Q

+++++++

+++++++

+

+

-------

-------

-

-

0CC r

介质中电场减弱 r 倍1r



二 . 电介质的极化束缚电荷无极分子有极分子

+ -

lqp

无外场时（热运动）

整体对外不显电性

( 无极分子电介质 ) ( 有极分子电介质 )

0p



有外场时

( 分子 ) 位移极化

( 分子 ) 取向极化

束缚电荷 ´

束缚电荷 ´

'0 EEE

无极分子电介质

有极分子电介质-------

+++++++0E

'E

E ´



三 . 电介质的高斯定理电位移矢量

Sr

'σ

'σ

+ + + + + + + + + + + + + ++ + +

- - - - - - - - - - - ---- - - - - -

0

0

S

0

,d内q

SES

高斯定理适合任何静电场

内,q 为高斯面内包围的所有电荷，包括自由电荷和束缚电荷

由于束缚电荷面密度一般难于确定，用上式难于计算电场强度



无电介质时

0

00 d

S

SES

加入电介质

SSES r 00 d

rE

E

0

内自qSDS

d

EED r

0 — 介电常数令：

Sr

'σ

'σ

+ + + + + + + + + + + + + ++ + +

- - - - - - - - - - - ---- - - - - -

0

0

S

通过高斯面的电位移通量等于高斯面所包围的自由电荷的代数和，与极化电荷及高斯面外电荷无关。



比较

0

d内所有q

SES

内自qSDS

d(1)

电场强度线从正电荷出发，终止在负电荷

(2)

电位移线从正自由电荷出发，终止在负自由电荷

Sr

'σ

'σ

0

0

线D

线E

求介质中电场强度的方法

DqSDS 内自

d EED r

0



四 . 介质中的电场能量密度

DEEw re 21

21 2

0

ABCUW 2

21 220

2dE

dSr EDV

21



两平行金属板之间充满相对介电常数为 r 的各向同性

均匀电介质 ,金属板上的自由电荷面密度为 0 。两金属板之间的电场强度和介质表面的束缚电荷面密度 .

解

SSD 0

0D

r

DE

0

0

0

0

0

d

S)'(qq

SESES

)'(1

00

E 0)1

1('

r

求

例

Sr'σ

'σ

+ + + + + + + + + + + + + ++ + +

- - - - - - - - - - - ---- - - - - -

0

0

S

内自,SqSD

d



例平行板电容器，其中充有两种均匀电介质。求 (1) 各电介质层中的场强

(2) 电容解做一个圆柱形高斯面 1S

内11

d S

S

qSD

111 SSD

1D

同理，做一个圆柱形高斯面 2S

2D

21 DD 21 EE

A B

1d 2d

1S

2S

1 2

10

11

r

DE

20

22

r

DE

内22

d S

S

qSD



B

ArEu

d

1 21

10 21 ddd dd

drErE

22

11

ddroro

• 各电介质层中的场强不同• 相当于电容器的串联

1221

21

ddS

u

S

u

qC

A B

1d 2d

1 2

D

1E

2E

自己利用电容器串联公式计算电容



平板电容器中充介质的另一种情况21 uu 由极板内为等势体

du

E 11

du

E 22

1101 ED r 2202 ED r

2211 SS

qdu

22112211 ESESSSq

d

S

d

S

u

qC 2211

A B

d

1S

2S

1

2

1

2

• 各电介质层中的场强相同• 相当于电容器的并联

自己利用电容器并联公式计算电容

21 EE

2211 SSd

uq

11 D 22 D


大学物理：静电场大学物理：静电场例一单芯同轴电缆的中心为一半径为 R1 的金属导线，外层一金

属层。其中充有相对介电常数为 r 的固体介质，当给电缆加一电压后， E1 = 2.5E2 ，若介质最大安全电势梯度为 E

电缆能承受的最大电压？解用含介质的高斯定理

rE

r

02

12 5.2 RR

*102 ERr

2

1

dR

RrEu

2

1

2

1

dd

2*

10

R

R

R

Rr r

rERr

r

1

2*1 ln

RR

ER

求

1R

2R

r

1E2E

5.2ln*

1ER

21 5.2 EE



第第 99 章恒定磁场章恒定磁场

磁约束核聚变研究装置



电流在其周围激发电流在其周围激发 ------磁场磁场

稳恒电流在其周围激发稳恒电流在其周围激发 ------稳恒磁场稳恒磁场

本章研究稳恒磁场的基本性质本章研究稳恒磁场的基本性质



恒定磁场（一种特殊物质）知识结构

磁感应强度

磁场描述

相互作用

能量真空中的电流

基本规律

高斯定理

环流定理

恒定磁场的性质

磁通量

磁介质



§9.1 磁场力和磁感应强度 B

电流1. 电流、电流密度

（ 1 ）电流的定义：自由电子的定向运动形成电流（ 2 ）电流的方向：正电荷运动的方向（ 3 ）电流的大小：单位时间内通过导体截面的电量，既单位时间内电荷对截面积的通量

S

dt

dq

t

qI

t

0

lim

（ 4 ）稳恒电流：电流的大小和方向都不变的电流



（ 5 ）电流密度：描述电流空间分布的物理量

dS

n

ndS

dIj

空间某点电流密度的大小为：通过该点单位垂直截面上的电流空间某点电流密度的方向为：该点电流的方向

（ 6 ）通过空间某曲面的电流

dS

n

S

j

通过 dS 面的电流

SdjdI

ndSSd

通过 S 面的电流

S

SdjI

（ 7 ）电流线：描绘电流场（类似电力线）


大学物理：静电场大学物理：静电场2. 电流连续性方程导体中一闭合面 S ， t 时刻有电荷 q

S

单位时间内流出的电流等于单位时间内电荷减少量

S

SdjI

出

dt

dqI 出

V

e dVq

V

e

S

dVdt

dSdj

电流连续性方程

3. 稳恒电流条件 0dt

dq 0S

Sdj

稳恒电流条件：任意时刻流出导体任意闭合曲面的电流等于流入该曲面的电流



一 . 磁力与磁场

磁体磁体

电流电流

安培提出 : 一切磁现象起源于电荷运动

运动电荷运动电荷磁场

磁场的性质(1) 对运动电荷 ( 或电流 ) 有力的作用 ;

(2) 磁场有能量



二 . 磁感应强度在闭合回路中取电流元 lI

d

lI

d

电流元在磁场中的受力特点 :

(1) 电流元在磁场中的方向不同 ,

受力也不同 ;

存在一个方向使 0d F

lI

d

0d F

定义lI

FB

dd max

B

(2) 当电流元的取向与磁感应强度的方向垂直时 , 受到的磁场力最大 ;

磁感应强度的大小

定义该方向为磁感应强度的方向

B

lI

dmaxdd FF



满足 maxdF

lI

d

B

maxdF

BlIF

dd

（ 3 ）磁场力的方向与电流元

和磁感应强度 B

——安培力公式

lI

d

右手螺旋关系



利用运动电荷在磁场中受力情况来测量磁场

(1) 磁感应强度的方向运动电荷在磁场中运动时，存在一个方向使 0F

定义q

FB max

(2) 磁感应强度的的大小

磁感应强度的大小

定义该方向为磁感应强度的方向

当运动电荷电量、速度一定时，运动电荷的运动方向与磁感应强度的方向垂直时，受到的磁场力最大 maxF

磁感应强度的单位： T （ 1T=10000Gs ）

F

q



的关系 F

BqF

（ 3 ）磁场力与磁感应强度 B

——洛仑兹力公式

B 的方向

洛仑兹力的大小

sinBqF

B

F

q

0

洛仑兹力的方向

注意电荷为负时，力的方向取逆方向



§9.2 毕奥－萨伐尔定律一 .毕奥－萨伐尔定律

静电场 : 取 qd E

d EE

d

磁场：取 lI

d B

d BB

d

200 d

4d

rrlI

B

毕－萨定律： 0r

单位矢量

真空中的磁导率 270 AN104

大小：2

0 sind4

dr

lIB

方向：右螺旋法则

???

P

lI

d r

B



例如：

lI

d

P

r B

lI

dr B

r

B lI

d r

0B

（ 3 ）一段载流导线在场点 P 处产生的磁场 P

lI

d r

Bd

A

B

B

AL r

rlIB

200 d

4dB

（ 4 ）闭合载流导线在场点 P 处产生的磁场

200 d

4dB

r

rlIB

P

lI

d r

Bd



（ 1 ）载流直导线的磁场

解2

0 sind4

dr

lIB

求距离载流直导线为 a 处一点 P 的磁感应强度 B

20 sind

4d

rlI

BB

I

alI

d r B

P各电流元产生的磁感应强度的方向相同

求磁感应强度的方法 lI

d B

d B

二 .毕－萨定律的应用



1

2cscar

dcscd 2al

cotcot aal

根据几何关系

)cos(cos4 21

0

a

IB

2

1

dsin4

0θ

θaI

B

I

alI

d r

P

l

由电流元方向确定 1 、 2 方向



(1) 无限长直导线

)cos(cos4 21

0

aI

B

01 2

aI

B

2

0 方向：右螺旋法则

(2) 任意形状直导线

01 B

)180cos90(cos4

0002

aI

B

aI

40

P

a

I

1

2

B

r

讨论

B

I

1

2

P



I

b

(3) 无限长载流平板

P

B

dxB

d解bxI

Id

d

rI

B

2

dd 0

xxP BBB d cosdB

1

0

0 dθ

P bI

B y

bbI

2arctan0

dsecd 2yx

r

sec2d0

byxI

2

0 20

secd

22

b xbyI

x

y

O

xd

yb

2arctan1

B

d

1



(1) (2) (3)

分析：y

bbI

Bp 2arctan0

(1) by

yI

byIb

BP

2200

yb

yb

22arctan

无限长载流直导线

(2) by 22

arctan

yb

bI

bI

BP 2200

i02

1

无限大板

031 BB iB 02

磁屏蔽

i i



2　载流圆线圈的磁场求轴线上一点 P 的磁感应强度

20 d

4d

rlI

B

)(

d4 22

0

xRlI

根据对称性 0B

cosdB xBB dr

Rcos

2/322

20

)(2 xRIR

B

方向满足右手定则

R

xO

lI

dB

d

B

d

r

Px

I

dlr

IRB

30

4

Rdl 2



2/322

20

)(2 xRIR

B

(1) 0x 载流圆线圈的圆心处 RI

B2

0

(2) 一段圆弧在圆心处产生的磁场

22

0 RI

BRI

4

0

I

如果由 N 匝圆线圈组成R

INB

20

讨论



右图中，求 O 点的磁感应强度解 01 B

4

3

20

2 R

IB

R

I8

3 0

I 1

2

3R

O

例

)cos(cos4 21

03

RI

B

RI

40

321 BBBB

2 1 θ 2 θ



Rx (3) 2/322

20

)(2 xRIR

B

3

20

2xIR

B

30

2 xIS

nISpm 定义：磁矩

I

S

nmp

30

2 xp

B m

N 匝线圈的磁矩 nNISpm



求绕轴旋转的均匀带电圆盘轴线上的磁场和圆盘的磁矩

解 2/ Rq

rrq d2d

rdrdqdqdI 2

2/322

30

2/322

20

)(2d

)(2d

dxr

rrxr

IrB

BB d

x

Rx

xR2

22 22

220

x

OR

q

P

r

B

d

例

dI 为每秒从该横断面流过的电量



圆盘圆心处

RB2

0

nrrnIrpm ddd 32

R

mm

Rrrpp

0

43

4dd

方向沿 x 轴正向

0x

x

Rx

xRB 2

2

2 22

220

x

OR

q

P

r

B

dnISpm



３载流螺线管轴线上的磁场

lInI d'd

已知螺线管半径为 R

单位长度上有 n 匝

dl上的电流

dl 在 P 点产生的磁场2/322

20

2/322

20

)(2d

)(2d

dlR

lInRlR

IRB

cotRl

2222 cscRlR 几何关系

R

P

l

B

d

r 21

dl

dsin

2d 0 nIB



2

1

dsin2

0β

βnIB

120

2

coscosnIB

(1) 无限长载流螺线管 1 nIB 002 讨论

(2) 半无限长载流螺线管端口处

,2 1 β 0 2 β20

InB

螺线管在 P 点产生的磁场

PR

l

B

d

r 21

注意： 1 数值的正确确定



三 . 运动电荷的磁场

lI

d

P

r

200 d

4d

rrlI

B

lI

d+q

StQ

Idd

t

qlSn

d

d vnSq

200 d)(

4d

r

rlnSqB

v

电流元内总电荷数 lnSN dd

电荷个数密度

200 d

4d

rrqN

B

v

一个电荷产生的磁场2

00

4dd

rrq

NB

B

v



Oa

b

如图的导线，已知电荷线密度为，当绕 O 点以转动时

解1

2

34

qd

d

线段 1 ： ddd blq

20

1

d4

db

bqB

d

40

O 点的磁感应强度例求

v

00

01 4

1d

4

B

线段 2 ：同理 02 41B

200

4 r

rqB

v



线段 3 ： rq dd

20

3

d4

dr

rrB

rr

d40

ab

rr

Bb

aIn

4d

400

3

线段 4 ：同理ab

B In40

4

4321 BBBBB 0)In1

1(21

ab

200

4 r

rqB

v

Oa

b

1

2

34 qd

dv

r



§9.3 磁场的高斯定理静电场：

磁场： ?d SB

0iSe qSE /d

静电场是有源场

一 . 磁力线1. 规定

(1) 方向：磁力线切线方向为磁感应强度 B

B的单位面积上穿过的磁力线条数为磁感B

SN

Bdd

的方向(2) 大小：垂直

应强度的大小B

S

d



2. 磁力线的特征

(1) 无头无尾的闭合曲线

(2) 与电流相互套连，服从右手螺旋定则

(3) 磁力线不相交

磁力线

磁力线

电流线



（ 1 ）定义：通过面元的磁力线条数—— 通过该面元的磁通量

S

dB

有限曲面上的磁通量 SBm

d

磁力线穿入

Sm SB

d

闭合曲面的规定0m

磁力线穿出 0m

（ 2 ）磁通量的计算面元上的磁通量 SBd m

d

闭合曲面上的磁通量

特例：均匀磁场中平面上的磁通量

cosd BSSBSBm

二 . 磁通量


大学物理：静电场大学物理：静电场三 . 磁场的高斯定理 B

S

磁场线都是闭合曲线 0d Sm SB

(磁高斯定理 )

电流产生的磁感应线既没有起始点，也没有终止点，即磁场线既没有源头，也没有尾闾 —— 磁场是无源场（涡旋场）

例证明在磁力线为平行直线的空间中，同一根磁力线上各点的磁感应强度值相等。

a bS解 Sm SB

d

0 SBSB ba

ba BB



§9.4 磁场的安培环路定理

一 . 磁场的安培环路定理

静电场 : 0d lE

静电场是保守场

磁场 : ?d lB

1. 磁感应强度环流 lB

d

在空间选定一个闭合曲线 L ，曲线上

l

d

方向与 L 方向一致，把该点的 lB

d

对整个 L 积分 lB

d 称为磁感应强度环流

选定一个绕行方向。 P 点上选

L

P

l

d

B



rI

B

2

0

LlB dcos

Lr

rI

d2

0

L

lB

d

I0

2. 无限长载流直导线磁感应强度的环流

I

L

Pr

无限长载流直导线产生的磁场

由几何关系得

rddl cos

L

lB

d

I B

rL

r

l

d

d



• 若环路中不包围电流的情况

I

L

• 若环路方向反向

LLr

rI

lB d

2d 0

I0

1

01 2 r

IB

2

02 2 r

IB

lBlB

dd 21 对一对线元来说

2211 cosdcosd lBlB

2

20

1

10

2d

2d

rIr

rIr

0

环路不包围电流，则磁场环流为零 1dl

I 1B2B

2dl

1r

2r

L

d12

I B

r

L

l

d

'r d



3. 电流方向的规定

电流与绕行方向成右手定则时， I > 0 ，否则 I < 0

0I

L

4. 多电流情况

21 I,I —— 在环路 L 中

—— 在环路 L 外

环路上各点的磁场为所有电流的贡献但外部电流对磁环流无贡献

磁场的环流与环路中所包围的电流有关，与环路外的电流无关，与环路的形状无关。上式具有普适性，对任何磁场都成立。

L1I

2I

P

3I4I

43 I,I



L i lB

d 0

10

k

iiI

—— 安培环路定律

恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 0 μ 倍

内IμlBL 0d

L iL

lBlB

dd

则磁场环流为

包围的电流



(1) 积分回路方向与电流方向呈右螺旋关系满足右螺旋关系时 0iI 反之 0iI

(2) 磁场是有旋场 —— 电流是磁场涡旋的轴心 (3) 安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设

想的一段载流导线不成立

L

lB

d

L

laI

dcoscos4 21

0

图中载流直导线 , 设 4/21 θθ

aaI

2

22

24

02

20 I I0

例

讨论

则 L 的环流为 :a

I

L1

2



例求无限长圆柱面电流的磁场分布。 R

I

rP

L

解系统有轴对称性，圆周上各点的 B 相同

PId'dI

B

d 'dB

时过圆柱面外 P 点做一圆周Rr

L lB dcos L

lB d rB 2 I0

rI

B

2

0

L lB dcos L

lB d rB 2

Rr 时在圆柱面内做一圆周

0

0B

切线方向

二 . 安培环路定理的应用



无限长圆柱体载流直导线的磁场分布

Rr 区域：rI

B

2

0

区域：Rr rB 2 20 rj

2RI

j

20

2 RIr

B

推广

R

I



例　将半径为 R 的无限长导体薄壁管（厚度忽略）沿轴向割去一宽度为 h （ h<<R ）的无限长狭缝后，再沿轴向均匀地流有电流，其面电流密度为 i （如图），求管轴线上磁感应强度的大小

设狭缝中有相同电流密度、方向相反的一对电流 I 、 -I

原模型和 I 形成闭合无限长圆柱面产生 1B

-I 产生 2B

21 BBB

I = ih

01 B

R

ihBB

2

02



ro

I

N

例求螺绕环电流的磁场分布及螺绕环内的磁通量解

h

1R

2R S

rd

在螺绕环内部做一个环路，可得

L lB dcos L

lB d rB 2 NI0

rNIB 2/0 若螺绕环的截面很小， rr

Ir

NB

20内 nI0

若在外部再做一个环路，可得

0iI 0外B

螺绕环内的磁通量为

2

1

dR

Rm SB

rhr

NIR

Rd

22

1

0

1

20 ln2 R

RhNI



例求无限大平面电流的磁场解面对称 i

B

'B

P ab

c d

dacd

bcab

lBlB

lBlBlB

dd

ddd

d

c

b

alBlB dd

Bab2 abi0

2/0iB

推广：有厚度的无限大平面电流 2/0 jdB

jxB 0

• 在外部

• 在内部 jd

x



载流导体产生磁场磁场对电流有作用

一 . 磁场对载流导线的作用

大小：方向：

sindd lBIF 由右手螺旋法则确定

BlIFF

dd

9.5 磁场对电流的作用

BlIF

dd安培力

lI

d

B

F

1 磁场对电流元的作用力

2 磁场对载流导线的作用力



(1) 安培定理是矢量表述式 zyx FFFF d,d,dd

(2) 若磁场为匀强场 BlIF

d

（ 3 ）在匀强磁场中的闭合电流受力

BlIF

d 0

载流直导线在匀强磁场中 BLIF

力的大小 sinILBF

当载流直导线在匀强磁场中，且垂直磁场时 )

2(

ILBF

讨论



x

y

O A

I

L

B

此段载流导线受的磁力。在电流上任取电流元 lI

d

)()(dd kBjdyidxIBlIF

lI

dF

diIBdyjIBdxF

d

jIBLF

例在均匀磁场中放置一任意形状的导线，电流强度为 I求

解

相当于载流直导线

F

在匀强磁场中受的力，方向沿 y 向。OA

0

00dF IBdyiIBdxjF

L

z



例求两平行无限长直导线之间的相互作用力

a

2I1I

1B12f

解

aI

B

2

101

电流 2 处于电流 1 的磁场中

1212 BIf

同时，电流 1 处于电流 2 的磁场中，

aII

BIf

2

2102121

21f

aII

2210

电流 2 中单位长度上受的安培力

电流 1 中单位长度上受的安培力



(1) 定义 : 真空中通有同值电流的两无限长平行直导线，若相距 1 米，单位长度受力

(2) 电流之间的磁力符合牛顿第三定律：

N102 7

1221 ff

则电流为 1 安培。

(3) 两电流元之间的相互作用力，一般不遵守牛顿第三　　定律

讨论


大学物理：静电场大学物理：静电场例求一载流导线框在无限长直导线磁场中的受力和运动趋势

解 1I

a

b

a

2I1

2

3

4xo

121 bBIf aI

bI

2

102

323 bBIf )2

102 a

IbI

方向向左

方向向右

a

alBIf

2

122 2sind

xIxIa

ad

2 2

210

2ln

2210

II

24 ff

整个线圈所受的合力： 4321 ffffF

31 ff

线圈向左做平动31 ff

1

3

2

4



二 . 磁场对平面载流线圈的作用

B

1l

2l

DAF

BCF

D

CB

AIcos1BIlFF BCDA

（方向相反在同一直线上）

2BIlFF ABCD

0 iF

（线圈无平动）

（ 2 ）力矩分析

sin2

sin2

11 lF

lFM CDAB

sinsin21 SBIBIll

1. 在均匀磁场中的刚性矩形载流线圈

n

（方向相反不在一条直线上）

CDF

ABF

B

+n

A(B)

D(C)

（ 1 ）受力分析BLIF



nllnSS 21

BpM m

SInISpm

令2. 磁矩 mp

与 I 成右手定则n

对于 N 匝线圈 SNIpm

3. 力矩与磁矩的关系

N 匝线圈的力矩 sinNSBIM N 匝线圈的力矩的矢量式 BSNIM

力矩与磁矩的关系普适

讨论(1) 2

n

B

NSBIM max

(2) B

0min M0 n

(3) B

0min M n

稳态

亚稳态



三磁场力的功1 安培力对运动载流导线的功

Il

dx

F

BIlBF

IBdSIlBdxxdFA d

力的大小

dt 时段内力作的微功

有限时段内力作的功 mIdAdA

若电流不变 mm IdI A由于磁场是非保守力场，磁力作功不等于磁场能量的减少量

mIdA d



2 磁力矩对载流线圈的功

dsindd BISMA

)cosd( BSI

mmmm IIIA m

m

)(d 12

2

1

负号表示力矩作正功时减小

非均匀磁场中的平面电流环

0 iF

线圈有平动和转动

0M

CDF

ABF

B

+n

A(B)

D(C)

mIdA d

若电流不变



（ 1 ）对 Y 轴的力矩

Y B

例

求

解

有一半径为 R 的半圆形闭合线圈，电流方向如图所示，线圈处于均匀磁场中

（ 2）在该力矩作用下，线圈转过 90 所作的功

XR

（ 1） BpM m

I

磁矩方向为

力矩的大小 IBRISBBpM m2

2

1

力矩的方向为 Y 方向

（ 2）

IBRISBIIA mmm2

12 2

10)(



一 .洛伦兹力公式• 实验结果

qB

v

f

sin,,, vBqf θ

sinBqf v

• 安培力与洛伦兹力的关系

l

d

I

q

s

fBqNF

vdd

Bqfm

v

BlIF

d Blnsq

dv

BNq v

安培力是大量带电粒子洛伦兹力的叠加

§9.6 带电粒子在磁场中的运动

v



(1) 洛伦兹力始终与电荷运动方向垂直，故讨论

对电荷不作功f

(2) 在一般情况下，空间中电场和磁场同时存在

me ffF

BqEq

v tp d/d

二 . 带电粒子在均匀磁场中的运动• B

v

B

f q

RmBq

2

2sin

vv

qBm

Rv

qBmR

T 22

v mqB

f

2

• 粒子回转周期与频率

情况 v


大学物理：静电场大学物理：静电场• 一般情况

B

//v

v

h

cos// vv sinvv

带电粒子作螺旋运动

qBm

qBm

Rsinvv

qBm

Thcos2

//

vv

• 磁聚焦原理

B

粒子源 A

vv // vv

很小时

qBm

Thv

v 2

//

接收器 A’

发散角不太大的带电粒子束，经过一个周期后，重新会聚

v



（ 1）电子将何方向偏转？

例

求

解

（ 2）电子的加速度

（ 1）由 0, qBqF

磁场方向如图所示， B=5.510-5 T，电子以 Y 方向入射，其动能为 EK=1.2104 eV

（ 3）电子向 Y 方向运动 20cm 处，向 X 方向转移多少？

Y

Z

XR

Ox

y B入射时向 X 方向偏转

（ 2）m

EmE K

K

2

2

1 2

2141028.6 msm

Be

m

Fa

（ 3） meB

mR 72.6

由 222)( RyxR mmyRRx 98.222


大学物理：静电场大学物理：静电场霍尔效应1879 年霍尔发现在一个通有电流的导体板上，若垂直于板面施加一磁场，则板面两侧会出现微弱电势差 (霍尔效应 )

Bqfm

v

电场力 :

洛伦兹力 :

实验结果dIBKUab

受力分析

vl

d

I

B

a

bq

mf

E

Eqfe

( 方向向下 )

( 方向向上 )

+ + + +

– – – –



0)( BqEq

v当达到动态平衡时：

dnqvlnqdIB

Uab nqK

1BEh v

lEU hab Blv (霍耳系数 )

SnqI v

它是研究半导体材料性质的有效方法（浓度随杂质、温度等变化）

讨论

(1) 通过测量霍尔系数可以确定导电体中载流子浓度


大学物理：静电场大学物理：静电场(2) 区分半导体材料类型

—— 霍尔系数的正负与载流子电荷性质有关

B

+ + + +

– – – –a

b

ba uu

a

b

+ + + +

– – – –

ba uu 0K0K

I I

v

q

N 型半导体 P 型半导体

v

q

B

高温导电气体 B

没有机械转动部分造成的能量损耗——可提高效率

特点：

(3) 磁流体发电



一 . 磁介质及其分类1. 磁介质—— 任何实物都是磁介质

磁介质放入外场 0B

rBB 0

r

—— 相对磁导率

反映磁介质对原场的影响程度

0B

B

B磁介质产生“磁化场”B

可同向，可反向磁介质中的磁场 B

0BB r

（各向同性介质）

BBB

0

§9.7 物质的磁性



2. 磁介质的分类

顺磁质

抗磁质 1r 减弱原场

0BB 1r 增强原场

0BB

如锌、铜、水银、铅等

如锰、铬、铂、氧等

弱磁性物质

顺磁质和抗磁质的相对磁导率都非常接近于 1

铁磁质 )10~10( 421r 通常不是常数

具有显著的增强原磁场的性质 —— 强磁性物质

0BB r



二 . 磁化机理

原子中电子的轨道磁矩

1. 安培分子环流的概念和方法

电子的自旋磁矩分子磁矩所有电子磁

矩的总和mP

抗磁质 0mP

无外场作用时，对外不显磁性

顺磁质 0mP

无外场作用时，由于热运动，对外也不显磁性



2. 磁介质的磁化抗磁质磁化

在外场作用下，每个分子中的所有电子都产生感应磁矩 mP

磁介质产生附加磁场与外场方向相反

分子环流在外场作用下，产生取向转动，磁矩将转向外场方向 —— 宏观上产生附加磁场与外场方向相同

顺磁质磁化

1r 0BB 0B

B

B

B

B

0B

0BB 1r



三 . 有磁介质的磁高斯定理

'0 BBB

磁介质存在时，磁感应线仍是一系列无头无尾的闭合曲线

(含磁介质的磁高斯定理 )

对于任意闭合曲面 S

S

SB

d SS

SBSB

d'd0 0

0d S SB



四 . 有磁介质时的安培环路定理1. 束缚电流 0B

以无限长螺线管为例顺磁质

0I

0I

SI在磁介质内部的任一小区域：相邻的分子环流的方向相反

在磁介质表面处各点：分子环流未被抵消

形成沿表面流动的面电流 SI ——束缚电流

结论：介质中磁场由传导和束缚电流共同产生



2. 磁介质中的安培环路定理（各向同性介质）

000 d IlBL

无磁介质时

加入磁介质时 0BB r

L

rL

r

IlB

IlB

00

00 dd

定义磁场强度

0d IlHL

(磁介质的安培环路定理 )

r

BH

0

（各向同性介质）



MB

H

0

磁介质内磁场强度沿所选闭合路径的环流等于闭合积分路径所包围的所有传导电流的代数和。对于各向同性介质，在外磁场不太强的情况下

HμHμμB r

0

解题方法：先用安培环路定理求磁场强度，后再求磁感应强度

非各向同性介质

BH


大学物理：静电场大学物理：静电场无限长载流圆柱体，其内外相对磁导率分别为 21, rr 例

求解

在圆柱体内区域中，选环路 L

IrHlHL

2d 22

rIH 2/2

磁场强度和磁感应强度

R

I

r

2Hr

IHB r

r

220

2202

2r 1r

L

根据磁介质的安培环路定理在圆柱体外区域中，选环路 L

1H

Lr

RL

SS

IIrHlH 内2d 11

根据磁介质的安培环路定理

21 2 R

IrH

210

1101 2 R

IrHB r

r

非无限长载流圆柱体如何？



第第 1010 章变化的磁场和变化的电场章变化的磁场和变化的电场

M. 法拉第 (1791~1869)伟大的物理学家、化学家、 19世纪最伟大的实验大师。右图为法拉第用过的螺绕环



电磁感应知识结构

变化电场产生磁场变化磁场产生电场

位移电流法拉第电磁感应定律

按产生原因分类

按激发方式分类



电流的磁效应磁的电效应电生磁

§10.1 电磁感应

法拉第的实验：磁铁与线圈有相对运动，线圈中产生电流

N

S 一线圈电流变化，在附近其它线圈中产生电流电磁感应实验的结论

当穿过一个闭合导体回路所限定的面积的磁通量发生变化时，回路中就出现感应电流

SBΦ

d SB d cos

v

Φ变θSB 、、变产生电磁感应

)(tI 'I

'I

一 . 电磁感应现象

••



二 . 电动势A B

BAAB uuu

I

电源

KF

将单位正电荷从电源负极推向电源正极的过程中，非静电力所作的功

定义

qAK

qAK

dd

表征了电源非静电力作功本领的大小

反映电源将其它形式的能量转化为电能本领的大小••电动势的性质

（ 1）电动势与外电路及电路开、关无关（ 2）电动势的方向从负极通过电源内部指向正极（ 3）电动势是有正负的标量 + -



对闭合电路 lEK

d

非静电场可以认为：电源在其内部建立了一个非静电场

KE

q

FE K

K

非静电场和静电场一样对电荷作用，但它仅存在在电源内部

ldEqA KK

ldE

q

AK

K

类比静电场q

FE e

e



三 . 电磁感应定律（ 1）法拉第的实验规律表达式

感应电动势的大小与通过导体回路的磁通量的变化率成正比 t

Φm

d

d

负号表示电动势的方向（ 2）电动势的大小

t

Φm

d

d

（ 3）确定电动势的方向的方法I 规定绕行方向 L ，电动势与该方向一致时为正，否则为负II 确定的正负m

III 根据法拉第定律确定电动势的方向

dt

dSBΦ m

m

d



0dd

tΦ

0Φ

0

如 3 5

t

Φm

d

d

B

LS

N

n

0d

d

t

Φ0Φ

S

N

如 -3 -5

L n

0

t

Φm

d

d

B

0Φ

LS

N

如 5 3

n

0d

d

t

Φ

0

t

Φm

d

d

B

0dd

tΦ

S

N

如 -5 -3

L n

t

Φm

d

d

0

0Φ

B



(1) 若回路是 N 匝密绕线圈tΦ

Ndd

tNΦd

)d(tΨ

dd

(2) 若闭合回路中电阻为 RtR

ΦR

Ii dd

tqi

dd

感应电荷 2

1

dt

t ii tIq 2

1

d1Φ

ΦΦ

R R/ΦΦ 21

讨论

磁链 mm N 每匝线圈产生的磁通量不同时，磁链如何计算？

思考 : 非导体回路磁通量变化 , 是否产生感应电动势 , 是否产生感应电流？



闭合回路中的感应电流的方向总是企图使感应电流产生的磁通量去补偿（反抗）引起感应电流的磁通量的变化

三 . 楞次定律1 感应电流的作用

磁通量变化感应电动势感应电流感应电流也产生磁场磁通量

2 楞次定律

3 楞次定律的作用楞次定律主要是用来确定感应电动势的方向

B

S

N



例匀强磁场中，导线可在导轨上滑动，当导线向右运动时

解 )()( tBlxtΦ

tΦ

dd vBl

t

xBl

d

d

在 t 时刻

回路中感应电动势求

若磁场变化 tBtBB 0)(

tΦ

dd )( 00 vtlBlxB

l vB

)(tx

a

b

回路磁通量增加－＞电动势逆时针方向



两个同心圆环，已知 r1<<r2, 大线圈中通有电流 I , 当小圆环绕直径以转动时

2r

1r

I

解

2

0

2rI

B

大圆环在圆心处产生的磁场

通过小线圈的磁通量

SBΦ

cosπ

22

12

0 rrI tr

rI

cosπ2

21

2

0

trrI

tΦ sin

2π

dd

2

210

例

感应电动势

求小圆环中的感应电动势



在无限长直载流导线的磁场中，有一运动的导体线框，导体线框与载流导线共面

解

xbxI

SBΦ dπ2

dd 0

通过面积元的磁通量

xbxI

ΦΦal

ld

π2d 0

lalIb

lnπ20

tΦ

dd

lt/l

alt/lIb dddd

π20

)(π20

allIab

v

I v

a

b

xd

x

l

（方向顺时针方向）

例

求线框中的感应电动势



§10.2 感应电动势

本节主要讨论前两种不同情况

相对于实验室参照系，若磁场不变，而导体回路运动（切割磁场线）— 动生电动势

相对于实验室参照系，若导体回路静止，磁场随时间变化 — 感生电动势

•

•

磁通量变化产生感应电动势可以分为三种情况

磁场不变，回路变化磁场变化，回路不变磁场变化，回路变化

磁通量变化感应电动势



一 . 动生电动势

单位时间内导线切割的磁场线数

)( Bef

v

电子受洛伦兹力

—— 非静电力 KF

vBldt

Bldx

dt

BdS

t

Φi

d

d

•

非静电场e

FE K

K

Bv•

tΦ

i dd

+B

lv

f

eI

-x



动生电动势

lEKi

d

lBi

d)(v

•

+

-

动生电动势的方向

BEK

v

lB

d)( v 方向

lB

d)( v



应用

磁场中的运动导线成为电源，非静电力是洛伦兹力

l

d vl

B a

b

lBi

d)(v

lBa

bd v Blv

讨论

(1) 注意矢量之间的关系

v

l

d B

0i0B

v

0B

v 0d)( lB

v

B

v

l

d

lB

d)(v

注意两个角度



(2) 对于运动导线回路，电动势存在于整个回路

lBi

d)(v )d( lB

v

tltB )/ΔdΔ(

v

tSB /'d

t/Φ ( 法拉第电磁感应定律 )



(3) 感应电动势的功率设电路中感应电流为 I B

v

a

b导线受安培力

导线匀速运动电路中感应电动势提供的电能是由外力做功所消耗的机械能转换而来的

(4) 感应电动势做功，洛伦兹力不做功？ B

v

f V

'f

F

V

F )()( ''ff vv

vv '' ff

vvvv B'e'Be 0

e

'v

vIBlIP i

IBlFm

mext FF

vv IBlFP extext P

mF

extFI

洛伦兹力做功为零



例在匀强磁场 B 中，长 R 的铜棒绕其一端 O 在垂直于B 的平面内转动，角速度为

B

OR

求棒上的电动势

解方法一 ( 动生电动势 ): dlA

l

A

Oi lB

d)(v

R

OlBdv

R

OlBl d

2

2BR 方向 OA

v

O 点电势高！



B

OR

dlA

l

v

d

方法二 ( 法拉第电磁感应定律 ):

在 dt 时间内导体棒切割磁场线

BRSBd d2

1 2

tΦ

i dd

tBR

dd

21 2

221

BR

方向由楞次定律确定



例在半径为 R 的圆形截面区域内有匀强磁场 B ，一直导线垂直于磁场方向以速度 v 扫过磁场区

求当导线距区域中心轴垂直距离为 r 时的动生电动势

v

B

rR

ab

解方法一：动生电动势

b

ai lB

d)(v

l

d

b

alBdv

abBv222 rRB v

O



v

B

rR

ab

O

方法二：法拉第电磁感应定律

在 dt 时间内导体棒切割磁场线

ByrRBdSΦ d2d 22

t

yrRB

t

Φi d

d2

d

d 22

222 rRB v

方向由楞次定律确定



二 . 感生电动势

实验证明：当磁场变化时，静止导体中也出现感应电动势麦克斯韦提出：无论有无导体或导体回路，变化的磁场都将在其周围空间产生具有闭合电场线的电场，并称此为感生电场或有旋电场

1 涡旋电场（感生电场或有旋电场）

涡旋电场的性质：（ 1 ）涡旋电场的电力线是闭合线，非保守力场 0d L K lE

（ 2 ）涡旋电场对电荷有力的作用 KK EqF

（ 3 ）涡旋电场的存在不依赖导体KE



涡旋电场力充当电源中的非静电力

感生电动势

ldEqldFdA KKK

由法拉第定律

2 感生电动势

KE

ld q

在变化磁场激发的涡旋电场中

L

当 q 沿 L 绕一周，涡旋电场所作的功

L KK ldEqA

L K ldE

q

A

S

m

L K SdBdt

d

dt

dldE



感生电场与变化磁场之间的关系

讨论

感生电场与静电场的比较

场源

环流

Sdt

BlE

SL K

d

静电荷

变化的磁场

通量

静电场为保守场

感生电场为非保守场静电场为有源场

感生电场为无源场(闭合电场线 )

(1) 感生电场是无源有旋场

(磁生电 )



(2) 感生电场与磁场的变化率成左螺旋关系

空间存在变化磁场 0

t

B

在空间存在感生电场 KE

(3) 既有动生、又有感生电动势，则总感应电动势为

b

a K

b

ai lElB

dd)(v ( 导体不闭合 )

(导体闭合 ) L KLi lElBε

dd)(v

0

t

B

KE



R

设一个半径为 R 的长直载流螺线管，内部磁场强度为B

，若 tB /

为大于零

r的恒量。求管内外的感应电场。

Rr LKL Ki dlElE

d

cosπd

d2 2r

t

B

trEK

2π rtB

t

BrEK

2

Rr

cosππ 2RtB

t

B

r

REK

2

2

O

(4) 轴对称分布的变化磁场产生的感应电场

rElE KL Ki 2d

tΦ

i dd

感应电场方向为切向

r



例一被限制在半径为 R 的无限长圆柱内的均匀磁场 B ， B 均匀增加， B 的方向如图所示。

R

O NM

C D

求导体棒MN 、 CD 的感生电动势

)(d

d

2Rr

t

BrEK

解方法一 ( 用感生电场计算 ):

N

M KMN lE 0d

l

dKE

D

C KCD lE

d D

C K lE dcos L

ol

rh

tBr

ddd

2

hr

tBhL

dd

2

方法二 ( 用法拉第电磁感应定律 ):(补逆时针回路 OCDO)

tΦ

i dd

t/BLh

d)2d( CDDOCDOC

B

tBhL

dd

2

KE

过中心直径的电动势为 0！



由于变化磁场激起感生电场，则在导体内产生感应电流。

交变电流

高频感应加热原理

这些感应电流的流线呈闭合的涡旋状，故称涡电流 (涡流 )

交变电流

减小电流截面，减少涡流损耗

整块铁心

彼此绝缘的薄片

电磁阻尼

三 . 涡流

•••



§10.3 自感互感一 . 自感现象自感系数自感电动势

B

线圈电流变化穿过自身磁通变化

在线圈中产生感应电动势I

)(tBB

)(tII

)(tΦ S

SBΦ

d

tΦ

dd —自感电动势遵从法拉第定律

1. 自感现象

即



根据毕 — 萨定律穿过线圈自身总的磁通量与电流 I 成正比LIΨ

tLI

L d)d(

tL

ItI

Ldd

dd

若自感系数是一不变的常量 tI

LL dd

自感具有使回路电流保持不变的性质 —— 电磁惯性

自感系数L

自感电动势

讨论

3. 自感电动势

如果回路周围不存在铁磁质，自感 L 是一个与电流 I 无关，仅由回路的匝数、几何形状和大小以及周围介质的磁导率决定的物理量

2. 自感系数



例设一载流回路由两根平行的长直导线组成

d

aad 求这一对导线单位长度的自感 L

解由题意，设电流回路 I

II

Pr

1 2

)(π2π200

rdI

rI

BP

SBΦad

a

d

rhrd

IrI

Φad

ad]

)(π2π2[ 00

取一段长为 h 的导线

h

ra

adIh lnπ0

aad

IhL

lnπ

0

ILBI

求自感系数的一般方法


大学物理：静电场大学物理：静电场例同轴电缆由半径分别为 R1 和 R2 的两个无限

长同轴导体和柱面组成求无限长同轴电缆单位长度上的自感

I

I解由安培环路定理可知

21 RrR rI

B r

π20

21 Rr,Rr 0B

Sd

SBΦ dd rlrIr d

π20

2

1

dπ2

0R

R

r rlrI

Φ

1

20 lnπ2 R

RIlr

1

20 lnπ2 R

RIlΦ

L r

r

l

1R

2R

r



1B

I

1L

2L

二 . 互感

线圈 1 中的电流变化引起线圈 2 的磁通变化线圈 2 中产生感应电动势．根据毕 — 萨定律穿过线圈 2 的磁通量正比于线圈1 中电流 I

12121 IMΨ M21 是回路 1 对回路 2 的互感系数

同理可得

22121 IMΨ M1 ２是回路２对回路１的互感系数



tIM

d)d( 121

21 t

IM

d

d 121

互感系数不变的条件：回路周围不存在铁磁质且两线圈结构、相对位置及其周围介质分布不变

tI

Mdd 1

2121 tI

Mdd 2

1212

互感电动势•

讨论

(1) 可以证明： MMM 1221

(2) 互感系数由两个线圈的几何形状、大小、匝数、相对位置、磁导率等条件决定

(3) 互感系数与线圈中有无电流无关(4) 互感系数的单位 H

互感系数不变



例一无限长导线通有电流 tII sin0 现有一矩形线

框与长直导线共面（如图所示）

求互感系数和互感电动势

解rI

Bπ2

0

穿过线框的磁通量

23

2d

/a

/aSBΦ 3ln

π20Ia

ln3π20a

IΦ

M

tI

Mdd tI

a cos3ln

π2 00

互感系数

互感电动势

I

a

2a

23a

rdr

IMBI

求互感系数的一般方法



例计算共轴的两个长直螺线管之间的互感系数设两个螺线管的半径、长度、匝数为 212121 N,N,l,l,R,R

1

2解

2121 RR,lll

1I设 l

INB 110

1

221221 π RBNΨ

12

2210 π IR

lNN

22

21021 π R

lNN

M

2I设 l

INB 220

2

222112 π RBNΨ

22

21012 π R

lNN

M

MMM 2112


大学物理：静电场大学物理：静电场例在相距为 2a 的两根无限长平行导线之间，有一半径为 a

的导体圆环与两者相切并绝缘，

2a

a

a02

O

求互感系数解

r

I

I

raraI

B11

π20

S

SBΦ

d SSBd

rrarara

Ia

ad2

11π2

220

设电流 I

Ia02

IΦ

M

rd



线圈之间的连接 —— 自感与互感的关系

tI

MtI

Ldd

dd

11

MLLL 221

21

线圈的顺接 tI

MtI

Ldd

dd

22

tI

LtI

MLLdd

dd

)2( 21

线圈顺接的等效总自感

MLLL 221 线圈的反接

1L2L•

• 1L 2L


大学物理：静电场大学物理：静电场思考？

2121 ll,RRR 1l

2l

122112 MM

耦合关系•耦合系数

21LLM

K K< 1 有漏磁存在

K = 1 无漏磁存在例如长直螺线管，如 2121 RR,lll

lRRNN

LL 2121021

π

22

210102 πR

l

NNSnNM

21LLM

K 1

2

RR 1 K 小于 1 反映有漏磁存在

如 2121 RR,ll 1K K 等于 1 反映无漏磁的情况

21

210

101 πRl

NSnNL



实验分析 K

R

L

A

B

K

R

L

A

B

结论：在原通有电流的线圈中存在能量 —— 磁能

自感为 L 的线圈中通有电流 I0 时所储存的磁能为电流 I0 消失时自感电动势所做的功

•

§10.4 磁场能量一 . 磁能的来源



设在 dt 内通过灯泡的电量

tIq dd

uqA dd Lqd tItI

L ddd ILId

• 自感磁能

0

0

ddI

ILIAA

电流 I0 消失过程中，自感电动势所做的总功

202

1LI mW ( 自感磁能公式 )



讨论

(1) 在通电过程中

0 IRL tRItItI L ddd 2

00

00dd

II

L ILItI'A

tId tIL d

tRI d2

为电源做的功

为自感电动势反抗电流所作的功

为电阻消耗的焦耳热

为电源的功转化为磁场的能量

其中

2

21

LIWm

(2) 与电容储能比较2

21

CUWe 自感线圈也是一个储能元件，自感系数反映线圈储能的本领



二 . 磁能的分布以无限长直螺线管为例

rnIB r0

I

B

VnI

NL r

m 20

22

21

VInWm 22

22

21

nB

Vn

VB2

2

VBH

Wm 2

磁能

Vwm

•

2BH

VW

w mm 磁场能量密度



上式不仅适用于无限长直螺线管中的均匀磁场 ,也适用于非均匀磁场 ,其一般是空间和时间的函数

在有限区域内

VHBVwWVV mm d

21

d

EDwe

21

积分遍及磁场存在的空间

磁场能量密度与电场能量密度公式比较

•

•

说明

HB

21



BHwm 21

解根据安培环路定理 ,螺绕环内

rNI

B r

π20

rNI

Hπ2

22

220

π421

rINr

1R2R

hrrhV dπ2d 取体积元

V mm VwW d 2

1

dπ2π8 22

220

R

R

r rrhr

IN

1

222

lnπ4 R

RhIN

I

例一由 N 匝线圈绕成的螺绕环，通有电流 I ，其中充有均匀磁介质

求磁场能量 Wm

O



P

例计算低速运动的电子的磁场能量，设其半径为 a

解

v

e

r

20 sin

π4 re

B v

低速运动的电子在空间产生的磁感应强度为

2π4

sinr

eH

v

42

2220

π16sin

21

re

wm

v

取体积元 Vd dddsin2 rr （球坐标）

Vd

V mm VwW d

dπ16sin

2dsind

π2

0 42

2220

π

0

2

0

re

rrR

va

eπ12

220 v

a

整个空间的磁场能量



计算磁场能量的一般方法

*4 互感磁能

1L

1R 11K

2L

2R2 2K

先闭合 1K

11 0 I:i

2111 2

1ILW

再闭合 2K 22 0 I:i 2222 2

1ILW

21 WWW 需要考虑互感的影响

•

mm WwBHI



当回路 2 电流增加时，在回路 1 中产生互感电动势

ti

Mdd 2

12

12W t

tI

0 112 d 21IMI2

0 21dI

iMI

若保 I1 不变 ,电源 1 提供的能量应等于互感电动势所做的功

将使电流 1I

总磁能 222

211 2

121

ILILW 21IMI

注意

两载流线圈的总磁能与建立 I1 ， I2 的具体步骤无关

减小

(互感能量 )



§10.5 麦克斯韦电磁场理论简介

1 非稳恒电流中的问题

L

IlH

d对稳恒电流

对 S1 面 L

IlH

d

对 S2 面 L

lH 0d

矛盾

稳恒磁场的安培环路定理已不适用于非稳恒电流的电路

变化磁场产生感生电场变化电场产生磁场

1S

2SL

IR

1S 2SL

I R

对非稳恒电流

一 . 问题的提出



二 . 位移电流假设非稳恒电路中，在传导电流中断处必发生电荷分布的变化

t/qI dd 极板上电荷的时间变化率等于传导电流

电荷分布的变化必引起电场的变化 ( 以平行板电容器为例 )

tσ tσ

)(tI )(tI tD

电位移通量

DSΦD

S

tΦD

σD

SttΦD tq

DD It

Φtq

I d

ddd

—位移电流 ( 电场变化等效为一种电流 )

电位移通量的变化率等于传导电流强度——位移电流



S

DD SD

ttΦ

I

ddd

dd一般情况位移电流

S tD

Sd

位移电流与传导电流连接起来恰好构成连续的闭合电流

位移电流密度

dt

dD

tt

Φ

S

Ij DDD

Sd

d(DS)

Sd

d

以均匀场为例

dt

DdjD

矢量式普适



若传导电流为零 L

lH

d

SS

tD

d变化电场产生磁场的数学表达式

IR

DI麦克斯韦提出全电流的概念

位移传导全 III

(全电流安培环路定理 )

在普遍情形下，全电流在空间永远是连续不中断的，并且构成闭合回路

L

IIIlH 位移传导全

d

SS

tD

I

d传导

麦克斯韦将安培环路定理推广 Dj

位移电流密度

全电流

4 全电流安培环路定理



三 . 位移电流、传导电流的比较

1. 位移电流具有磁效应

tΦ

I D

dd

B

— 与传导电流相同

2. 位移电流与传导电流不同之处

(1) 产生机理不同

(2) 存在条件不同

位移电流可以存在于真空中、导体中、介质中

3. 位移电流没有热效应，传导电流产生焦耳热



例设平行板电容器极板为圆板，半径为 R ，两极板间距为 d,

用缓变电流 IC 对电容器充电

CI

R

1P2P

解任一时刻极板间的电场

0E

0D

极板间任一点的位移电流密度

tD

jD

t

2πR

I

tS

q C

由全电流安培环路定理

SL C StD

IlH

dd

1P

2P

CIrH 11 π21

01 π2 r

IB C

22 π2 rH

220

2 π2r

RI

B C

DI

Djr 22π

求 P1 ,P2 点处的磁感应强度


大学物理：静电场大学物理：静电场例电荷 +q 以速度 v 向 O 点运动。在 O 点处作一半径为 a

的圆，圆面与速度方向垂直求通过该圆面的位移电流和圆周上各点处的磁感应强度？

SD SD

d

解在任一时刻，穿过圆面的电位移通量

球冠DS

2π4 rq rhπ2

cosrrh

q a

v

r

x

P

O

D

aq

r

hO

由几何条件得

hr

q

2

)cos1(2

q

D

22cos

ax

x

r

x

x

x



)1(2 22 ax

xqD

v3

2

2dd

rqa

tΦ

I DD

L DIlH

d

由全电流安培环路定理

aH π2DI

3π4 raq

Hv

2π4sin

rq v 运动电荷的磁场

q a

v

r

x

P

O

D



四麦克斯韦方程组1. 电场的高斯定理

2. 磁场的高斯定理

0d)( 21 内自qSDDSdDSS

00d)(d 21 SSSBBSB

1 为静电场是有源场、 2 为感应电场是涡旋场

0d S

SB

1 为传导电流、 2 为位移电流产生的磁场，都是无源场

内自qSdDS



3. 电场的环路定理

L

lE

d 0

SS

tB

d

StB

tΦ

lESL

d

dd

d

—— 法拉第电磁感应定律

4. 全电流安培环路定理

L

lH

d iI

SS

tD

d

SLd)(d SjlH

tD

L

lEE

d)( 21

L 21 d)( lHH

静电场是保守场，变化磁场可以激发涡旋电场

传导电流和变化电场可以激发涡旋磁场四个方程称为麦克斯韦方程组的积分形式



5. 麦克斯韦方程组的意义

内自qSdDS

0d S

SB

StB

tΦ

lESL

d

dd

d

SLd)(d SjlH

tD

说明 —— 电荷总伴随有电场但是，电场的产生、存在不一定需要电荷说明 —— 磁场是有旋场，磁感应线是无头无尾

发现“磁单极”后，应该？变化的磁场在其周围产生（激发）电场

变化的电场在其周围产生（激发）磁场



（ 1）麦克斯韦方程组完全描述电磁场的动力学过程（ 2）麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在

变化的电场变化的磁场

（ 3）麦克斯韦指出了光波是一定频率范围内的电磁波由麦克斯韦方程组可以推导出电磁波波动方程

电磁波波动方程中的波速为1

u

真空中00

1

与真空中光速实验测量值相同

是否所有变化电场都产生“变化”的磁场？

速度随坐标系不同而不同，但是，真空中电磁波波速计算值是固定值

S1

S2 真空中光速不变——相对论基础



（ 4）麦克斯韦方程适用于宏观范围

微观范围内的电磁理论（如原子中电子的运动状态、运动规律） —— 量子力学（量子电动力学）

原子核

电子



（ 5）在不同惯性参照系中，麦克斯韦方程的表达式不同 —— 不具有伽里略变换不变性，说明麦克斯韦方程仅适用于某一惯性参照系

洛仑兹变换 —— 为相对论的建立提供了基础

假设人“固定”在电磁波峰上，随波同速运动，他看到静止的电场和静止的磁场。电磁波还能传播吗？

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第 8 章 静电场

第 8 章静电场